A Matemática dos Calendários, Resumos de Matemática Aplicada

Baixe A Matemática dos Calendários e outras Resumos em PDF para Matemática Aplicada, somente na Docsity! A Matemática dos Calendários Realiação: 20 Seminário de Integração de Licenciatura em Ciências Naturais e 10 Encontro Nacional de CN - ENECINA Minicurso entre 13 e 14/outubro/2010 Prof. Responsável: Antônio Calixto de Souza Filho - LCN-EACH-USP A história registra seus fatos, basicamente, pelas datas. Assim ocorre que o Brasil foi descoberto em 22/abril/1500(quarta-feira); independente de Portugal em 07/setembro/1822(sábado); tornou- se uma república em 15/novembro/1889(sexta-feira). Também o homem registra fatos marcantes, através das datas: a data de nascimento, e os mais românticos, até mesmo a data do primeiro encontro. Diante de tanta data, é natural se perguntar, mas em que dia da semana? Essa pergunta pode ter respostas em diversos graus de dificuldade. Isso porque embora hoje conheçamos, melhor, a f́ısica do tempo, no passado não era bem assim. Resumidamente, e portanto apenas como ilustração, o calendário que deu origem às datas atuais, é o calendário Juliano, embora esse conhecimento já fosse utilizado pelos Eǵıpcios há 4 milênios a.C., que considera um ano o intervalo de tempo de 365, 25. Portanto aproximado por 3 anos de 365 seguido de um ano com 366, o ano bissexto. Acontece que a referência para o intervalo de tempo é o primeiro domingo depois da Lua Cheia que ocorre em, ou após, o equinócio Vernal, fixado em 21 de março. De modo que em 1582, durante o papado de Gregório XIII (Ugo Boncampagni, (1502− 1585), o equinócio vernal já estava ocorrendo em 11 de março, antecipando muito a data da Páscoa. Dáı foi deduzido que o ano era mais curto do que 365, 25 dias (hoje sabemos que tem 365, 242199 dias). Desse modo o papa introduziu nova reforma no calendário, sob orientação do astrônomo jesúıta alemão Christopher Clavius (1538 − 1612), para regular a data da Páscoa, instituindo o Calendário Gregoriano. Que institui novas regras para o cálculo do número de dias do ano, [7]. Aproximando-se 365, 242199 para 365, 2425 teremos a correção de 1 dia somente a cada 400, e portanto, analogamente ao ano bissexto, teremos o século bissexto, que somente considera 366 dias para os anos seculares múltiplos de 400. O site [2] informa que em 1900 a medida do ano solar foi 365, 24219879 e em 1995 a medida do ano solar foi 365, 24219879. O site [3] informa a medida do ano solar para os anos de 1940 e para 2000, indicando para este ano o valor 365, 242192957. Finalmente, o site [4] informa que o ano solar de 2010 foi medido em 365d5h49m30s, que seria aproximadamente, 365, 2427083. Este mesmo site traz uma tabela de valores médio do ano solar entre 1985 e 1990. A tabela seguinte mostra a evolução dos calendários juliano e gregoriano, segundo o valor histórico de 1582: 3N + B juliano400 gregoriano400 real400 6= juliano 6= gregoriano acerto400 tempo(anos) 1461 146100 146097 146096, 8796 −3, 1204 −0, 1204 8, 305 3322, 259 Para o valor, 365, 242192957, medido em 2000, o tempo que decorre para variar de 1 dia o calendário gregoriano seria 3256, 872816, isto é 3256 anos, 52 dias, 22 horas, 8 minutos e aprox. 26s. Isso significa que, após aproximadamente 3257 anos, segundo o modelo gregoriano e ano solar de 2000 como referência, devemos reduzir o calendário de 1 dia. Assim, se corrigirmos anualmente um tempo médio de 24∗3600 3319,942897 ∼= 26, 52 segundos, mantendo-se o periodo 365, 242192957, o calendário gregoriano ficaria corrigido automaticamente? De qualquer modo, este cálculo mostra que no ano de 3200, caso nenhuma correção seja realizada até lá, deveremos retirar 1 dia do calendário. Como deverá ser esta mudança? Assim, se nos 16 séculos passados, até a época do Papa Gregório, todos múltiplos de 4 eram bissextos, então os anos seculares 100, 200, 300, 500, 600, 700, 900, 1000, 1100, 1300, 1400, 1500 1 foram contados com 1 dia em excesso, dáı a defasagem. Ocorre que embora a correção devesse ser de 12 dias, o Papa decidiu não em uma correção exata, mas tomar 1500 como nova referência e corrigir somente os 10 dias da referência de 21 de março. Consequentemente, correu que o dia seguinte ao dia 4 de outubro de 1582 foi corrigido para 15 de outubro de 1582. A confusão histórica foi muito grande, e entre os diversos páıses que se opuseram a tal mudança, estão: Inglaterra, que somente adotou esse calendário no ano de 1752, portanto, além dos 10 dias já institúıdos, corrigir também o ano 1700. Portanto o dia seguinte a 2 de setembro de 1752 foi o dia 14 de setembro de 1752, bem com a Rússia, após a primeira guerra, alterou o dia seguinte a 31 de janeiro de 1918, para 14 de janeiro, corrigindo 13 dias (10) + (1700, 1800, 1900). Desse modo, como veremos a seguir, calcular dias correspondentes a data é uma tarefa, mate- maticamente simples, porém historicamente complexa, pois há particularidades no conhecimento do tempo. Seja dia , a função que a uma data qualquer, calcula o dia da semana: Esta função tem como domı́nio o conjunto de datas, dia/mês/ano, e imagem os dias da semana: {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}. Podemos representá-la por dia : data −→ {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado} Vamos discutir uma solução simplificada de um problema mais geral: no nosso caso vamos supor conhecida a data e o dia da semana de dd/mm/AAAA e calcular o dia da semana da data dd/mm/aaaa. Por exemplo sabemos que 01/01/2004 foi uma quinta-feira, e desejamos saber qual o dia da semana de 01/01/1900? Qual será a expressão dia(data) = dia(dd/mm/aaaa)? Este é um dos tema desse mini-curso. Seja fixada a data dd/mm/AAAA, na qual conhecemos o dia da semana, e associamos ao inteiro i = 1 um número correspondente ao dia domingo, fazemos assim, sucessivamente até i = 7 o sábado. Dada a data dd/mm/aaaa, queremos calcular o dia da semana, isto é um número natural entre 1 e 7. Inicialmente, observamos que a cada múltiplo de 7, correspondente a uma semana, o valor de i é o mesmo. Por exemplo, para um mesmo mês, os dias 2, 9, 16 e 23 serão o mesmo dia da semana, ou seja, têm o mesmo valor de i. Podemos confirmar isso, utilizando o resto da divisão do número, por exemplo 23, por 7, cujo resultado é 2 e portanto identificado com a segunda-feira. Um caso t́ıpico, é quando o dia é um multiplo de 7, por exemplo 21. Nesse caso, o resto da divisão por 7 é 0. Para estes casos, o valor correspondente ao dia da semana será 7. Estes fato são a base para o que apresentamos a seguir. Assim os anos com 365 ou 366 e o ano seguinte nunca terão um mesmo calendário. Anos, com 365 = 364 + 1 = 52 ∗ 7 + 1 dias, defasam o calendário, à frente, de 1 dia, exceto quando o ano seguinte é bissexto, que datas a partir de primeiro de março são defasadas de 2 dias, em relação ao calendário anterior. Já o ano bissexto, 366 = 52 ∗ 7 + 2, defasa o calendário à frente de 2 dias, para datas até o 28 de fevereiro. Devemos, ainda, levar em conta quatro condições: o ano seguinte a um ano bissexto e o ano anterior a um ano bissexto, tanto até 28 de fevereiro, quanto a partir de primeiro de março. A tabela a seguir, denominada Tabela de Acréscimo de Dias, representa todas estas condições entre dois anos bissextos consecutivos. Estrutura entre 2 anos bissextos consecutivos: bissexto base N1 N2 N3 B=N0 i { +2 até 28/02 +1 a partir de 01/03 +1 +1 { +1 até 28/02 +2 a partir de 01/03 ∴ i + 5 2 calcularmos a data 01/01/1900, não aplicamos diretamente a fórmula obtida, mas calculamos essa data a partir do cálculo da data 01/01/1904. Isso foi feito, devido ao ano 1900 não ser bissexto secular, que nos levaŕıamos a um erro de cálculo. Assim, para datas anteriores ao século XX, é necessário um outro ajuste. Finalmente, é necessário calcular a correção secular, isto é, quantos anos seculares não são bissextos. Para não alterarmos nossa expressão anterior, vamos utilizar o resultado já obtido e corrigi-lo pelos anos seculares não bissextos. Consideramos: Y = AAAA mod 100 y = (aaaa− 1) mod 100 e calculamos os anos seculares S = AAAA−Y 100 s = aaaa−1−y 100 ; fazemos o deslocamento até os seculares bissextos XS = S mod 4 xs = s mod 4 . Analogamente, teremos m = S −XS − (s− xs) 4 , portanto 3m são os anos seculares não bissextos. Corrigindo os deslocamentos, temos k = 3m− xs+XS dias a serem corrigidos devido aos anos bissextos seculares. É importante lembrar que essa correção ocorre apenas a partir do ano 1600, antes dessa data todos os anos seculares foram considerados como bissextos. Devido a correção do Papa Gregório ter ocorrido em 1582, podemos utilizar e fórmula 3m − xs + XS até este ano, pois 1582 pertencerei ao último bissexto não-centenário antes de 1600, caso o sistema gregoriano já estivesse sendo utilizado. Desse modo, da correção de intervalos bissextos dada por 5 ∗n, devemos retirar os anos que não seria bissextos, ou seja, 5n− (3m− xs + X). Portanto, o cálculo da data será: dia(dd,mm, aaaa) =  (I − (5n− (3m− xs + XS)− x + X)) mod 7 se u e v bissextos ou não (I − (5n− (3m− xs + XS) + X + 1)) mod 7 se antes de março, X 6= 0 e x = 0 (I − (5n− (3m− xs + XS)− x− 1)) mod 7 se antes de março, X = 0 e x 6= 0 Obviamente, a utilidade da expressão acima é desnecessária para o século XXI, pois os anos seculares não bissextos são apenas 1700, 1800 e 1900. Assim, um ano u do século XXI é corrigido de k dias, devido aos anos não seculares, pela seguinte tabela: entre k, correção secular k para o século XXI 1901− 2000 0 1801− 1900 1 1701− 1800 2 1582− 1700 3 Portanto, o cálculo da data, para anos do século XXI será: dia(dd,mm, aaaa) =  (I − (5n− k − x + X)) mod 7 se u e v bissextos ou não (I − (5n− k + X + 1)) mod 7 se antes de março, X 6= 0 e x = 0 (I − (5n− k − x− 1)) mod 7 se antes de março, X = 0 e x 6= 0 5 Podemos, diante dos resultados, verificar algumas datas conhecidas, por exemplo,o dia da se- mana da controvertida data de 15/10/1582, sabendo-se que 15/10/2010 é uma sexta-feira, ou seja i = 6: AAAA = 2010; aaaa = 1582, X = 2, x = 2 ∴ n = 2008−1580 4 ou seja há 107 anos bissextos en- tre 2008 e 1582;Y = 10, y = 81, S = 20, s = 15, XS = 0, xs = 3 ∴ m = 20−(15−3) 4 = 8 4 = 2, portanto há 2.3 = 6 anos seculares que não são bissextos entre 1200 e 2000, calculamos k = 6 − 3 + 0 = 3, ou seja, descontamos os anos 1300, 1400 e 1500. Como a data é após