CADERNO DO PROFESSOR, Notas de estudo de Matemática

Baixe CADERNO DO PROFESSOR e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! 2o SEMESTRE 2a SÉRIE MATEMÁTICA Ensino Médio CADERNO DO PROFESSOR SUMÁRIO MATEMÁTICA ...................................................................... 11 PREZADO PROFESSOR, As sugestões de trabalho, apresentadas neste material, refletem a constante busca da pro- moção das competências indispensáveis ao enfrentamento dos desafios sociais, culturais e pro- fissionais do mundo contemporâneo. O tempo todo os jovens têm que interagir, observar, analisar, comparar, criar, refletir e tomar decisões. O objetivo deste material é trazer para o estudante a oportunidade de ampliar conhecimentos, desenvolver conceitos e habilidades que os auxiliarão na elaboração dos seus Projetos de Vida e na resolução de questões que envolvam posicionamento ético e cidadão. Procuramos contemplar algumas das principais características da sociedade do conheci- mento e das pressões que a contemporaneidade exerce sobre os jovens cidadãos, a fim de que as escolas possam preparar seus estudantes adequadamente. Ao priorizar o trabalho no desenvolvimento de competências e habilidades, propõe-se uma escola como espaço de cultura e de articulação, buscando enfatizar o trabalho entre as áreas e seus respectivos componentes no compromisso de atuar de forma crítica e reflexiva na construção coletiva de um amplo espaço de aprendizagens, tendo como destaque as práticas pedagógicas. Contamos mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores para que consigamos, com sucesso, oferecer educação de qualidade a todos os jovens de nossa rede. Bom trabalho a todos! Coordenadoria Pedagógica – COPED Secretaria da Educação do Estado de São Paulo INTEGRANDO O DESENVOLVIMENTO SOCIOEMOCIONAL AO TRABALHO PEDAGÓGICO A educação integral exige um olhar amplo para a complexidade do desenvolvimento inte- grado dos estudantes e, também, para sua atuação na sociedade contemporânea e seus cená- rios complexos, multifacetados e incertos. Nesse sentido, o desenvolvimento pleno dos estu- dantes acontece quando os aspectos socioemocionais são trabalhados intencionalmente na escola, de modo integrado às competências cognitivas. É importante ressaltar que a divisão semântica que se faz com o uso dos termos cognitivo e socioemocional não representa uma classificação dicotômica. É uma simplificação didática já que, na aprendizagem, essas instâncias (cognitiva e socioemocional) são simultaneamente mobi- lizadas, são indissociáveis e se afetam mutuamente na constituição dos sujeitos. O QUE SÃO COMPETÊNCIAS SOCIOEMOCIONAIS? As competências socioemocionais são definidas como as capacidades individuais que se manifestam de modo consistente em padrões de pensamentos, sentimentos e comportamen- tos. Ou seja, elas se expressam no modo de sentir, pensar e agir de cada um para se relacionar consigo mesmo e com os outros, para estabelecer objetivos e persistir em alcançá-los, para tomar decisões, para abraçar novas ideias ou enfrentar situações adversas. Durante algum tempo, acreditou-se que essas competências eram inatas e fixas, sendo a primeira infância o estágio ideal de desenvolvimento. Hoje, sabe-se que as competências socio- emocionais são maleáveis e quando desenvolvidas de forma intencional no trabalho pedagó- gico impactam positivamente a aprendizagem. Além do impacto na aprendizagem, diversos estudos multidisciplinares têm demonstrado que as pessoas com competências socioemocionais mais desenvolvidas apresentam experiên- cias mais positivas e satisfatórias em diferentes setores da vida, tais como bem-estar e saúde, relacionamentos, escolaridade e no mercado de trabalho. QUAIS SÃO AS COMPETÊNCIAS SOCIOEMOCIONAIS E COMO ELAS SE ORGANIZAM Ao longo de 40 anos, foram identificadas e analisadas mais de 160 competências sociais e emocionais. A partir de estudos estatísticos, chegou-se a um modelo organizativo chamado de Cinco Grandes Fatores que agrupa as características pessoais conforme as semelhanças entre si, de forma abrangente e parcimoniosa. A estrutura do modelo é composta por 5 macrocompe- tências e 17 competências específicas. Estudos em diferentes países e culturas encontraram essa mesma estrutura, indicando robustez e validade ao modelo. SEQUENCIAL Percurso com Situações de aprendizagem desafiadoras, de complexidade crescente e com tempo de duração adequado. ATIVO As competências socioemocionais são desenvolvidas por meio de vivências concretas e não a partir de teorizações sobre elas. Para isso, o uso de metodologias ativas é importante FOCADO É preciso trabalhar intencionalmente uma comptência por vez durante algumas aulas. Não é possível desenvolver todas as competências socioemocionais simultaneamente. EXPLÍCITO Para instaurar um vocabulário comum e um campo de sentido compartilhado com os estudantes, é preciso explicitar qual é competência foco de desenvolvimento e seu significado. Desenvolver intencionalmente as competências socioemocionais não se refere a “dar uma aula sobre a competência”. Apesar de ser importante conhecer e apresentar aos estudantes quais são as competências trabalhadas e discutir com eles como elas estão presentes no dia a dia, o desenvolvi- mento de competências socioemocionais acontece de modo experiencial e reflexivo. Portanto, ao preparar a estratégia das aulas, é importante considerar como oferecer mais oportunidades para que os estudantes mobilizem a competência em foco e aprendam sobre eles mesmos ao longo do processo. MATEMÁTICA 11 MATEMÁTICA 2a SÉRIE – ENSINO MÉDIO VOLUME 3 1. ORGANIZAÇÃO DAS GRADES CURRICULARES Apresentamos, a seguir, uma grade curricular para a transição do material de apoio do Currículo do Estado de São Paulo, contendo os temas, a descrição das habilidades do Currículo Oficial de Matemática e sua respectiva relação com as competências gerais da Base Nacional Comum (BNCC) do Ensino Médio, além de algumas orientações pedagógicas para as três séries que compõem o referido estágio de ensino da escolaridade básica. A lista de conteúdos curriculares e habilidades, em Matemática, não é rígida e inflexível. O que se pretende é a articulação entre os temas (álgebra, geometria, grandezas e medidas, números e probabilidade e estatística), tendo em vista os princípios que fundamentam o Currículo Oficial: a busca de uma formação voltada para as competências pessoais, a abordagem dos conteúdos que valorize a cultura e o mundo do trabalho, a caracterização da escola como uma organização viva, que busca o ensino, mas que também aprende com as circunstâncias. Enfim, ao fixar os conteúdos disciplinares/objetos de conhecimento, é preciso ter em mente que a expectativa de todo o ensino é que a aprendizagem efetivamente ocorra. As disci- plinas curriculares não são um fim em si mesmas; e o que se espera dos conteúdos é que eles realmente possam ser mobilizados, tendo em vista o desenvolvimento de competências pesso- ais, tais como a capacidade de expressão, de compreensão, de argumentação etc. CADERNO DO PROFESSOR12 1.1 GRADE CURRICULAR DA 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO – 3º BIMESTRE ENSINO MÉDIO – CURRÍCULO DE MATEMÁTICA –2ª SÉRIE (3º BIMESTRE) CURRÍCULO OFICIAL – SEDUC-SP Currículo Paulista do Ensino Médio Tema/Conteúdo Habilidades Competências Gerais Números • Análise combinatória e probabilidade. • Princípios multiplicativo e aditivo; • Probabilidades simples; • Arranjos, combinatória e permutações. • Probabilidade da reunião e/ou da interseção de eventos. • Probabilidade condicional; • Distribuição binomial de probabilidades: • O triângulo de Pascal e o binômio de Newton. • Compreender os raciocínios combinatórios aditivo e multiplicativo na resolução de situações-problema de contagem indireta do número de possibilidades de ocorrência de um evento. • Saber calcular probabilidades de eventos em diferentes situações-problema, recorrendo a raciocínios combinatórios gerais, sem a necessidade de aplicação de fórmulas específicas. • Saber resolver problemas que envolvam o cálculo de probabilidades de eventos simples repetidos, como os que conduzem ao binômio de Newton. • Conhecer e saber utilizar as propriedades simples do binômio de Newton e do triangulo de Pascal. