Algebra Linear - Matrizes, Sistemas de Equações Lineares, Esquemas de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Algebra Linear - Matrizes, Sistemas de Equações Lineares e outras Esquemas em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Álgebra Linear LIT Prof. Christina Waga Prof. Regina Freitas Versião 12 ÍNDICE MATRIZES Definição Igualdade Matrizes Especiais Operações com Matrizes Classificação de Matrizes Quadradas Operações Elementares Matriz Equivalente por Linha Matriz na Forma Escalonada Aplicações de Operações Elementares Exercicios Respostas Apêndice A — Determinante SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Definição Matrizes Associadas a um Sistema Linear Classificação de Sistemas Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R? Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no Rº Sistema Homogêneo Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes Exercicios Respostas ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Subespaço Vetorial Combinação Linear Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Vetores Linearmente Independentes e Dependentes Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Operações com Subespaços Vetoriais Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base Exercicios Respostas Apêndice B — Teoremas 24 24 25 25 26 28 37 39 40 41 42 43 44 45 46 47 50 51 54 55 Igualdade Duas matrizes de mesma ordem 4=(a,),w e B=(b;)m São iguais quando a, =b, para todo i=1,2,...,m e para todo j=1,2,...,n. Matrizes Especiais 1. Matriz Linha Uma matriz 4 é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: A=(a,)w Exemplo: (-8 3 4) 2. Matriz Coluna Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: 4=(a,) mx 3 Exemplo: | 9 1 3x1 3. Matriz Nula Uma matriz 4 é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, a; =0 para todo i=1,2,...,m e paratodo j=1,2,...,n. Notação: 0 mxn 000 Exemplo: 00 0)s 4. Matriz Quadrada Uma matriz 4 é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é m=n. A Ay An a, a a so. 4> | In 2 2n Notação: 4=(a,)aw = A A «Am Diagonal Principal: são os elementos da matriz 4 onde i=j paratodo i,j=1,2,..,n. Diagonal Secundária: são os elementos da matriz 4 onde i+ j=n+1 para todo i, j=1,2,...,n. Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz 4, denotado por WA. n mA=S ay =Ay tap + +Am k=1 2 34 Exemplo: 4=| 5 70 10 -1 9 x3 Elementos da diagonal principal: 2,7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4,7 e 10. mA=2+7+9=18 5. Matriz Diagonal Uma matriz quadrada 4 é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, a, =0 quando i 4 j para todo i, j=1,2,...,n. 200 Exemplo: /0 1 0 00 3)s 6. Matriz Identidade Uma matriz diagonal 4 é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal forem todos iguais a um. Notação: 1, 10 Exemplo: 1, = 01 2x2 7. Matriz Triangular Superior Uma matriz quadrada 4 é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, a, =0 quando i> j para todo i, j=1,2,...,n. 12 3 4 Exemplo: 05 6 7 00-10 00 0 -2 Juxa 8. Matriz Triangular Inferior Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, a, =0 quando i< j para todo i, j=1,2,...,n. 1 00 Exemplo: |4 80 7-3 0 x3 Operações com Matrizes 1. Adição Sejam 4=(a,) x e B=(b;)mw Matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma C= 4+B tal que C=(c,)mw € Cy=4;y +by para todo i=1,2,...,m e para todo j=1,2,...,n. Exemplos: 12 -1 -7 2. 1) Sejam A4= e B= 0-7 25 . 53 4 -4 05 5 . 1+0 2-7 —-1+25 1-5 1,5 Então 4+B= = . [54 3+0,5 4+5 ( 3,5 5) 2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em teais) respectivamente pelas seguintes matrizes. preço custo preço custo compra transporte compra transporte substância A(3 15 substância A(Ó 8 substância B/12 8 substância B/9 9 substância C| 5 2 substância C|3 5 Fomecedor 1 Fomecedor 2 A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias A, BeC é dada por: 9 23 2117 8 7 Propriedades da Operação de Adição Al. Associativa: para quaisquer matrizes 4, B e C de mesma ordem, (4+B)+C=A4+(B+C). A2. Comutativa: para quaisquer matrizes 4 e B de mesma ordem, A+ B=B+A. Dem.: Considere matrizes de ordem mxn, A+B=Ce B+4=D. cy=a;+b;=b;+a;=d, paratodo i=1,..,m e paratodo j=1,...,n. Assim, C=D. Logo, a operação de adição é comutativa. A3. Elemento Neutro: para toda matriz 4, 4+0,,, =0,y +Á=4. mn A4. Elemento Simétrico:para toda matriz 4 de ordem mxn existe uma matriz S de mesma ordem talque 4+8S=S+4=0,,,. Sendo 4=(a,) mn Notação: S=-A Assim, A+(-A)=(-4)+4=0,,,- Além disso, A+(-B)=A-B. tem-se S= (s; Dm = A) mn: AS. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, (A+ B)=trA+ trB. Dem: Considere as matrizes de ordem n. mA+B)=(a,+b)+..+(a, +ba)=(ay +... ta,)+(by +... +b, )=tr(4) + tr(B) M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes 4 e B de ordem mxp, para toda matriz C de ordem pxn e para toda matriz D de ordem /xm, (A+B)-C=A-C+B-:Ce D(A+B)=D-A+D-B. M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada 4 de ordem n, A-I,=1,-A=A M4. Para quaisquer matrizes quadradas 4 e B de mesma ordem, tr(A-B)=i(B- 4). MS. Para quaisquer matrizes quadradas 4 e B de mesma ordem e para todo keR, k(A-B)=(k-A)-B=A-(k-B) Mó. Para toda matriz quadrada 4 de ordem n, 4.0,,, =0,,, ' 4=0 xa nxn Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. Assim, A-B£B-A. Quando 4-B=B-A, diz-se que 4 e B são matrizes comutáveis, ou ainda que 4 e B são matrizes que comutam entre si. Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. Exemplos: D) Sejam as matrizes 4=(a,) a e B=(bj)so- A-B=C=(c,)» *(d;)so =D=BA. 2) Sejam as matrizes 4=(a,)»a € B=(b;)a- A-B=C=(c;),a e a matriz produto B- 4 não é definida. . 12 -10 3) Sejam 4= e B= . 3 4 12 14 -1 -2 A-B= * =B.A4 18 7/10 : 12 1-1 4) Sejam 4= e B= . -2 1 . 31 Assim, 4-B= =B.A. -13 Logo, as matrizes 4 e B comutam entre si. Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n. Aº= A!=A4 A =A-A ASA AM SAIA Toda matriz quadrada 4 comuta com qualquer potência natural de 4. Exemplos: . 13 1) Seja A= . ) Se 01 1 1 1 Então 42 =4-4= 3, 3. 6 . od1jlo1)lo1 12 2) Sejamo polinômio f(x)=x? +2x—11 e amatriz 4 “(a ;) Determinando o valor f(4): SfO)=2" +2x-11=xº 42x! —11xº HAS AA+4Z ANA = A 42.4 -1.1, 9 —4 1 2 10 9 —4 2 4 -1 0 00 HA)= +2- -11. = + + = -8 17 4-3 01 -8 17 8 -6 o 11 00 A matriz 4 é uma raiz do polinômio, já que f(4)=0,,. Matriz Idempotente Uma matriz quadrada A é idempotente quando 4? = 4. 2-1 1 Exemplo: Amatriz|-3 4 —3 | éidempotente. (Verifique!) -5 5-4 4. Transposição Seja a matriz 4=(a, ),x» define-se a matriz transposta B tal que B=(b,),xm E bj =Aj-istoé,é a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes. Notação: B= A Propriedades da Operação de Transposição T1. Involução: para toda matriz 4, (4')' = 4. T2. Para quaisquer matrizes 4 e B de mesma ordem, (4A+B)' =4'+B'. Dem.: Considere matrizes de ordem mxn,(A+B)' =C'=De A'+B'=E+F=G. d,=C;=a;+b;=e;+f;=8&y paratodo i=1,...,m e paratodo j=1,..,n. Assim, D=G. T3. Para toda matriz 4 e para todo escalar KER, (k- 4) =k- 4º. TA. Para toda matriz 4 de ordem mx p e para toda matriz B de ordem pxn, (A-B)'=B'.4'. T5. Para toda matriz quadrada 4, i(A)=trA. Classificação de Matrizes Quadradas 1. Matriz Simétrica Uma matriz quadrada 4 é denominada simétrica quando 4' = 4. -1 Exemplo:| 3 2 O -10 5 Os elementos da matriz dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. 2. Matriz Anti-simétrica Uma matriz quadrada 4 é denominada anti-simétrica quando 4º =-A. 0 3-1 Exemplo:|-3 0 7 1-7.0 Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal têm sinais contrários. 3. Matriz Invertível ou Não-singular Uma matriz quadrada 4 de ordem n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem tal que 4-B=B-A=T, . A matriz B é dita matriz inversa da matriz 4. Notação: B= 4" AAT=AT ASI, Exemplos: 25 3 -5 1) A matriz 13 é invertível e sua inversa é 19 pois: IEEE) 2 -1 2) Obtendo a matriz inversa da matriz 4= ( ) 0 Considere B = [; ') vt 2-1 - - Se 4:B=1, então [efe Zon ÍLO 1 0)ly t x z 01 2x-y=1 . x=0 Assim, 2z-1=0 z=1 1 Desta forma, B = 0 -12 Escalonamento por Linha de uma Matriz Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma escalonada: Exemplos: 123 1 2/3 1 2/3 D|4 5 6|ILeL+(AL|0 -3 -6|LeL+(CNL|O -3 -6 7189 7 89 0 -6 -12 1 2/3 Le L+(DL|0 -3 6 0 0 0 0 02 0 2 0 12 012 2) 030 L OL, 030 LL, +(IL, 0 -$ LE L+L 00 -6 0 12 0 02 0 2 00 2 00-13 00-13 0-13 00 012 fo 1) 012 É , 001 [0] 001 2 COL ly o 9 DLL, 0) MELACIL | 9 q 005 lo 05, 000 A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é aumentar o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha. Posto de uma Matriz O posto de uma matriz 4 pode ser obtido escalonando-se a matriz 4. O número de linhas não nulas após o escalonamento é o posto da matriz 4. Notação: P, Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois. Aplicações de Operações Elementares 1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n. Passo 1: Construir a matriz (A|1, ) de ordem nx2n. Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz (A|T,) de forma a transformar o bloco A na matriz identidade 1, . Caso seja possível, o bloco 1, terá sido transformado na matriz 47. Se não for possível transformar 4 em [, é porque a matriz 4 não é invertível. 122 -1.0 2 Exemplo: Seja 4=|3 1 0]. Amatriizinversaé 47 =| 3 1 -6|. 111 -2 —1 5 O) pa = wmn 1 oconíoconríoconv'o on awn onoornro 2100 122100 00 1 0|LEL+CILI]O -5 -6 -3 1 0]LEL+-DL 1001 11/1001 2 100 122100 -6-3 1 0|L6L]O 11-10 1|Le(CIL, 1101 0-5 -6-3 10 2 100 12 210 0 LO 10 -ILeEL+4I]O01L 110 -1|LEL+A-L -6-31 0 0000-1215 o-10 2 1000-102 LAO ALECDIOLIT 1 0-1 LEL+CL 1215 001-2-15 0-1 0/2 0 3 1-6 1-2 015 Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz 4 é equivalente por linha a matriz 1, . Desta forma, a sequência de operações elementares que reduz a matriz 4 na matriz T, , transforma a matriz 7 , Na matriz 47. 12 Exemplo: Considere a matriz 4= 03) A redução da matriz A à matriz identidade é: 12 1 12 10 03 2 sho 1 1 Lj +(-DL, 1 Aplicando em 1, a mesma segiência de operações: 2 10 1 10 1 -3 01 aah 0 1 1 L +(DL, 1 3 0 3 1 — Assim, a matriz 0 o é a inversa da matriz 4. wvI=HwWlo 2. Cálculo do Determinante A qualquer matriz quadrada 4 podemos associar um certo número real denominado determinante da matriz. Notação: det4ou I4 É importante observar que: a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz 4, seu determinante troca de sinal. b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de uma certa linha forem multiplicados por k. c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo L, <L, +k-L,. (Teorema de Jacobi). d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, 1espeitando-se as propriedades de determinantes acima. Exemplos: 0 15 0 15 1-23 1-2 3 1) del3 -6 9|=3del1 -2 3|=(c3)delO 1 5|=(-3delo 1 5 2 61 2 61 2 61 0 10 —5 1 —-2 3 (C3Ideo 1º 5|=(3):1:1:(-55)=165 0 0 55 23 -4 1 11 -2 -5 1 1-2 -5 md? O 003 = (cI)del 2 9053 = (Ide O 204 1 11 -2 -5 23 -4 1 0 1 o 11 01 2/3 01 2/3 0 1 2/3 1 1-2 —-5 11 -2 -5 11 -2 -5 det 0 1 o 11 = del O 1 o 11 = (ct)dei O 1 o 11 - 0 —2 4 7 00 4 29 00 2 —8 0 1 2/3 00 2 -8 00 4 29 11 -2 -5 11 -2 -5 01 o 1 01 o 11 (-2) det) 00 1-4 = (2) det 00 1-4 =(-2):1.1.1.45=-90 00 4 29 00 0 45 Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A. 3. Resolução de Sistemas Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes no próximo capítulo. 9 Gelato Delícia Suave Gelato [0,8 01 0,1 Delícia 0,4 0,5 01 Suave | 0,6 0,2 0,2 a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o refiigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas. 1 2 -4 24) Verifique sea matriz |-1 —1 | 5| é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa. 2 7-3 12 -1 25) Para que valores de a amatriz |O 1 1 | admite inversa? 11 a 13 0 26) Dada a matriz 4=|2 5 —1|. Indique a matriz (4] 1, ) e determine 47. 01 2 1 3 -3 27) Dadaamatriz 4! =|0 —1 2]. Indique a matriz 4. 1-2 1 111 28) Determinar o valor de a a fim de que amatriz |2 1 2 |sejainvertível. 12 a 1-2 4 301 29) Calcule o determinante das matrizes |2 -3 5Sjel 2 4 6 |: 4 6 -412 30) Sabendo que 4 é uma matriz quadrada de ordem n e que det 4=5, determine: a) det(3- 4) b) det 4! c) det(—-4) d) det 4? —1 5 31) Encontre todos os valores de a para os quais def? 0 F 0 a+ 12 Respostas 0,74 015 011 23)9)0,1e0,6 b)|0,58 031 011 0,68 0,20 012 Da=5,b=-3,c=4,d=1 se Mer -16 13 = ZE 24 mAt=| 4 54 -5 3 1 2 2 2 1-1 25) a+-2 9X= pa 1. 12 — 94-12 163 01 294!=| 4-2 -1 —2 1 1 10 8) ola 5) df 10) (; Ure R| 28) a 1 v x 70 21 27) 4= AR ola tato jo I ol vp vp 13) Sim, X= : 29) 0 e 24, respectivamente. 3 I)a) X=B!.47.C 30)a) 3" .5 b) X=(4") b)5 O) X=B c | 5 senfor par D)X=BA!.C-A —5 caso contrário )X=(4".B-A) d) 25 15) Sim. Sim. 3) a=loua=-3 17) b=2ec=-2 ou b=-2ec=2 Apêndice A - Determinante Permutações Seja um conjunto finito 4 qualquer, uma permutação em 4 é qualquer função bijetora f:4A54. Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem n! permutações possíveis. Exemplos: 1) Seja 4=(a,b) e as bijeções abaixo: A notação usual é: a b a b ab ba Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos 1eorganizados. 2) Seja 4= (12,3). 2 etêsdassa cá acisem A 2153)l1392 e 312 São tres das seis permutações possiveis em A. 3) Seja 4=(a,b,c,d). a boecdl), x ai é uma das 24 permutações possíveis. bcda Se 4 for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos - dentre os elementos reorganizados - “fora de ordem?” for par e é impar quando este número for impar. Exemplos: 1) Seja 4=€1,2,3) com a ordem numérica usual, isto é, 1<2<3. 129) (1293. ações 1 1239, 2 1 3)ºly 3 2 São permutaçõesimparese |, | , Jé par. 2) Seja 4=(a,b,c,d) com a ordem lexicográfica (alfabética) usual. a boecdl), = é uma permutação impar. bcda Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às impares o sinal negativo. 14 Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes: det 4=2.1.[0(-1)'*! det 4, + 4(-1)'2. det 4,]+ S(DUCDAD" det A, + 441)? det 4,]+ (3). LCD!" det 4, +04(-1)'2 det 4,] =2.1.(0.1/0]+ sn +0(-1)oh SAD. + 44 DO] + ou) 1 2 =21(-2)+ SCDOHCD1T=-4+1=-3 Propriedades Considere 4 e B matrizes quadradas de ordem ne ke R não nulo. DI. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então det 4=aa,,..A- A Ap co Am . . dy ma dem: Considere a matriz 4= n m O 0 a Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes, det4= 5 ay(-1) det 4, = ay (1) det 4, + a, (1) det 4, +... +a, (1) det 4, i=1 Im Gy «e don a; wa = ; 80 a Sal)" det A, eme a 0 0 am =anlan(-1)" det 4, +... ta (DT det A, my] As Gu e Ay au a, n-2 =aya, det ” =anan Dan det 4, ist o 0 a m =Gyaplas En det 4, +...+a,, (nr det Anon] =4n0» Am Corolários: i) det0,=0 ii) detI, =1 iii) Se 4 é uma matriz diagonal então det 4=a,a,,...a,, - D2. det 4=0, quando 4 possuir uma linha (ou coluna) nula. D3. det 4=0, quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais. DA. det(k- A)=k” .det 4 DS. det(4- B)=det 4: det B Dó. det 4= det 4 17 D7.Considere a matriz 4 e B a matriz obtida a partir de 4 por aplicação de operações elementares: a) Li; &L;: detB=-det 4 b)L; <klL;: detB=k-det 4 dem: Considere a matriz 4=| a, a, a Im Im e Im Fixando a linha i para o cálculo dos determinantes, det4=S a, (1) det A, ja Seja a matriz B=| ka, ka, ... ka, | obtida pela operação elementar L; <—kL;. derB = (ka, X-1)/ det4, =k- Da (1) det A, =k- det 4 Ja Ja c) Li Li+kL;: detB=det4 D8. 4 é uma matriz invertível se e somente se det 40. 1 det 4. DIO. Se 4 e B são matrizes semelhantes então det 4= det B. Dill. Se 4 é uma matriz ortogonal então det 4=+1. DS. Se 4 é uma matriz invertível então det 4! = Exercícios 1) Calcule o determinante usando permutações. 147 12 b|2 58 Dq ) 3 6 9 2) Calcule o determinante usando desenvolvimento de Laplace. 