fevereiro a expressão é (I − (5n − k − x + X)) mod 7 = (6 − (5 ∗ 107 − 3 − 2 + 2)) mod 7 = (6 − (5 ∗ 2 − 3)) mod 7 = (6− 7) mod 7 = 6, portanto uma sexta-feira. Podemos também calcular a data 01/01/1900, sabendo-se que 01/01/2006 foi domingo, ou seja i = 1;AAAA = 2006, aaaa = 1900, X = 2, x = 0 ∴ n = 26;Y = 6, y = 0, S = 20, a = 18, XA = 0, xa = 2 ∴ m = 1, k = 3m− xa + XA = 3− 2 + 0 = 1. Trata-se de data antes de março e x = 0, então (I − (5n− k + X + 1)) mod 7 = (1− (5 ∗ 26− 1 + 2 + 1)) mod 7 = (1− (−10 + 2)) mod 7 = (1 + 1) mod 7 = 2, que corresponde a uma segunda-feira. No livro Viagens na Minha Terra de Almeida Garret, caṕıtulo I, §5, temos a seguinte passa- gem:”São 17 deste mês de julho, ano da graça de 1843, uma segunda-feira, dia sem nota e de boa estréia”. Podemos checar esta data: consideramos 17/07/2010 um sábado, logo I = 7. Calcula- mos dia(17/07/1843): AAAA = 2010, aaaa = 1843, X = 2, x = 3 ∴ n = 2008−1840 4 = 168 4 = 42; Y = 6, y = 42, S = 20, s = 18, XS = 0, xs = 2 ∴ m = 20−(18−2) 4 = 1, logo k = 3−2+0 = 1. Sendo a data após fevereiro (I−(5n−k−x+X)) mod 7 = (7−(5∗42−1−3+2) mod 7 = (7+2) mod 7 = 2, portanto uma segunda-feira! Podemos calcular, segundo dados históricos, o dia da semana de 01/01/01, para isso inicialmente calculamos o dia 01/01/1582. Sabemos que 15/10/1582 foi uma sexta-feira, e o dia anterior tem data 04/10/1582, portanto uma quinta-feira. Logo 01/10/1582 foi segunda-feira. Como em anos não bissextos, o mês de janeiro e outubro têm o mesmo calendário, então 01/01/1582 foi uma segunda-feira. Logo I = 2, AAAA = 1582, aaaa = 1, X = 2, x = 1. Há 1582−2 4 = 395 anos bissextos e k = 0, pois não há correção de seculares não bissextos antes de 1582. A expressão é (I − (5n − k − x + X)) mod 7 = (2 − (5 ∗ 395 − 0 − 1 + 2) mod 7, calculamos 395 mod 7 = (392+3) mod 7 = (56∗7+3) mod 7 = 3 e obtemos (2−(5∗3−0−1+2) mod 7 = (2−16) mod 7 = 0, correspondendo portanto a um sábado. No cálculo acima, a estamos considerando, artificialmente, que o ano 0 é um ano bissexto. Podemos efetuar este cálculo de outro modo. Calculamos dia(01/01/04): I = 2, AAAA = 1582, aaaa = 4, X = 2, x = 0. Há 394 anos bissextos e k = 0. Sendo x = 0 e data antes de março, (I − (5n− k + X + 1)) mod 7 = (2− (5 ∗ 394− 0 + 2 + 1) mod 7 = (2− (5 ∗ 2 + 3) mod 7 = (2 − 13) mod 7 = 3. Utilizando a tabela de acréscimos de dias teremos 3 − 3 = 0 para o dia da semana de dia(01/01/01) que corresponde a 7, sábado. Nossa expressão é válida somente até a data 15/10/1582, se desejamos regredir mais, por exemplo para calcular o dia da semana que o Brasil foi descoberto, devemos fazer as correções segundo o calendário anterior a este. E diante dessa discussão, observamos que nossa função depende de um referencial, no nosso caso, o dia 15/10/1582 sexta-feira. Podemos então determinar uma função a partir de um dia fixo. A diferença dessa solução com a que apresentamos é que, neste caso geramos qualquer calendário com uma única data, que o mais natural é considerar 15/10/1582:sexta-feira. E áı, basta corrigir os valores de dd e mm. Ainda um problema bastante interessante é o seguinte: fixada uma data, quanto tempo, a partir desta, decorre para que se repita o mesmo calendário? A seguir, apresentamos uma sequência, cujo temo an signica o dia da semana de primeiro de janeiro de um certo ano n. Esta sequência inicia-se com o termo n = 0, sendo a0 um valor somente teórico. Acima, calculamos a1 = 7. Utilizando a tabela de acréscimos