Introdução à Física Magnética: Constantes, Campos e Momentos Magnéticos, Notas de aula de Física

Baixe Introdução à Física Magnética: Constantes, Campos e Momentos Magnéticos e outras Notas de aula em PDF para Física, somente na Docsity! A FÍSICA DO MAGNETISMO 1. CAMPOS MAGNÉTICOS 1.1. Campo de uma força Na física, o campo de uma força é freqüentemente mais importante que a magnitude absoluta da força. Pode-se definir campo de uma força como sendo a força que age um uma unidade de material. Por exemplo, o campo elétrico produzido por um corpo de carga qo em determinada posição é a força que age em uma carga unitária naquele local. O campo elétrico em um ponto do espaço, a uma distância r da carga qo, é dado por: E π ε (1.1) εo é a constante de permissividade (8,85 x 10-12 farad/m). Assim, a força que atua em uma segunda carga q é dada por: · (1.2) Do mesmo modo, o campo gravitacional nas vizinhanças de uma massa M é a força que ela exerce em uma unidade de massa. Pela segunda lei de Newton, a força de atração gravitacional (F) que atua em um segundo corpo de massa m, é representada pelo produto da massa m pela aceleração gravitacional (ag) imposta ao corpo: · (1.3) Se a massa m for unitária, então, podemos deduzir que a própria aceleração gravitacional corresponde ao campo gravitacional. Por outro lado, a lei de gravitação de Newton diz que a força de atração gravitacional (F) entre dois corpos de massas m e M é proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles: G M (1.4) onde G é a constante de proporcionalidade, denominada de Constante Gravitacional Universal e ŕ é o vetor unitário na direção da reta que une os centros de massa dos dois corpos. Igualando as expressões (1.3) e (1.4), teremos para a aceleração gravitacional a expressão: G M (1.5) O campo de uma força é representado por linhas de campo. Em qualquer lugar do espaço, a força é tangencial à linha de campo e a intensidade da força é representada pelo número de linhas de campo por unidade de área da seção transversal. O campo gravitacional e o campo elétrico são radiais. A Figura 1.1 mostra a representação do campo elétrico para cargas positivas e negativas. Figura 1.1. Representação esquemática das linhas de campo elétrico produzidas por cargas de prova positivas e negativas, respectivamente. Já o campo magnético é mais complexo. Gauss mostrou que não existem pólos magnéticos livres, i.e., não existem monopolos. Haverá sempre um pólo magnético positivo formando par com um pólo magnético negativo. O mais importante campo magnético é o de (1.9) e (1.10), podemos escrever que: dU G M dr (1.11) dU G M dr U G M (1.12) U corresponde ao trabalho para levar a massa unitária da distância r até o infinito e corresponde ao potencial gravitacional nesse ponto. Podemos definir o potencial magnético W a uma distância r de um pólo magnético de intensidade p, da mesma maneira: W B dr µ dr W µ (1.13) 1.3. Potencial de um dipolo magnético A Figura 1.3 mostra dois pólos magnéticos, um positivo (p+) e outro negativo (p-), separados por uma distância d infinitamente pequena. A linha pontilhada define o eixo do dipolo, em torno do qual, o campo magnético tem simetria rotacional. Figura 1.3. Geometria para o cálculo do potencial de um par de pólos magnéticos. (Fonte: Lowrie, 1997) O potencial magnético W a uma distância r, em relação ao ponto médio do par de pólos, é a soma dos potenciais dos pólos p+ e p-, em relação às distâncias r+ e r-. W µ (1.14) W µ · ) (1.15) Como d <<< r, podemos fazer algumas aproximações: r r cos θ (1.16) r r cos θ (1.17) Podemos escrever também que θ ≈ θ’. Assim: r r cos θ cos θ d cos θ (1.18) r · r r d2 cos θ r d2 cos θ r · r r r d2 cos θ r d2 cos θ d4 cos θ cos θ r · r r cos θ r (1.19) Substituindo (1.18) e (1.19) em (1.15), teremos: W µ ou W µ (1.20) onde, m = d · p é definido como sendo o momento magnético do dipolo. Note que o potencial magnético do dipolo, diferentemente do potencial gravitacional, é inversamente proporcional ao quadrado da distância r e tem uma variação dependente do ângulo θ, como mostrado na Figura 1.3. 