Baixe Alguns exercicios do livro Lathi - Sinais e Sistemas Lineares e outras Exercícios em PDF para Sinais e Sistemas, somente na Docsity! 068
SINAIS E SISTEMAS LINEARES
n—t-
05 03 01 00]
r
3
— Retangular
ee Hamming
== Blackman
us
Figura M7,5 Caso especial, janelas de Kaiser de duração unitária,
Tl
T.l-3
Mostre que se virié uma função par de 1 então
Xi) =2 Ff xíricos et dr
e seculo for uma função impar de 1, então
Nm) = 25 [7 xansenordr
1
Logo, prove que se str) for real e uma função
par de + então Xu) é real e uma função par de
o. Além disto, se (ty for real é uma função
impar de +, então N(to) é imaginário e uma
função impar de em,
Mostre que para (1) real, à Eg, (7.8b) pode
ser expressa por
Ti =
LIS
[ TX asd cias fer + OX (us deu
É
Essa é à forma trigonométrica da integral de
Fourier, Compare essa equação com a série
trigonométrica compacta de Fourier.
Um sinal x(r) pode ser descrito pela soma de
componentes par e fmpar (veja a Seção 1.5-2y:
ar) = x rh A rt)
Cap se tres Xl, mostre que para x(r) real,
ns e RejX te)
Tt) tes | Im NX (0u)]
db) Verifique esses resultados obtendo a
transformada de Fourier das componen-
Tl
71.7
2-1
tes pare impar dos seguintes sinais (1)
terei e Culto.
A partir da definição (7.8a), obtenha as trums-
formadas de Fourier dos sinais ul) da Fig.
PTl-d,
A partir da definição (7.84). obtenha as
transformadas de Fourier dos sinais mostra-
dos na Fig. P7.1-5.
A partir da definição (7.8b4, obtenha as trans-
formadas de Fourier inversos do espectro da
Fig. PTI.
A partir da definição (7.8b), obtenha as trans-
formadas de Fourier inversas do espectro da
Fig. PTI.
Se v(t) &s Nip, então mostre que
se
xo= | audio
x
/ A deu) eder
mo
Mostre também que
= "o
/ sine (ria -[ sine trjda =
» no
Trace as seguintes funções:
vi0) =
tab rerir/2)
(bj A (3/1003
deb cettir = 100/8)
tap sine (rea /51
CapíTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURUIR | 669
es
Figura P7.1.4
x(t) x(8)
4 1
2
1— 1—>
! 2 = [ô 7
(a) (by
Figura P7.1.5
Figura P7.1-6
Figura P71-7
72-2
7.23
724
(e) sine ((w/5) — 27)
(f) sine (1/5) rec(t/10m)
A partir da definição (7.8b), mostre que a
transformada de Fourier de ret (7 — 5) é sinc
(/2)ePº. trace o espectro de amplitude e fa-
se resultante.
A partir da definição (7.8h), mostre que a
transformada de Fourier inversa de ret (o —
10/27) é sine (ne!
Obtenha a transformada de Fourier inversa de
X(co) para o espectro ilustrado na Fig. P7.2-4.
[Dica: X(0) = |X(m)jé*º. Este problema
ilustra como espectros de fase diferentes (com
o mesmo espectro de amplitude) representam
sinais totalmente diferentes.]
7.2-5 (a) Você pode obter a transformada de Fou-
rier de e”H(%) quando q > 1 fazendo s=
ja na transformada de Fourier de e“u(1)?
Explique.
(b) Obtenha a transformada de Fourier de
x(t) mostrado na Fig. P7.2-5. Você pode
obter a transformada de Fourier de x(º)
fazendo s = jo nessa transformada de
Fourier? Explique. Verifique sua resposta
determinando as transformadas de Fou-
rier e Laplace de x().
672 Sixais E SISTEMAS LINEARES
Figura P7.3-7
73.7
738
739
73-10
73H
T4-i
Urilize a propriedade de deslocamento na fre-
quência e a Tabela 7.1 para determinar a trans-
formada de Fourier inversa do espectro mos-
trado na Fig. P7.3-7
Utilize a propriedade de convolução no tempo
para provar os pares 2, 4, 13 14 da Tabela 2.1
(assuma À < Ono par2,A, ce, < Ono par4, À,
<Qeh>Onopa l3ch cÃ, >Ono par 14)
Essas restrições são colocadas em função das
características de possibilidade de aplicação da
transformada de Fourier dos sinais. Para o par 2
você terá que aplicar o resultado da Eg. (1.23).
Um sinal xit) é limitado em faixa à 8 Hz. Mos-
tre que o sinal (1) é limitado em faixa à nB Hz.
Obtenha a transformada de Fourier do sinal
da Fig. PT.3-3a por três métodos diferentes:
(a) pela integração direta usando a definição
17,8a
(b) Usando apenas o par 17 (Tabela 7.1)e a
propriedade de deslocamento no tempo.
teh Usando as propriedades de diferenciação
no tempo e deslocamento no iempo, além
do fato de que (1) es |.