de dias, obtemos 6 a0 = 7− 2 = 5. Vamos mostrar que esta série repete-se a cada 28 anos, quando o calendário segue o modelo Juliano. Sequência Bissexta 5 7 1 2 3 5 6 7 1 3 4 5 6 1 2 3 4 6 7 1 2 4 5 6 7 2 3 4 5 É fato, que esta sequência deriva do ińıcio de nosso calendário e o termo a0 = 5 tem somente significado matemático, mostrando que o primeiro dia do mês de janeiro do ano 1 foi uma quinta- feira, cujo termo a1 = 5. Tal sequência foi constrúıda partir de um registro histórico em que para o ano 1582 o dia 04 de outubro foi uma quinta-feira, e o dia seguinte, sexta-feira foi o dia 15 de outubro, para corrigir os erros do calendário juliano. Se olharmos os argumentos, há uma falta de dois dias. Porém não dispomos de informação suficiente para explicar este fato. Esta sequência determina todos os calendários possiveis, exceto para um ano secular que não seja múltiplo de 400. Tal propriedade decorre do fato que, escolhido qualquer ano não secular e bissexto, vimos que a sequência de dias da semana é do tipo b, b + 2, b + 3, b + 4, pois N denota o primeiro dia do ano. Sendo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 os valores posśıveis para N , temos as seguintes sequências, que definimos por SCCB: Sequências de calendários posśıveis para anos centenários bissextos. b : 1 a8 (b, 1) (n1, 3) (n2, 4) (n3, 5) (b, 6) (n1, 1) (n2, 2) (n3, 3) (b, 4) (n1, 6) (n2, 7) (n3, 1) (b, 2) (n1, 4) (n2, 5) (n3, 6) (b, 7) (n1, 2) (n2, 3) (n3, 4) (b, 5) (n1, 7) (n2, 1) (n3, 2) (b, 3) (n1, 5) (n2, 6) (n3, 7) b : 2 a20 (b, 2) (n1, 4) (n2, 5) (n3, 6) (b, 7) (n1, 2) (n2, 3) (n3, 4) (b, 5) (n1, 7) (n2, 1) (n3, 2) (b, 3) (n1, 5) (n2, 6) (n3, 7) (b, 1) (n1, 3) (n2, 4) (n3, 5) (b, 6) (n1, 1) (n2, 2) (n3, 3) (b, 4) (n1, 6) (n2, 7) (n3, 1) b : 3 a4 (b, 3) (n1, 5) (n2, 6) (n3, 7) (b, 1) (n1, 3) (n2, 4) (n3, 5) (b, 6) (n1, 1) (n2, 2) (n3, 3) (b, 4) (n1, 6) (n2, 7) (n3, 1) (b, 2) (n1, 4) (n2, 5) (n3, 6) (b, 7) (n1, 2) (n2, 3) (n3, 4) (b, 5) (n1, 7) (n2, 1) (n3, 2) b : 4 a16 (b, 4) (n1, 6) (n2, 7) (n3, 1) (b, 2) (n1, 4) (n2, 5) (n3, 6) (b, 7) (n1, 2) (n2, 3) (n3, 4) (b, 5) (n1, 7) (n2, 1) (n3, 2) (b, 3) (n1, 5) (n2, 6) (n3, 7) (b, 1) (n1, 3) (n2, 4) (n3, 5) (b, 6) (n1, 1) (n2, 2) (n3, 3) b : 5 a0 (b, 5) (n1, 7) (n2, 1) (n3, 2) (b, 3) (n1, 5) (n2, 6) (n3, 7) (b, 1) (n1, 3) (n2, 4) (n3, 5) (b, 6) (n1, 1) (n2, 2) (n3, 3) (b, 4) (n1, 6) (n2, 7) (n3, 1) (b, 2) (n1, 4) (n2, 5) (n3, 6) (b, 7) (n1, 2) (n2, 3) (n3, 4) b : 6 a12 (b, 6) (n1, 1) (n2, 2) (n3, 3) (b, 4) (n1, 6) (n2, 7) (n3, 1) (b, 2) (n1, 4) (n2, 5) (n3, 6) (b, 7) (n1, 2) (n2, 3) (n3, 4) (b, 5) (n1, 7) (n2, 1) (n3, 2) (b, 3) (n1, 5) (n2, 6) (n3, 7) (b, 1) (n1, 3) (n2, 4) (n3, 5) b : 7 a24 (b, 7) (n1, 2) (n2, 3) (n3, 4) (b, 5) (n1, 7) (n2, 1) (n3, 2) (b, 3) (n1, 5) (n2, 6) (n3, 7) (b, 1) (n1, 3) (n2, 4) (n3, 5) (b, 6) (n1, 1) (n2, 2) (n3, 3) (b, 4) (n1, 6) (n2, 7) (n3, 1) (b, 2) (n1, 4) (n2, 5) (n3, 6) Estas sequências de tabelas formam a sequência de calendários bissextos, cujo termo an da sequência bissexta está indicado em cada tabela. Desse modo, se a0, a1, a2, · · · , a27 é a sequência 5, 7, 1, · · · , 4; dado um ano qualquer, seu calendário está dado por algum termo an dessa sequência. Por exemplo, 2000, que é ano bissexto, é dado pela sequência bissexta cujo primeiro termo é a24 = 7, em relação à sequência bissexta, isso significa que 01/01/2000 foi um sábado(7). Nesse caso, sendo 2000 um bissexto secular, a tabela inicia-se com a sequência bissexta. 7