1.4. Campo de um dipolo magnético O campo magnético do dipolo pode ser determinado pela derivada em r e em θ do potencial magnético, definindo a componente radial (Br) e a componente tangencial (Bθ) do campo dipolar: B W µ µ (1.21) B W µ µ (1.22) Note que nos pólos (θ = 0), temos somente a componente radial (Bθ = 0): B µ (1.23) No equador (θ = π/2), temos somente a componente tangencial (Br = 0) B µ (1.24) Note também que o campo magnético nos pólos é duas vezes maior do que o campo magnético no equador. Em qualquer lugar do espaço próximo ao dipolo, a componente total B do campo (Figura 1.3) forma um ângulo I (inclinação magnética) com a horizontal local (direção de Bθ). Da Figura 1.3, podemos escrever que: As direções das forças que atuam em cada pólo são opostas, definidas pelo sinal do pólo magnético. O torque atua no sentido de alinhar o eixo do ímã na direção do campo magnético B. Se o eixo do ímã faz um ângulo θ com a direção do campo, a distância perpendicular às linhas de ação das forças em cada pólo é igual a d · sin θ. Assim, o torque (τ) sentido pelo ímã é dado por: τ = B p d sin θ (1.27) Como m = p ⋅ d, podemos escrever: τ = m B sin θ ou τ = m x B (1.28) 1.5. Campo magnético originado por uma corrente elétrica Uma carga elétrica q movendo-se a uma velocidade v em um campo magnético B (Figura 1.6a) sofre uma força F, definida pela equação formulada por Lorentz, em 1879: F = q (v x B) (1.29) A unidade de B é o Tesla, que equivale a N/Am, de acordo com a equação (1.29). Considere, agora, cargas elétricas se movimentando em um elemento dl de um fio condutor de área transversal A (Figura 1.6b). A corrente (I) será igual a quantidade de carga que atravessa a área da seção transversal do condutor na unidade de tempo: ∆Q (1.30) Figura 1.6. Ilustração da (a) lei de Lorentz para a força de deflexão F experimentada por uma carga elétrica que se move com velocidade v através de um campo magnético B, e (b) a lei de Biot Svart para a força experimentada por um elemento dl de um fio condutor passando uma corrente I sob a ação de um campo magnético B. (Fonte: Lowrie, 1997) Agora, considere N como sendo o número de cargas por unidade de volume. Então, o número de cargas no elemento dl é igual a N.A.dl e a carga total (∆Q) será: ∆Q = N A dl q (1.31) Se cada carga tem velocidade v, então para atravessar o espaço dl, ela levará um tempo t definido por: t (1.32) De (1.30), (1.31) e (1.32), tiramos que: I = N A q v (1.33) Agora, cada carga sofrerá uma força dada pela equação (1.29) e a força total transmitida para o elemento dl será: dF = N A dl q (v x B) = N A v q (dl x B) (1.34) Mas de acordo com a equação (1.33), N A v q = I. Logo, dF = I (dl x B) (1.35) A equação (1.35) representa a Lei de Biot-Savart, que determina a força experimentada pelo elemento dl do condutor, passando uma corrente I, em um campo magnético B (Figura 1.6b). O campo magnético B pode ser originado por outro fio condutor (Figura 1.7). Por analogia com o campo elétrico, foi proposto que: d K (1.36) onde ur é o vetor unitário na direção de r (Figura 1.7) e K µ 4π. Note que a direção de dB é definida pela regra da mão direita. No caso da Figura 1.7, o campo tem direção perpendicular ao plano da figura, com sentido para dentro. Figura 1.7. Um elemento de corrente i ds produz um elemento de campo dB no ponto P. O símbolo x no ponto P indica que o sentido do campo dB é para dentro no plano da figura. (Fonte: Halliday et al., 2007) comprimentos dos lados da espira são a e b e definimos o eixo x na direção paralela ao lado a da espira. A área da espira é A = ab. A normal ao plano da espira é representada pelo vetor unitário n na Figura. Suponha que uma corrente I passa pela espira e que o campo magnético B é normal ao eixo x, fazendo um ângulo θ com a normal ao plano da espira. Aplicando a equação (1.35), a força Fx é igual a (IbB cos θ) e age no lado PQ, na direção positiva de x. Seu efeito é cancelado pela força Fx que age no lado RS, a qual tem mesma intensidade e direção oposta (-x). Forças iguais a (IaB) agem