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação , a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 4. Utilizar diferentes linguagens verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 1.1.1 PROBABILIDADE E ANÁLISE COMBINATÓRIA. O tratamento tradicional do tema em questão, parte da classificação dos problemas utili- zando os conceitos de permutação, arranjos e combinações, de acordo com determinado crité- rio, na tentativa de facilitar a resolução a partir da aplicação de algumas fórmulas de cálculo. Se, por um lado, tal formalização permite agilizar a resolução de situações-padrão, por outro, dificulta o enfrentamento de situações-problema reais, com contextos e dificuldades iné- ditas. Dessa forma, um curso de Matemática, que priorize a resolução de problemas como prin- cipal metodologia de aprendizado, não pode se basear, unicamente, na classificação das situa- ções em grupos determinados, sob pena de limitar demais as estratégias de raciocínio que o estudante pode e deve mobilizar ao se confrontar com uma dificuldade real. Desta forma propo- mos que a classificação e o formalismo tradicional sejam inicialmente relegados a um segundo plano e, apenas ao final, sejam realizados nos moldes conhecidos. O raciocínio combinatório e o cálculo de probabilidades são conceitos apresentados aos estudantes desde o Ensino Fundamental Anos Iniciais, etapa em que tais conceitos não costu- mam gerar qualquer dificuldade além dos habituais para esse segmento de ensino. MATEMÁTICA 15 • Caminhões de açúcar Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1056. Acesso em: 30/11/2018. • Cara ou coroa. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1062 Acesso em: 30/11/2018. • Coisa de passarinho. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1070. Acesso em: 30/11/2018. • Coisas do amor. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1071. Acesso em: 30/11/2018. • Curva do Sino. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1071. Acesso em: 30/11/2018. • Dados não-transitivos. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1309. Acesso em: 30/11/2018. • Exoplanetas e probabilidades. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/ recursos/1335. Acesso em: 30/11/2018. • Explorando o Jogo do Máximo. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/ recursos/1237. Acesso em: 30/11/2018. • Fraude 171. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1313. Acesso em: 30/11/2018. • História da Estatística. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1252. Acesso em: 30/11/2018. • Histórica da Probabilidade. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1253. Acesso em 30/11/2018. • Grande Hotel 2. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1110. Acesso em: 30/11/2018. • Jankenpon. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1016. Acesso em: 30/11/2018. • Jogo da trilha. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1380. acesso em: 30/11/2018. • Jogo das Amebas. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1017. Acesso em: 30/11/2018. • O jogo de Dados de Mozart: Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1122. Acesso em: 30/11/2018. • Táxi e combinatória. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1035. Acesso em: 30/11/2018. CADERNO DO PROFESSOR16 1.1.2 ATIVIDADES TEMA 1: PRINCÍPIOS ADITIVOS E MULTIPLICATIVOS ATIVIDADE 1 Considere a seguinte situação: uma menina deseja vestir-se com uma saia e uma blusa, e dispõe de 4 saias diferentes e 5 blusas diferentes. O esquema a seguir representa as possibilida- des de escolha da menina. Fonte: Elaborada pelo autor Escreva uma multiplicação para indicar o total das diferentes possibilidades de escolha da menina. Uma maneira mais simplificada e eficaz de resolver tal situação consiste em determinar a multi- plicação entre a quantidade de elementos de cada conjunto. Observe que no conjunto de saia há 4 elementos e no conjunto de blusa há 5 elementos, temos assim: 4 ⋅ 5 = 20 combinações. ATIVIDADE 2 Um roteiro turístico prevê a visita a duas cidades do conjunto conhecido por “Cidades Históricas de Minas Gerais”, formado pelas cidades de Ouro Preto, Mariana, Tiradentes e São João del Rei. Quantos roteiros diferentes poderão ser traçados se: a) Ouro Preto sempre estiver fazendo parte do roteiro? Com Ouro Preto sempre fazendo parte do roteiro, temos três roteiros distintos: (Ouro Preto; Mariana), (Ouro Preto; Tiradentes) e (Ouro Preto; São João Del Rei). MATEMÁTICA 17 b) não houver restrição à escolha das duas cidades? Se não há restrição quanto a escolha de cidades que farão parte do roteiro, temos seis roteiros distintos: (Ouro Preto; Mariana), (Ouro Preto; Tiradentes), (Ouro Preto; São João Del Rei), (Mariana; Tiradentes), (Mariana; São João Del Rei), (Tiradentes; São João Del Rei). ATIVIDADE 3 Os números 342, 335, 872 e 900 são, entre tantos outros, números de três algarismos. Entre esses exemplos, os números 342 e 872 não repetem algarismos, contrariamente ao que ocorre, por exemplo, com os números 335 ou 900. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever se: a) todos começarem por 1 e os algarismos puderem ser repetidos? Como sabemos, temos os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 (10 algarismos). Para a reso- lução deste exercício, temos o número 1 como elemento fixo na posição numérica da centena. Para a posição numérica da dezena e unidade, podemos utilizar qualquer algarismo. Logo, a quantidade de números de 3 algarismos que começam com o algarismo 1 e que podem ter algarismos repetidos será igual a: 1 ⋅ 10 ⋅ 10 = 100 números. b) todos começarem por 1 e os algarismos não puderem ser repetidos? Assim, como no item anterior, temos 10 algarismos. Para a resolução deste problema, temos o número 1 como elemento fixo na posição numérica da centena. Para a posição numé- rica da dezena e da unidade, podemos utilizar qualquer algarismo, exceto aquele já utilizado anteriormente, assim restando 9 algarismos para a dezena e 8 algarismos para a unidade. Logo, a quantidade de números de 3 algarismos que começam com o algarismo 1 e que não podem ter algarismos repetidos será igual a: 1 ⋅ 9 ⋅ 8 = 72 números. c) não houver qualquer restrição, isto é, desde 100 até 999? Temos 10 algarismos. Para a resolução deste exercício, o 1º algarismo só poderá ser um algarismo entre 1 e 9, sem o zero, ou seja, 9 algarismos. Os demais podem ser qualquer um entre 0 e 9, ou seja, 10 algarismos na unidade e na dezena. Logo, a quantidade de números será igual a: 9 ⋅ 10 ⋅ 10 = 900 números. Prezado(a) Professor(a), proponha também aos estudantes, o seguinte caso: d) os números não contiverem algarismos repetidos? Como colocado anteriormente, temos 10 algarismos. Para a resolução deste problema, o 1º algarismo só poderá ser um algarismo entre 1 e 9, sem o zero, ou seja, 9 algarismos. Para a posição