1 011 147 2 511 a|2 5 8/b) 3 -14 1 3 69 1 201 3) Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis. 123 x 1 1 a)|4 5 6|b|-11 x 78x x 1 -1 18 Definição Dados os números reais a,,a,,...,a,,b, com n>1,a equação a,-x,+a,:x,+..ta,:x,=b onde X1,X,+X, São variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis x,,X,,...,X, - Os números reais a,,a,,..a, são denominados coeficientes das variáveis x,,X,,.,X,, respectivamente, e b é denominado de termo independente. Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de m>1 equações lineares com n>1 variáveis, e é representado por: ax tap ++a, x, =D Ap MN tap, Futa, XxX, =D, 'm Com a,,b,eR, i=l,.,mej > Matrizes Associadas a um Sistema Linear Sistemas podem ser representados na forma matricial: In A Im x b, & Ay Am X |. b, Am Am Am ) An bm >>> — Cc X B Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos Independentes. Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial CX=B. Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema. AM M a, db 4= Ia Im GO, b; Am Im [E 19 11 Matriz de coeficientes lo |) Análise, P, =P. =n=2: Sistema Possível Determinado (SPD). x+y=1 Sistema equivalente | Substituindo o valor de y na primeira equação, tem-se x =—4. Logo a solução do sistema é descrita por S = ((-4,5)). Interpretando geometricamente: cada equação do sistema representa uma reta, estas retas se interceptam em um único ponto (—4,5) . x x-2y=-2 2) Dado o sistema: 2x-4y=-—4 . . 1-2 -2 Matriz ampliada: ( 2-4 - ] 1-2 -2 0.0 Matriz escalonada: 0 Análise, P, =P. =1<n=2: Sistema Possível Indeterminado (SPD). 1-2 Matriz de coeficientes: lo ) -2y=-2 Sistema equivalente *o4» 0y=0 A variável y está livre, podendo assumir qualquer valor real, e a variável x amarrada em função de y.istoé, x=2y-2. A solução do sistema é S=((x,y)eR? |x=2y-2)=((2y-2,7), ye RJ. Geometricamente, tem-se duas retas coincidentes, a equação 2x — 4y=-—4 é múltipla da equação x—2y=-2. Assim, as retas se interceptam em infinitos pontos. 27 +y=2 3) Dado o sistema *+ x+y=—3 11 2 Matriz ampliada . 11 -3 Matriz escalonada: La 2), 00 -5 11 Matriz de coeficientes lo 5) Análise, P,=2 41 = P.: Sistema Impossível. +7=2 +7=2 Sistema equivalente 2*> , Isto é, 2*> 0y=— 0=-5 A solução é S=D. Assim, se um sistema possui equações que representam retas paralelas, como no exemplo, uma solução é impossível, pois não há ponto de interseção entre retas paralelas. Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações, tem-se o seguinte quadro: Retas Classificação do Sistema Concorrentes Possível e Determinado Coincidentes Possível e Indeterminado Paralelas Impossível Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no Rº O conjunto de todos as triplas de números reais é designado por R* = f(x,y,z)|xe R, ye Reze R). Geometricamente tem-se o espaço Rº, descrito por três eixos, eixo X, eixo Y e eixo Z, que são perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto (0,0,0), denominado origem. 28 Exemplos: x+y+2=3 1) Considere o sistema 42y+z2=2 y+22=2 1113 11 1 Matriz ampliada |0 2 1 2], matriz escalonada |0 1 2 0122 00 —-3 11 1 01 2. 00 —-3 Análise, P, =P. =n=3: Sistema Possivel Determinado (SPD) . x+y+2=3 Sistema equivalente <y+2z=2 —32=-2 Sendo z +. fazendo-se as substituições: y -- ex = A solução do sistema é S = é 2,2) 2393 Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam no ponto E 3 2 | e matriz de coeficientes —2 22 >323 29 x-4y-32=2 4) Seja o sistema 43x —12y—-9z=6 x+y+z=1 1 -4 -32 1-4 -3 2 Matriz ampliada 3 —12 -9 6|, matriz escalonada | 0 1 4 -1|e matriz de 1 1 11 0 0 0 0 1-4 —-3 coeficientes [0 1 4]. 0 o 0 Análise, P, =P. =2<n=3: Sistema Possível Indeterminado (SPT). x—-4y-32=2 . . 4 1 Sistema equivalente 4 y + 5º =—s 02=0 A variável = está livre, o grau de liberdade é 1. As variáveis x e y estão ligadas à variável =, e irão =1-4z ex- 6-z assumir valores de acordo as relações y = 5 5 A solução é S= [62 ,==42,7)ze RJ. Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes que interceptam um terceiro. A interseção é uma teta. 32 x+y+z=-10 5) Seja o sistema 42x + y+z=-20 y+2z=-40 111 -10 111 -10 Matriz ampliada |2 1 1 —20], matriz escalonada |0 1 1 —40| e matriz de coeficientes 011 -40 0 0 0 -40 Soon om m on Análise, P,=3*P =2: Sistema Impossível (SI). x+y+z=-10 Sistema equivalente 4y+z =-—40 0z =-—40 A terceira equação é equivalente a 0=-—40, o que é impossível. A solução é S=(D. Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam dois a dois, isto é, sem solução comum. 33 x+y+z=10 6) Dado o sistema (x + y+z=20 x+y+2=30 111/10 111/10 Matriz ampliada |1 1 1 20], matriz escalonada [0 O O 10 11130 000 20 Som Soon Som Análise, P,=3%P, =1: Sistema Impossível (SI). x+y+z=10 Sistema equivalente 40y=10 02=20 As duas últimas equações são impossíveis. A solução é S=(9. Geometricamente, o sistema representa três planos paralelos. e matriz de coeficientes 34 Sistema Homogêneo E um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero. AX ta +ta, x, =0 A MHA MH +ta, x, =0 An MFA Eta, =0 A matriz de Termos Independentes B é a matriz nula, assim um sistema homogêneo é sempre possível, já que admite a solução trivial, isto é, S = ((0,0,...,0)). No entanto, um sistema possível pode ainda ser classificado como determinado ou indeterminado. Se o sistema é possível e determinado, a única solução é a trivial. Se o sistema é possível e indeterminado, outras soluções, além da trivial, existem. Exemplos: x+y-z=0 1) Seja o sistema 42x — y+2z=0 x+2y-z=0 1 1 -10 11-10 Matriz ampliada |2 —1 1 0 | matriz escalonada [0 1 O Q| e matriz de coeficientes 12-10 00 30 11 1 01 0]. 00 3 Análise, P, =P. =n=3: Sistema Possível Determinado (SPD). x+y-z=0 Sistema equivalente 4y=0 32=0 Este sistema só admite solução trivial. Assim, S = ((0,0,0)). x+y+2=0 2x-y-22=0 2) Seja o sistema Honda x-2y-32=0 6x-3y—-62=0 1 1 10 1110 -1-2 0 4 Matriz ampliada , matriz escalonada 0150 e matriz de coeficientes 1-2 -30 0000 6 -3 -6 0 0000 111 01 4 00 0) 000 Análise, P, =P. =2<n=3: Sistema Possível Indeterminado (SPT). 37 x+y+2=0 Sistema equivalente 4 y + 5 =0 02=0 A variável = está livre e as variáveis x e y estão amarradas. A solução do sistema é S = Kz-42,2)ze Rj) Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes O sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com m=n, pode ser representado pela equação matricial C- X = B, sendo C uma matriz quadrada de ordem n. Se a matriz C for invertível, isto é, existir a matriz inversa C”, significa que o sistema é possível e determinado. C-X=B C!(C.x)=C".B (C1.0)-X=C7.B 1, X=C".B X=C".B % Como X é uma matriz de ordem nx1, X = a =C'.B x, x+y+2z=1 Exemplo: Seja o sistema 42x — y+3z=0 —x+y-52=2 11 Nx 1 Aequaçãomatricial C.X=Bé| 2 -1 3||yF]0.. -1 1 -5]lz 2 1 3 2 5 5 5 AmatrizinversadamatizCé Cl=| -2 Sl. 5 qts am( Assim, |y|=|5 -2 -S|l0=| + =) ly -3 -a)leo) dos A solução do sistema é S = ((1,1,-1)). 38 Exercícios Utilizando o Método de Eliminação Gaussiana: x—-2y+42=2 1) Resolva o sistema 42x —3y +572=3. 3x-4y+62=7 x-2y-32=2 2) Indique a solução do sistema 44x — y—4z=1 , o posto da matriz ampliada e o posto da matriz de 2x+3y-22=5 coeficientes. 3) Um fabricante de objetos de cerâmica produz jarras e pratos decorativos. Cada jarra exige 16 minutos de modelagem, 8 minutos de polimento e 30 minutos de pintura. Cada prato decorativo necessita de 12 minutos de modelagem, 6 de polimento e 15 de pintura. Sabendo-se que são 1eservadas por semana 8 horas para modelagem, 4 horas para polimento e 13 horas para pintura, encontre a quantidade de cada tipo de objeto que deverá ser fabricada por semana, considerando-se a melhor utilização do tempo disponível para cada etapa. Jarras Pratos Decorativos Minutos Por Semana Modelagem 16 12 8.60 Polimento 8 6 4.60 Pintura 30 15 13.60 Considerando-se x como sendo a quantidade de jarras a serem produzidas por semana e y a quantidade de pratos decorativos, escreva o sistema de equações lineares que representa o problema e resolva-o. x+y-z=1 4) Determine os valores de a de modo que o sistema 42x +3y+az =3 seja: x+ay+32=2 a) SPD b) SPI c) SI x+2y+2z=a 6) Calcule os valores para a e b de modo que o sistema 43x +6y— 4z=4 seja SPI e resolva-o para x+by-62=1 estes valores. 7) Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema 2x+4y+2z=a 3x+6y+3z=b seja possível. —3x-4y-z=c 39 5) R com as operações abaixo não é um espaço vetorial. (x, y)+(2,0)=(x+2,0) (10,3) = (he, key) Não possui elemento neutro, pois: Seja 0, =(e,,e,) tal que (x,y) +(e,e,)=(x,7). Mas, (x,y) +(e,,e,)=(x+e,,0). Assim, (x,y)=(x+e,,0). Portanto, para todo ye R,y=0. Logo, não existe elemento neutro. Subespaço Vetorial Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não vazio Sc V com as seguintes propriedades: Subl. 0,ES. Sub2. Fechamento de S em relação à operação de Adição. Se ueSeve Sentão u+ves. Sub3. Fechamento de S em relação à operação de Multiplicação por Escalar SeueSekeRentão k-ve sS. Notação: S<V. Exemplos: 1) $=(x,0,0), xe RJ é um subespaço vetorial do Rê com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Um vetor u pertence ao subespaço S quando possui a 2' e 3 coordenadas iguais a zero. Verificando as propriedades de subespaço. 1.0,ES? Sim, (0,00) S. 2. Seue SeveSentãou+ve S? Sejam u=(x,,0,0)e Sev=(x,,0,0)€E S. Então u+v=(x, +x,,0,0)€ S. Logo, S é fechado sob a operação de adição de vetores. 3. SeueSekeRentão k-ue S? Seja u=(x,,0,0)€ S. Então k -u=(kx,,0,0)€ S. Logo, S é fechado sob a operação de multiplicação por escalar. O subespaço S poderia ser descrito ainda por f(x,y,2)e Rº |y=0ez=0). 2) O conjunto S=((x,7,2)eR*|x=0ey>2z) não é um subespaço vetorial do Rê com as operações usuais. 1. 0,€ S? Sim, (0,0,0) satisfaz as condições x=0e y 22. 2. SeueSeveSentãou+veS? Sejam u=(0,y,2)e Sev=(0,t,r)e S,com y>zet>r. 42 Então u+v=(0,y+t,z+r)e S,comy+t2z+r. 3. Seue SekeRentão k-ue S? Não. (Contra-exemplo) Sejam (0,4,-1)e Se-2€R. (-2)-(0,4,-1)=(0,-8,2)€ S, pois —8<2. 3) S=((x,7,2)€ R*|x= + 1) não é um subespaço do Rº, pois (0,0,0)€ S. O fato do vetor 0, pertencer ao conjunto S não implica que este seja um subespaço. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o próprio espaço V e o conjunto (0,), chamado subespaço nulo. Estes dois subespaços são denominados subespaços triviais de V e os demais subespaços próprios de V. Sejam os vetores v,,V,,..,V, EV. Um vetor weV está escrito como combinação linear dos vetores Vi5V25:V, quando existem k,,k,,...,k, ER tais que y=k,:vy+h, ev; +. th, DV, Exemplos: 1)0 vetor (-1-1) é uma combinação linear dos vetores (12)e (3,5), pois: (1-D=2:(1,2)+(-1)-(3,5) 2) O vetor (1,2,3) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,0,0) e (0,0,1), pois: k, -(1,0,0) +, -(0,0,)=(1,2,3) (*) (k,,0,0) + (0,0, k, ) = (1,2,3) (k,,0,k,) =(1,2,3) k=1 Assim, 40=2 k =3 O sistema é impossível. Logo não existem valores reais para k, ek, que satisfaçam a igualdade (*). 3) Determinando a “lei” que define (todos) os vetores que podem ser escritos como combinação linear de (1,0,0) e (0,0,1) . k, -(1,0,0) + A, -(0,0,1) = (x, y,2) (k,,0,0) + (0,0,k,) = (x, 7,2) (k,,0,k,) = (2,52) k=x Assim, 40=y k,=z O sistema é possível quando y=0 e para quaisquer x,zE R. Assim, ((x,7,2)€ R? |y=0) é o conjunto de todos os vetores escritos como combinação linear de (1,0,0) e (0,0,1) . Geometricamente, trata-se do plano XZ. 43 Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Sejam os vetores v,,V,,..,V, EV € [V,,V,»V,] O conjunto de todas as combinações lineares destes vetores. O conjunto [v,,v,,...,V,] é um subespaço vetorial de V, denominado subespaço vetorial gerado pelos vetores v,,V,,...,V,- O conjunto fv,,v,....,V,) é o conjunto gerador do subespaço [v,,V,,...,v,]. Exemplos: 1) O vetor (1,2)e R? gera o conjunto [(1,2)]= 4(x,2x), xe R>. k (12) = (2,7) (k,2k) = (x, 3) Assim, Dem O conjunto de todas as combinações lineares do vetor (1,2) é o conjunto de todos os seus múltiplos escalares. Geometricamente, [(1,2)] é uma reta definida pela equação y —-2x=0. 2) [1,10 (,2,D]=((0,7,2)€ Rº|x-y+2=0). ki (10) +h, (12,1) =(2, 7,2) (1,110) + (ko .2h,h,) = (20, 52) (ky + h,,ky +2k,,,)=(06,9,2) k+hk,=x Assim, 4h, +2k, =) k=2z 11 x 11 x Matriz ampliada |1 2 »y |ematrizescalonada [0 1 y-x 01:z 00 z-y+x Para se determinar os vetores que são combinações lineares de (1,1,0) e (1,2,1) é necessário que o sistema seja possível, isto é, x— y +z=0. Logo, [(1,1,0),(L2,D)]= ((x,7,2)€ Rº|x—-y+2=0)=((y—2,9,2),7,2€ RJ. Geometricamente, [(1,1,0), (1,2,1)] é um plano no R? com equação x— y+2z=0. 3) [(1,3),(4,2)]]=Rº. ki (,3)+%, (4,2)= (0,7) (dk, + 4k,,3k, +2k,) = (2,7) . k +4k, =x Assim, 3k +2h, =) 14 x 14 x Matriz ampliada e matriz escalonada 3x—» |. 32) 015 Como o sistema é possível e determinado, nenhuma condição deve ser satisfeita. Logo, [(L3),(4,2)]=R?. Espaço Vetorial Base Caônica Dimensão R (1) 1 R €(1,0),(0,1)) 2 Rº €(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) 4 Mat, (R) 1 0)f0 fo Nfo 0 4 o ojl1 ojo ojo 1 Polinômios com coeficientes reais de grau menor f1,x x? ) 3 ou igual a 2 2 Operações com Subespaços Vetoriais 1. Interseção Sejam S, e S, subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto interseção de S,eS,, SnS,=fveV|veS eve sS,), é também um subespaço vetorial de V. (Subl) 0,eS,N5,? 0,esS,poisS, <V. 0,EsS,,poisS, <V. Assim, 0, ES, NS,. (Sub2) Se ve S, NS, eueS, ns, então v+tueS, NS, ? veS,nsS, «. ves eves, ueS,NS, « uesS eues, Então, v+ueS, ev+ues,. Logo, v+ue S, NS. (Sub3) Se veS, NS, e keR então k:veS, NS, ? vES,NS, «. ves eves, Então, k-ve S, e k-ves,. Logo, k-ve S,NS,. Exemplos: 1) Sejam 8, = £(x,0,0), com xe RJ e S, =f(x,7,27)€ R* |y=x+2). S0nS,=(1,7,2)€Rº |(x,y,2)€ S, e(x,y,2)€ S,). y=0 Assim, 42=0 y=x+2 Logo, S,NsS, =((0,0,0)) Geometricamente, tem-se uma reta e um plano no R que se interceptam na origem. 2) Sejam S,=f(x,»,2)€R" |p=3x) e S,=((x,7,2)€R* |2x—y+37=0). SnS,=f(0,y,27)eRº'|y=3x e 2x-y+32=0). Assim, =32+7=0 2x-y+32=0 47 -3 100 EN 1-1 00 2-130 0 1-9 0 Logo, S, Ns, =((32,92,2),2E R), ouseja, SNS, =(z-(3,9,1),2E R). Geometricamente, a interseção é representada por uma reta que passa pelos pontos (0,0,0) e (39,1). 2. Soma Sejam S, e S, subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto soma de S,eS,, S +S,=fveV|v=s,+s,,coms E S,es,€ S,), é também um subespaço vetorial de V. Exemplos: 1) Sejam 8, =((x,0,0), xeRy e S,=f(x,y,7)€R" |p=x+2). S,+8,=((x,7,2)€R* |(x,7,2)=8, +5,,Coms,€ S,es,€ S,). Tem-se que, (x,0,0)E S, e (x,x+2,2)E S,, para quaisquer x,zE R. Mas, x-(1,0,0)E S, e x-(11,0)+2z-(0,Ll)e S,, para quaisquer x,zE R. Assim, ((1,0,0)) é base do subespaço 5, e ((1,1,0),(0,1,1)) é uma base do subespaço 5, . Então, (x,),7)€ 8, +S, quando (x,7,2)=k, -(1,0,0) +, -(1,1,0) +, -(0,1,1) . k+hk,=x Assim, 4h, +hk, =) kj=z Sistema possível, logo S, + 8, =Rº. 2) Sejam S,=f(x,y,z)€R'|x-y-1=0)e5S, =((0,0,7,0),2€ R). S+S, =(O,»20)€R'|(x,y,z,)=s,+s,,coms,€S,es,€S,). Tem-se que, (y+1,y,2,1)€ S, e (0,0,2,0)E S,, para quaisquer y,z,te R. Mas, y-(11,0,0)+2z-(0,0,1,0) +t-(1,0,0,1E S, e z-(0,0,1,0)e S,, para quaisquer y,z,te R. (x,»zt)ES,+S, quando (x,y,2,t)=k, -(1,1,0,0) +, -(0,0,1,0) +k, -(1,0,0,1) + k, -(0,0,1,0) kithk;=x k= Assim, JU?) kb +k,=2 k,=t 10 10% 10 10 x 1000» 01 01 z > 010 1/:z 00-10 y-x 00104 00 0 0 t+y-x Para que o sistema seja possível é necessário que t+ y — x=0. Então, S,+S, =((, ze R'|t+y-x=0). Seja V um espaço vetorial n-dimensional. Se $, e S, são subespaços de V então: dim(S, + S,)=dimsS, +dimS, — dim(S, N$,). Este resultado é conhecido como Teorema da Dimensão. 