Apostila de limites. Notas de aula e exercícios, Notas de aula de Cálculo

Baixe Apostila de limites. Notas de aula e exercícios e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity! CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULA   ARQUIMEDES (287–212 A.C.) ERON SALVADOR – BA CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 2 APRESENTAÇÃO Este material é uma introdução ao Cálculo Diferencial e Integral, nome dado ao conjunto de conteúdos matemáticos envolvendo Limite, Continuidade, Derivada e Integral. Estes conteúdos foram desenvolvidos por muitos matemáticos e cientistas ao longo dos séculos, mas as maiores e efetivas contribuições foram dadas por Isaac Newton (1642–1727) e Gottfried W. Leibniz (1646–1716). O “Cálculo” tem sido empregado em diversas ciências para descrever e resolver problemas fundamentais em cada área. Estas notas de aula foram preparadas e gentilmente cedidas pelo Prof. Eron ([email protected]), a quem agradeço. Tomei a liberdade de reeditá-las e/ou reorganizá-las com o objetivo de termos um material que facilite o acompanhamento das aulas da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. Assumo o prejuízo de ter omitido alguns textos que enriquecem o material original preparado pelo professor Eron. É importante considerar que as notas de aula não substituem a consulta, leitura e estudo de textos e livros já consagrados e testados no meio acadêmico, indicados no programa da disciplina. Deve, portanto, servir como um material de auxílio. Salvador, outubro de 2016. Isabel Cristina Costa Leite [email protected] [email protected] CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 5 Exemplo 2 a) 2 lim ( ) x g x  b) 2 lim ( ) x g x  c) 2 lim ( ) x g x  d) 1 lim ( ) x g x  e) 1 lim ( ) x g x  f) 1 lim ( ) x g x  g) lim ( ) x g x  h) lim ( ) x g x               x y Gráfico de ( )y g x Exemplo 3 – Esboce o gráfico de 2 2, 1 ( ) 1, 1 1 log( 1), 1 x x f x x x x x          e determine: a) 1 lim ( ) x f x  b) 1 lim ( ) x f x  c) 1 lim ( ) x f x  d) 1 lim ( ) x f x  e) 1 lim ( ) x f x  f) 1 lim ( ) x f x  g) lim ( ) x f x  h) lim ( ) x f x  i) 2 lim ( ) x f x  -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 2 2y x   1y x   log( 1) y x   CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 6 Podemos descrever as situações apresentadas nos exemplos que usamos gráficos do seguinte modo: Dizemos que uma função f definida num intervalo aberto I   contendo o número real a (exceto possivelmente o próprio a ) tem limite L   , se à medida que x se aproxima de a , o valor de ( )f x se aproxima de L e escrevemos: lim ( ) x a f x L   . Isso significa que o ponto  , ( )x f x do gráfico de f se aproxima do ponto  ,a L , quando x se aproxima de a . Veja as figuras abaixo. a L   x y   ( )xy f a L   x y   ( )xy g lim ( ) x a f x L   , ( )f a L . lim ( ) x a g x L   , ( )g a não está definido. Noção de limite utilizando tabelas numéricas Considere a função 2 1( ) 1 xf x x   . Esta função está definida  1x   . Isto significa que não podemos calcular a imagem quando x assume o valor 1. Vamos usar uma máquina de calcular e escrever numa tabela os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferente de 1. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores do que 1: (tabela A) x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 ( )f x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 7 Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores do que 1: (tabela B) x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 ( )f x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 Observemos que podemos tornar ( )f x tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. Veja a figura ao lado que representa o que está acontecendo nas tabelas A e B. 0 1 2 x y   Comentários e observações: 1) Os dois tipos de aproximações que vimos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais. i. Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por 1x  . Temos então que: 1 lim ( ) 2 x f x  ou 2 1 1lim 2 1x x x    . ii. Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por 1x  . Temos então que: 1 lim ( ) 2 x f x  ou 2 1 1lim 2 1x x x    . 2) Algumas referências chamam o limite lim ( ) x a f x  de “bilateral”. Temos os seguintes resultados: i. O limite lim ( ) x a f x  existe se, e somente se, existem e são iguais os limites laterais lim ( ) x a f x e lim ( ) x a f x . De outro modo, lim ( ) lim ( ) lim ( ) x ax a x a f x f x L f x L        . CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 10                             ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 L M L M f z f z L f z f z M L f z f z M Daí, L M   , para todo 0  , então só é possível ter L M .  