(a) prove a propriedade de diferenciação na
frequência (dual da proprisdade de dife-
renciação no tempo):
d
= jtx(t) += — X (o)
alias
(bj Utilize essa propriedade e o par | (Tabela
7.10) para determinar a transformada de
Fourier de ne “uo).
Para um sistema LCIT com função de trans-
ferência
I
Hit)=
obtenha a resposta (de estado nulo) se a entra-
ada x(t) for
(a) eu)
(by eTtuiry
te) etnd=r)
tah air)
742
TAI
aylto
Um sistema LCIT é especificado pela respos-
ta em frequência
>
Hu) = -—
(o ju=2
Obtenha a resposta ao impulso desse sistema
e mostre que ele é um sistema não causal. Ob-
tenha a resposta (estado nulo) desses sistema
se a entrada (ft) for
tab emtutr)
ch) eu(—t)
Os sinais a (1) = 10" ret (Ore a (1) = At) são
aplicados às entradas dos filtros passa-baixas
ideais H (0) = ret (0340,0007) € H,(49) = ret
(or20.0007m) (Fig. P7.4-3). As saídas v/() e
vA£) desses filtros são multiplicadas para ob-
ter o sinal víi) = vjti)ydth,
ta) Trace X tee No.
«by Trace Hm) e Ho.
te) Trace Fte Fm.
(dy Obtenha as larguras de fuixa de v (8), vlf)
eitd.
Vytth
Mi = pylehyotoy
Figura P7,4-3
Td-d
A constante de tempo de um sistema passa-bai-
as é geralmente definida como a largura de
sua resposta h(tj ao impulso unitário (veja a Se-
ção 2.7-21. Um pulso pí(t) de entrada nesse sis-
tema funciona como um impulso de força igual
a área de péryse a largura de p(r) for muito me-
nor do que a constante de tempo do sistema, é
desde que pít) seja um pulso passa-baixa, im-
plicando que seu espectro seja concentrado em
baixas frequências. Verifique esse comporta-
mento considerando um sistema cuja resposta
ao impulso unitário é 6) = ret (1074 O pul-
so de entrada é um pulso triangular p(r) =
At *j. Mostre que a resposta do sistema a
esse pulso é muito próxima da resposta ao im-
pulso Aás), na qual A é a área sob o pulso píf).
CapíruLo 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO ConTÍNUO: A TRANSEORMADA DE FOURIER
673
745
TA
7.5-1
A constante de tempo de um sistema passa-hai-
xas geralmente é definida como a largura de sus
resposta ht) ao impulso unitário (veja a Seção
2,7-23. Um pulso p(t) de entrada nesse sistema
passa praticamente sem distorção se a largura de
pe) For muito maior do que a constante de tem-
po do sistema e desde que p(r) seja um pulso
passa-baixa, implicando que seu espectro seja
concentrado em baixas frequências. Verifique
esse comportamento considerando um sistema
cuja resposta ao impulso unitário é flv) = ret
(110). O pulso de entrada é um pulso triangu-
lar plto= Ato), Mostre que a resposta do sistema
aesse pulso é muito próxima a kp(f), na qual k é
o ganho do sistema so sinal cc, ou seja, k= HD).
Um sinal causal hit) possui transformada de
Fourier Ho. Se R(09) e X(09) são as partes re-
al e imaginária de Ho), ou seja, Him = Rim)
+ jXC0), então mostre que
Roj= 5 [ Me) ds
TJ.
o =
assumindo que h(t) não possui impulsos na
origem. Esse par de integrais define a trans-
formada de Hilbert. (Dica: seja hlíje h lt) as
componentes par e impar de h(t). Use os re-
sultados do Prob. 7.1-3. Veja a Fig. 1.24 para
a relação entre (rj e h (t),]
Este problema estabelece uma importante
propriedade de sistemas causais: as partes re-
ale imaginária da resposta em frequência de
um sistema causal são relacionadas. Se a par-
te real é especificada, a parte imaginária não
pode ser especificada independentemente, A
parte imaginária é predeterminada pela parte
real e vice-versa. Esse resultado também leva
à conclusão de que a magnitude e ângulo de
How são relacionados desde que os pólos e
zeros de Hit) estejam no SPE.
Considere um filtro com resposta em frequência
Him) = este? tao)
Mostre que esse filtro é fisicamente não reali-
zável usando o critério no domínio do tempo
[try não causal] e o critério no domínio da
frequência (Paley-Wiener), Esse filtro pode
ser aproximadamente realizável escolhendo t,
suficientemente grande? Utilize seu próprio
(razoável) critério e determine 1, de forma a
realizar a aproximação desse filtro [Dica: uti-
lize o par 22 da Tabela 7.1].