48 3. Soma Direta Sejam S, e S, subespaços do espaço vetorial real V. A soma de $, e S, é denominada soma direta quando S, NS, =(0,). Notação: S, OS, Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada Seja V é um espaço vetorial n-dimensional, qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V. Ao se escolher uma base para o espaço vetorial V, está-se adotando um sistema referencial no qual pode-se expressar qualquer vetor de V. Considere 4=(v,,v,,...,v,) CV uma base, qualquer vetor veV pode ser expresso de maneira única como combinação linear dos vetores da base 4, v=k vm th, cv, to tk, ev, onde k,,k,,...,k, € R são as coordenadas do vetor v em relação a base ordenada 4. k, k Notação: v, =(k,,k,»...,k,) e na forma matricial [v], =| ? k n Toda vez que a expressão “coordenadas em relação a uma base” é utilizada, uma base ordenada está sendo considerada. Exemplos: O vetor v= (1,2) pode ser escrito: 1) Considerando a base canônica do R?. (12)=1-(1,0)+2-(0,1) ou seja [v]= (>) 2) Considerando a base 4=((1,1),(-1,0)). (12)=k, (LD+k, (1,0) k—k =1 k, +0k, =2 Logo, k=2 e k,=1. Portanto, (1,2)=2-(LD)+1-(-1,0) e [v], = 1) Assim, | 49 8) O conjunto £(-1,2), (0,1), (3,1)) gera o R? 9) Determine a equação do plano gerado pelos vetores (—1,2,0),(0,1,2) e (-2,5,2) 10) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD. a) ((1,0,0),(1,3,5),(3,2,5)) b) ((1,2,-1),(0,0,1), (1,—2,3), (3,0,1)) e) ((1,2),(3,5), (D) d) €(1,0,2),(0,-1,3),(0,0,2)) e) 4(1,0,0,0),(1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)) 11) Mostre que se fu,v,wicV é LI então fu+v,u+w,v + wy também é um conjunto LI. 12) Complete com V(erdadeiro) ou F(also). ) T(1,2,0),(2,4,0) ] é um plano no Rê que passa pela origem. 3 [(1,2,0),(2,3,0) ] é um plano no Rº que passa pela origem. ) E7,5V25.5V, FEV é LD quando pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais. ) 4-1,2,3),(0,1,2),(-LLD) gera o Rº. ) O conjunto ((1,2,3),(0,0,0).(2,3,5)) é LI. ) Se fv,V53..,V, FEV é LI então qualquer um dos seus subconjuntos também é LI. ) Se todo subconjunto próprio de (v,,v,,...,V,) CV é LI então fv,,v,,...,v,) é LI ) [(1,2)] possui somente duas bases ((1,2)) e ((2,4)). ) ((1,0,4),(7,8,0)) é base de [(1,0,4),(7,8,0)]. ) Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu subespaço gerado. ) 4(3,5),(0,0)) é base do RZ H(2,3)(4,5).(7,9)) gera o Rº então ((2,3)(4,5)), ((2,3),(7,9)) e ((4,5)(7,9)) são bases do RZ, ) Se [v,,2,V;,v, ]=Rº então quaisquer três vetores deste conjunto formam uma base do Rº. ) Um conjunto com três vetores do R? é base do R?. ) Um conjunto com mais do que três vetores do Rº não será uma base do Rº. ) 4(1,2,3),(2,-1,3)) é base do RZ ) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. ) 42,3), (x, 7) é base do R? quando (x, y)€ [(2,3)]. ) Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e o conjunto fv,,v,...,V, 1) CV LI. ANA AA Então fv,,v,,...,V,.1+V) é base de V qualquer que seja o vetor ve V. ) Se dimV =n então qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V. ) ((0,1,2)(1,0,1)) gera R?. ) Todo conjunto gerador de um espaço vetorial V é uma base para V. ( ( ) Se S=[(10,-1),(2,13),(1,1,4)] então dim S =3. 13) Para que valores de k os vetores (1,2,0,k),(0,-1, k,1), (0,2,1,0) e (1,0,2,3k) geram um espaço tridimensional ? 14) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de Rº. a) (0, y,27)€Rº|x=2yez=3) b) ((x,y,27)eRº|x+2y-2=0) o) fx,y,27)eR'|p=0ex+2=0) 52 x+2y-2z2-t=0 15) Encontre uma base e a dimensão para o conjunto solução do sistema 4 2x+4y+z+1=0. x+2y+32+21=0 16) Mostre que a soma de subespaços é também um subespaço. 17) Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a soma é direta. a) S,=((x,y,;27)eR'|x-2y+2=0/ e 8, =((x,y,2)€ Rº |x+3y=0) b) 8 =((6,7,2)€R'|x=yje S,=((6,7,2)€Rº|x+y+2=0) 19) Sejam 8, = f(x,y,2)€ R*|y=0/ e 8, =[(-1,2,0),(3,L]. Determine S, NS, e S,+5,, indicando uma base e a dimensão em cada um dos casos. 20) Seja v=(1,2,3) e a base 4= ((1,0,3),(-1,7,5),(2,-1,6)). Indique [v],- 21) Considere A=((1,1,1),(0,2,3),(0,2,-1)) uma base para o R?, Encontre as coordenadas de v=(3,5,-2) em relação a esta base. 22) Seja 4=((-1,1,1,(0,2,3),(0,0,-1)) e (v) , =(-2,0,3). Determine v. 1 23) Sendo 4=((-3,-1),(2,0)) uma base para o R?e [v], = (5) Encontre: a) As coordenadas de v na base canônica. b) As coordenadas de v na base B = ((2,1),(L,5)). 12 24) Encontre as coordenadas do vetor v= 03 E Mat, (R) em relação à base E Sad) 25) Dadas as bases do Rº, 4=((-1,0,2),(0,1,0),(0,0,2)) e B = (0,0,1), (0,-2,1), (L,0,-1)>. a) Determine [I]4. -1 b) Considere [v], =| 2 |. Calcule [v],. 3 26) Considere as bases 4 = ((-3,0,3),(-3,2,—1), (1,6,—1)) e B = [(-6,-6,0),(-2,-6,4),(-2,-3,7)>. a) Achar a matriz mudança de base de B para 4. b) Dado v=(-5,8,-5), calcule [v], . 1-2 27) Seja []g “o ) e B=((1,-2),(2,0)). Determine a base 4. -3 53 12 28) Seja lo pa matriz mudança de base de B para 4. Determinar a base 4, sabendo que B=((1,-1),(0,1)). —1 29) Sabendo que 4=(fu,,u,jeB=tw,w,) são bases do R tais que: Dl, a | W=uU-u, € w, =2-u,—3-u,, determine [v],. 30) Considere A=((1,1,1),(0,2,3),(0,2,-1)) e B=((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1);. Determine as matrizes mudança de base. Respostas 1) Nenhum é espaço vetorial. 5 3) a)b)d) Não º o)e)f) Sim 20) [],=| 0 4) Não -2 5 1-D=1-02+(3)-(03) 21) (0), = 12) 6) Sim, k =-2ek,=5 D pO)=(-D- qu) +50) 2) v= Cio) , 9) 4x+2y-z=0 23 . b . 10) ade) LI ) a) [v] | |) Dk =|, bjo) LD 1 12) E,V,V,F,F,V,F,F,V,V, FVBEVF,V.V,E,V, 24) [ls = FF q 13) k=1ouk=—3 14) a) base: ((2,1,)1)Jedim=1 25) a) U]j = b) base: ((-2,1,0), (1,0,1)) e dim = 2 c) base : ((1,0,])edim=1 15) base : 4(-2,1,0,0),(—1,0,5,1)) dim=2 26) UU) = b) [vl; =|—1 = om I S vi np Son o ju | db) Dl, = aja tj sojo Fa o vota dos 1899) SNS, =((-3y,7,5y), ve RJ 27) A=((1,-2),(-8,4)) S,+8,=Rº 28) A=(L-D. (3.1) D) 8,84 = 10,929), ve R) 29) [olz [1] 8,+8S,=R Nenhum é soma direta. 19 8,N8,=((£2,0,7),ze R) 1141 base : ((7,0,2))edim=1 30) U]á=|0 -1 —1|e]Z=|- S+8,=Rº 1 3-1 base : £(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) e dim = 3 Bl o ss mm I St sm e a 54 29. 30. 31. 32. Para quaisquer subespaços vetoriais S e U de V, S+U é um subespaço vetorial de V. Seja S é um subespaço vetorial de V tal que S+(0,). Então dimS <dimV. Se V é a soma direta dos subespaços vetoriais S e U então todo vetor ve V é escrito de maneira única na forma v=s+u,com seS e ueU. Teorema da Dimensão Se SeU são subespaços vetoriais de V então dim(S +U)=dimS +dimU — dim(S AU). Corolário32. Seja S é um subespaço vetorial de V. Se dim S = dimV então S=V. 57 Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função T:V > W é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos: TLI1. Para quaisquer v,ue V, T(v+u)=T(v)+T(u). TL2. Paratodo veV e paratodo ke R, T(k-v)=k-T(v). Exemplos: DT:RºSR? (67) T(6, 9) =(-x,—9) Verificando os axiomas: TLI. T((x,)) + (2,8) =T(x,y) + T(z,t), para quaisquer (x,y), (z,)e R*? TO) +(2)=Te+zy+0)=(0+20),-(0+D)=(-x—2-y-1) TO, )+T(2,0)=(-x—))+(-2-0)=(-x—2-p—8) Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores. TL2. T(k -(x,)))=k-T(x,y), para todo (x, y)e R? e para todo ke R? T(k (1,7) = T (doc, dy) = (hoc), (10) = (kl), K(- 9) = k (x) =k-T(x,y) Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar. Considere v=(1,2) e u=(-1,3). T(W)=T(A,2)=(-1,-2) T()=T(-1,3)=(1,-3) T(v)+T(u)=(-1,-2) + (1-3)=(0,-5) T(v+u)=T((12)+(-1,3))=T(0,5)=(0,-5) TQ-wW=TO(2)=T(2,4)=(-2,-4)=2-(-1,-2)=2-T(12)=2-T(v) >< Y A y (x,y) x > x T > Te) |" DTIR' SR (6,72) 15 T(x, ,2) = (1,750) T é uma transformação linear (Verifique !) Esta transformação linear associa a cada vetor do R? sua projeção ortogonal sobre o plano XF. s8 &,y,2) »Y > + Y á Vá TG, y, 2-0, 0) x x A transformação linear T;:V —>W tal que v +5T;(v)=0, é denominada Transformação Nula. Seja a transformação linear T:V >W. Se os conjuntos V e W são iguais, V=W, então T é denominada um Operador Linear. O operador linear 1, :V >V tal que v +57, (v)=v é denominado Operador Identidade. As transformações lineares 7 :V — R são denominadas Funcionais Lineares. Operadores Lineares no Espaço Vetorial R? Reflexão em torno do eixo X: T(x,y)=(x,—)). Reflexão em torno do eixo Y: T(x,y)=(-x,)). Reflexão em tomo da origem: T(x,y)=(-x,-y). Y v+u Reflexão em tomo da reta x=y: T(x,y)=(»,x). Reflexão em torno dareta x=—y: T(x,y)=(-y,—x). 59 Seja T:Rº > Rº um operador linear tal que T(2,3)=(-1,5) e T(0,1)=(2,1). Como encontrar a lei que define este operador? Solução: £(2,3),(0,1)) é base para R? (Verifique!) Portanto, qualquer vetor ve R? pode ser escrito como combinação linear destes vetores. v=(x,7)=k, (2,3) +, (0,1) com k,,k,ER. =(2k,3k,) + (0,45) =(2k,,3k, +k,) Assim, x=2h, e y=3k +k,. 