LIMITES LATERAIS. Seja :f I   , I   um intervalo aberto. lim ( ) 0, 0 ; 0 ( ) . x a f x L x a f x L                lim ( ) 0, 0 ; 0 ( ) . x a f x L x a f x L                 1.5 Teorema de existência do limite. lim ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x L f x f x L         . Isto quer dizer que o limite “bilateral” existe e é igual a L se, e somente se, existem e são iguais a L os limites laterais. Demonstração. A condição necessária segue das definições. Reciprocamente, se os limites laterais existem e lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x L      , temos que dado 0  , existem 1 2, 0   , tais que 1 ( )a x a f x L       e 2 ( )a x a f x L       . Note que 1 e 2 podem ser iguais ou diferentes. Caso 1 2  , considere  1 2min ,   , então 0 ( )x a f x L       .  Exemplo Suponha o gráfico de uma função ( )f x na figura ao lado. Temos então que: 0 1lim ( ) x x f x L    e 0 2lim ( ) x x f x L    . Observe que 1 2L L logo, não existe o 0 lim ( ) x x f x  . x y 0x 1L 2L Como se pode perceber, não é simples resolver limites utilizando sua definição formal matemática. Entretanto, com tal definição, podemos demonstrar propriedades do limite de função que facilitam seu cálculo. CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 11 1.6 Propriedades do limite Usando a definição formal de limite pode-se mostrar que se lim ( ) x a f x A   , lim ( ) x a g x B   e se k   é uma constante. Então: 1) lim x a k k   . 2) lim ( ) lim ( ) x a x a kf x k f x kA         . 3) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x A B            . Mais geral, se     1 1 2 2( ) , lim ( ) , , lim ( )n nx a x a f x A f x A f x A com 1 2, , ..., nA A A   , então 1 2 1 2 1 2lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )n n nx a x a x a x a f x f x f x f x f x f x A A A                     4) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x AB                    . 5) lim ( )( )lim ( ) lim ( ) x a x a x a f xf x A g x g x B      , com 0B  . 6) lim ( ) lim ( ) nn n x a x a f x f x A     . 7) lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x A     . 8) lim ( ) lim ( ) nn n x a x a f x f x A             onde n   . 9) lim ( ) 0 x a f x A    . Demonstração das Propriedades 1 e 3: Propriedade 1 – Considere uma função real constante ( )f x k então lim x a k k   . Nesta propriedade lim x a k k      a função é ( )f x k , o que devemos mostrar é que dado 0  e para todo x tal que 0 x a    temos ( )f x k   . No entanto, note que ( ) 0f x k k k      , , 0   . Note que este é o caso 2 da Proposição 1.3 demonstrada anteriormente. CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 12 Propriedade 3 – Considere f e g funções reais tais que lim ( ) x a f x A   e lim ( ) x a g x B   . Então lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x A B            . Note que, das hipóteses: 1 1lim ( ) 0, 0 tal que 0 ( )x a f x A x a f x A                2 2lim ( ) 0, 0 tal que 0 ( )x a g x B x a g x B                Assumindo  1 2min ,   , então z tal que 0 2z a     tem-se que: ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) 2f z g z A B f z A g z B f z A g z B               . Veja as demonstrações das outras propriedades em algum livro das Referências no Apêndice. 1.7 Continuidade de funções Definição. Considere :f I   e a I . Dizemos que f é contínua em a se as seguintes condições são satisfeitas: i. Existe lim ( ) x a f x  ou seja, lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x          ii. lim ( ) ( ) x a f x f a   As possibilidades que se apresentam para o conceito de continuidade de uma função real podem ser observadas em cada figura nos exemplos abaixo. Na Figura 1, veja que lim ( ) x a f x L   e ( )f a L e, assim tem-se: lim ( ) ( ) x a f x f a   . E a função é contínua no ponto x a . a L   x y   ( )xy f Figura 1 CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 15 1.11 Limites de funções contínuas no ponto [substituição direta] Considere a   e  Dom( )a f . Dizemos que f é uma função contínua em a se lim ( ) ( ) x a f x f a   . Isto quer dizer que podemos calcular o limite de funções contínuas “diretamente” da função, calculando a imagem de a por f . Exemplos – Calcule os limites: a)  2 2 3 lim 5 2 ( 3) 5( 3) 2 22 x x x          b) 3 3 2 22 6 6(2)lim 6 4 3 4 3(2)a a a      c) 2 1 2 1 1 3 2 2 21 3 1 3 1 1 1lim log log log 3 4 4 2 z z z                               d) 3 1 6lim cos 2t t t                           3 6 1 cos cos( 2 ) 1 1 2 1.12 Limites do tipo 0 0 envolvendo fatoração Exemplo. Determine 2 lim ( ) x f x  , sendo 2 4( ) 2 xf x x   . Observa-se que 2 2 4 0lim 2 0x x x    ?? A expressão 0 0 que aparece acima é uma indeterminação matemática! Portanto, devemos simplificar a expressão para depois fazer a substituição direta. Note que: 2 4 ( 2)( 2)( ) 2, 2. 