7.52
5-3
Tl
Tl
763
Td
Mostre que um filtro com resposta em fre-
aliência
2410)
Hu) = mx oo!
é não realizável, Esse filtro pode ser aproxi-
madamente realizável escolhendo +, suficien-
temente grande? Utilize seu próprio (razod-
vel) critério e determine 1, de forma a realizar
a aproximação desse filtro.
— dest
Determine se os filtros com us seguintes res-
postas em freguência Hm) são fisicamente
realizáveis. Se eles não forem realizáveis,
eles podem ser aproximadamente realizados
permitindo um atraso de tempo finito na res-
posta?
fab DOS sine (Oo)
Cb DO A (ee / 40,000 )
(ch Zi Slmo)
Mostre que a energia de um pulso Giaussiano
1 2 ragê
xitj= etde
v'2r
é Li20 47). Verifique esse resultado usando
o teorema de Parseval para obter a energia E,
de Xe). [Dica: use o par 22 da Tabela 7.1. Usa
o fato de que JA. CR dy = 27]
Utilize o teorema de Parseval (7.64) para mos-
rar que
- 2 m
/ sinç” (kxjda = T
—s
Um sinal passa-baixa x(f) é aplicado a um dis-
positivo que calcula o quadrado da entrada. À
saída x“(1) é aplicada a um filtro passa-baixas
com largura de faixa Af(em herte) (Fig. P7O-
3). Mostre que se 4f for muito pequeno (4f—
O), então a saída do filtro é um sinal ce vin) =
2E,Af. [Dica: se () + Am), então mostre
que Fimj= [ArA(OA 0) se Af— O. Mostre,
depois. que A(0) = E.)
Generalize o teorema de Parseval para mos-
trar que para sinais reais transformáveis em
Fourier e (the att)
om
/ sente car) de
o]
1 e
=— X (ai) X a(00) dies
2x
-s0
po
- =|. Kite) de
674
Sinais E SISTEMAS LINEARES
ty
Figura P7,6-3
7-5
7,6-6
TI
Mostre que
x
[ sinc (Mr — er sine (Fr — md
o
=4 7
w
[Dica: reconheça que
mn
sine (Wt — kr) = sinc [» ( — 7)
w 2w
Utilize esse fato eo resultado do Prob. 7.6-4.]
Para o sinal
; teto ) erttrete
xt)= Era
determine a largura de faixa essencial E (em
hertz) de tr) tal que a energia contida nas com-
ponentes espectrais de v(t) de fregiências abai-
xo de E Hz seja 99% da energia E, do sinal.
Para cada um dos seguintes sinais banda-base,
ti) mit) = cos 1000, (Hi) ma(t) = 2 cos TODO +
cos 2000 e (iii) m(r) = cos 1000 cos 3000;
(a) Trace o espectro de mit).
(bj Trace o espectro do sinal DSB-SC m(r)
cos TOO.
(e) Identifique o espectro da faixa lateral su-
perior (USB) e da faixa lateral inferior
(LSB).
td) Identifique as frequências na banda-base
e as frequências correspondentes no es-
pectro DBS-SC, USB e LSB. Explique a
Mico) A
-2m8 q
Figura P7.7.2
E
7.72
7,73
vit = 2E,ãf
natureza do deslocamento de frequência
em cada caso.
Você deve projetar um modulador DSB-5C
para gerar um sinal modulado kemít) cos 0,1,
no qual an(r) é um sinal limitado em faixa a &
Hz (Fig. P7.7-2a). A Fig. P7.7-2 mostra um
modulador DSB-SC disponível no almoxari-
fado O filtro passa-banda é sintonizado para
«g.e possui largura de faixa de 28 Hz. O gera-
dor de Portadora disponível não gera cos 041,
mas cos dd,
1a) Explique se você poderá ou não gerar o
sinal desejado usando apenas este equi-
pamento, Se sim, qual é o valor de k7
4b) Determine o espectro do sinal nos pontos
tece indique as faixas de frequência
ocupadas por estes espectros.
(ce) Qual é o menor valor possível para 09?
1d) Esse esquema funcionaria se a saída do pe-
rador de portadora fosse cos" 0317 Explique.
de) Esse esquema funcionaria se a saída do
gerador de portadora fosse cos" 11 para
qualquer inteiro n 2 27
Na prática, a operação de multiplicação ana-
lógica é dificil e cara, Por essa razão, em mo-
duladores de amplitude, é necessário encon-
trar alguma alternativa para a multiplicação
«de mit) por cos mr. Felizmente, para esse
propósito. podemos substituir a multiplica-
«ão pela operação de chaveamento, Uma ob-
servação similar se aplica aos demodulado-
res. No esquema mostrado na Fig. P7.7-3a, 0
período do pulso retangular xt) mostrado na
Fig. P7.7-3b é T; = 2x/09../0 filtro passa-fai-
xa é centrado em to e possui largura de fai-
deselt) COS au t
[O]