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Dimensionamento de Vigas de Concreto: Hipóteses e Cálculo da Armação, Exercícios de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Maringá (UEM)Engenharia Civil

avaliação de uma residencia de 200 metros quadrados

Tipologia: Exercícios

2010

Compartilhado em 31/05/2023

loiola-vicente-8
loiola-vicente-8 🇧🇷

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Não perca as partes importantes!

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As pessoas também perguntam
1) Como fazer o cálculo de uma viga?
Usualmente falando, a altura da viga, embora dependa de
vários fatores, pode ser estimada em cerca de 10% do seu
vão quando biapoiada ou 20% do vão quando em balanço.
Para a nossa situação a altura de 30 cm é mais que
suficiente.18 de out. de 2020
2) Dimensionamento de vigas: cálculo da armação
a) Uma vez que você já conhece as hipóteses de calculo
por trás do dimensionamento de seções submetidas à
flexão, podemos avançar para a obtenção das
equações em si. Nessa publicação você aprenderá
como obter as equações para o cálculo da posição da
linha neutra e da armação de flexão a ser adicionada à
seção a fim de resistir ao momento solicitante.
b) Equacionamento para cálculo da área de aço
1) Antes de mais nada, nas deduções a seguir vamos
considerar apenas o caso de concretos de até 50
MPa. Caso queira, lembrar as diferenças para os
concretos com a resistência característica acima de
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Baixe Dimensionamento de Vigas de Concreto: Hipóteses e Cálculo da Armação e outras Exercícios em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!

As pessoas também perguntam

1) Como fazer o cálculo de uma viga?

Usualmente falando, a altura da viga , embora dependa de

vários fatores, pode ser estimada em cerca de 10% do seu

vão quando biapoiada ou 20% do vão quando em balanço.

Para a nossa situação a altura de 30 cm é mais que

suficiente.18 de out. de 2020

2) Dimensionamento de vigas: cálculo da armação

a) Uma vez que você já conhece as hipóteses de calculo

por trás do dimensionamento de seções submetidas à

flexão, podemos avançar para a obtenção das

equações em si. Nessa publicação você aprenderá

como obter as equações para o cálculo da posição da

linha neutra e da armação de flexão a ser adicionada à

seção a fim de resistir ao momento solicitante.

b) Equacionamento para cálculo da área de aço

1) Antes de mais nada, nas deduções a seguir vamos

considerar apenas o caso de concretos de até 50

MPa. Caso queira, lembrar as diferenças para os

concretos com a resistência característica acima de

50 MPa basta conferir a publicação sobre hipóteses

de cálculo. Veja abaixo:

Dimensionamento de vigas de concreto: hipóteses

Entender os processos para o dimensionamento de seções

submetidas à flexão pode ser bem desafiador. A boa

notícia é que se você continuar nesse post irá aprender

realmente o sentido das fórmulas que utiliza!

Nesse post você aprenderá as hipóteses de cálculo

utilizada nas formulações de dimensionamento de seções

submetidas à flexão.

Hipóteses básicas para o dimensionamento à flexão

Antes de passarmos para a dedução das formulações de

dimensionamento, é necessário entendermos algumas

hipóteses, presentes na ABNT/NBR: 6118 (2014), que são

assumidas para essas deduções.

Seções planas

Admite-se que as seções que originalmente são planas

permanecem planas após as deformações. Dessa forma, a

deformação em cada ponto é proporcional a sua distância

para a linha neutra.

Aderência entre concreto e aço

No dimensionamento à flexão é assumida uma total

aderência entre o concreto e o aço. Logo, não é

considerado nenhum escorregamento da armadura no

concreto.

O valor de nn irá variar com a classe do concreto utilizada.

Para concretos de até 50 MPa, considera-se n=2; n= 2.

Enquanto o valor de nn para concreto com resistência

característica superior a 50 MPa vale:

n=1,4+23,4⋅(90−fck100)4; n= 1 , 4 + 23 , 4 ⋅( 10090 −fck) 4

Para concretos até 50 MPa assume-se ϵc2=2,0 ‰; ϵc

= 2 ,0‰ e ϵcu=3,5 ‰; ϵcu= 3 ,5‰. Enquanto para concretos

de classes C55 até C90:

ϵc2=2,0 ‰+0,085 ‰⋅(fck−50)0,53; ϵc2= 2 ,0‰

+ 0 ,085‰⋅(fck− 50 ) 0 , 53

ϵcu=2,6 ‰+35‰⋅(90−fck100)4; ϵcu= 2 ,6‰

+35‰⋅( 10090 −fck) 4

Diagrama tensão-deformação do aço

A norma ABNT/NBR: 6118 (2014) utiliza um diagrama

tensão-deformacão simplificado para os aços de armadura

passiva.