2 2 x x xf x x x x x           Então:                2 2 2 2 2 4 ( 2)( 2)lim ( ) lim lim lim( 2) 2 2 4. 2 2x x x x x x xf x x x x Logo, 2 2 4lim 4 2x x x    . CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 16 Temos abaixo os gráficos das funções 2 4( ) 2 xf x x   e 1( ) 2f x x  . Note que a diferença entre elas está em seus domínios:  Dom( ) 2f   e 1Dom( )f   . x y 2 4gráfico de ( ) 2 xf x x   2 4 x y 2 4 gráfico de ( ) 2f x x  Para resolver limites deste tipo, utiliza-se o seguinte teorema. Teorema. Se ( ) ( )h x f x para todo  x I a  então lim ( ) lim ( ) x a x a f x h x A     . Comentários I. Se um limite envolve a expressão 0 / 0 , dizemos que este limite possui uma indeterminação matemática (um cálculo matemático que pode resultar em infinitas possibilidades de resposta) e, para resolver o limite, é preciso “eliminar” a indeterminação. II. Para esses limites, principalmente aqueles que envolvem polinômios, além de conhecer os produtos notáveis, pode ser útil o conhecimento dos algoritmos de Briot-Ruffini ou a Divisão de Euclides. Veja nos Apêndices (final desse material) uma revisão desses métodos e resolva os exercícios propostos. Exemplos – Elimine a indeterminação para resolver cada limite: a) 2 23 3 3 9 ( 3)( 3) 3lim lim lim 2 ( 3)3x x x x x x x x x xx x          CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 17 b) 2 2 3 2 21 1 1 6 7 ( 7)( 1) 7 1 7 8lim lim lim 31 ( 1)( 1) 1 ( 1) ( 1) 1p p p p p p p p p p p p p p                        c)                     2 22 2 4 ( 2)( 2) 2lim arccos arccos lim arccos 2 43 2 ( 2)3 4 4t t t t t t tt t d)            2 2 2 2 21 1 1 2 1 2 1 2lim lim 3 ( 1)3 3 1 2u u u u u u uu u u                                   2 2 2 2 1 1 1 1 11lim lim 3 ( 1) 1 2 3 ( 1) 1 2 1 2 2lim 66 23 1 2 u u u u uu u u u u u u u u u e)                         3 35 5 3 32 2 3 3 2 3 3 2lim ln ln lim 4 4x x x x x x x x x x x x                       4 3 2 2 ( 2)( 2 2 1 41ln lim ln ( 2)( 2) 8x x x x x x x x x f) Verifique a continuidade da função 2 2 3 se 1 ( ) 1 3 se 1 t t t g t t t         . Solução. Basta verificar se 1 lim ( ) ( 1) 3 t g t g     . Assim, 2 1 1 1 1 2 3 ( 1)( 3)lim ( ) lim lim lim ( 3) 4 1 1t t t t t t t tg t t t t              . Como 4 3  , temos que 1 lim ( ) ( 1) t g t g    . Concluímos que ( )g t é não contínua em 1t  . CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 20 Note que não é simples resolver limites infinitos usando a definição. Entretanto, usando a definição de limite infinito pode-se enumerar alguns resultados úteis para resolver tais limites. 1.15 Propriedades dos limites infinitos. A tabela abaixo contém algumas propriedades e indeterminações envolvendo limites infinitos. lim ( )f x lim ( )g x ( )h x lim ( )h x Simbolicamente 1   f g    2   f g ?  é indeterminação 3  k f g  k   4  k f g  k  5   f g        6   f g       7  0k  f g    , 0k k    8  0k  f g    , 0k k   9  0 f g ? 0 é indeterminação 10 k  /f g 0 / 0k   11   /f g ? /  é indeterminação 12 0k  0 /f g  / 0 , 0k k    13  0 /f g  / 0   14 0k  0 /f g  / 0 , 0k k   15  0 /f g  / 0  16 0 0 /f g ? 0 / 0 é indeterminação Na tabela 0+ indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero por valores positivos. Analogamente, 0 indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero por valores negativos. CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 21 Teorema da Conservação do Sinal. Se lim ( ) 0 x a f x L    então existe um intervalo aberto I contendo a tal que ( )x D f I   tem-se   x I a   , ( )f x tem o mesmo sinal de L . Demonstração. Pelo fato de que lim ( ) 0 x a f x L    tem-se que 0, 0 ;    0 x a    implica que ( ) <f x L  , ou seja, a x a     implica que ( )L f x L     . Suponha 0L  (fixo), como  pode assumir qualquer valor positivo, tomamos L  (ou seja, 0 L   ), logo, existirá 1 0  tal que 1 1a x a     implicando em 0 ( )L f x L      e assim  1 1,x a a     temos ( ) 0f x  . Do mesmo modo, se fizermos 0L  temos ( ) 0f x  em algum intervalo.  Como consequência do Teorema da Conservação do Sinal, pode-se generalizar uma regra para resolver limites infinitos que envolvem 0 k , em que 0k  . Então, para resolver   ( )lim , com 0 ( ) 0x a f x k k g x e ( ) 0g a  deve-se “estudar” o sinal de ( ) ( ) f a g x em torno de x a . Assim, resumidamente, tem-se: , 0 e , 0. 0 0 , 0 e , 0. 0 0 k kk k k kk k                 Exemplos – Calcular os limites a) 3 3 2lim 3 t t t t e    b) 2 0 1lim senx x x x  CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 22 1.16 Limites no infinito (e respectivamente,) tem-se: (I) Seja : ,f a      . Dizemos que lim ( ) x f x L   , quando      dado 0, 0 , Dom( )N x f ( )x N f x L     . L L  L   ( )f x  N x (II) Seja : ,f a      . Dizemos que lim ( ) x f x L   , quando dado      0, 0, Dom( )N x f     ( )x N f x L . L N x ( )f x L  L   Exemplo – Usando a definição de limite no infinito, mostre que 1lim 0 x x  . 1lim 0 x x  , pois 0  , 1 0M     ; se x M , então 1 1 x M   e 1 10 x x    . 1lim 0 x x  , pois 0  , 1 0N     ; se x N , então 1 1 10 x x x      . Observação. Quando escrevemos x  significa dizer que 0x  e x  implica 0x  . Propriedades dos limites no infinito. Considere que existem lim ( ) x f x  e lim ( ) x g x  e ,a b   . Então: CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 25 1.18 Limites infinitos e no infinito com exponenciais, logaritmos e outras funções A demonstração de cada resultado abaixo pode ser obtida da aplicação direta dos resultados e definições anteriores e encontrada nos livros da referência. Para funções exponenciais e logarítmicas, podemos utilizar os gráficos para obter os resultados seguintes e, analogamente, obter resultados sobre limites envolvendo outras funções. 0 se 0 1 lim se 1 x x a a a      e se 0 1 lim 0 se 1 x x a a a      x y ( ) , 1xf x a a  0 1 x y ( ) , 0 1xf x a a   0 1 1a  [função exponencial crescente] 0 1a  [função exponencial decrescente] se 0 1 lim log se 1ax a x a      e 0 se 0 1 lim log se 1ax a x a      x y ( ) log ( ), 1af x x a  1 0 x y ( ) log ( ), 0 1af x x a   1 0 1a  [função logarítmica crescente] 0 1a  [f. logarítmica decrescente] Exemplos – Utilize gráficos das funções e os resultados acima para determinar cada limite: a) lim 4x x b) lim 5n n c) 2lim 5 y y      d)   1lim 0,03 q q   e) 0,7lim logx x  f)  lim ln 2 10 t t   CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 26 Função infinitesimal. Diz-se que uma função ( )f x é infinitesimal para    (respectivamente, para )x a x se lim ( ) 0 x a f x   (respectivamente, se lim ( ) 0 x f x   ). Exemplos – Funções infinitesimais: a) ( ) xf x e é infinitesimal quando x  . b) 1( )g x x  é infinitesimal para x  . c) 3( ) ( 1)h t t  é infinitesimal para 1t  . d) 2 ( ) zf z e é infinitesimal quando z  . Função limitada. Dizemos que uma função :f I   é limitada em I se existem ,M N   tais que ( )M f x N  , x I  . Dizer que uma função f é limitada significa, geometricamente, que o gráfico de f está plenamente contido numa “faixa” horizontal. x y M N grafico de f  Exemplos – funções limitadas: a) :f   , definida por 2 1( ) 1 f x x   é limitada em  , pois 2 10 1 1 x    , x   logo 0 ( ) 1f x  (figura). 2( ) Grafico de 1 1f x x  1 0 b) cosy x e seny x são limitadas em  , pois 1 cos 1x   e 1 sen 1x   , x   . 1 0 2  1 3 2  2  ( ) Grafico de cosf x x 1 0 1  ( ) Grafico de senf x x CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 27 2   2  c) :g   , 2 ( ) tg t e é limitada em  .    2 Grafico de ( ) exp( )g t t  t g d) :f   , ( ) arctgf   é uma função limitada em  . Grafico de ( ) arctanf    f 1.19 Teorema (função infinitesimal  função limitada). Suponha ( )f x é infinitesimal para x a e ( )g x uma função limitada num intervalo I   que contém a . Então lim ( ) ( ) 0 x a f x g x       . Demonstração. Seja ( )f x é infinitesimal para x a , então lim ( ) 0 x a f x   , ou seja, 0, 0; 0 ( ) 0x a f x             . Como ( )g x é uma função limitada no intervalo I   , existem ,M N   tais que ( )M g x N  , x I  . Assumimos 0N  e podemos tomar (sem perda de generalidade) ( )f x N  . Logo, ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x N N       , o que significa que lim ( ) ( ) 0 x a f x g x       .  