em direções opostas nos lados QR e SP (Figura 1.10a). A distância perpendicular entre as linhas de ação da força F em cada seguimento a da espira é (d sen θ) (Figura 1.10b), de modo que, o torque τ que a espira experimenta é dado por: τ = (Iab) B sen θ (1.44) τ = m x B (1.45) m = IA é definido como sendo o memento magnético da espira e é representado por um vetor com direção paralela à normal (n) ao plano da espira de corrente. O momento magnético é definido como sendo a corrente (I) multiplicada pela área (A) para todo tipo de espira, qualquer que seja a sua forma. Quando comparamos a equação (1.45) com a equação (1.28), que define o torque em um dipolo, fica evidente que m corresponde ao momento magnético da espira. A definição de m em termos de uma espira de corrente mostra que momento magnético tem unidade de corrente multiplicado por área, Am2. A energia potencial magnética (Em) de um momento magnético (m), em um campo magnético B (Figura 1.11), é definida pela expressão: Em = - m B cos θ = -m ⋅ B (1.46), onde θ é o ângulo entre o momento magnético m e o campo B. Figura 1.10. (a) Espira retangular passando uma corrente I em um campo magnético uniforme B; (b) cálculo do torque exercido na espira. Figura 1.11. Momento magnético m fazendo um ângulo θ com um campo magnético B. A equação (1.46) mostra que a energia potencial magnética é mínima quando o momento magnético m é paralelo a B (θ = 0°) e máxima, quando o momento magnético m é antiparalelo a B (θ = 180°). Um grande número de sistemas físicos tem momento de dipolo magnético: a Terra, os ímãs, as espiras de corrente, os átomos, os núcleos, os elétrons e as partículas elementares. 1.7. Definição de magnetização A magnetização de um material está associada aos momentos magnéticos de spin (intrínsecos) dos elétrons. Em uma visão simplificada, o momento magnético total (mt) de um material é a soma vetorial de todos os momentos magnéticos associados ao volume do material (Figura 1.12). Figura 1.12. Representação esquemática dos momentos magnéticos dentro de um material. (Fonte: Lowrie, 1997) ∑ (1.47) A magnetização (M) é definida como sendo o momento magnético por unidade de volume: ∑ V (1.48) Através da equação (1.48) podemos verificar que a unidade de magnetização é A/m. 1.9. Origem do Magnetismo nos materiais. Mostramos acima que vários sistemas físicos apresentam momento magnético. Este é o caso de uma espira de corrente, onde o momento magnético (m = i A) é representado por um vetor perpendicular ao plano da espira. O elétron está também associado a um momento magnético em decorrência de seu movimento orbital em torno do núcleo (Figura 1.13). Figura 1.13. Desenho esquemático mostrando a órbita de um elétron com velocidade ve, massa me e carga qe, em torno do núcleo de carga qn. m é o momento magnético associado, o qual é perpendicular ao movimento orbital do elétron. Se o elétron de massa me e carga qe está a uma distância r do núcleo, seu momento magnético m será igual a: m = i A = i π r2 (1.57) Se sua velocidade é ve, então: v ∆ ∆t (1.58) onde ∆t é o tempo que o elétron leva para dar uma volta em torno do núcleo (distância de 2πr). Por outro lado, a corrente i é a carga (qe) pelo tempo ∆t, isto é: ∆ (1.59) Substituindo (1.58) em (1.59), teremos: (1.60) Das equações (1.57) e (1.60) podemos escrever que: m (1.61) Nós sabemos da física quântica que a quantidade de movimento angular do elétron é quantizada e é um número inteiro de h / 2π, onde h é a constante de Plank (kg m2 / s). O momento angular (l) associado ao elétron é a sua quantidade de movimento (P = me ve) multiplicado pela sua distância ao núcleo do átomo. Assim: m v r v r (1.62) De (1.61) e (1.62) tiramos que: m n (1.63) Para n = 1 (estado fundamental), o momento magnético associado ao elétron é denominado de magnéton de Bohr (mb) e é dado por: m 9,27 10 Am (1.64) O elétron apresenta também um movimento de rotação (movimento de spin) em torno de seu eixo. Este movimento pode ser no sentido horário ou no sentido anti-horário, o qual está associado a um momento angular (s) que vale +1/2 ou -1/2, dependendo do seu sentido de rotação. Um momento magnético intrínseco (ou momento de spin - ms) está também associado a este movimento de rotação, o qual vale: ms = 2 s mb = mb (1.65) 1.10. Estrutura eletrônica dos átomos. Antes de vermos o comportamento magnético dos materiais, veremos como os elétrons estão distribuídos no átomo, isto é, a sua estrutura eletrônica. No século passado, Schrödinger propôs uma série de equações de onda que descrevem a probabilidade de encontrar o elétron em um ponto (r, θ, φ), as quais envolvem harmônicos esféricos: Ψ , , r, θ, φ A , , P cos θ cos, sin mφ f r (1.66) , , - são amplitudes de probabilidade; são os polinômios de Legendre; cos, sen (mϕ) - são funções em cosseno e seno que variam com ϕ; é uma fincão que depende da distância r do elétron ao núcleo. Os autovalores l, m, n, associado ao momento de spin s, são chamados de números quânticos. O número quântico n representa a camada de energia e é designado por um número inteiro (n = 1, 2, 3, 4, 5, ...), cada um correspondendo a uma letra maiúscula (n = K, L, M, N, O,...). O número quântico l especifica o momento angular orbital total L do elétron. l pode valer 0 (s), 1 (p), 2 (d), 3 (f), 4 (g),... Para cada valor de n, podemos ter valores de l variando entre 0 ≤ l ≤ n-1. Portanto, para n = 1, temos um único valor possível para l, isto é, l = 0 (indicado por 1s, onde 1 representa n e s representa l). Para n = 2, temos dois valores possíveis para l, isto é, l = 0 (indicado por 2s) e l = 1 (indicado por 2p). Para n = 3, temos Fe3+ será: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 3d5 e teremos um momento magnético resultante de 5 mb. Os elementos de transição, pelo fato de suas ligações com outros elementos (por exemplo, o oxigênio – O2-) acontecerem através dos elétrons da camada 4s2 mais externa, possibilitam a existência de momentos magnéticos resultantes nos minerais dos quais estes elementos fazem parte. São justamente estes minerais que apresentam propriedades magnéticas que os caracterizam como paramagnéticos e ferromagnéticos, como veremos mais adiante. Figura 1.15. Esquema mostrando o aumento de energia nas várias camadas. As setas indicam a sequência desde a camada 1s. Figura 1.16. Estrutura eletrônica dos elementos químicos, desde o Na até o Zn. (Fonte: Tauxe, 2005) 1.11. Propriedades magnéticas dos materiais. Os materiais podem ser classificados em diamagnéticos, paramagnéticos ou ferromagnéticos de acordo com a sua reação diante da aplicação de um campo magnético. Estes comportamentos estão associados aos movimentos orbitais e de spin dos elétrons como veremos a seguir. 1.11.1. Diamagnetismo. Em 1846, Faraday descobriu que um pequeno pedaço de bismuto, quando colocado perto do pólo de um ímã era repelido por ele. Ele chamou estas substâncias de diamagnéticas. Quando um elétron em sua órbita em torno do núcleo, é submetido a um campo magnético B, ele executa um movimento de precessão em torno da direção do campo, com a frequência de Larmor: ∆W B (1.67) onde qe e me são, respectivamente, a carga e a massa do elétron. Este efeito produz uma componente de rotação (e, por consequência, de momento angular) adicional de sentido oposto ao movimento de translação do elétron. Como consequência, um fraco campo (associado a uma fraca magnetização) é induzido na direção oposta ao campo aplicado. Este fenômeno é similar ao descrito pela Lei de Lenz. Quando aproximamos uma barra de ímã de uma espira surgirá uma corrente i na espira. O sentido de i é tal que o campo originado por ela se opõe ao campo indutor produzido pela barra do ímã (Figura 1.17). Figura 1.17. Aplicação da lei de Lenz. Quando um ímã se aproxima da espira, uma corrente é induzida na espira. A espira produz outro campo magnético, cujo momento dipolar magnético µ está orientado de tal forma que se opõe ao campo indutor do imã. (Fonte: Halliday et al., 2005) Todos os materiais apresentam reação diamagnética quando submetidos a um campo magnético. Entretanto, este efeito é geralmente mascarado pelos efeitos