AP2 2019-2 Calculo 2 Cederj gabarito, Provas de Cálculo

Baixe AP2 2019-2 Calculo 2 Cederj gabarito e outras Provas em PDF para Cálculo, somente na Docsity! AP2- CÁLCULO II-2019/2 GABARITO 1a Questão (3,0 pontos). Seja R a região sombreada mostrada na figura abaixo Figura 1 Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação da região R em torno ao eixo .Ox Solução Figura 2 Observe que a região R dada é a união de duas regiões 1R e 2R . Assim o sólido S gerado pela rotação de R em torno do eixo Ox é formado pela união dos sólidos 1S e 2S gerados pela rotação de 1R e 2R (resp.) em torno do eixo Ox . Assim V (S )= V ( 1S ) + V ( 2S ). Para obter o volume de 1S , já que a maioria das funções estão em termos de y usaremos o método das cascas cilíndricas. Temos então a fórmula 1 1 0 1 ( ) ( )( ) 2π= S r y h y dyV . Na figura 2 vemos que a função 1 ( ) =r y y e 2 2 1 1 ( 1) 2( )  + − − = = y y yh y para [0,1]∈y , note que 1 ( ) 0≥h y , e 1( ) 0≥r y para [0,1]∈y . Assim, o volume neste caso é Cálculo II Gabarito da AP2 2019/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P á g in a 2 11 1 3 2 1 0 0 0 (2 ) 3 4 ( ) 2 4 4 3 π π π π  = = =  =   y y y dy y dyV S unidades de volume. Analogamente, para obter o volume de 2S usaremos o método dos discos ou arruelas. Temos então a fórmula 2 2 2 0 1 ( ) ( )( ) 2π= S r y h y dyV . Na figura 2 vemos que a função 2 ( ) = yr y e 2 22 2 2 ( 1) 2 1( )   − − = − + −    = y y y y y h y para [1,2]∈y , note que 2 ( ) 0≥h y , e 2 ( ) 0≥r y para [1,2]∈y . Assim, o volume neste caso é ( ) 22 2 4 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 4 3 2 ( ) 2 2 2π π π    − + − = − + − = − + −       =   y y y y y y dy y y y dy y y V S 16 16 1 2 1 17 2 4 2 2 4 3 4 3 2 6 π π   = − + − − + − + =   unidades de volume. Assim V (S )= 1( )V S + 2( )V S 3 6 6 4 17 25π π π + == unidades de volume. Questão 2 (2,0 pontos). Calcule 2 1 1 . 33( 2) +∞   −  +  x xx dx Solução 2 1 2 1 1 1 lim 3 33( 2) 1 ( 2) +∞ →+∞    − =     +    − + t t x dx xx x dx xx Calculando inicialmente a primitiva 2 2 2 2 1 1 1 2 ln | 2 | ln | | ln 2 2( 2) 2 ( 2)   + − = − = + − + = +  +  +   x dx x dx dx x x C C x x xx x x Assim 2 2 2 11 1 2 2 ln ln ln 3 ( 2)   + + − = = −  +     tt x x t x x tx dx Logo 2 2 2 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1 1 lim ln ln 3 ln lim 1 ln 3 ln 3 3 3 2 3 2 63( 2) +∞ →+∞ →+∞          +    − = − = + − = −  +             

 t t x t dx x tx t Questão 3 (1,0 ponto). Analise a convergência ou divergência da integral imprópria 4 4 2 1 1 −+∞ + + + x x e dx x x , utilizando algum dos critérios apresentados na aula. Justifique sua resposta.