ÁLGEBRA LINEAR E G. A. - Sistemas Lineares, Exercícios de Cálculo para Engenheiros

Baixe ÁLGEBRA LINEAR E G. A. - Sistemas Lineares e outras Exercícios em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity! ALGELIN E GA - SISTEMAS LINEARES Profa. Ma. Irani Tirelli Conceito Do grego systema (sy significa ‘junto’ e sta, ‘permanecer’), sistema, em matemática, é o conjunto de equações que devem ser resolvidas ao mesmo tempo, ou seja, os resultados devem satisfazê- las simultaneamente. O sistema linear é formado por equações cujas incógnitas são elevadas ao expoente 1. A aplicação de sistemas lineares é fundamental na resolução de problemas que envolvem equações com muitas incógnitas. Problemas desse tipo se apresentam, por exemplo, na distribuição de energia elétrica, no gerenciamento das linhas de telecomunicações e na logística para transporte de mercadorias em uma região. Equações Lineares Seja o seguinte sistema: { 𝑥 + 𝑦 = 10 2𝑥 − 𝑦 = 2 Cada linha contida neste sistema é uma equação linear. Veja outros exemplos: a) 2x + 3y – 2z = 10 é uma equação linear de incógnitas x, y e z; b) x – 5y + z – 4t = 0 é uma equação linear de incógnitas x, y, z e t c) 4x – 3y = x + y + 1 é uma equação linear de incógnitas x e y De modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode ser escrita na forma geral: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b na qual: ▪ x1, x2, x3, ..., xn são incógnitas; ▪ a1, a2, a3, ..., an são números reais chamados coeficiente das incógnitas; ▪ b é o termo independente. Observação: As incógnitas x1, x2, x3,... geralmente aparecem como x, y, z, ... Pela definição, NÃO são equações lineares: a) xy = 10 b) x2 + y = 6 c) x2 – xy – yz + z2 = 1 Sistemas de Equações Lineares Chama-se sistema linear m x n o conjunto de m equações lineares em n incógnitas. Exemplos: a) { 2𝑥 + 3𝑦 = 7 𝑥 − 𝑦 = 1 Sistema linear de duas equações e duas incógnitas, onde x e y são as incógnitas e 7 e 1 são os termos independentes. b) { 3𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −7 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 3 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 12 É um sistema linear 3 x 3 (3 equações e 3 incógnitas) nas incógnitas x, y, z Genericamente, um sistema linear de m equações e n incógnitas, também indicado por sistema linear m x n, é representado por um conjunto de equações lineares do tipo: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = c1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = c2 a3x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = c3 . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = cm Solução de um sistema linear Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear. Exemplo: { 2𝑥 + 3𝑦 = 7 𝑥 − 𝑦 = 1 Veja que os valores que satisfazem as duas equações são x = 2 e y = 1. Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2,1). Observação: Geometricamente: ▪ Cada par ordenado (x, y) de números reais representa um ponto no plano. ▪ Cada terno ordenado (x, y, z) de números reais representa um ponto no espaço. Sistema linear homogêneo Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os coeficientes independentes nulos. Exemplo: { 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0 3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 0 2𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 0 Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0, ..., 0), chamada de solução trivial. Um sistema linear homogêneo pode ter outras soluções além da trivial. c) { 2𝑥 − 6𝑦 = 8 3𝑥 − 9𝑦 = 12 Ao resolver esse sistema, verificamos que 0y = 0 e, sendo assim, a incógnita y pode assumir qualquer valor real. Fazendo y = α, com α ∈ IR, e substituindo em uma das equações do sistema, encontramos x = 4 + 3 α. O par ordenado (4 + 3 α, α), com α ∈ IR, é a solução geral do sistema. Para cada valor de α, temos uma solução para o sistema, por exemplo: (7,1), (4,0), (1,-1), conforme α seja respectivamente 1, 0 ou -1. Dizemos que o sistema tem solução S = {4 + 3 α, α I α ∈ IR} e que ele é um sistema possível e indeterminado (tem infinitas soluções). Na representação geométrica desse sistema, verificamos que as retas são coincidentes indicando que existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema e, por isso, sistema possível e indeterminado. Determinado (a solução é única) possível (tem solução) Sistema Indeterminado (tem infinitas soluções) Impossível - não tem solução Assim, Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única. Quando um sistema linear n x n é possível e determinado, o determinante D da matriz incompleta é diferente de zero. Exemplo: m=n=3 Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. b) possível e indeterminado, se D= Dx = Dy = Dz = ... = Dn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Exemplo: D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. c) impossível, não tem nenhuma solução. Quando um sistema linear n x n é impossível, o D=0 e Di é não nulo para, pelo menos, um i ∈ {1, 2, 3, ..., n} Exemplo: Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução. Resumindo ▪ Se o 0D , o sistema será SPD e, portanto, teremos uma única solução para o problema. ▪ Se o 0=D , sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele é SPI ou SI teremos que encontrar todos os iD ’s para saber se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. De que forma?  Se todos os iD forem iguais a 0, teremos um SPI  Se pelo menos um iD diferente de zero, teremos um SI. Sistemas equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo, dados os sistemas: e verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2. Propriedades a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. Por exemplo: e S1 ~ S2 b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo: S1 ~ S2 c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo: Dado { 𝑥 + 2𝑦 = 4 (𝐼) 𝑥 − 𝑦 = 1 (𝐼𝐼) , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos: S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas. Escalonamento de Sistema Linear Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. Quando isso ocorre, calculamos o grau de indeterminação do sistema, que é dado pela diferença entre o número de incógnitas e o número de equações. Nesse caso, o grau de indeterminação é igual a 1. Portanto, atribuímos um valor arbitrário 𝛼 (𝛼 ∈ IR) a uma das variáveis. Considerando o valor arbitrário 𝛼 (𝛼 ∈ IR) para a variável z, obtemos da 2ª equação o seguinte: - 3y + z = -2 ➔ - 3y + 𝛼 = -2 ➔ y = 𝛼+2 3 Substituindo y = 𝛼+2 3 e z = 𝛼 na 1ª equação, obtemos: X = − 4 𝛼+ 10 3 S = {( − 4 𝛼+ 10 3 , 𝛼+2 3 , 𝛼), 𝛼 ∈ IR} Observe que à varável z foi atribuído um valor arbitrário 𝛼 (𝛼 ∈ IR) que assume infinitos valores. Portanto, o sistema assume infinitas soluções, ou seja, o sistema é possível e indeterminado (SPI). EXERCÍCIOS 1-) Resolva os sistemas abaixo aplicando a Regra de Cramer: a) { 2𝑥 + 3𝑦 = 7 𝑥 − 𝑦 = 1 b) { 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −5 4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −1 c) { 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 −𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −3 2-) Classifique os sistemas abaixo em SPD, SPI ou SI a) { 4𝑥 − 𝑦 = 1 2𝑥 + 3𝑦 = 2 b) { 3𝑥 − 𝑦 = 1 6𝑥 − 2𝑦 = 2 c) { −2𝑥 + 8𝑦 = 3 𝑥 − 4𝑦 = 2 d) { 2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 0 5𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 −𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2 3-) Classificar os sistemas e encontrar a solução usando o processo de escalonamento: a) { 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 2 b) { 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −5 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 9 3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 8 c) { 2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = 0 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 3𝑥 − 2𝑦 − 12𝑧 = 0 d) { 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 5 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 0 e) { 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 8 2𝑦 + 𝑧 = 0 f) { 𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 0 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 8 𝑥 − 14 𝑦 = 0 g) { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 10 2𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 = 0 4-) Resolva a equação matricial 1 4 7 2 3 6 5 1 −1 𝑥 𝑦 𝑧 = 2 2 8