mais fortes do paramagnetismo e do ferromagnetismo. Assim, a reação diamagnética é caracteristicamente observada em materiais em que todos os spins dos elétrons estão Figura 1.19. Representação do ângulo sólido elementar subentendido pela área dA=r·sen(θ)·dθ·dφ. O momento magnético total m a um ângulo θ em relação ao campo magnético aplicado (H) é representado pelo número de momentos magnéticos [n(θ)] existentes entre θ e θ + dθ, multiplicado pelo momento magnético associado a cada spin (mb). n(θ) é proporcional a parte do ângulo sólido em θ (sen (θ) · dθ). Note que há uma simetria rotacional do momento magnético em relação a H. A magnetização média (M) de uma população de partículas de um material de volume V será então, igual a: M V n θ cos θ dθ (1.72) Agora, se o material for levado ao estado de saturação, isto significa que todos os momentos magnéticos estarão alinhados ao campo aplicado. Se N é o número total de momentos, então: N n θ dθ (1.73) Entretanto, a magnetização de saturação (Ms) é dado por: M N V V n θ dθ (1.74) De (1.72) e (1.74), podemos escrever que: MM (1.75) Ainda, usando a equação (1.70), M/Ms fica: MM E T E T ou ainda, usando (1.68), podemos escrever: MM µ HT µ HT (1.76) Substituindo na equação (1.76) µombH/kT = α e cos (θ) = x, teremos a expressão: MM (1.77) A solução da equação (1.77) é: MM (1.78) ou ainda, MM coth α L α (1.79) Figura 1.20. (a) Magnetização paramagnética (obtida da função de Langevin, L (α)) em função de α = µombH/kT. (b) Magnetização paramagnética em função da temperatura T (lei de Curie). A equação (1.79) é conhecida como equação de Langevin para o paramagnetismo. A Figura 1.20 mostra a resolução gráfica desta equação (M/Ms versus α). Note que a magnetização se aproxima da saturação quando µombH é aproximadamente 10 a 20 vezes o valor de kT. Quando kT >>> µombH, L (α) é aproximadamente linear. Neste caso, podemos desenvolver a coth (α) na série: coth α ··· (1.80) Utilizando somente os dois primeiros termos da série da equação (1.80), teremos: MM (1.81) ou, MM µ T H (1.82) Podemos escrever a equação (1.82) de outro modo: Se aplicarmos um campo H a um material, o campo total (Ht) no interior do material será: Ht = H + Hw = H + β M (1.88) Por analogia com o paramagnetismo, podemos substituir α na equação (1.79) por: α µ H MT (1.89) Assim, podemos escrever (1.79) como: MM L µ H MT (1.90) Quando a temperatura aumenta, os cristais se expandem e as interações de troca ficam mais fracas. Acima de uma temperatura característica, a energia térmica é dominante e o mineral perde as propriedades ferromagnéticas. A temperatura em que isto ocorre é denominada de temperatura de Curie (TC). Cada mineral magnético apresenta uma temperatura de Curie característica. Assim, podemos analisar a equação (1.90) em duas situações: Situação 1- Temperaturas T > TC, isto é, (T - TC) > 0 Neste caso, o campo molecular interno é zero (Hw = β M = 0). Assim, podemos usar a aproximação kT >>> µo mb H e escrever a equação (1.90) da seguinte forma: MH µ N V T TC χ (1.91) ou MH CT TC χ (1.92) onde C µ N V A equação (1.92) é conhecida como Lei de Curie-Weiss e governa a suscetibilidade ferromagnética acima da temperatura de Curie (TC). Situação 2- Temperaturas T < TC. Abaixo da temperatura de Curie, podemos descartar o campo externo na equação (1.90): MM L µ MT (1.93) Sabendo que M N V , podemos re-escrever a equação (1.93) da seguinte forma: MM L µ N V T MM (1.94) ou, MM L TCT MM (1.95) onde TC µ N V é definida como sendo a temperatura de Curie. A solução gráfica da equação (1.95) é apresenta na Figura 1.22. Podemos separar dois intervalos de temperaturas em que o material ferromagnético muda de comportamento. Acima da temperatura de Curie, a energia térmica é dominante, o material passa a ter um comportamento paramagnético e a magnetização é governada pela equação (1.93). Abaixo desta temperatura, o campo molecular predomina, o material é ferromagnético e a magnetização é governada pela equação (1.95). É importante salientar, entretanto, que a transição do comportamento ferromagnético