numérica da dezena e unidade, podemos utilizar qualquer algarismo, exceto o já utili- zado anteriormente, assim restando 9 algarismos para a dezena e 8 algarismos para a unidade. Logo: 9 ⋅ 9 ⋅ 8 = 648 números. CADERNO DO PROFESSOR20 TEMA 2: FORMAÇÃO DE FILAS SEM E COM ELEMENTOS REPETIDOS AS FILAS Quando duas pessoas A e B colocam-se em fila, há apenas duas possibilidades: primeiro vem A e depois B, ou primeiro vem B e depois A. Se uma pessoa C juntar-se a essas duas a fila poderá, agora, ser formada de 6 maneiras diferentes: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Se uma quarta pessoa juntar-se a essas, serão, agora, 4 vezes mais filas do que o número anterior. Isto é, serão 4.6 = 24 filas ATIVIDADE 7 Quantas filas diferentes poderão ser formadas com 5 pessoas, apenas alternando suas posições na fila? Para a resolução desta atividade temos cinco possibilidades de ocupar a primeira posi- ção na fila. Após definida a primeira pessoa da fila, sobrarão quatro possibilidades para que as pessoas ocupem a segunda posição da fila. O mesmo raciocínio vale para a terceira posição com 3  possibilidades, na quarta 2 possibilidades e na última 1 possibilidade. Ou seja: 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 possibilidades de filas distintas. Observação: o produto apresentado pode ser representado por 5! ATIVIDADE 8 Quantos anagramas diferentes podem ser formados com as letras das palavras: a) BIA 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 anagramas diferentes podem ser formados. b) NICO 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 anagramas diferentes podem ser formados. c) LUCIA 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 anagramas diferentes podem ser formados. d) CAMILO 6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720 anagramas diferentes podem ser formados. MATEMÁTICA 21 ATIVIDADE 9 Considere a palavra CABO. Se trocarmos a ordem entre as letras dessa palavra, formando agrupamentos de letras que podem ou não formar palavras conhecidas, formaremos “anagra- mas”. Veja alguns dos anagramas da palavra CABO: COBA, BACO, OCBA, ABOC, ACOB a) começando por A, quantos anagramas diferentes poderemos formar? As opções de letras que podem ser utilizadas em cada posição: 1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 anagramas (ACBO, ACOB, ABCO, ABOC, AOCB e AOBC). b) quantos anagramas terminados em O existem? Seguindo o mesmo raciocínio do item a: As opções de letras que podem ser utilizadas em cada posição: 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1= 6 anagramas. c) no total, quantos anagramas existem? Ao todo são 4 opções de letras que podem ser utilizadas. E para cada posição utilizar qual- quer uma, exceto a letra utilizada anteriormente, temos então: 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 anagramas. ATIVIDADE 10 Em uma caixa foram colocadas 9 bolinhas, numeradas de 1 a 9. Para retirar uma bolinha dessa caixa, temos 9 maneiras diferentes: pegar a bolinha 1, ou a bolinha 2, ou a bolinha 3, e assim por diante. Para retirar duas bolinhas da caixa, temos já um número bem maior de manei- ras diferentes: temos 8 vezes mais, isto é, 72 maneiras diferentes. Isso porque há 8 possibilidades de pegar a segunda bolinha depois de a primeira delas ter sido apanhada. Responda: a) quantas maneiras diferentes existem para pegar 3 bolinhas dessa caixa? Como temos 9 bolinhas numeradas em uma caixa, teremos 9 possibilidades para a primeira retirada, 8 possibilidades para a segunda e 7 para a terceira. Sendo assim, teremos 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 maneiras diferentes de retirar a bolinha. b) quantas maneiras diferentes existem para pegar 4 bolinhas dessa caixa? Por meio de um raciocínio análogo ao desenvolvido no item a, obtemos: 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3 024 maneiras diferentes de retirar a bolinha. ATIVIDADE 11 Suponha que, no caso do problema anterior, a bolinha que for pega seja jogada nova- mente na caixa antes que a próxima bolinha seja sorteada. Em outras palavras, a bolinha é reposta na caixa a cada sorteio. Nessa condição, de quantas maneiras diferentes podemos reti- rar dessa caixa: CADERNO DO PROFESSOR22 a) duas bolinhas? Como temos 9 bolinhas numeradas em uma caixa, teremos 9 possibilidades para a primeira retirada e 9 possibilidades para a segunda, visto que ela vai ser reposta. Sendo assim, teremos 9 ⋅ 9 = 81 maneiras diferentes. b) três bolinhas? Analogamente para 3 bolinhas temos: 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 729 maneiras diferentes de retirada. c) quatro bolinhas? 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 6.561 maneiras diferentes de retirar as 4 bolinhas. ATIVIDADE 12 Sete pessoas formarão ao acaso uma fila indiana. Em quantas ordenações diferentes poderá ser formada a fila? Como temos 7 pessoas que serão ordenadas para formar fila, teremos 7 possibilidades para a primeira pessoa, 6 possibilidades para a segunda e 5 para a terceira e assim sucessiva- mente. Sendo assim, teremos: 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5 040 ordenações diferentes de pessoas formando filas diferentes. ATIVIDADE 13 Trocando a ordem das letras INA, podem ser formados 6 anagramas diferentes: INA, IAN, AIN, ANI, NAI, NIA Com as letras da palavra ANA, o número de anagramas é menor; são apenas 3: ANA, AAN, NAA Por que o número de anagramas dessas palavras não é o mesmo, se ambas têm 3 letras? A resposta é: a palavra ANA tem letras repetidas. A palavra LUTA tem 24 anagramas, enquanto a palavra LULU, que tem 2 “L” e 2 “U”, tem apenas 6 anagramas, pois a troca de um “L” com outro ou a troca entre os dois “U” não gera novo anagrama. Quer dizer, o total de 24 anagramas de uma palavra com 4 letras distintas fica, no caso de LULU, duas vezes dividido por 2!, por causa dos “L” e dos “U” repetidos. Então, 24÷2! ÷ 2! = 6. Veja por exemplo, a palavra INICIOU: apesar de ter 7 letras não tem 7! = 5040 anagramas distintos, pois tem o “I” repetido três vezes, uma vez que a troca de um “I” com outros dois “I” não gera novo anagrama. Quer dizer, o total de 5040 anagramas de uma palavra com 7 letras distintas fica, no caso de INICIOU dividido por 3!, em decorrência dos “I” repetidos. Assim, INICIOU tem 5040÷3! = 5040÷6 = 840 anagramas distintos. Agora, responda: qual é o total de anagramas das palavras a seguir? MATEMÁTICA 25 TEMA 3: FORMAÇÃO DE GRUPOS COM ELEMENTOS DE UMA OUTRA OU MAIS CATEGORIAS. Observe a representação de uma parte da árvore de possibilidades para o seguinte pro- blema: quantos grupos ordenáveis (filas) de 3 elementos podemos formar com 7 pessoas? Fonte: Elaborada pelo autor. Ao observar a árvore percebemos que, para determinada pessoa em 1° lugar, há 6 opções para o 2° colocado e, para cada um destes, há 5 possibilidades de escolha para o 3° colocado. Assim, a quantidade de grupos ordenáveis é, nesse caso, igual ao produto 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 210 Agora, vamos mudar a questão e perguntar: a quanto ficaria reduzido o número de agru- pamentos se eles não fossem ordenáveis? Isto é, se o agrupamento “João, José, Maria” fosse o mesmo de “João, Maria, José”, o mesmo de “Maria, José, João” e igual a todos os demais em que só é trocada a ordem dos participantes? Em outras palavras, se em vez de serem feitas filas, fossem feitos grupos de pessoas? Para responder, retomamos os problemas anteriormente resolvidos, mostrando que haverá 3! = 6 ordenações possíveis. Portanto, quaisquer 3 elementos que considerarmos entre 7 permitirão 