Exemplos – Calcule os limites, justificando as características de cada função envolvida: a) 2 sen(5 )lim 7x x x  b) 3 23 3 lim log cos 3 5x x x x x    CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 30 c) 0 1 cos tg 3lim 2            (II) Limites Fundamentais Exponenciais i) lim 1 x x x e         , onde    . ii) 0 1lim ln x x a a x   , para 0 1a  . Exemplos – Calcule os limites: a) 3lim 1 x x x       b) 2 1lim 2 t t t t        c) 0 2 1lim x x x  d)     0 lim , 0 xx h h a a a h e)          2 4lim t t t t CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 31 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – Considere o gráfico da função ( )h x dado abaixo e determine os limites, se existirem: a) lim ( ) x h x  b) 2 lim ( ) x h x c) 2 lim ( ) x h x d) 0 lim ( ) x h x  e) 0 lim ( ) x h x  f) 2 lim ( ) x h x  g) 3 lim ( ) x h x  h) 2 lim ( ) x h x  i) lim ( ) x h x  j) 2 lim ( ) x h x                         x y 2 – Abaixo é dado o gráfico de uma função ( )f x . Determine os limites: a) lim ( ) x f x  b) 1 lim ( ) x f x c) 1 lim ( ) x f x d) 1 lim ( ) x f x  e) lim ( ) x f x  f) 2 lim ( ) x f x  g) 0 lim ( ) x f x                   x y CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 32 3 – Seja  : 3,5g    a função definida pelo gráfico a seguir e determine os limites: a) lim ( ) x g x  b) 1 lim ( ) x g x  c) 3 lim ( ) x g x  d) 3 lim ( ) x g x  e) 1 lim ( ) x g x  f) 5 lim ( ) x g x  g) lim ( ) x g x  h) 4 lim ( ) x g x  i) 2 lim ( ) x g x  j) 5 lim ( ) x g x                         x y 4 [Medicamento] – Um paciente recebe uma dose inicial de 200mg (miligramas) de certo medicamento. Posteriormente se administram doses de 100mg a cada 4 horas. A figura mostra a quantidade ( )y t de medicamento no sangue às t horas. Calcule e interprete: a) 8 lim ( ) t y t  b) 8 lim ( ) t y t  c) 16 lim ( ) t y t  d) 16 lim ( ) t y t   5 – Um gás (como vapor de água e oxigênio) se mantém à temperatura constante dentro de um cilindro mostrado na figura. Quando o gás se comprime o volume diminui visto que se chega a uma pressão crítica. Ao chegar nesta pressão o gás se converte em líquido. Utilize o gráfico na figura para interpretar e calcular a) 100 lim P V b) 100 lim P V 100 0,3 0,8  Litros V Líquido Gás P  Torr CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 35 12 – Determine, se possível, a   para que exista 0 lim ( ) x x f x  em cada caso: a)  0 3 2, 1 ( ) 3, 1 1 5 , 1 x x f x x x ax x          b)  0 2 4 , 2( ) 22 , 2 x xf x xx a x       13 – Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) em cada afirmação. Justifique as verdadeiras e dê um contra exemplo para as falsas. a)     Sabe-se que uma função ( )f x tem 3 lim ( ) 5 x f x   , então 3 lim ( ) 5 x f x   . b)     Seja ( )f t uma função, se 8lim ( ) 4t f t  , então 8 lim ( ) 4 t f t   . c)     Suponha que a função ( )g x tem 2lim ( ) 10x g x  , então (2) 10g  . d)     Se a composição f g é contínua em a então f e g são contínuas em a . e)     Existe uma função real ( )f x tal que lim ( ) lim ( ) lim ( )x ax a x a f x f x f x       . f)     É suficiente que exista lim ( )x a f x  para que f seja contínua em x a . g)     Suponha que f é contínua em  e (5) 17f  então 2 2 lim (4 11) 17 x f x    . 14 – As funções f e g são definidas em  e 1 lim ( ) 3 x f x   , (1) 5f  , 1 lim ( ) 10 x g x   e (1) 8g  . Responda o que se pede: a) A função ( ) ( ) ( )S x f x g x  , x   é contínua em 0 1x  ? b) A função ( ) ( ) ( )M x f x g x , x   , é contínua em 0 1x  ? 15 – Para cada um dos itens, esboçar o gráfico de uma função que satisfaz as condições dadas: a) lim ( ) x a f x L   e ( )a D f . CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 36 b) f é contínua em  , lim ( ) x f x    e lim ( ) 0 x f x   . c) lim ( ) x a f x   , lim ( ) 0 x a f x L   e ( ) 0f a  . d) f de domínio  que seja descontínua em dois pontos. 16 – Determine as constantes m e n de modo a função dada seja contínua em 0 0x  e 1 1x  .           3 2 1 , 1 e 0 , 1 , 0 mx x x f x x m x n m x 17 – A aceleração da gravidade g varia com a altitude r em relação à superfície terrestre. A função g depende de r (distância ao centro da Terra) e, é dada por: 3 2 se ( ) se GM r r R Rg r GM r R r     , onde R é o raio da Terra, M a massa da Terra e G a constante gravitacional. Responda: a) g é contínua? b) Esboce o gráfico de g . 18 – Calcule os limites a seguir: a)  5 4 1 lim 6 2 x x x    b) 3 24 32lim 2x x x x         c) 2 1 1 3 1lim 4 n n n          d) 2 3 32 2lim arcsen p p p p          e) 2 1 3lim 4 sen 5a a a a           f)   6 lim sec cosec      g)     371 lim 3 log 2n n n h) 4 cos(4 ) 1 lim 4 2q q q       i) 3 lim sen arctg(4 ) 1                 j) 5 41 2 1lim log 3 5t t t t          CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 37 19 – Determine, se possível, as constantes e a b   de modo que f seja contínua em 0x . a)   2 0 3 2, 1 ( ) 1 2, 1 ax x f x x x x       b)   2 02 2, 1 ( ) 1 , 1 bx x f x x b x      c)  0 2 3 3, 3 ( ) , 3 3 1, 3 x x f x ax x x bx x          d)  0 2 2 cos( ) 1, 0 ( ) 7 3 , 0 0 2 , 0 a x x f x x a x x b x x          20 – Esboce o gráfico de uma função f satisfazendo as condições indicadas: Dom( )f   , 0 lim ( ) 1 x f x   , 1 lim ( ) 0 x f x   , mas f é descontínua em 0 e 1x x  . 