para o comportamento paramagnético é gradual, sendo que o material se torna definitivamente paramagnético somente acima de uma temperatura θ (vide Figura 1.21), maior do que a temperatura de Curie (θ > TC). A transição gradual do comportamento ferromagnético para paramagnetismo é explicada pela persistência do campo molecular em orientar os momentos magnéticos, a temperaturas acima de TC. A principal diferença do tratamento clássico mostrado acima e o da mecânica quântica é o fato que na mecânica quântica, somente certos ângulos dos momentos magnéticos são permitidos e não todos como no modelo de Langevin. No final, a predição da magnetização em função da temperatura difere em detalhes e este modelo pode ser utilizado para entendermos o fenômeno do ferromagnetismo. Figura 1.22. Comportamento da magnetização (M/Ms) em função da temperatura (T/TC) de um material ferromagnético. (Fonte: Tauxe, 2005) 1.11.2.1. Curva de histerese. Mostramos acima que os materiais ferromagnéticos apresentam a característica de perder as propriedades ferromagnéticas acima da temperatura de Curie (TC). Outra característica dos materiais ferromagnéticos é a sua propriedade de produzir histerese quando um campo magnético é aplicado nestes materiais. Mesmo quando o campo é retirado o material retém magnetização remanente (Mr). A Figura 1.23 mostra uma curva de histerese (Magnetização versus campo aplicado) obtida para um material ferromagnético com magnetização inicial nula. Somente com a aplicação de campos muito baixos, a curva é reversível (parte a da curva, em vermelho). Quando aumentamos o campo aplicado (parte b da curva, em azul), a magnetização correspondente aumenta até atingirmos o campo de saturação. Neste ponto, um aumento do campo não produz mais aumento da magnetização. características típicas de um material ferromagnético, incluindo histerese, magnetização espontânea e temperatura de Curie. Podemos citar como exemplo, a hematita (α-Fe2O3), onde tanto a inclinação dos spins como defeitos da rede cristalina (momentos de defeito) contribuem para as propriedades ferromagnéticas. A hematita apresenta uma magnetização espontânea fraca e variável, de aproximadamente 2,2 kA/m, coercividades muito altas e temperatura de Curie de 675°C. As variações nas propriedades magnéticas da hematita decorrem da importância relativa entre os defeitos e momentos dos spins inclinados. Figura 1.24. Representações esquemáticas dos alinhamentos dos momentos magnéticos atômicos nos minerais ferromagnéticos, antiferromagnéticos, ferromagnetismo parasítico (também denominado em inglês de spin-canted antiferromagnetism) e ferrimagnéticos. As setas embaixo de cada representação indicam a direção do momento magnético espontâneo resultante. Quando o processo de interação envolve momentos magnéticos antiparalelos e desiguais na rede cristalina, resulta em uma magnetização espontânea, fenômeno este denominado de ferrimagnetismo (Figura 1.24d). Acima de uma determinada temperatura, o mineral ferrimagnético perde as propriedades ferrimagnéticas; esta temperatura é denominada de temperatura de Néel, ou muito frequentemente, também chamada de temperatura de Curie. O mineral ferrimagnético mais importante é a magnetita (Fe3O4), o qual apresenta temperatura de Curie de ~580°C. Outro mineral de relativa importância é a pirrotita representada por um sulfeto de ferro de composição Fe7S8. Sua temperatura de Curie é de 320°C. Texto escrito por Manoel Souza D’Agrella Filho Fonte bibliográfica 1. David J. Dunlop, Özden Özdemir – Rock Magnetism, Fundamentals and Frontiers, Cambridge University Press, 1997; 2. William Lowrie – Fundamentals of Geophysics, Cambridge University Press, 1997; 3. R. B. Butler, Paleomagnetism: Magnetic Domains to Geologic Terranes., 1992. http://geography.lancs.ac.uk/cemp/resources/Butler_book/contents.htm; 4. Halliday, Resnick and Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, Eletromagnetismo. John Wiley & Sons, Inc, 2005; 5. Lisa Tauxe, Lectures in Paleomagnetism, 2005. http://earthref.org/MAGIC/books/Tauxe/2005/