Diagrama tensão-deformação simplificado para o aço

Distribuição de tensões na seção

As distribuições de tensões no concreto são realizadas

conforme a equação apresentada para o diagrama tensão-

deformação, em que a tensão de compressão máxima vale

0,85⋅fcd; 0 , 85 ⋅fcd. Lembrando que, ao seguir essa

equação, teremos uma parábola para deformações até ϵc2;

ϵc2 e um trecho reto a partir desta deformação até ϵcu; ϵcu

Caso tenha interesse de ingressar na área de cálculo

estrutural e além disso contribuir para o blog, recomendo

a aquisição do livro dos professores Roberto Chust e

Jasson Rodrigues

A norma permite que, ao invés de utilizar um diagrama

parábola-retângulo, consideremos um diagrama retangular

simplificado. Este bloco retangular de tensões terá altura

y=λ.x; y=λ⋅x.

Onde x; x indica a posição da linha neutra medida a partir

da borda comprimida.

O valor de λ; λ irá variar com a classe do concreto

utilizada. Para concretos de até 50 MPa, considera-se

λ=0,8; λ= 0 , 8. O valor de λ; λ para concreto com

resistência característica superior a 50 MPa vale:

λ=0,8−fck−50400; λ= 0 , 8 −400fck− 50

As tensões do bloco retangular valem αc⋅fcd; αc⋅fcd no

caso da largura da seção, medida paralelamente à linha

neutra, não diminuir a partir desta para a borda

comprimida. Em contrapartida, caso a largura da seção

  1. deformação de encurtamento no concreto em seções parcialmente comprimidas atingir a deformação ϵcu; ϵcu (ϵcu=3,5 ‰; ϵcu= 3 ,5‰ para concreto de classe até C50).
  2. deformação de encurtamento no concreto em seções inteiramente comprimidas atingir a deformação ϵc2; ϵc2 (ϵcu=2,0 ‰; ϵcu= 2 ,0‰ para concreto de classe até C50). Assim sendo, a norma brasileira fornece um conjunto de domínios que abarcam as possibilidades de ruptura à flexão de uma seção: Domínios de deformação no Estado Limite Último Domínio 1  O Estado Limite Último é caracterizado pela deformação do aço ϵs=10,0 ‰; ϵs = 10 ,0‰;  A reta que representa a deformação gira em torno do ponto A (deformação do aço em 10,0 ‰), sendo que a deformação no concreto varia de 10,0 ‰ até 0;  Esse domínio é caracterizado por tração simples (reta sobre o ponto A) ou tração não uniforme. Domínio 2  O Estado Limite Último é caracterizado pela deformação do aço ϵs=10,0 ‰; ϵs = 10 ,0‰;  A reta que representa a deformação continua girando em torno do ponto A (deformação do aço em 10,0 ‰), sendo que a deformação no concreto varia de 0 até ϵcu=3,5 ‰; ϵcu= 3 ,5‰;  Nesse domínio a linha neutra irá variar de 0 até d⋅ϵcu0,01+ϵcu 0 , 01 +ϵcud⋅ϵcu;  Esse domínio é caracterizado por flexão simples ou composta. Domínio 3  O Estado Limite Último é caracterizado pela deformação no concreto ϵcu; ϵcu;  A reta que representa a deformação agora gira em torno de ϵcu; ϵcu, sendo que a deformação no aço varia de 10,0 ‰ até ϵyd; ϵyd;

 Nesse domínio a linha neutra irá variar de d⋅ϵcu0,01+ϵcu 0 , 01 +ϵcud⋅ϵcu até d⋅ϵcuϵyd+ϵcuϵyd+ϵcud⋅ϵcu;  Esse domínio é caracterizado por flexão simples ou composta. Domínio 4  No Estado Limite Último a seção rompe antes do aço escoar, de modo a ocorrer ruptura frágil;  A reta que representa a deformação continua girando em torno de ϵcu; ϵcu, sendo que a deformação no aço varia de ϵyd; ϵyd ‰ até 0;  Nesse domínio a linha neutra irá variar de d⋅ϵcuϵyd+ϵcuϵyd+ϵcud⋅ϵcu até d;  Esse domínio é caracterizado por flexão simples ou composta. Domínio 4a  No Estado Limite Último a seção rompe antes do aço escoar, de modo a ocorrer ruptura frágil;  A reta que representa a deformação continua girando em torno de ϵcu; ϵcu, sendo que a deformação no aço varia de ϵyd; ϵyd ‰ até 0;  Esse domínio é caracterizado por flexão composta com armaduras comprimidas. Domínio 5  O Estado Limite Último é caracterizado pela deformação no concreto de ϵcu; ϵcu para flexocompressão ou ϵc2; ϵc2 para compressão uniforme;  A reta que representa a deformação agora gira em torno do ponto C;  Esse domínio é caracterizado por compressão não uniforme. Dessa maneira, para seções submetidas à flexão simples a ruptura pode ocorrer nos domínios 2, 3 e 4, seções submetidas a flexo-tração, podem ocorrer os domínios 1, 2, 3 e 4 e seções submetidas a flexo-compressão, podem ocorrer os domínios 2, 3, 4, 4a e 5.