2y-3x “5 2 nr 3x Então, k, = ckh,= Logo, (x,7) =5(23) + (0). Aplicando o operador linear T(x,)) = (002 43x, ») =Í.7(23)+ 23% -T(01 3 (0,1) 42 qu) x 2 x 2 (5 x a ar-sç 20530) —7x+4y =| ,x+ Eae) —Tx+4 Logo, T(x,y) = [52 xe) Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Núcleo de uma transformação linear 7:V —>W é o conjunto de vetores do espaço vetorial V cuja imagem é o vetor 0,. Notação: N(T)=Ker(T)=fve V|T(v)=0,) Imagem de uma transformação linear 7:V —>W é o conjunto de vetores de W que são imagem dos vetores do conjunto V. Notação: Im(T) = T(V) = fwe W|T(v) = w, paraalgumve V) T 62 Propriedades 1. N(T) é um subespaço vetorial de V. 2. Im(T) é um subespaço vetorial de W. 3. Teorema do Núcleo e da Imagem : dim V = dim N(T) + dim Im(T) Exemplo: Seja T:R? >Rº tal que T(x,y)=(0,x+ 7,0). N(T)=t(x,9)e Rº | T(x, 3) =(0,0,0)). Então, T(x, y)=(0,x + ,0) = (0,0,0). Assim, x+y=0..x=—». Portanto, N(T)=((x,9)e Rº |x=-y)=((-7,)), ye RJ. Uma base é f(-1,1)) e dim N(T)=1. Representação gráfica, Im(T)=(T (x,y) = (0,x+ »,0), para todo (x, y)e R?) Uma base para o conjunto imagem é ((0,1,0); e dimIm(T)=1. Y Z R Y: In(7) x Observe que, dimR? =dim N(T) + dim Im(T), (2=1+1). 63 Transformação Linear Injetora Uma transformação linear T:V->W é injetora, se para quaisquer v,ueV, se vu então T(v) £T(u). O que é equivalente a, se T(v)=T(u) então v=u. Exemplo: 1) A transformação linear T:Rº? > Rº tal que T(x,y)=(x,),x +) é injetora. Sejam (x,y), (z,)€ R?. Se T(x,y)=T(z, 0), yx+y)=(2,t,2+0). Xx=Z Então 4y=t x+y=z+t Logo, (x,y) = (2,1). 2) Seja o operador linear no Rê tal que T(x,y,2) = (x,0,0), que associa a cada vetor sua projeção ortogonal no eixo X. Considere os vetores (2,1,3) e (2,0,-4). Assim, T(2,1,3) = T(2,0,-4) =(2,0,0) . Então, T não é injetora, pois T(v)=T(u) com vu. Teorema: Uma transformação T:V —>W é injetora se e somente se N(T)=(0,). Assim, basta verificar se N(T)=(0,) para garantir que uma transformação linear 7 é injetora. Exemplo: Seja o operador linear em no R? tal que T(x,)=(2x,x + )) é injetora, pois: NT) = (1,9) Rº | T(x,))=(0,0)) = (x, 9)e Rº |(2x,x+ 7) =(0,0)). 2x=0 x+y=0 Então, N(T) = €(0,0)). Assim, | Transformação Linear Sobrejetora Uma transformação linear T:V —>W é sobrejetora se o conjunto imagem de T é o conjunto IV, isto é, Im(T)=W . Exemplo: O operador linear em R? do exemplo anterior é injetor. Então, dim N(T)=0. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dimR? = dim N(T) + dim Im(T) . Assim, 2=0+ dim Im(T) .. dim Im(T)=2. Logo, In(T)=Rº. 10 Então, [T]$=|0 1). 11 Por exemplo, [(2,3)], = (5) DN, Obtém-se, [T(2,3], =[(239, =|3 |=)0 1 (5) s)lua Sejam as bases não canônicas 4=((1, e 5)y e B= dO 2,0), (2,-3,1), (0,—1,1)3. Assim, T(L2)=(1,2,3)=2- (20) +-5: (2, 3D+5 -(0,-1,1) e T(Q,5)=(3,5,8)= e -(1,2,0) + (— 5 “(Q3D+ - -(0,-1,1). ja 2 Então, [7] =| — Por exemplo, [(2,3)], = [ |) [) ja 5 Obtém-se, [7(2,3)], =[(2,3,5)], =| — sta st I afã ola “| . I ENLR H I dE lo dl As matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço vetorial R? em relação à base canônica. F E Dl, 7 E Reflexão em torno do eixo X x = Dilatação ou Contração de fator k na direção do x kx vetor y kw Cisalhamento na direção do eixo Y x x b kr+y Rotação cos0 — seng). xcos0 — ysenô sen6 cos0 xsenO + ycos6 67 Operações com Transformações Lineares 1. Adição Sejam T:V>WeT,:V»W transformações lineares. Define-se a adição de T, com T, como sendo a transformação linear: (T+T):V SW VA +DIM=10+T0) Matricialmente, [T, + 7,1% =[7,]4 +[7, ]) , onde A é uma base de V e B uma base de IV. Exemplo: Sejam T:Rº>Rº tal que T(x,y,27)=(x27,7) e T:RºSRº tal que T(x,),2)=(0,0,2) . A transformação soma é (T, +T,):Rº >Rº talque (T+T,Xx,y,2)=(2x,27,22). 100 000 100 Ainda, [7]=|0 2 0], [7,]=|0 0 Ole [7,+7,]=|0 2 O | em relação a base canônica 001 001 002 do Rº. 2. Multiplicação por Escalar Sejam T:V —>W uma transformação linear e ke R um escalar. Define-se a transformação linear produto de 7 pelo escalar k como sendo: K-TD:V SW vi (k-Tv)=k-T(v) Matricialmente, [k -T]i =k-[T]j , onde A é uma base de V e B é uma base de IV. 12 Exemplo: Seja [7]=|0 1I|ek=2. 30 Então, T(x,y)=(x+2y,7,3x) e (2-T)(x,y)=(2x +47,27,6x). 2 4 Ainda, [2-T]=]0 2 |=2-[7] 60 3. Composição Sejam T:V5UeT,:U-»W transformações lineares. Define-se a composta de T, com T, como sendo a transformação linear: (GºT):V oW VT eTM=T TO) Matricialmente, [7, o T, Já =[7,]2 - [7,1 . onde 4 é uma base de V, B é uma base de U e C é uma base de IV. 68 Exemplo: Sejam os operadores lineares no R?, T(x,))=(2x+),—)) e D(x,))=(2);-x+3)). (Te TO) =T(T 0,7) = Oy, +37 OQ) + (x +39); x +39) =(-x+79,x—3y) (To TD =T TO) =T, Cx +, (My) + 9) +39) = (29,22 — 4) x a 2 1 02 Com relação a base canônica: [7,]= 0-1 elT,]= 13!) Assim, [T eT1=[? nto 20 (= Nem eri=| * 21[2 Do 0-2 menl=|o alla a Fl os [elmeni=[ so alo cal Propriedades de Transformações Invertíveis Sejam T:V SW, T:V>WeT,:W >5U transformações lineares invertíveis e ke R,k £0. LAT)! =T 2 (KT)! =k.To 3 (Gon)!=1"e7” Exercícios 1) Verificar se as transformações são lineares: T:R' SR a) GD TO, ,2)=(102,+2) T:R' SR? (1,705 T(x,y,2)= (4,27) T:R'SR? Cy) T(,y)=(x+a,y+b), abe R-(0) T:R* SR d , Gy) T(x,y,2)=x—3y+1 T:R'S5R E) TE )=| 2) Para que valores de ke R a transformação no Rº tal que T(x,y,2)=(2x+3k, y,3z) é linear? 3) Seja Mat, (R) O espaço vetorial das matrizes quadradas nxn sobre Re Me Mat matriz arbitrária qualquer. A transformação T : Mat, (R) > Mat,,, (R) tal que T(A)=4-M+M-A élinear? (R) uma nn 4) Sejam v=(0,1),u=(1,0),t=(2,1) e w=(1,2) e T:R? >Rº tal que T(x,y)=(2x,2y), que define a dilatação de fator 2 na direção do vetor. Represente v,u,t,w,T(v), T(u), T(t) e T(w) em um sistema de eixos cartesianos. s9 —1 b) Use a matriz para calcular [T(v)], onde [v], [ 5) 23) Seja T a transformação linear associada a matriz | 3 0|. a) Qual a lei que define 7? b) Determine o núcleo de T e uma base para N(T). c) Determine a imagem de T e uma base para Im(T). 24) Seja a transformação linear T:Rº* >R? tal que T(x,y,2)=(2x— y +32,4x+2y +32). a) Considerando A e B as bases canônicas do R? e do R?, encontre rk . b) Considerando 4=((1,1,0), (0,11), (1,0,1)) uma base do Rê e B=((1,1),(1,-1); uma base do R?, encontre rg . 25) Seja a transformação linear T:Rº > Rº tal que T(x,y)=(2x + ,,x +). Encontre: a) A matriz de T em relação a base canônica b) A matriz de T em relação as bases 4= ((1,-2),(0,1)) e B=((1,0,0),(0,2,1),(0,0,3)>. 2-1 26) Considere [T];=| 1 O | onde 4=((1,0),(-L1)) e B=((1,2,3),(0,-1,1),(0,0,2)). Encontre as o 2 coordenadas de [T(v)], sabendo que as coordenadas de v em relação à base canônica do Rº são —1 5) 27) Sabendo que a transformação linear T;:R? >R?”, cuja matriz em relação à base canônica é cos0 —senQ (imo cos ) aplicada a um vetor [v] = N indica a rotação do vetor v de um ângulo 0 . y cos0 —senô Assim, [T,]= []. Utilizando a matriz de rotação, determine o vértice C = (x,y) de um triângulo retângulo e isósceles em 4, onde 4=(2,1) e B=(5,3). senO cos0 -2 0 0 28)Seja| O 1 O |a matriz associada a um operador T em relação à base ((1,0,1),(0,-1,1), (0,0,1)). 002 Determine a lei de 7. 72 Respostas 1)b) Sim 2)k=0 3) Sim 3 5 5) T(LI) -[) e T(34)= [1] x+2y T(x,y) 3» 6) Tx, y)=(-2,9) e T(-2,-3)= (2,53) 7) T(x,y.2)=(2x+3y—42,4x+5y — 82) 8)a) T(x,y,z)=(3x—- y—24x—y—2) b) 4(1,6-2,7),ze R) (0,77), ye R$ 9) a) N(T)=((2,-22,2),2E R) Im(T)=R? b) N(T) = €(0,0)) Im(T) = f(x,7,2)€ Rº |-5x+4y+32=0) Da) TH, )=(-7,2) b) 17 =1, c) Dtsnz0=f; :) y x 14) a) T(x,y,7) =) db) MTM) =((G,,0),7€ R base N(T): (1,3,0)) dimN(T)=1 o) Im(7)=Rº base Im(T): £(1,0), (0,1) dimIm(7)=2 d) Não, pois 7 não é injetora. 110 o tmi= 0 1) -2 5 6 b) [TIS = JUI=[ 15 5 —7 9 TO, a ;) ) 16)a) (S+Tx,y)=(2x+27,47) db) (2:S+4-TYx,y)=(6x+4y,14y) 0) (So Tx, y)=(x+6737) d) (So SXx,y)=(x+47,7) 19)a) T(x,y)=(2x,4x,-4y) b) T(-2,1)=(-4,-8,-4) -3 11 20) 9 [T],=| 3 3 3 2-3 -4 1 bITA,O,-Dl,=| 3 -—5 21) a) base N(T): f(0,1,0)) b) base Im(T): ((1,3,2),(2,-1,0)) c) Nem injetora nem sobrejetora. 1 2 4 d) [71,=|0 3 1-5 0 5 vp —m O vu “> S Ss a = = s NH DD O sta O NJ > 229) [TX + 23)a) T(x,y)=(-x+2y,3x,2x +) db) N(T) =(0,0)3 Im(T)=((x,7,2)E R*|3x+5y—62=0) base Im(T): ((-1,3,2), (2,0,1)) 2-13 24)a) ru =[ 4 ] -1 0 297 (Wl, =| 1 9 wo b) [7] [ 25)a) [7] = on asp m N—— 1 0 1 or =|-1 1 0 4 27) C=(0,4) ou C=(4,-2) 28) T(x,y,2)=(-2x,7,4x+ y +22) 73 Apêndice C — Teoremas Considere T:V —>W uma transformação linear. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. T(0,)=0p. Para quaisquer v,,V,,...,V, €V e para quaisquer k,,k,,...,k, ER, Th vth vm +ttk, v)=kTOD)+hk, -T(y)+..+k, -T(v,). Corolário34. Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear T:V > VW. Para quaisquer vue V, T(-v)=-T(v) eT(v-uW)=T(v)-T(u). Seja S um subespaço vetorial do espaço vetorial V. Então T(S) = (we W |existese S tal que T(s) = w) é um subespaço vetorial do espaço IV. N(T) é um subespaço vetorial de V. Im(T) é um subespaço vetorial de W. Teorema do Núcleo e da Imagem. dimV = dim N(T) + dim Im(T) . T é uma transformação linear injetora se e somente se N(T)=(0,). Seja T uma transformação linear injetora e (v,,v,,...,V,) EV um conjunto de vetores linearmente independente. Então o conjunto (4T(v),T(v,)..sT(v,)D)cW também é linearmente independente. Se T é uma transformação linear injetora e dimV = dimW então T é sobrejetora. T é bijetora se e somente se for invertível. Considere (v,,V,,..sV,) CV. Se [v,,V;.,V, ]=V então [T(v)), T(v,),...,T(v,)]= Im(T). Considere T,T':V SW e RGR':W SU transformações lineares. 45. 46. A transformação composta (RoT):V >U tal que (RoT)(v)=R(T(v)) é linear. Sejam T e R bijetoras. Então i) a transformação inversa T! :W —»V élinear. ii) (Ty! =T iii) (k-T)! = TO iv) (RoT)! =TTo RT 74 Angulo entre dois Vetores Seja V um espaço vetorial munido com um produto interno. O ângulo 6 entre dois vetores v,ue V é tal que cos0 = (ou) com 0<0<7. Ill Ortogonalidade Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Dois vetores vue V são denominados vetores ortogonais quando (v,u) =0. Notação: vly Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e o conjunto 4=fv,,...,v,JCV. O conjunto 4 é dito conjunto ortogonal quando (v,,v,) =0, para todo i,j=1,..,n, itj. Se em um conjunto ortogonal todos os vetores são unitários o conjunto é denomindado conjunto ortonormal. Desta forma, se uma base do espaço vetorial for um conjunto ortogonal, será denominada base ortogonal. Uma base ortogonal formada por vetores unitários é chamada base ortonormal. Exemplo: O conjunto f(1,2,0),(2,-1,3),(-6,3,5)) é ortogonal em relação ao produto interno usual. Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeção de um Vetor sobre um Subespaço. O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt resolve o problema de a partir de uma base qualquer de um espaço vetorial, obter uma base ortogonal. O processo será apresentado para os espaços vetoriais do RÊe R, e, finalmente, generalizado. 2 e Processo no espaço R' Considere 4 = fv,,v,) uma base de R?. Sejam w =v eu, =v,—ku. Assim, (u,,4,) = 0 isto é, o vetor u,, obtido em função de v, e v,, é ortogonal ao vetor u,. Interpretação geométrica: u =), u, ku, 77 O escalar ke R étal que: (u,,u,)=0 (ty —ku,,u)=0 (vast) — (ans) = 0 (atu) — (ans) = 0 (rot) uu) =0 = Lei (st) : (vast) Logo, B=(uw,,u,) é uma base ortogonal com u, =v e u,=v,—kuy =V, uu) UU, O vetor ku, é a projeção ortogonal do vetor v, no subespaço vetorial gerado pelo vetor u,. = Crou), (uu) PrOjqu va = km, Exemplo: Ortogonalizando a base f(1,2),(3,5)y pelo processo de Gram-Schmidt. u =v,=(1,2) 2 mm) o CH nuno Bin 2 u =v, Quçu) um =(35) (0,2),0,2) (1,2) = (3,5) 5 1,2) = É ; 5) Assim o conjunto 11,2), 6,1) é uma base ortogonal do R?. O vetor ku, = (1,2) = (É 26) é a projeção ortogonal do vetor (3,5) no subespaço vetorial [(1,2)] e Processo no espaço Rº Seja 4=v,,v,,V;) uma base do R?. sy) u. Cansun) O vetor u, é obtido em função dos vetores v,,v, e v; e ortogonal tanto ao vetor w, quanto ao vetor u,. Assim, us =V; —(k cu +k, -u,) com (u,,u,)=0 e (u,,u,)=0. Interpretação geométrica para esta situação: Sejam os vetores u, =v, eu, =V, 78 O escalar k E R étal que: (u,,u,)=0 (95 (im +, 0) =0 (v;— ku, —ku,,u,))=0 (su) — kun, u) — ko Xu,s4) = 0 Mas, u Lu, «.tu,,u,))=0 Va (oct) = has) = 02d = Cet (uu) O escalar k, E R é tal que: (u,,u,)=0 Cv; — (ku, +k,u,),u,) = 0 (95 =k, —ktt,sa,) =0 (suo) — ki Xusu,) — ko tu,,u,)=0 Mas, u Lu, «.tu,,u,)=0 Csrt,) (vu) — ko (5,45) = 0. k, =—20 (uz,u,) Então, u, =v, = Cast) UW=Vi0 q (up) VysU VysU us =; — ku — ku us E) As jeto) 2 (uu) (u,,u,) - 4 3 - - (vast) Logo, B=(uw,u,,u;; é uma base ortogonal do Rº, com uw=v, u=v, Qua) UU, VasU Vas um =v; ki — ku, =v; — Lent) 1 — Lanto) 2º Qu) asus) O vetor ku, +k,u, é à projeção ortogonal do vetor v, no subespaço vetorial gerado pelos vetores u, eu. Gatto) Prim ms = Kit + dota = "7 “) Quçao,) 91h alo e Generalização Seja 4=(v,,v,,...,V,) uma base de um espaço vetorial V n-dimensional munido de um produto interno. Considere os vetores: u=v, nov Cata), 2— 1 (uu) u.= tn) —astiy) 3 *3 1 2 Gu) uau) RUE REL) o (asp) 1 20 - CO Quem) (uasuo) QugtoUpa) O 79 11) Normalize o conjunto ((1,2,0), (2,-1,3),(-6,3,5)). 12) Verifique se as bases abaixo são ortogonais no R? e no Rº, respectivamente, para o produto interno usual. a) t(1,2),(3,5)) b (5655655) 3 33433 30333 13) Encontre um vetor unitário no R? que seja ortogonal aos vetores (1,-1,0) e (2,-1,1). 14) Seja V um espaço vetorial euclidiano. Mostre que se vue V são ortogonais e tais que Iv] = lee) =1 então Iv — ul =2. 15) Ortogonalize a base £(1,1,2),(1,2,0), (0,-1,1)) do Rº. 16) O conjunto 4=((1,0,2), (0,11); é uma base de um subespaço vetorial do R?. Obtenha uma base ortogonal B a partir de 4. 17) Encontre a projeção ortogonal do vetor (1,1,-1) no subespaço vetorial [B] do exercício anterior. 18) Seja S=((3y —2,,2),),2€ R) um subespaço vetorial do Rº. Indique St, SnSi e S+ 8%. 19) A partir da base ((1,3),(2,5)) indique duas bases ortonormais do R?. 20) Ortogonalize pelo processo de Gram-Schmidt as seguintes bases do Rº. a) (LD, (-11,0),(,2,1)) db) €(1,0,0),(3,7,-2), (0,4,1)) 21) Seja o espaço vetorial Ré munido do produto interno usual e seja S o subespaço vetorial gerado pela base ortogonal B = f(0,1,0),(-4,0,3)) . Determine a projeção do vetor (1,1,1) no subespaço 5. 22) Seja o espaço vetorial Rê com o produto intemo (x, y,2), (w,t,1)) = xw + 2yt+3zr. Utilize o processo de Gram-Schmidt para transformar a base f(1,1,1), (1,0), (1,0,0)) numa base ortogonal. 23) Seja o espaço vetorial Ré munido do produto intemo usual e 4= £(1,2,-3,),(2,-4,2)) . Determine: a) o subespaço vetorial S gerado pelo conjunto 4. b) o subespaço vetorial +. 24) Considere o subespaço vetorial S=((x,y,7)ERº|x-z=0) com o produto interno (x, 7,2), (W,t,r)) = 2xw + 3 pt + 42r . Determine S+, uma base e sua dimensão. 25) Considere o espaço vetorial Mat,(R) com as operações usuais. Verifique se a função (4,B) =tr(A-B”) define um produto interno. 82 Respostas 2) a) 30 b) JE 3a) 5 Db)4 4)a=+2 6) a=tê 7) d(v,u)=d(u,v)= 13 8) 8=arccos(- + 1D 15 ADC 5 E 2) 15) ((1,1,2),G,3,—D, Gr, > 2)) + + ab —— 16) ((1,0,2),(-3,1,3)) 17) Proj = (4,11) 18)a) 8º =((2,-37.20).2€RJD) (04) 0) Rº 19) fi de cp ME 1) 20) a) (LLDMCLLO(G,4—)) b) ((1,0,0),(0,7,-2),(0,33,55)) 21) Proj = [E — 3) 2 (01,675 (3,—3.0)) 23)9) S=((x,y,27)€ Rº |x+y+272=0) b) St =((2,7,7),2E R) 24) 8! =[(-22,0,7),2€ R) base : ((-2,0, D)) dims!=1 83 Apêndice D — Teoremas Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Para quaisquer vu, we V e kk,h€ER. 51. (vkuj= k(vu). CorolárioS1. (kw kuj= kk4 52. (vu+w)=(vu)+(vw). 53. (,0,)=0 54. Paratodoue V,u £0,, se (v,u)=0 então v=0,. SS. (vu, w)= (vw)= (u,w). 