3! = 6 ordenações possíveis. Assim, se temos 7.6.5 conjun- tos ordenáveis, temos (7 ⋅6 ⋅ 5) ÷ 3! conjuntos não ordenáveis, e a resposta do problema é 210 ÷ 6 = 35 grupos diferentes de 3 pessoas. ATIVIDADE 17 Cinco pessoas, Arnaldo, Benedito, Carla, Débora e Eliane, estão juntas em uma sala. a) Quantos agrupamentos ordenáveis diferentes (filas) de 5 pessoas podem ser formados com essas 5 pessoas? Permutação de 05 pessoas, 5! = 120 agrupamentos. CADERNO DO PROFESSOR26 b) Quantos agrupamentos não ordenáveis diferentes (grupos) de 5 pessoas podem ser forma- dos com essas 5 pessoas? Para a resolução deste problema, devemos observar que a ordem das pessoas não importa, sendo assim temos apenas 1 grupo possível, formado por estas pessoas. Podemos também observar que este é o resultado obtido da divisão da contagem da ordenação (de 5!) pelo des- conto da não ordenação (5!), ou seja, trata-se de uma situação de combinação e não de permu- tação como no item a. Prezado Professor, inclua o item a seguir na atividade para complementar o raciocínio combinatório. c) Quantos grupos diferentes de 2 pessoas podem ser formados com as pessoas presentes na sala? Neste caso devemos calcular a combinação de 5 pessoas tomadas 2 a 2. Veja: Comentário A combinação simples pode ser definida como sendo um agrupamento dos elementos de um conjunto em subconjuntos. Na combinação simples a ordem dos elementos não é conside- rada na formação dos subconjuntos, devendo ser considerado uma única vez na contagem da quantidade de combinações. A expressão matemática utilizada para encontrar as quantidades de combinações simples de um conjunto é representada por: ATIVIDADE 18 Há 10 bolas em uma caixa, todas iguais com exceção da cor, sendo 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Quantos conjuntos de 4 bolas podem ser formados sendo: a) todas brancas Observe que temos apenas 4 bolas de cor branca. Assim, temos apenas uma possibilidade de conjunto, contendo apenas bolas brancas. Podemos também observar que este é o resul- tado da divisão de 4! por 4!. (Combinação de 4 bolas tomadas 4 a 4). b) duas brancas e duas pretas? Primeiramente encontraremos todas as possibilidades de agrupamentos de 2 bolas bran- cas calculando a combinação de 4 bolas tomadas 2 a 2. MATEMÁTICA 27 Em seguida as possibilidades de agrupamentos de duas bolas pretas calculando a combi- nação de 6 bolas tomadas 2 a 2. Multiplicando as duas combinações temos 15 ⋅ 6 = 90 possibilidades. ATIVIDADE 19 Sobre a prateleira de um laboratório repousam 8 substâncias diferentes. Quantas misturas diferentes com iguais quantidades de 2 dessas substâncias podem ser feitas se: a) não houver qualquer restrição? Para a resolução deste item, observe que se trata de formar um conjunto não ordenado de dois elementos a partir de 8 disponíveis. Podemos calcular a combinação de 08 elementos toma- dos 2 a 2. Veja: b) entre elas há 3 substâncias que não podem ser misturadas duas a duas por formarem um composto que exala gás tóxico? De acordo com o item anterior temos 28 possíveis agrupamentos de 2 substâncias com as 08 disponíveis. Como 3 delas não podem se misturar entre si, podemos calcular o total de agru- pamentos tomados 2 a 2 com essas 3 substâncias e subtrair do valor total. Subtraindo do valor total temos: 28 – 3 = 25 misturas diferentes. ATIVIDADE 20 Uma seleção de basquete com 5 jogadores será formada por atletas escolhidos de apenas duas equipes A e B. Da equipe A, que possui 12 atletas, serão selecionados 2, enquanto a equipe B, que possui 10 atletas, cederá 3 para a seleção. Se todos os atletas têm potencial igual de jogo, quantas seleções diferentes poderão ser formadas? CADERNO DO PROFESSOR30 ATIVIDADE 23 Dispomos de 8 pessoas para formar grupos de trabalho. De quantas maneiras diferentes o grupo poderá ser formado se dele participar(em): a) apenas uma das 8 pessoas? Com apenas 1 elemento no grupo, poderemos formar 8 grupos diferentes. b) duas das 8 pessoas? Com duas pessoas, teremos a seguinte quantidade duplas: c) três das 8 pessoas? Com três pessoas, teremos a seguinte quantidade de trios: d) quatro das 8 pessoas? Com quatro pessoas, teremos a seguinte quantidade de grupos: ATIVIDADE 24 Em uma sala há n pessoas com as quais formaremos grupos, ordenáveis ou não. De quan- tas maneiras diferentes podemos formar o grupo se ele tiver: a) apenas 1 elemento? Serão n maneiras diferentes de formar grupo com 1 único elemento. b) 2 elementos? • Grupos ordenáveis, de 2 elementos, dispondo de n possibilidades, temos: n · (n-1) • Grupos não ordenáveis nessa condição pode ser observada em: MATEMÁTICA 31 c) 3 elementos? • Grupos ordenáveis de 3 elementos, dispondo de n possibilidades, temos que: n · (n – 1) · (n – 2) • Grupos não ordenáveis nessa condição podem ser observadas em: d) 4 elementos? • Grupos ordenáveis de 3 elementos, dispondo de n possibilidades, temos que: n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) • Grupos não ordenáveis nessa condição podem ser observadas em: e) p elementos, p < n? • Grupos ordenáveis de p elementos, dispondo de n: n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) ··· [n – (p – 1)] • Grupos não ordenáveis nessa condição podem ser observáveis em: ATIVIDADE 25 Em dupla, elabore um problema como os exercícios anteriores envolvendo análise com- binatória. Troque o exercício elaborado com outra dupla que terá a missão de resolver e CADERNO DO PROFESSOR32 socializar com a turma. Vocês podem auxiliar a dupla que ficou responsável em resolver o problema elaborado. Registre no seu caderno o problema elaborado e a resolução. Comentário: Livre criação do estudante. Contudo, a mediação do professor torna esta atividade uma forma de acompanhamento das habilidades desenvolvidas até aqui, e como o estudante orga- niza as informações para expressá-las na forma escrita e contextualizada. É importante a troca de saberes tanto no momento da escrita, quanto nas diferentes resoluções que possam surgir. Valorizar este momento é possibilitar o desenvolvimento dos saberes matemáticos em constru- ção, pois é a hora de o estudante colocar em jogo tudo o que aprendeu, posicionar-se para defender as concepções adquiridas até o momento e sua linha de raciocínio. ATIVIDADE 26 Sete pessoas, 3 meninas e 4 meninos, entram em um cinema e vão ocupar 7 cadeiras. Uma pessoa em cada cadeira, colocadas lado a lado. De quantas maneiras diferentes essa ação poderá ser realizada se: a) não houver qualquer restrição? Temos: 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 7! = 5 040 maneiras. b) na primeira cadeira sentar um menino e na última uma menina? Observemos que, na primeira cadeira apenas os homens podem se sentar. Temos assim: 4._._._._._._. Na última, apenas as mulheres, ou seja, 4._._._._._.3. Temos, então, que para a primeira há 4 possibilidades e na última 3 possibilidades. Assim, restam 5 pessoas em posições intermediárias, entre homens e mulheres, para se sentarem,. nas 5 cadeiras restantes. Logo, para a segunda cadeira, tem-se 5 possibilidades, para a terceira, 4 possibilidades, e assim por diante: 4 · 5 · 4 · 3 · 2 · 3 = 1440 c) duas meninas sempre ficarem lado a lado? Considerando as duas meninas como uma só pessoa, teremos 6 pessoas para 6 lugares, isto é, 6!. Precisamos, entretanto, permutar a ordem entre as duas meninas. Assim, temos 6! ⋅ 2 = 1 440 d) todas as meninas ficarem lado a lado? Para a resolução deste item, vamos calcular a permutação das meninas entre si: 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6, e a permutação dos meninos entre si: 