Baixe Lista de Exercícios e Gabarito de Álgebra Linear e outras Notas de estudo em PDF para Álgebra, somente na Docsity! 4ª Lista de Exercícios Gabarito 1. Expresse o vetor u = (-1, 4, -4, 6) ∈ 4ℜ como combinação linear dos vetores v1 = (3, -3, 1, 0), v2 = (0, 1, -1, 2) e v3 = (1, -1, 0, 0). Solução. Temos que encontrar escalares α, β, γ tal que (-1, 4, -4, 6) = α (3, -3, 1, 0) + β (0, 1, -1, 2) + γ (1, -1, 0, 0). O que equivale resolver o sistema: 2=γ 1−=α 3=β ⇒ 6=β2 4−=β−α 4=γ−β+α3− 1−=γ+α3 . Logo, u = - v1 + 3v2 + 2v3. 2. Determine os subespaços do 3ℜ gerados pelos seguintes conjuntos: (a) A = {(2, -1, 3)} (b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)} (c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1, 0)} Solução. (a) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A. Então, (a, b, c) = x(2, -1, 3) Daí, 2 3 x a x b x c = − = = Logo, S= {(a, b, c) 3ℜ∈ / a = -2b e c = -3b} = {(-2b, b, -3b)/ ℜ∈b }. (b) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A. Então, (a, b, c) = x(-1, 3, 2) + y(2, -2, 1) Daí, =+2 =2−3 =2+− cyx byx ayx . Escalonando, 12 2−3 21− c b a 11 −← LL ⇒ 12 2−3 −2−1 c b a 212 +3−← LLL ⇒ 12 +340 −2−1 c ba a 313 +2−← LLL ⇒ +250 +340 −2−1 ca ba a . Obtemos o seguinte sistema equivalente: = = 5 +2 4 +3 ca ba y y ⇒ 7.a +5b -4c = 0. Lembrando que as aluas agora são: segunda sala 204 e quarta sala 404 UFF – Departamento de Análise GAN00007 – Introdução à Álgebra Linear – B1 – 2014.1 – Profa. Ana Maria Luz Lista de Exercícios 8 - Resolução Logo, S= {(a, b, c) 3ℜ∈ / 7.a + 5b - 4c = 0}. c) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A. (d) Então, (a, b, c) = x(1, 0, 1) +y(0, 1, 1) + z(-1, 1, 0) Daí, =+ =+ =− cyx bzy azx . Escalonando, 011 110 1−01 c b a 313 +−← LLL ⇒ +− 110 110 1−01 ca b a 323 +−← LLL ⇒ +−− 000 110 1−01 cba b a . Logo, S= {(a, b, c) 3ℜ∈ / a + b - c = 0}. 3. Determine o valor de k para que o conjunto {(1, 0, -1), (1, 1,0), (k, 1, -1)} seja LI. Solução. Considere a equação x(1, 0, -1) + y(1, 1, 0) + z(k, 1, -1) = (0, 0, 0). Daí, obtemos o sistema homogêneo 0=−− 0=+ 0=++ zx zy kzyx ou 0=−2 xk)( . Para que os vetores sejam LI, x tem que ser zero, ou k 2≠ . 4. Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais: (a) S = {(x, y, z) 3ℜ∈ / y = 2x} (b) S = {(x, y) 3ℜ∈ / x + y = 0} (c) S = {(x, y, z) 3ℜ∈ / 2x – y + 3z = 0} (d) S = {(x, y, x); x, y ∈ ℜ } (e) S = {(x, y, z, w); x - 3y + z = 0} (f) S = {(x, y, z) ∈ ℜ 3 / x = 3y e z = -y} Solução (a) Se (x, y, z) ∈ S ⇒ (x, y, z) = (x, 2x, z) = x(1, 2, 0) + z (0, 0, 1). Então, todo vetor de S é combinação linear dos vetores (1, 2, 0) e (0, 0, 1). Como estes vetores são LI, o conjunto {(1, 2, 0) e (0, 0, 1)} é uma base de S. (b) Se (x, y) ∈ S ⇒ (x, y) = (x, -x) = x(1, -1). Então, todo vetor de S é combinação linear do vetor (1, -1). Como este vetor é LI, o conjunto {(1, -1)} é uma base de S.