21 – Função sinal. A função sinal de x é definida por: 1 se 0 sgn( ) 0 se 0 1 se 0 x x x x     . x y gráfico de sgn( )x 1 1 0 Verifique se ( ) sgn( )f x x e ( ) sgn( )g x x x são funções contínuas. 22 – Calcule os seguintes limites: a) 32 3 9lim 3u u u         b) 3 2 20 4 2lim arccos 3 2p p p p p p          c) 2 35 9 20lim 125h h h h    d) 23 3 lim 4 3z z z z    e) 4 21 lim cotg 21t t t t           f) 3 2 21 2 5 6lim 5 2 3n n n n n n      g) 3 33 6 9lim 8 3y y y y y     h) 3 2 5 3 21 3 6 4lim 4 8 5x x x x x x x       CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 40 b) Identifique se há alguma descontinuidade removível; c) Existe algum ponto de descontinuidade que não pode ser removido? d) Havendo descontinuidade removível, que condição deve ser satisfeita pela função no ponto para que a função passe a ser contínua? 30 – Resolva os limites: a) 2 6lim x x b) lim (ln log100) x x   c) 4 15lim x x       d) 6 1lim 2t t t   e) lim x x  f) 1lim 1 2 3 n nn        g) 2lim x x  h) 4lim n n  i) 3lim t t  j)  2lim 2p p  k) 34lim 9x x       l) 2 1lim x x m) 3 7lim q q  n) 1010lim log 100 x x         o) 5lim 2 q q   p) 2 3lim R R R       31 – Resolva os limites: a)  4 2lim 2 6 1x x x x    b) 2 58 1,35 2limp p p          c) 4 2 1 2lim 1x x x x    d) 100 4 1234567lim 10 5 0,7t t t t           e)   4 1lim 2 x x e f)  21/3lim 3 log 9 tt t   g) 5 3 5 2 5 1lim sen 6 2r r r r            h) 4 34 36 3 1,5lim 7x x x x x   CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 41 i) 2 lim 1x x x x   j) 2 lim 1x x x x   k) 0 loglim x x  l) lnlim (0,8) 7nn n   m)  1lim 8 10x xx e  n)   2( 1)/ lim 1 0,17 t t t         o)  2 0 lim ln p p p  p) (0,5) 18lim log x x x  q) 2 11lim exp 10 3 y y y y               r) 0,5 6lim 240 1 3 zz e       s)    3 31 2 1 2lim log 2 log 2x x x x x       t) lim ln2 ln(6 1) t t t       32 – Considere   10; 0; , 0m b a c e os polinômios: 2( ) 3 1mp x ax x x    , 5( ) 2 4mq x bx x   e 2 7( ) 3 2mr x cx x   . Calcule os limites: a) ( )lim ( )x p x r x b) ( )lim ( )x q x p x c) 2 ( )lim ( )x r x x p x d) ( )lim ( ) m x x p x r x e) ( ) lim ( )x r x p x f) ( ) lim ( )x r x xq x 33 – Calcule os limites a seguir: a)  lim 2x x x   b)  lim 3t t t   c) 2lim 2 u u u         d) 2lim 4 x x x x         34 – Calcule cada limite e justifique sua resposta, identificando se existem e quais são as funções infinitesimais e limitadas nos itens a seguir: CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 42 a) senlim lnx x x   b) 3( )lim cos(2 1) y y y ye     c) 35 1 lim ( 1) sen 1t t t            d) 2 coslim 3 2 u u ue u         e) sen( / ) 0 lim 10 2t t t  f) 3 20 1 4lim 7 cos x x x xx             g) 3 7 2 5lim cos(ln ) 1 3      35 – Sob determinadas condições, a altura (em metros) de uma partícula em movimento harmônico forçado e amortecido pode ser modelada pela função:  3( ) 10 10 cos 3 sen 3th t t te   , sendo o tempo t medido em segundos. Calcule lim ( ) t h t  e interprete fisicamente o resultado. 36 – Sabendo que 2 2 2 3 2 5( )x x xf xx x    , 0x  . Determine lim ( ) x f x  . 37 – Considere ( )h t uma função real que satisfaz 3 2 ( ) 1 t th t t t t     . Determine lim ( ) t h t  . 38 – Calcule 5 lim ( ) z F z  sabendo-se que a função real ( )F z satisfaz 4 ( ) 3 2 5F z z   . 39 – Dado que 33 ( ) 2x g x x   para 0 2x  calcule 1 lim ( ) x g x  . 40 – Usando os limites fundamentais, calcule os limites pedidos nas funções a seguir: a) 0 sen( ) sen( )lim sen( )x kx x x x         b) 0 1 cos tg 3lim 2x x x x x        c) sen( )lim t t t     d) 20 1 seclim x x x  e) 0,5 5 sen( 0,5)lim 2 1     f) 2lim 1 x x x       g) ( ) 0 lim 1 b a x x x e    com b a h)  3/ 0 lim 1 x x x   CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 45 12) a) 10a   . b) 2 lim ( ) x f x  existe, independente do valor de a . Por isso a pode ser um número real qualquer. 13) a) F b) V c) F d) F e) F f) F g) V 14) a) Sim, pois 1 lim ( ) (1) x S x S   . b) Não, pois 1 lim ( ) (1) x M x M   . 15) Resolva! Existem muitos e diferentes exemplos. 16) 0n  e 1m  . 17) a) Sim. b) figura ao lado. 2 GM R R 0 g r 18) a) 5 b) 64 c) 1 8 d) 2  e) 2 3 f) 2 3 2 3  g) 0 h) 511 256  i) 1 4  j) 1 19) a) 1a   b) 1 ou 2b b   c) 134 e 9 a b   d) 1 e 3a b   20) Faça o seu gráfico! Existem muitos exemplos. 21) f é não contínua em 0 e G é contínua em  . 22) a) 216 b) 3  c) 3 15 d) 0,5 e) 1 f) 3 4 g) 21 19 h) 1 i) 1 2 j) 2 1 3 a a  k) 2 l)  23) a) 1 2 b) 4 3 c) 1/3e d) 0 e) 1 2 f) 3 5 g) 2 h) 4 5  24) a) f é contínua. b) f não é contínua em 0 4x  pois 4lim ( )x f x  . c) f é não contínua em 0 2t  e contínua em 1 0t  . CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 46 25) 231 31 21 ( )lim 4 ( ) 1 41 lim ( ) 6 ( ) 61lim 1 x x x f x f x xx g x g x x x               .... termine a resolução da questão! 26) a) 0x  é descontinuidade não removível de f . b) 3x   é descontinuidade removível de f , basta definir 3( 3) 2 f    . c) 10t  é descontinuidade removível de g . d) 2x  é descontinuidade removível de F , basta definir 1(2) 3 F  . e) 5x  é descontinuidade não removível de G . f) 1z  é descontinuidade não removível de h . 27) a) 1x  e 2x   b) Sim, 1x  c) Sim, 2x   d) (1) 2f 28) a)  b)  c)  d) 4 e)  f)  g)  29) a) 0x  . b) Não existem. c) Sim, 0x  . d) Não se aplica. 30) a) 0 b)  c) 0 d) 6 e)  f) g)  h)  i)  j)  k)  l) 0 m) 0 n) 2 o)  p)  31) a)  b)  c)  d)  e) 0 f)  g) 0,5 h) 6 7 i) 3 j) 1 k)  l)  m) 0 n) 2 o)  p) 0 q) 1 r) 240 s) 1 t)  32) a) 0 b) b a c)  d) a c e) c a f) 0 33) a) 0 b) 0 c) 0 d) 2 34) a) 0 b) 0 c) 0 d)  e) 0 f)  g) 0 35) lim ( ) 10metros t h t   . Depois de um longo tempo ( )t   a partícula tende a estacionar na altura 10 metros. 36) lim ( ) 2 x f x   37) lim ( ) 0 t h t   38) 5 lim ( ) 3 z F z   39) 1 lim ( ) 3 x g x   40) a) k    b) 1,5 c) 1 d) 1 2  e) 2,5 f) 2 1 e g) a – b h) 3 1 e CÁLCULO I – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 47 LEITURA COMPLEMENTAR Paradoxo de Zenon (c. 490 – c. 430 a.C.) Zenon de Eléia foi um filósofo. Infelizmente, sabemos pouco sobre sua vida e nenhuma de suas obras sobreviveu. Tomamos conhecimento de sua obra a partir de outras referências. Ele produziu um livro que continha 40 paradoxos, quatro dos quais tiveram efeitos significativos na Matemática. A obra de Aristóteles refere-se aos quatro paradoxos de Zenon como “Dicotomia”, “Aquiles”, “Flecha” e “Estádio”. Esses paradoxos envolvem a ideia da soma das séries finitas e da compreensão dos infinitesimais. Aristóteles não foi tomado pelos paradoxos de Zenon e os chamou de “falácias”. No entanto, foi só nos tempos modernos e por meio do desenvolvimento do Cálculo que os matemáticos desenvolveram a notação e os resultados para lidar adequadamente com as desafiantes contradições de Zenon. O famoso paradoxo de Aquiles pode ser resumido na história seguinte: Na Grécia Clássica, foi travada uma disputa entre Aquiles e uma tartaruga, sob o júdice do sofista Zenon. Era conhecida a lentidão da tartaruga, de modo que enquanto Aquiles corria 1m , a tartaruga percorria apenas 1 m 10 . Zenon afirmava categoricamente naquela época, que se a tartaruga largasse 1m na frente de Aquiles, ele nunca a ultrapassaria e seu argumento foi o seguinte: enquanto Aquiles percorria 1m , a tartaruga percorrerá 10cm , de modo que a sua liderança é indiscutível. Quando Aquiles vencer os 10cm que a tartaruga já percorreu, esta por sua vez, estará a 1cm a sua frente, e assim por diante. É óbvio que nenhuma tartaruga ganhou do maior corredor grego da antiguidade. Porém ninguém conseguiu refutar Zenon satisfatoriamente. Então a) Escreva as funções que determinam a distância percorrida por Aquiles e pela tartaruga, respectivamente, em função do tempo. b) Explique porque Aquiles ultrapassa a tartaruga, refutando o argumento de Zenon, utilizando o conceito de limite, que não era conhecido naquela época. CÁLCULO I – APÊNDICES 50 A 1.2 – DIVISÃO DE POLINÔMIOS: ALGORITMO DA DIVISÃO DE EUCLIDES Dividir o polinômio ( )A x pelo polinômio ( )B x não identicamente nulo significa obter dois polinômios ( )Q x (quociente) e ( )R x (resto) que verificam as seguintes condições: i) ( ) ( ) ( ) ( )A x B x Q x R x  ; ii) grau( ( )) grau( ( ))R x B x ou ( ) 0R x  . Podemos obter o quociente e o resto da divisão de dois polinômios pelo método da divisão euclideana para o qual adotamos o seguinte roteiro: Passo 1) Ordenar os polinômios ( )A x e ( )B x segundo as potências decrescentes de x ; Passo 2) Dividir o primeiro termo de ( )A x pelo primeiro termo de ( )B x para obtermos o primeiro termo de ( )Q x ; Passo 3) Em seguida multiplicamos o primeiro termo de ( )Q x por ( )B x , subtraindo de ( )A x o produto obtido. O resultado é o primeiro resto parcial 1( )R x ; Passo 4) Repetimos para 1( )R x o procedimento dos passos anteriores e assim sucessivamente até que o grau do resto ( )R x fique menor que o grau de ( )B x ou, no caso de divisão exata, que o resto seja nulo. Podemos sintetizar este método no diagrama ao lado ( )A x ( )B x ( )Q x ( )R x 1( )R x  Exemplo 1 – Efetue a divisão 3 2( ) 2 3 4A x x x x    por ( ) 1B x x  . 3 2 3 2 2 2 2 2 3 4 | 1 2 2 2 2 0 3 0 2 4 2 2 0 6 x x x x x x x x x x x x x x                Portanto, 2( ) 2 2Q x x x   e ( ) 6R x  . CÁLCULO I – APÊNDICES 51 Exemplo 2 – Efetue a divisão de 3( ) 2A x x x   por 2( ) 1B x x  . 3 2 2 3 2 0 2 | 0 1 0 0 0 2 2 x x x x x x x x x x            Portanto, ( )Q x x e ( ) 2 2R x x  . Exercícios Propostos 2 – Utilize o algoritmo da divisão de Euclides para determinar o quociente ( )Q x e o resto ( )R x para cada divisão ( ) ( ) A x B x . a) 3 2( ) 3 4 2A x x x x    e ( ) 1B x x  . b) 4( ) 10 4A x x x   e 2( )B x x x  . c) 4 3 2( ) 5 12 13A x x x x    e 3 2( ) 1B x x x   . d) 4 2( ) 3 11A x x x   e ( ) 2 3B x x  . A 1.3 – DIVISÃO DE POLINÔMIOS: ALGORITMO DE BRIOT–RUFFINI Quando queremos dividir um polinômio ( )A x por um binômio ( )x r podemos utilizar um algoritmo desenvolvido pelo matemático italiano Paolo Ruffini (1765– 1822) e pelo matemático francês Charles A. A. Briot (1817–1882) denominado hoje por Dispositivo Prático de Briot–Ruffini, no qual é possível apenas em termos dos coeficientes de ( )A x , de grau 1n  , e com a raiz de um binômio ( )x r , que é o divisor de ( )A x , encontrando um quociente ( )Q x de grau 1n  . ( ) ( )A x RQ x x r x r     O dispositivo é organizado da seguinte maneira: r ( )A xC ( )Q xC ( )R xC Sendo:  r a raiz do binômio;  ( )A xC os coeficientes de ( )A x ;  ( )Q xC os coeficientes do quociente ( )Q x ;  ( )R xC o resto da divisão. CÁLCULO I – APÊNDICES 52 Exemplo 1 – Considere a divisão de 4 3 2( ) 5 3 6A x x x x x     pelo polinômio ( ) 2B x x  . Inicialmente, vamos determinar a raiz do binômio ( ) 2B x x  : 2x  . Seguiremos o algoritmo: 1º. Passo) Dispomos a raiz do binômio e os coeficientes do polinômio no dispositivo: 2 1 1 5 3 6 2º. Passo) Reescrevemos o primeiro coeficiente de ( )A x logo abaixo, que será o primeiro coeficiente de ( )Q x , 1 : 2 1 1 5 3 6 1  3º. Passo) Multiplicamos a raiz por 1 (“rebaixado”) e somamos ao segundo coeficiente de ( )A x , no caso, 5 . O resultado é escrito logo abaixo do segundo coeficiente de ( )A x , que será o segundo coeficiente de ( )Q x , 3 : 2 1 1 5 3 6 1     3 4º. Passo) Multiplicamos a raiz pelo segundo coeficiente de ( )Q x e somamos ao terceiro coeficiente de ( )A x , encontrando o terceiro coeficiente de ( )Q x , 5 : 2 1 1 5 3 6 1   5 3  5º. Passo) Repetimos este processo até o último coeficiente: 2 1 1 5 3 6 1     20 13 5 3   Finalmente, podemos identificar os seguintes termos neste dispositivo: 2 1 1 5 3 6 1 20 13 5 3 coeficientes de ( )Q x resto coeficientes de ( )A x raiz Então, neste exemplo o quociente e o resto são dados por: 3 2( ) 3 5 13Q x x x x    e ( ) 20R x   . CÁLCULO I – APÊNDICES 55 APÊNDICE II – RESULTADOS DE TRIGONOMETRIA 30° 45° 60° 90° sen 1 2 2 2 3 2 1 cos 3 2 2 2 1 2 0 tan 3 3 1 3   Graus 0 30 45 60 90 135 180 225 240 270 300 315 330 360 Rad 0 6  4  3  2  3 4   5 4  4 3  3 2  5 3  7 4  11 6  2 sen 0 1 2 2 2 3 2 1 2 2 0 2 2  3 2  1 3 2  2 2  1 2  0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 2 2  1 2 2  1 2  0 1 2 2 2 3 2 1 tan   Algumas identidades trigonométricas a) cos( ) cos cos sen sen        b) sen( ) sen cos cos sen        c) cos( ) cos cos sen sen        d) sen( ) sen cos cos sen        e) 1cos cos cos( ) cos( ) 2             f) 1sen sen cos( ) cos( ) 2             g) 2 1 cos2sen 2   h) 2 1 cos2cos 2   Lei dos Cossenos 2 2 2 2 cosc a b ab    Lei dos Senos ˆ ˆ ˆsen sensen a b c B CA   CÁLCULO I – APÊNDICES 56 APÊNDICE III – RESULTADOS DE LIMITES OS QUINZE TIPOS DE LIMITES lim ( ) x a f x L   lim ( ) x a f x    lim ( ) x a f x    lim ( ) x a f x L   lim ( ) x a f x    lim ( ) x a f x   lim ( ) x a f x L   lim ( ) x a f x    lim ( ) x a f x    lim ( ) x f x L   lim ( ) x f x    lim ( ) x f x   lim ( ) x f x L   lim ( ) x f x    lim ( ) x f x    RESULTADOS SOBRE O INFINITO E INDETERMINAÇÕES MATEMÁTICAS     é indeterminação  é indeterminação , 00 k k    k   0    k  , 00 k k    ( )    0    ( )   0 0 é indeterminação ( ) , 0k k     00 é indeterminação ( ) , 0k k     0 é indeterminação 0 é indeterminação 1 é indeterminação  0k   0 é indeterminação é indeterminação