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1= 24. Temos então: 6 ⋅ 24 = 1446 possibilidades. E, por fim, multiplicamos o resultado por 5, pois são os possíveis lugares, intercalando entre os grupos de meninos e o grupo de meninas. Portanto, 144 ⋅ 5 = 720 maneiras. MATEMÁTICA 35 forma, contando 5067 caras em dez mil lançamentos. Estes dados sugerem que uma moeda pode ser um razoável instrumento aleatório quando há um equilíbrio entre dois resultados pos- síveis. Se o leitor quiser repetir estas experiências, terá de ter cuidado e apanhar a moeda ainda no ar - quando se deixa a moeda rolar pelo chão antes de assentar numa das faces, a diferença de desenho dos dois lados favorece habitualmente um deles...” Prezado(a) Professor(a), ao término da leitura do texto, apresente aos estudantes a seguinte questão norteadora: Sendo o total de lançamentos o espaço amostral, calcule a proporção de ocorrências de “cara” de cada matemático. Veja a sugestão de resolução, após o desenvolvimento da atividade 3. ATIVIDADE 2 Considerando a probabilidade experimental apresentada, em dupla complete a tabela a seguir lançando uma moeda 20 vezes. Utilize C para cara e K para coroa. Lançamentos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resultado Lançamentos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Resultado a) a partir da sua experimentação, calcule a probabilidade de sair cara no lançamento de uma moeda. Veja a sugestão de resolução, após o desenvolvimento da atividade 3. ATIVIDADE 3 Repita a experimentação com o lançamento da moeda e complete a tabela a seguir Lançamentos 20 40 60 Nº de ocorrências de cara (C) Probabilidade experimental a) analisando os resultados da probabilidade experimental, o que podemos concluir? CADERNO DO PROFESSOR36 Atividades 1, 2 e 3 O estudo dos fenômenos que envolviam determinadas possibilidades fez surgir a Probabilidade. Alguns livros indicam que o surgimento da teoria das probabilidades teve início com os jogos de azar disseminados na Idade Média. Esse tipo de jogo é comumente praticado por meio de apostas. Na ocasião também era utilizado no intuito de antecipar o futuro, por isso é comum encontrarmos muitos problemas envolvendo dados, cartas de baralho e moedas. As estratégias didáticas, propostas nas atividades a seguir, desenvolverão habilidades importantes que partem da análise e descrição dos espaços amostrais até o raciocínio combinatório, propi- ciando a diversidade de etapas de avaliação. Uma dessas etapas pode ser realizada em duplas ou trios de estudantes, uma vez que a comparação entre diferentes estratégias de raciocínio permite compreender a situação-problema sob o ponto de vista mais amplo, estimulando-se tanto a escolha de estratégias mais eficientes, quanto a recuperação de estratégias anterior- mente mobilizadas em situações semelhantes. Caro professor, analise as sugestões de resolução das questões propostas sem deixar de validar e considerar o raciocínio lógico dedutivo e quantitativo dos estudantes. Para o desenvolvimento dessas atividades sugerimos a organização dos estudantes em duplas os quais vivenciarão um experimento semelhante ao realizado por matemáticos que desenvolveram a teoria das probabilidades. É importante comentar com seus estudantes que o resultado se aproxima de à medida que o número de repetições do experimento aumenta e que, dificilmente, o resultado do quociente do número de caras do total de lançamentos é exatamente  . Destaque que o valor é a probabilidade, mas que, na prática, isso não signi- fica que dos lançamentos resulta em cara e a outra metade, em coroa. Outro fator impor- tante, é o relato escrito dos estudantes quanto ao desenvolvimento do experimento e o cálculo das probabilidades, que poderá ser explorado na forma fracionária, decimal e porcentagem. Veja a probabilidade de cada matemático nos experimentos: • Georges Louis Leclerc: • Karl Pearson • Prisioneiro dos Nazis: MATEMÁTICA 37 ATIVIDADE 4 Descreva o espaço amostral para cada uma das situações a seguir: a) no lançamento de 01 dado não viciado; A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) no lançamento de dois dados não viciados; Veja tabela a seguir: D2 D1 1 2 3 4 5 6 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) c) no lançamento de uma moeda 3 vezes consecutivas; Seja C = cara e K = coroa temos o espaço amostral no lançamento de 3 moedas: C = {KKK, KKC, KCC, KCK, CCC, CCK, CKK, CKC} d) escolher, aleatoriamente um homem e uma mulher em grupo de 8 pessoas com 03 homens e 05 mulheres; Seja H = homem e M = mulher, temos o espaço amostral de 08 pessoas sendo 3 homens e 5 mulheres representado por D = {H, H, H, M, M, M, M, M} CADERNO DO PROFESSOR40 c) a probabilidade de cair um número par e primo; E = {2} d) a probabilidade de cair um primo ou par; E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12} e) a probabilidade de cair um número par e um número ímpar respectivamente em dois lançamentos. N(Ω) = 12 ⋅ 12 = 144 possibilidades. N(E) = 36 possibilidades. (temos 72 possibilidades de cair primeiro um número par, ([Par, Par] e [Par, Ímpar]), porém em apenas 36 delas o segundo número será ímpar). ATIVIDADE 7 No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par? Este problema é de probabilidade condicional e teremos duas possibilidades de encontrar a solução: A = {4, 5, 6} número maior que 3 no lançamento do dado. B = {4, 6} número par e maior que 3 no lançamento do dado. Podemos, também, usar a relação de probabilidade condicional: A = {ser maior que 3} = {4, 5, 6} B = {ser par} = {2, 4, 6} A ∩ B = {ser maior que 3 e ser par} = {4, 6} Assim, também, teremos 2 eventos em um universo de 3 possibilidades. MATEMÁTICA 41 ATIVIDADE 8 (Enem 2013) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico: A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os com- pradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas com- pras em fevereiro de 2012? (A)1/20 (B) 3/242 (C) 5/22 (D) 6/25 (E) 7/15 Registre seu raciocínio para assinalar a alternativa correta. A probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem simultaneamente é calculada por meio do produto das probabilidades de cada um ocorrer separadamente. A probabilidade do ganhador do sorteio dos compradores do produto A ter realizado a compra no mês de fevereiro é de 30/100, pois 30 fizeram a compra em fevereiro em um total de: 10 + 30 + 60 = 100 produtos A comprados. Já a probabilidade para o produto B é de 20/100, pois 20 compraram em fevereiro em um total de 20 + 20 + 80 = 120 produtos B. Assim a probabilidade pedida é de: Portanto, alternativa (A) correta. CADERNO DO PROFESSOR42 ATIVIDADE 9 Um Buffet comprou em uma liquidação de fábrica duas caixas com pratos de porcelana de marcas diferentes A e B porém alguns pratos estavam com defeito. A porcentagem de pratos defeituosos, respectivamente, nas caixas A e B é de 15% e de 5%. Foram misturados, numa caixa 100 pratos do tipo A e 100 pratos do tipo B. Se tirarmos um prato ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que ele seja da marca A é de (A) 10% (B) 15% (C) 30% (D) 50% (E) 75% A caixa possui um total de 200 pratos de porcelana e há 15¨% de 100, que corresponde a 15 pratos defeituosos do tipo A e 5% de 100 que corresponde a 5 pratos defeituosos do tipo B. Logo, há um total de 20 pratos defeituosos no total. Como já foi detectado que o prato retirado é defeituoso, o espaço amostral fica reduzido de 200 para 20. Pratos Tipo A Tipo B Tipo C Defeituosos 15 5 20 Não defeituosos 85 95 180 Total 100 100 200 Alternativa (E) ATIVIDADE 10 (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encon- traram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribui- ção das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico mostrado. MATEMÁTICA 45 b) dois homens e uma mulher, em qualquer ordem; (Multiplica-se pelas 3 possibilidades: HHM, MHH e HMH) c) um homem, uma mulher e outra mulher, nesta ordem; d) um homem e duas mulheres, em qualquer ordem. (Multiplica-se pelas 3 possibilidades: MMH, HMM e MHM). ATIVIDADE 14 Considere um cofre com 3 rodas de fechaduras sendo cada uma delas com 12 letras (A a L). a) quantas combinações serão possíveis ao escolher uma letra para cada roda? Considere as 12 letras em cada roda: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L. Temos 12 possibilidades em cada roda, então o total de combinações será: 12 ⋅ 12 ⋅ 12 = 1728. b) o dono desse cofre esqueceu o segredo, porém lembra que as letras da primeira e segunda roda são vogais diferentes e na última é uma consoante. Quantos são os códigos que satis- fazem essa condição? Temos 03 vogais {A, E, I} e 09 consoantes {B, C, D, F, G, H, J, K, L}, considerando que nas duas primeiras temos duas vogais diferentes e na terceira uma consoante, o total de combinações será: 3 ⋅ 2 ⋅ 9 = 54 códigos diferentes. c) qual a probabilidade de o dono do cofre acertar na primeira tentativa? A probabilidade de acertar na primeira tentativa é: ATIVIDADE 15 Em grupo, elabore um problema como o exercício anterior envolvendo segredos de cofre com números. Troque o exercício elaborado com outro grupo que terá a missão de resolver e socializar com a turma. O seu grupo poderá auxiliar o grupo que ficou responsável em resolver o que foi elaborado por você. Registre no seu caderno de anotações, o problema elaborado pelo grupo e sua resolução. CADERNO DO PROFESSOR46 Comentários: Professor, salientamos que a habilidade desenvolvida prevê, além da resolução, a elabora- ção de problemas. A proposta desta atividade é organizar os estudantes em grupos produtivos para a elaboração de um problema tendo como modelo a atividade anterior (nº 14). Além da elaboração, sugerimos que os grupos troquem entre si o que foi elaborado para que o outro grupo possa tentar encontrar a solução do problema e socializar com toda a turma. Observamos que por se tratar de uma livre criação do estudante a atividade poderá ser uma forma de avaliação e que o acompanhamento do professor torna essa atividade uma forma de verificação das habilidades desenvolvidas até aqui, assim como o estudante organiza as informa- ções para expressá-las de forma escrita e contextualizada. Valorizar esta construção é possibilitar o desenvolvimento dos saberes matemáticos em construção, pois é o momento de o estudante colocar em prática tudo o que aprendeu, e posicionar-se para defender suas percepções. ATIVIDADE 16 Joaquim guarda suas economias em uma caixa, ao verificar o que já tinha guardado cons- tatou que tinha na caixa: 3 notas de R$100,00; 5 notas de R$ 50,00; 6 notas de R$10,00 e 8 notas de R$ 5,00. Se ele retirar da caixa duas notas simultaneamente e ao acaso, qual a probabilidade de que uma seja uma de R$100,00 e a outra de R$50,00 em qualquer ordem? No total, temos 22 notas na caixa. Ao retirar a primeira nota haverá 22 notas na caixa e ao retirar a segunda nota, haverá 21 notas na caixa, sendo: • 3 notas de R$ 100,00; • 5 notas de R$ 50,00. Assim, temos que: ATIVIDADE 17 Uma pessoa joga uma moeda quatro vezes, qual a probabilidade de sair CARA nas quatro jogadas. Podemos encontrar a quantidade de eventos do espaço amostral calculando: 24 = 2 · 2 · 2 · 2 =16 eventos possíveis. MATEMÁTICA 47 (Número de possibilidades no lançamento de uma moeda, cara ou coroa (2), elevado ao número de lançamentos consecutivos (4)). Eventos favoráveis: 1 evento (C, C, C, C), então a probabilidade (P) será: ATIVIDADE 18 Foi realizada uma pesquisa com todos os 1000 estudantes de uma escola de ensino funda- mental e médio com relação à preferência no uso de redes sociais. Foi constatado que 400 estu- dantes preferem utilizar a rede social A, 300 preferem a rede social B e 200 estudantes disseram que ambas são utilizadas igualmente. Escolhendo-se um estudante ao acaso, qual a probabili- dade desse estudante preferir a rede social A ou B? Comentário: Nesta atividade a teoria dos conjuntos facilitará a identificação da quantidade exata do número de alunos que preferem exclusivamente uma das redes sociais A ou B. Para isso utiliza- remos o Diagrama de Venn. 200 200 100 500 N(A*B)–N(A)+N(B) – N(A∩B)= =400+300–200–500 Então: CADERNO DO PROFESSOR50 A probabilidade procurada é a soma desses casos. Assim: P(não rosa) = Segunda maneira: visto que as bolas da cor rosa não podem ser sorteadas, podemos adi- cionar a probabilidade de bolas de cor verde com a de bolas de cor amarela, para ter a proba- bilidade desejada em cada sorteio. Comentário Chamamos a atenção do professor para o fato de que as duas respostas são idênticas e que ,talvez, valha a pena mostrar aos estudantes que a adição apresentada na primeira maneira de resolver o problema coincide com o desenvolvimento do binômio que representa a segunda maneira. Com essa ação, o professor preparará o terreno para discussão do Tema 5, acerca da probabilidade binomial. ATIVIDADE 22 Lucia e Jair estão, com outras 8 pessoas, esperando o sorteio de 4 pessoas para a formação de um grupo de trabalho. Qual é a probabilidade de Jair e Lucia não fazerem parte, os dois, do grupo sorteado? Podemos resolver esse problema de duas maneiras. Primeira maneira: calculamos a probabilidade de que Jair e Lucia façam parte do grupo sorteado e, em seguida, consideramos o complemento para 100% do valor obtido. P(Jair, Lucia e outras duas pessoas) = Devemos observar o fator que representa os fatoriais, que considera a não ordenação da sequência (Jair, Lucia, Pessoa, Pessoa). Se a probabilidade de os dois serem sorteados juntos é igual a 2/15, a probabilidade de que não sejam sorteados juntos é 13/15. Segunda maneira: vamos analisar os casos possíveis, que são estes: apenas Jair sem Lucia, apenas Lucia sem Jair, nem Lucia nem Jair. MATEMÁTICA 51 A probabilidade desejada é o resultado da adição desses três casos, isto é: Confirmamos então, que a probabilidade procurada é igual a . ATIVIDADE 23 Imagine 9 pessoas, sendo 4 homens e 5 mulheres, e calcule o que se pede. a) quantas filas diferentes podem ser formadas? 9! = 362.880 filas b) quantas filas diferentes podem ser formadas se os homens ficarem juntos? Considerando os 4 homens como uma única pessoas, teremos, portanto, 6 pessoas, ou seja, 6! = 720 filas. Considerando agora a troca de ordem dos 4 homens, teremos 720 ⋅ 4! = 17.280 filas. c) quantas filas diferentes podem ser formadas se os homens ficarem juntos e as mulheres também? 4! ⋅ 5! ⋅ 2! = 5.760 filas. d) quantos grupos diferentes de 9 pessoas podem ser formados? 