Limitações na posição da linha neutra

A norma brasileira limita a posição da linha neutra a fim de garantir boa condição de ductilidade. x/d≤0,45; x/d≤ 0 , 45 , para concretos até 50 MPa x/d≤0,35; x/d≤ 0 , 35 , para concretos de 50 MPa a 90 MPa Caso seja aplicada alguma redistribuição de momento, significando assim alteração na rigidez viga-pilar, o novo limite da posição da linha neutra é dado em relação ao momento reduzido δ⋅M; δ⋅M: x/d≤δ−0,441,25x/d≤ 1 ,25δ− 0 , 44 , para concretos até 50 MPa x/d≤δ−0,561,25x/d≤ 1 ,25δ− 0 , 56 , para concretos de 50 MPa a 90 MPa

  1. Conforme apontado nas hipóteses de dimensionamento, apesar da distribuição de tensões de compressão no concreto ser no formato parábola- retângulo, iremos considerar um diagrama retangular com a tensão constate de 0,85⋅fcd; 0,85⋅fcd, distribuído até uma altura de 0,8⋅x; 0,8⋅x.
  2. Vista frontal com as forças atuantes
  3. Dessa forma, a área de concreto comprimida vale bw⋅0,8⋅x; bw⋅0,8⋅x e para calcular a força de compressão basta multiplicar essa área pela tensão, agora uniforme, de 0,85⋅fcd; 0,85⋅fcd.
  4. Fc=bw⋅0,8⋅x⋅0,85⋅fcd; Fc=bw⋅0,8⋅x⋅0,85⋅fcd
  5. Fc=0,68⋅bw⋅x⋅fcd; Fc=0,68⋅bw⋅x⋅fcd
  6. Visto que a tensão de compressão é considerada agora como uniforme, o ponto de aplicação da força de resultante recém calculada será aplicada no ponto médio do bloco de tensões (distante 0,4⋅x; 0,4⋅x da borda comprimida). Sendo assim, o braço de alavanca z; z pode ser calculado por z=d−0,4⋅x; z=d−0,4⋅x.
  7. Ao retornarmos ao equilíbrio dos momentos , teremos:
  8. MSd=Fc⋅z; MSd=Fc⋅z
  9. MSd=0,68⋅bw⋅x⋅fcd⋅(d−0,4⋅x); MSd=0,68⋅bw⋅x⋅fcd⋅(d−0,4⋅x)
  10. Logo após, podemos rearranjar a equação acima da seguinte forma:
  11. MSdbw⋅fcd =−0,272⋅x2+0,68⋅d⋅xbw⋅fcd; MSd =−0,272⋅x2+0,68⋅d⋅x
  12. É possível organizar a equação acima em um formato conhecido de equação do segundo grau a⋅x2+b⋅x+c=0; a⋅x2+b⋅x+c=0.
  13. 0,272⋅x2−0,68⋅d⋅x+MSdbw⋅fcd=0; 0,272⋅x2−0,68⋅d⋅x+bw⋅fcdMSd=
  14. Com o propósito de simplificar, podemos fazer k=MSdbw⋅fcdk=bw⋅fcdMSd e resolver essa equação do segundo grau em função de xx, a fim de obtermos a posição da linha neutra :
  15. x=0,68⋅d±(−0,68⋅d)2−4⋅0,272⋅k2⋅0,272x=2⋅0,2720,68⋅d± (−0,68⋅d)2−4⋅0,272⋅k
  17. x=0,68⋅d±0,4624⋅d2−1,088⋅k0,544x=0,5440,68⋅d±0,4624⋅d2−1,088⋅k

28) Cálculo da área de aço

  1. Em segundo lugar, após o cálculo da altura da linha neutra, podemos calcular o valor do braço de alavanca z=d−0,4⋅x; z=d−0,4⋅x. Já que Fc=Fs; Fc=Fs, temos:
  2. MSd=Fs⋅z; MSd=Fs⋅z
  3. Em seguida, podemos substituir a força na armadura pelo produto da área de aço pela tensão:
  4. MSd=(As⋅fs)⋅z; MSd=(As⋅fs)⋅z
  5. As=MSdz⋅fs; As=z⋅fsMSd
  6. Caso ainda tenha dúvidas sobre os domínios de dimensionamento, separei um vídeo para você que explica passo a passo a utilização dos domínios de deformação no cálculo de vigas de concreto:
  7. Para os domínios 2 e 3, em que a deformação do aço é superior a deformação de escoamento, a tensão no aço é igual a tensão de escoamento do mesmo. Dessa forma:
  8. fs=fyd; fs=fyd
  9. As=MSdz⋅fyd; As=z⋅fydMSd

38) Exemplo aplicado sobre dimensionamento de

vigas

  1. A fim de aplicarmos o que aprendemos até então, vamos resolver uma viga de 14 cm de largura por 40 cm de altura submetida a um momento fletor característico positivo (traciona a borda inferior da viga) MSk=20 kN⋅m; MSk=20kN⋅m. Será considerado um concreto de 20 MPa, aço CA (fyk=500 Mpa; fyk=500MPa) e um cobrimento de 2,5 cm.
  2. Caso prefira, você pode acompanhar também a resolução das questões através do vídeo abaixo!
  3. Primeiramente, vamos obter o momento fletor de cálculo para essa viga: