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Alguns exercicios do livro Lathi - Sinais e Sistemas Lineares, Exercícios de Sinais e Sistemas

Alguns exercicios do livro Lathi - Sinais e Sistemas Lineares

Tipologia: Exercícios

2020

Compartilhado em 07/03/2022

adilson-candido-8
adilson-candido-8 🇧🇷

2.3

(3)

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Baixe Alguns exercicios do livro Lathi - Sinais e Sistemas Lineares e outras Exercícios em PDF para Sinais e Sistemas, somente na Docsity! 068 SINAIS E SISTEMAS LINEARES n—t- 05 03 01 00] r 3 — Retangular ee Hamming == Blackman us Figura M7,5 Caso especial, janelas de Kaiser de duração unitária, Tl T.l-3 Mostre que se virié uma função par de 1 então Xi) =2 Ff xíricos et dr e seculo for uma função impar de 1, então Nm) = 25 [7 xansenordr 1 Logo, prove que se str) for real e uma função par de + então Xu) é real e uma função par de o. Além disto, se (ty for real é uma função impar de +, então N(to) é imaginário e uma função impar de em, Mostre que para (1) real, à Eg, (7.8b) pode ser expressa por Ti = LIS [ TX asd cias fer + OX (us deu É Essa é à forma trigonométrica da integral de Fourier, Compare essa equação com a série trigonométrica compacta de Fourier. Um sinal x(r) pode ser descrito pela soma de componentes par e fmpar (veja a Seção 1.5-2y: ar) = x rh A rt) Cap se tres Xl, mostre que para x(r) real, ns e RejX te) Tt) tes | Im NX (0u)] db) Verifique esses resultados obtendo a transformada de Fourier das componen- Tl 71.7 2-1 tes pare impar dos seguintes sinais (1) terei e Culto. A partir da definição (7.8a), obtenha as trums- formadas de Fourier dos sinais ul) da Fig. PTl-d, A partir da definição (7.84). obtenha as transformadas de Fourier dos sinais mostra- dos na Fig. P7.1-5. A partir da definição (7.8b4, obtenha as trans- formadas de Fourier inversos do espectro da Fig. PTI. A partir da definição (7.8b), obtenha as trans- formadas de Fourier inversas do espectro da Fig. PTI. Se v(t) &s Nip, então mostre que se xo= | audio x / A deu) eder mo Mostre também que = "o / sine (ria -[ sine trjda = » no Trace as seguintes funções: vi0) = tab rerir/2) (bj A (3/1003 deb cettir = 100/8) tap sine (rea /51 CapíTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURUIR | 669 es Figura P7.1.4 x(t) x(8) 4 1 2 1— 1—> ! 2 = [ô 7 (a) (by Figura P7.1.5 Figura P7.1-6 Figura P71-7 72-2 7.23 724 (e) sine ((w/5) — 27) (f) sine (1/5) rec(t/10m) A partir da definição (7.8b), mostre que a transformada de Fourier de ret (7 — 5) é sinc (/2)ePº. trace o espectro de amplitude e fa- se resultante. A partir da definição (7.8h), mostre que a transformada de Fourier inversa de ret (o — 10/27) é sine (ne! Obtenha a transformada de Fourier inversa de X(co) para o espectro ilustrado na Fig. P7.2-4. [Dica: X(0) = |X(m)jé*º. Este problema ilustra como espectros de fase diferentes (com o mesmo espectro de amplitude) representam sinais totalmente diferentes.] 7.2-5 (a) Você pode obter a transformada de Fou- rier de e”H(%) quando q > 1 fazendo s= ja na transformada de Fourier de e“u(1)? Explique. (b) Obtenha a transformada de Fourier de x(t) mostrado na Fig. P7.2-5. Você pode obter a transformada de Fourier de x(º) fazendo s = jo nessa transformada de Fourier? Explique. Verifique sua resposta determinando as transformadas de Fou- rier e Laplace de x(). 672 Sixais E SISTEMAS LINEARES Figura P7.3-7 73.7 738 739 73-10 73H T4-i Urilize a propriedade de deslocamento na fre- quência e a Tabela 7.1 para determinar a trans- formada de Fourier inversa do espectro mos- trado na Fig. P7.3-7 Utilize a propriedade de convolução no tempo para provar os pares 2, 4, 13 14 da Tabela 2.1 (assuma À < Ono par2,A, ce, < Ono par4, À, <Qeh>Onopa l3ch cÃ, >Ono par 14) Essas restrições são colocadas em função das características de possibilidade de aplicação da transformada de Fourier dos sinais. Para o par 2 você terá que aplicar o resultado da Eg. (1.23). Um sinal xit) é limitado em faixa à 8 Hz. Mos- tre que o sinal (1) é limitado em faixa à nB Hz. Obtenha a transformada de Fourier do sinal da Fig. PT.3-3a por três métodos diferentes: (a) pela integração direta usando a definição 17,8a (b) Usando apenas o par 17 (Tabela 7.1)e a propriedade de deslocamento no tempo. teh Usando as propriedades de diferenciação no tempo e deslocamento no iempo, além do fato de que (1) es |. (a) prove a propriedade de diferenciação na frequência (dual da proprisdade de dife- renciação no tempo): d = jtx(t) += — X (o) alias (bj Utilize essa propriedade e o par | (Tabela 7.10) para determinar a transformada de Fourier de ne “uo). Para um sistema LCIT com função de trans- ferência I Hit)= obtenha a resposta (de estado nulo) se a entra- ada x(t) for (a) eu) (by eTtuiry te) etnd=r) tah air) 742 TAI aylto Um sistema LCIT é especificado pela respos- ta em frequência > Hu) = -— (o ju=2 Obtenha a resposta ao impulso desse sistema e mostre que ele é um sistema não causal. Ob- tenha a resposta (estado nulo) desses sistema se a entrada (ft) for tab emtutr) ch) eu(—t) Os sinais a (1) = 10" ret (Ore a (1) = At) são aplicados às entradas dos filtros passa-baixas ideais H (0) = ret (0340,0007) € H,(49) = ret (or20.0007m) (Fig. P7.4-3). As saídas v/() e vA£) desses filtros são multiplicadas para ob- ter o sinal víi) = vjti)ydth, ta) Trace X tee No. «by Trace Hm) e Ho. te) Trace Fte Fm. (dy Obtenha as larguras de fuixa de v (8), vlf) eitd. Vytth Mi = pylehyotoy Figura P7,4-3 Td-d A constante de tempo de um sistema passa-bai- as é geralmente definida como a largura de sua resposta h(tj ao impulso unitário (veja a Se- ção 2.7-21. Um pulso pí(t) de entrada nesse sis- tema funciona como um impulso de força igual a área de péryse a largura de p(r) for muito me- nor do que a constante de tempo do sistema, é desde que pít) seja um pulso passa-baixa, im- plicando que seu espectro seja concentrado em baixas frequências. Verifique esse comporta- mento considerando um sistema cuja resposta ao impulso unitário é 6) = ret (1074 O pul- so de entrada é um pulso triangular p(r) = At *j. Mostre que a resposta do sistema a esse pulso é muito próxima da resposta ao im- pulso Aás), na qual A é a área sob o pulso píf). CapíruLo 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO ConTÍNUO: A TRANSEORMADA DE FOURIER 673 745 TA 7.5-1 A constante de tempo de um sistema passa-hai- xas geralmente é definida como a largura de sus resposta ht) ao impulso unitário (veja a Seção 2,7-23. Um pulso p(t) de entrada nesse sistema passa praticamente sem distorção se a largura de pe) For muito maior do que a constante de tem- po do sistema e desde que p(r) seja um pulso passa-baixa, implicando que seu espectro seja concentrado em baixas frequências. Verifique esse comportamento considerando um sistema cuja resposta ao impulso unitário é flv) = ret (110). O pulso de entrada é um pulso triangu- lar plto= Ato), Mostre que a resposta do sistema aesse pulso é muito próxima a kp(f), na qual k é o ganho do sistema so sinal cc, ou seja, k= HD). Um sinal causal hit) possui transformada de Fourier Ho. Se R(09) e X(09) são as partes re- al e imaginária de Ho), ou seja, Him = Rim) + jXC0), então mostre que Roj= 5 [ Me) ds TJ. o = assumindo que h(t) não possui impulsos na origem. Esse par de integrais define a trans- formada de Hilbert. (Dica: seja hlíje h lt) as componentes par e impar de h(t). Use os re- sultados do Prob. 7.1-3. Veja a Fig. 1.24 para a relação entre (rj e h (t),] Este problema estabelece uma importante propriedade de sistemas causais: as partes re- ale imaginária da resposta em frequência de um sistema causal são relacionadas. Se a par- te real é especificada, a parte imaginária não pode ser especificada independentemente, A parte imaginária é predeterminada pela parte real e vice-versa. Esse resultado também leva à conclusão de que a magnitude e ângulo de How são relacionados desde que os pólos e zeros de Hit) estejam no SPE. Considere um filtro com resposta em frequência Him) = este? tao) Mostre que esse filtro é fisicamente não reali- zável usando o critério no domínio do tempo [try não causal] e o critério no domínio da frequência (Paley-Wiener), Esse filtro pode ser aproximadamente realizável escolhendo t, suficientemente grande? Utilize seu próprio (razoável) critério e determine 1, de forma a realizar a aproximação desse filtro [Dica: uti- lize o par 22 da Tabela 7.1]. 7.52 5-3 Tl Tl 763 Td Mostre que um filtro com resposta em fre- aliência 2410) Hu) = mx oo! é não realizável, Esse filtro pode ser aproxi- madamente realizável escolhendo +, suficien- temente grande? Utilize seu próprio (razod- vel) critério e determine 1, de forma a realizar a aproximação desse filtro. — dest Determine se os filtros com us seguintes res- postas em freguência Hm) são fisicamente realizáveis. Se eles não forem realizáveis, eles podem ser aproximadamente realizados permitindo um atraso de tempo finito na res- posta? fab DOS sine (Oo) Cb DO A (ee / 40,000 ) (ch Zi Slmo) Mostre que a energia de um pulso Giaussiano 1 2 ragê xitj= etde v'2r é Li20 47). Verifique esse resultado usando o teorema de Parseval para obter a energia E, de Xe). [Dica: use o par 22 da Tabela 7.1. Usa o fato de que JA. CR dy = 27] Utilize o teorema de Parseval (7.64) para mos- rar que - 2 m / sinç” (kxjda = T —s Um sinal passa-baixa x(f) é aplicado a um dis- positivo que calcula o quadrado da entrada. À saída x“(1) é aplicada a um filtro passa-baixas com largura de faixa Af(em herte) (Fig. P7O- 3). Mostre que se 4f for muito pequeno (4f— O), então a saída do filtro é um sinal ce vin) = 2E,Af. [Dica: se () + Am), então mostre que Fimj= [ArA(OA 0) se Af— O. Mostre, depois. que A(0) = E.) Generalize o teorema de Parseval para mos- trar que para sinais reais transformáveis em Fourier e (the att) om / sente car) de o] 1 e =— X (ai) X a(00) dies 2x -s0 po - =|. Kite) de 674 Sinais E SISTEMAS LINEARES ty Figura P7,6-3 7-5 7,6-6 TI Mostre que x [ sinc (Mr — er sine (Fr — md o =4 7 w [Dica: reconheça que mn sine (Wt — kr) = sinc [» ( — 7) w 2w Utilize esse fato eo resultado do Prob. 7.6-4.] Para o sinal ; teto ) erttrete xt)= Era determine a largura de faixa essencial E (em hertz) de tr) tal que a energia contida nas com- ponentes espectrais de v(t) de fregiências abai- xo de E Hz seja 99% da energia E, do sinal. Para cada um dos seguintes sinais banda-base, ti) mit) = cos 1000, (Hi) ma(t) = 2 cos TODO + cos 2000 e (iii) m(r) = cos 1000 cos 3000; (a) Trace o espectro de mit). (bj Trace o espectro do sinal DSB-SC m(r) cos TOO. (e) Identifique o espectro da faixa lateral su- perior (USB) e da faixa lateral inferior (LSB). td) Identifique as frequências na banda-base e as frequências correspondentes no es- pectro DBS-SC, USB e LSB. Explique a Mico) A -2m8 q Figura P7.7.2 E 7.72 7,73 vit = 2E,ãf natureza do deslocamento de frequência em cada caso. Você deve projetar um modulador DSB-5C para gerar um sinal modulado kemít) cos 0,1, no qual an(r) é um sinal limitado em faixa a & Hz (Fig. P7.7-2a). A Fig. P7.7-2 mostra um modulador DSB-SC disponível no almoxari- fado O filtro passa-banda é sintonizado para «g.e possui largura de faixa de 28 Hz. O gera- dor de Portadora disponível não gera cos 041, mas cos dd, 1a) Explique se você poderá ou não gerar o sinal desejado usando apenas este equi- pamento, Se sim, qual é o valor de k7 4b) Determine o espectro do sinal nos pontos tece indique as faixas de frequência ocupadas por estes espectros. (ce) Qual é o menor valor possível para 09? 1d) Esse esquema funcionaria se a saída do pe- rador de portadora fosse cos" 0317 Explique. de) Esse esquema funcionaria se a saída do gerador de portadora fosse cos" 11 para qualquer inteiro n 2 27 Na prática, a operação de multiplicação ana- lógica é dificil e cara, Por essa razão, em mo- duladores de amplitude, é necessário encon- trar alguma alternativa para a multiplicação «de mit) por cos mr. Felizmente, para esse propósito. podemos substituir a multiplica- «ão pela operação de chaveamento, Uma ob- servação similar se aplica aos demodulado- res. No esquema mostrado na Fig. P7.7-3a, 0 período do pulso retangular xt) mostrado na Fig. P7.7-3b é T; = 2x/09../0 filtro passa-fai- xa é centrado em to e possui largura de fai- deselt) COS au t [O]