1 grupo pois temos exatamente 9 pessoas. CADERNO DO PROFESSOR52 e) quantos grupos diferentes de 4 pessoas podem ser formados? f) quantos grupos diferentes de 4 pessoas, com 2 homens e 2 mulheres, podem ser formados? g) quantos grupos diferentes de 4 pessoas do mesmo sexo podem ser formados? • Grupos de 4 homens: 1 grupo, pois temos exatamente 4 homens. • Grupos de 4 mulheres: Portanto, poderão ser formados 5 + 1 = 6 grupos de 4 pessoas do mesmo sexo. h) qual a probabilidade de sortearmos ao acaso duas pessoas do mesmo sexo? E três pessoas? Primeiramente, vamos calcular o espaço amostral para cada caso (duplas e trios) conside- rando o grupo de 9 pessoas sendo 4 homens e 5 mulheres. • total de duplas considerando homens e mulheres: • total de trios considerando homens e mulheres: Vamos calcular o total de duplas com pessoas do mesmo sexo (eventos). • total de duplas de homens: • total de duplas de mulheres: Portanto, a probabilidade de escolhermos ao acaso duas pessoas do mesmo sexo será: MATEMÁTICA 55 c. 3 bolas vermelhas e duas não vermelhas; ATIVIDADE 3 O que é mais provável: duas caras no lança mento de 4 moedas ou uma face 6 no lança mento de 2 dados? Chamamos P1 a probabilidade de 2 caras, portanto 2 coroas, no lançamento de 4 moedas, e de P2 a probabilidade de apenas uma face 6 no lançamento de dois dados. Portanto, como P1 > P2, é mais provável duas caras no lançamento de 4 moedas. ATIVIDADE 4 Uma prova é formada por 10 testes com 5 alternativas cada um, em que apenas uma delas é correta. Qual é a probabilidade de um estudante acertar, “chutando”, 4 testes nesta prova? Em cada teste, a chance de acerto é igual a 1/5 e a chance de erro é de 4/5. Para acertar “chutando”, 4 testes e, portanto, errar 6 testes, a chance é: ATIVIDADE 5 Estatisticamente, 1 em cada 10 televisores de determinada marca apresenta problemas de funcionamento. Uma loja de eletrodomésticos acaba de comprar 6 desses televisores para reven- der. Supondo que todos sejam vendidos, qual é a probabilidade de a loja receber reclamações de: CADERNO DO PROFESSOR56 a) nenhum comprador? b) apenas 1 comprador? c) apenas 2 compradores? d) 3 compradores? e) 4 compradores? f) 5 compradores? g) todos os compradores? A probabilidade de “sucesso”, nesse caso, pode ser a de o televisor apresentar problema, ou seja, , enquanto a probabilidade de “fracasso” é a de o televisor não apresentar pro- blema, isto é, ,. Dessa maneira, a resolução esperada dos estudantes deve apresentar os seguintes resultados: a) b) c) d) e) f) g) Lembrando que: são coeficientes binomiais e calculados da seguinte forma: MATEMÁTICA 57 MATEMÁTICA 2a SÉRIE – ENSINO MÉDIO VOLUME 4 1. ORGANIZAÇÃO DAS GRADES CURRICULARES Tendo em mente as ponderações anteriores, apresentamos uma grade curricular para a tran- sição do material de apoio do Currículo do Estado de São Paulo, contendo os temas, a descrição das habilidades do Currículo Oficial de Matemática e sua respectiva relação com as competências gerais indicadas na Base Nacional Comum Curricular, referente à etapa do Ensino Médio. A lista dos conteúdos curriculares e habilidades, em Matemática, não é rígida e inflexível. O que se pretende é a articulação entre os temas (Números e Álgebra, Geometria e Grandezas e Estatística e Probabilidade), tendo em vista os princípios que fundamentam o Currículo Oficial: a busca de uma formação voltada para as competências pessoais, a abordagem dos conteúdos que valorizem a cultura e o mundo do trabalho, a caracterização da escola como uma organiza- ção viva, que busca o ensino, mas que também aprende com as circunstâncias. Enfim, ao fixar os conteúdos disciplinares/objetos de conhecimento, é preciso ter em mente que a expectativa de todo ensino é que a aprendizagem efetivamente ocorra. As disciplinas curriculares não são um fim em si mesmas o que se espera dos conteúdos é que eles realmente possam ser mobilizados, tendo em vista o desenvolvimento de competências pessoais, tais como a capacidade de expres- são, de compreensão, de argumentação etc. Desta forma, os quadros apresentados destacam as habilidades a serem desenvolvidas pelos estudantes em cada unidade. Tais habilidades traduzem, de modo operacional, as ações que os estudantes devem ser capazes de realizar, ao final de um determinado estágio de apren- dizagem, após serem apresentados aos conteúdos curriculares listados. CADERNO DO PROFESSOR60 Situação de Aprendizagem 6 – Cilindros: Uma mudança de base, Vol. 2, 2ª série do Ensino Médio, p. 71 a 83. Situação de Aprendizagem 7 – O movimento de ascensão: Pirâmides, Vol. 2, 2ª série do Ensino Médio, p. 83 a 95. Situação de Aprendizagem 8 – Esfera: Conhecendo a forma do Mundo, Vol. 2, 2ª série do Ensino Médio, p. 95 a 109. Para complementar este assunto apresentamos duas videoaulas contidas na plataforma M3 – Matemática Multimídia: Mistério. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1040. acesso em: 29/11/2018. A maldição da pirâmide. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/113. (Acesso em: 29.nov.2018). Caixa de papel (vídeo) Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1382. (Acesso (Acesso em: 29.nov.2018). Caixa de papel (experimento). Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1367. (Acesso em: 29.nov.2018. Criador e criatura. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1078. (Acesso em 29.nov.2018). Cilindro = Cone + Esfera ÷ 2. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1000 . (Acesso em: 29.nov.2018). Duplicação do cubo. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1007. (Acesso em 29.nov.2018). Determinantes e áreas. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1226 (Acesso em 29.nov.2018). Fórmula mágica: Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1099. (Acesso em: 29.nov.2018). Lixo. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1273. (Acesso em: 29.nov.2018). Qual é o cone com maior volume? Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/ recursos/1030. (Acesso em: 29.nov.2018). Volumes de pirâmides: Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1039. (Acesso em: 29.nov.2018). Um poema, três quebra-cabeças. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recur- sos/1156. (Acesso em: 29.nov.2018). MATEMÁTICA 61 1.4 SUGESTÃO DE ATIVIDADE Construa três pirâmides oblíquas base quadrada com lado l planificadas na figura a seguir. Após montadas e encaixadas adequadamente as três pirâmides formarão um cubo de aresta l igual ao lado da base da pirâmide. Tal atividade pode auxiliar na consolidação de dois conceitos importantes: Fonte: Elaborada pelo autor Planificação da pirâmide oblíqua de base quadrada com lado l de altura l . O volume de uma pirâmide é igual a 1/3 do volume de um prisma de mesma base e mesma altura. O volume de um sólido reto é igual ao volume de um sólido oblíquo de mesma base e mesma altura. (princípio de Cavalieri). TEMA 1 - PRISMAS: UMA FORMA DE OCUPAR O ESPAÇO ATIVIDADE 1 Para o empacotamento de presentes, uma loja dispõe de dois tipos de embalagem de papelão: uma no formato de um paralelepípedo oblíquo (Figura A), outra no formato de um paralelepípedo reto-retângulo (Figura B). Considerando os valores indicados nas figuras a seguir, calcule qual das duas formas geométricas exigirá menos papelão para ser confeccionada. CADERNO DO PROFESSOR62 Fonte: Figuras elaboradas pelo autor Comentários: Ao observar os dados da atividade, uma primeira impressão pode sugerir que a área total seja a mesma, pois o paralelepípedo oblíquo poderia ser obtido pela inclinação do paralelepí- pedo reto. Contudo, na prática, isso não se verifica, pois a face frontal e a de fundo da Figura B (quadrados),uma vez fechada a caixa, não permitem tal movimento por fixarem o ângulo reto. Após esta discussão, pode-se destacar que os dois prismas possuem bases iguais e duas faces laterais iguais, sendo suas diferenças dadas pelas faces frontal e de fundo (losango e quadrado). Dessa forma, a decisão sobre o menor consumo de papelão pode recair somente sobre o cálculo da área do quadrado e do losango. Caso os estudantes saibam que, entre os paralelogramos de mesmo perímetro, o quadrado é o que determina a maior área, a solução fica possível sem a rea- lização de cálculos. Agora, apresentamos