56. Para todo ue V,u 0,, se (v,u)=(w,u) então v=w. 57. Iyjzo e Ibjl=0 se e somente se v=0,. Desigualdade Triangular: |v + us |v+ |'1]- 58. |pevlj= [e]: |jv/|. Desigualdade de Cauchy-Schwarz: Kv, w)| < Iv] Joe). Corolário: (v,u)? <(v,vXu,u), isto é, (v,u)? < Jia )vj” 59. 1) d(vu)>0 e d(v,u)=0 see somente se v=u i) d(y,u)=d(u,v). ii) d(v,u)< d(v,w)+d(w,u). 60.) 0,1v ii) Sev Lu entãou Lv. iii) Se v Lu,paratodo ueV,u 0, então v=0,. iv) Sevlweulw então v+ulw. v) Sev Lu então kviw. Generalização do Teorema de Pitágoras: Se v Lu então pray = |yP +uf . 61. Se fv,...,v,) é um conjunto ortogonal de vetores não nulos então fv,...,v,) é um conjunto linearmente independente. 62. Seja S<V, (v,...,v,) uma base de Se ve V tal que para todo i=1,...,r, v 1 v, então para todo seS,vls. A = 4 =-1 Logo, À, =3 e À, =-1 são os autovalores do operador linear T. de([T]-=A1,)=0:.(3-AXC1-2)=0-. | Tendo encontrado os autovalores 2,, com I<i<dimV. Os autovetores são os vetores ve V,v 0, tais que (T-11,)(v)=0,. Considere uma base 4 para o espaço vetorial V e a equação matricial ([7], —41,)-[v],=0 onde nx]? 0, é a matriz nula de ordem nx1. Substituindo cada autovalor 4, encontrado na equação matricial, obtém-se um sistema de equações lineares. Resolvendo-se cada um destes sistemas, os autovetores associados a cada um do autovalores são obtidos, e, consequentemente, os autoespaços V, . Exemplo: Seja T:R? >Rº” tal que T(x,y)=(3x,8x — y) com autovalores 4, =3 e À, =-1 ea base canônica do R?. Para À, =3: ([7]-31,)-[V]= 0, [tao le aloe dh Para À, =—1: ([TI-(-DI,)-[v]=0,a ls = bo Deo o) Hb tcaemo Multiplicidade de Autovalores Sejam V um espaço vetorial, 7 um operador linear em Ve 2,ER, com I<i<dimV, um autovalor deste operador. O múmero de vezes que (A-—,) aparece como um fator do polinômio característico de T é denominado de multiplicidade algébrica de 2,, denotado por m, (4,). A dimensão do autoespaço V, é denominada a multiplicidade geométrica de 2,, denotado por mA). Exemplos: Considerando a base canônica do Rº. D T:Rº SR tal que T(x,y,2)=(4x+27+22,2x+4y+22,2x+2y+42) 422 44 2/02 [7]=|2 4 2)e [7]-AL)=| 2 4-4 2 224 2 2 4-2 de[T]-41,)=0..42-1222+36A-32=0..(A-2)(A-8)=0 h=2eV,=((-y-2,7,2),),2€ R) A =8eV,=((2,27,2),2E R) 87 O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, m,(2)=2, e seu autoespaço possui dimensão igual a 2, m,(2)=2. Já o autovalor 8 ocorre única vez como raiz, m,(8)=1,e dimV, =1=m, (8). 2) T:;Rº SRº tal que T(x,y,2)=(3x,2y,y +22) 3 00 3-1 0 0 [7]=/0 2 OJe [T]-(1)=| 0 2-4 0 012 0 1 2-4 det[7]-(4-1,)=0..2º-722 +16A-12=0..(A-2)(A-3)=0 A4=2eV,=((0,0,27),2eR) A, =3e V,=((x,0,0), xe R) O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, m,(2)=2, e dimV, =1=m, (2). O autovalor 3 ocorre única vez como raiz, m, (3)=1,e dimV, =1=m,(3). Diagonalização de Operadores Lineares Dado um operador linear T:V —>V, existem representações matriciais de T relativas as bases de V. Dentre estas representações, a considerada mais simples é uma matriz diagonal. Como a cada base corresponde uma matriz, a questão se resume na obtenção de uma certa base, cuja representação matricial do operador linear T em relação a esta base é uma matriz diagonal. Assim, esta base diagonaliza o operador linear 7. Seja V um espaço vetorial n-dimensional e T:V —»V um operador linear. O operador linear T é denominado um operador linear diagonalizável se existir um base 4 de V tal que [7], é uma matriz diagonal. Esta base é composta pelos autovetores do operador linear T. Seja V um espaço vetorial n-dimensional e 7:V —V um operador linear. Se existem n autovalores distintos 4,,...,A, então o operador linear T é diagonalizável. Exemplo: Seja o operador linear T:Rº* >Rº tal que T(x,y,2)=(4x+2,-2x+y,-2x+2) e a base 401 canônica do R? então [T]=|-2 1 0]. -2 0 1 A =1,/,=40,7,0),ye RJ e v, =(0,1,0) 4=2.V, =((-5n2)2e Ryce v,=(-12,2) À,=3, V,=((-2,2,2),2€E R) e v; =(-1,11) 100 Sendo 4 = ((0,1,0),(-1,2,2),(-1,1,1)) uma base de autovetores, [7], =|0 2 0). 003 Se existem r<n autovalores distintos 4,,...,2, e suas multiplicidades algébricas e geométricas forem iguais, isto é, mA, J=m A; ), i=1,...,7, então o operador linear T é diagonalizável. ss Exemplo: Seja o operador T:R* >Rº tal que T(x,y,27)=(x+)+2,x+Y+2,x+Y+2) e a base 111 canônica do Rê então [T]=|1 1 1. 111 h=0, Vo =) —2,7,2),y,2€ Rj e 4 =((-110),(-1,0,13 A, =3,V,=((2,2,2),ze Rj e 4, = f(LLI)) Sendo 4=4, UV 4, = ((-1,1,0), (-1,0,1), (1,11); uma base de autovetores, [7], = Soo Soo w oo Exercícios 1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores: 22 a) (-2,1) para im= ;) 1-10 b) (2,13) para [7]=|2 3 2] 121 2) Os vetores (L1) e (2,1) são autovetores de um operador linear T:R? > R? associados aos autovalores À, =5 e À, =—1, respectivamente. Determinar T(4,1). 3) Determinar o operador linear T:Rº? > Rº cujos autovalores são À, =1 e À, =3 associados aos autoespaços V, = ((-7,)), ye RJ e V, = (0,7), ye R$. 4) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R2. a) T(x,y)=(x+27,-x +47) db) Tx, 7)=0,—*) 5) Dado o operador linear 7 no R? tal que T(x,y)=(-3x-5y,2)), encontrar uma base de autovetores. 6) Verificar se existe uma base de autovetores para: a) T:Rº* > Rº tal que T(x,y,2)=(x+)+2,27+2,27+327) b) T:Rº >Rºtal que T(x,y,2)=(x,-2x— y,2x+ +27) o) T:R* 5Rº tal que T(x,7,2)=(x,2x+3y—2,-4y +32) 7) Seja T:R? SR? tal que T(x,y)=(4x+5y,2x+). Encontrar uma base que diagonalize o operador 7. 8) O operador linear T:Rº*5R* tal que T(x,y,Z)=(N+Y+ZAHLXAPAZPHZHLX+Y) é diagonalizável? 89 Exercícios D 2 3) 4) 5) 6) 7) Classifique os operadores. a) T(x,y))=(2x-2y,-2x+5y) b) T(x,y,2) = (xcos6 — ysenB,xsenO + ycos0,z) co) T(x,y;2)=(2x+y;x+y+2,7—32) Ache valores para x e y tais que [ , o) seja ortogonal. Dê exemplo de um operador auto-adjunto não ortogonal e vice-versa. Dê exemplo de um operador normal que não é nem auto-adjunto nem ortogonal. 1 4 2 Seja [= 4 —-5 —4|. Verifique que T é diagonalizável sem usar os critérios de 2 -4 1 diagonalização. Todo operador auto-adjunto é um operador normal. Todo operador ortogonal é um operador normal. 92 Apêndice F — Teoremas Considere V um R-espaço vetorial n dimensional munido de um produto intemo e T,T,T,:V 5>V operadores lineares. 75.) (M+T) =1 + ii) (k-T)' =k-T", para todo ke R. ii) (Do) =T 07 iv) (T9)' =T v) KerT = (ImT')* 76. Sejam T, e T, operadores auto-adjuntos e ke R. Então (7, +T,) e (kT,) também são operadores auto-adjuntos. 77. T é auto-adjunto se e somente [7], é uma matriz simétrica, qualquer que seja a base ortonormal 4. 78. Seja T auto-adjunto e v,,...,v, autovetores associados a autovalores distintos À,,...,À, de T. Então v; Sortogonalav,, i,j=1,.r,i*j. 79. Se T é auto-adjunto então T possui um autovalor real, isto é, possui um autovetor não nulo. Teorema Espectral para Operadores Auto-Adjuntos: Seja 7 um operador auto-adjunto então T é diagonalizável, isto é, existe uma base ortonormal 4 de autovetores de V tal que [7], é uma matriz diagonal. 80. São equivalentes: 1) Té um operador ortogonal. 11) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. ii) T preserva produto interno, isto é, (TO) T(u)) = (vu), para quaisquer vue V. re=|d iv) T preserva norma, isto é, | , para todo ve V. 81. Seja T um operador ortogonal. Então: 1) T preserva distância. 11) Os únicos autovalores possíveis para T são +1. iii) Autovetores de T são sempre ortogonais. 82. Seja T um operador normal. Então: i) (k-T) também é um operador normal. » Iroj=|r"0) iii) Se À é um autovalor de T então À é um autovalor de T”. iv) Te T” possuem os mesmos autovetores. v) KeT=KeT'. vi) (KerT)* = ImT. , para todo ve V. 93 BIBLIOGRAFIA Anton, H. Elementary Linear Algebra. Wiley. Boldrini, J.L.; etal. Álgebra Linear. Harbra. Domingues; Hygino. Álgebra Linear e Aplicações. Atual Editora. Hoffman, K; Kunze, R. Álgebra Linear. Editora Polígono. Kolman, B. Álgebra Linear. LTC. Lay, C.D. Álgebra Linear e suas Aplicações. LTC Lima, E.L. Álgebra Linear. IMPA. Lipschutz, S. Álgebra Linear. Me.Graw-Hill. Steinbruch, A. Álgebra Linear. Mc.Graw-Hill.