a resolução do problema efetuando todos os cálculos: Fonte: Elaborada pelo autor Resolução: Figura A Para a área do losango, vamos interpretá-lo como um paralelogramo. A altura correspon- dente à base será: sen60° = H/6 Como o prisma oblíquo é formado por dois losangos de base 6 cm e altura 5,2 cm e quatro retângulos de dimensões12 cm por 6 cm: Atotal = 2 · 6 · 5,2 + 4 · 12 · 6 = 62,4 + 288 ⇒ Atotal ≅ 350,4 cm2 MATEMÁTICA 65 ATIVIDADE 4 Com base na atividade anterior, investigue a mesma situação para um porta-lápis nos seguintes formatos: a) prisma reto triangular, com aresta de base 12 cm e altura 16 cm. No caso do prisma regular triangular, o lápis terá o comprimento da diagonal da face late- ral. É interessante observar que esse prisma não tem diagonal. Fonte: Elaborada pelos autores L2 = 162 + 122 ⇒ L2 = 400 , logo L = 20. O maior lápis terá 20 cm. b) prisma reto hexagonal, com aresta de base 6 cm e altura 8 cm. O prisma hexagonal é particularmente interessante, porque possui duas medidas de dia- gonais, cada uma relativa às medidas das diagonais da base. Fonte: Elaborada pelos autores Cálculo de L1 (diagonal menor): O lápis L1 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal menor da base e a aresta lateral. A diagonal menor da base equivale a duas alturas de um triângulo equilátero de lado igual ao do hexágono regular. Portanto, d = 6 cm, uma vez que a altura de um triângulo equiláteropode ser calculada por: Portanto, L1 2 = (6 )2 + 82 L1 2 = 172 =>L1 ≅ 13,11 cm. CADERNO DO PROFESSOR66 Cálculo de L2 (diagonal maior). O lápis L2 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal maior da base e a aresta lateral. A diagonal maior da base equivale ao dobro da medida do lado do hexágono regular. Portanto, D = 12. Assim, L2 2 =122 + 82, logo L2 ≅ 14,42 cm. O maior lápis terá, então, aproximadamente, 14,42 cm. ATIVIDADE 5 A luminária de uma lanchonete tem a forma de um cubo. Contudo, ela só possui faces laterais. As bases foram subtraídas para iluminar melhor o ambiente. Uma mosca e uma formiga estão sobre um mesmo vértice do cubo, como indicado na figura pelas letras M (mosca) e F (formiga). No vértice oposto da outra base, está uma gota de mel, que interessa a ambos os insetos. A mosca tem a vantagem de ter asas e poder voar. A formiga só pode andar pela super- fície e pelas arestas da luminária. Fonte: Elaborada pelos autores a) Indique, na figura representada, qual é o menor percurso que cada inseto deve fazer para alcançar a gota de mel. A mosca, voando, percorre a diagonal do cubo. Assim, seu caminho medirá: Fonte: Elaborada pelos autores MATEMÁTICA 67 No caso da formiga, temos de estudar algumas possibilidades. Uma delas é imaginar que ela percorre uma diagonal da face e depois uma aresta do cubo. Esquematicamente, temos: Fonte: Elaborada pelos autores b) Admitindo que a aresta da base da luminária meça 3 dm, qual é o tamanho do percurso feito por cada inseto? Contudo, planificando-se a figura, encontramos outra situação, melhor que a primeira: Fonte: Elaborada pelos autores Calculando-se o comprimento d teremos: Fonte: Elaborada pelos autores Portanto, a formiga chegou depois. O menor caminho para ela chegar ao pingo de mel é passando pelo ponto médio de uma aresta. CADERNO DO PROFESSOR70 Formato do prisma investigado Medida da aresta da base Medida da altura Área da base Volume do Prisma Área lateral Formato do prisma investigado Medida da aresta da base Medida da altura Área da base Volume do Prisma Área lateral Formato do prisma investigado Medida da aresta da base Medida da altura Área da base Volume do Prisma Área lateral Fonte: Elaborada pelos autores Como solução do problema, apresentamos a seguir uma discussão geral. Caso o professor julgue interessante, pode explorar o mesmo problema de forma algébrica, supondo para a base triangular a medida de aresta x, para a base quadrada y, e para a base hexagonal z. Fonte: Elaborada pelos autores Perímetro do triângulo 3x Perímetro do quadrado 4y Perímetro do hexágono 6z. Como o perímetro das bases é o mesmo (que corresponde ao lado maior da folha de papel sulfite), podemos escrever: Portanto, as arestas da base dos três prismas são, respectivamente, MATEMÁTICA 71 Os três prismas têm a mesma altura h (lado menor da folha de sulfite), e sabendo que o volume do prisma, já estudado anteriormente, é igual ao produto da área da base pela altura, então, temos: Prisma triangular regular Prisma quadrangular regular Prisma hexagonal regular Desse modo, tomando o valor aproximado para = 1,7320, obtemos uma comparação entre os seguintes valores de volumes: Prisma triangular regular 0,4330 · x2 · h Prisma quadrangular regular 0,5625 · x2 · h Prisma hexagonal regular 0,6495 · x2 · h Esses dados permitem concluir que, entre os três prismas, aquele que maximiza o volume, com uma justaposição de lados, é o prisma hexagonal regular. CADERNO DO PROFESSOR72 ATIVIDADE 8 Dois vasos de mesma altura H têm formatos diferentes e estão apoiados sobre uma mesa. Colocando-se água em ambos os vasos até a altura h, constata-se que, para qualquer valor de h, sendo 0 ≤ h ≤ H, as superfícies da água nos dois vasos têm áreas iguais. Que relação você acre- dita que exista entre os volumes dos dois vasos? Justifique sua resposta. Fonte: Elaborada pelos autores Professor, esta atividade servirá para levantar hipóteses que depois serão verificadas pelo princípio de Cavalieri. No caso, podemos aproveitá-lo para observar os argumentos dos estu- dantes que comprovariam que ambos os vasos possuem o mesmo volume. O PRINCÍPIO DE CAVALIERI Na Geometria é mais simples calcular o comprimento de uma linha reta do que obter o comprimento de uma curva. Da mesma forma, é mais fácil calcular a área de um polígono con- vexo do que obter a área de uma região não poligonal, ou calcular o volume de um paralelepí- pedo do que o de um sólido geométrico com outro formato. A busca por métodos generaliza- dos para calcular volumes levou matemáticos, como o geômetra italiano Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647), a imaginar os sólidos como se fossem formados por camadas infinitamente finas (os indivisíveis). Para Cavalieri, seguindo uma linha de raciocínio análoga à de Arquimedes, Galileu e Kepler, a linha era formada por pontos sem comprimento, a superfície por infinitas linhas sem largura, e os sólidos eram interpretados por uma reunião de superfícies sem profundidade. No seu enten- dimento, as figuras planas são como tecidos compostos de fios paralelos e os sólidos, como livros, pilhas de folhas paralelas. De forma simplificada, o princípio de Cavalieri pode ser compreendido a partir de um maço de cartas de um baralho. Dispondo as cartas, uma a uma, no formato da Figura 1, o sólido final foi construído pela sobreposição de figuras planas, no caso, retângulos. Qual será o seu volume? Deslizando as cartas, uma sobre a outra, encontramos outro formato, agora mais conhe- cido: um paralelepípedo oblíquo (Figura 2). Afinal, houve ou não alteração do volume do sólido? A forma mudou, mas não seu volume, pois o volume do sólido corresponde ao total de cartas, e este não muda quando as cartas deslizam umas sobre as outras. Vamos deslizar novamente as MATEMÁTICA 75 O VOLUME DO CILINDRO Uma estrutura, atualmente, muito comum e significativa para a exploração da ideia do volume do cilindro pode ser encontrada em um porta-CDs. De maneira intuitiva, podemos con- siderar o cilindro uma figura espacial formada pela sobreposição ou pelo empilhamento, em uma mesma direção, de círculos iguais uns sobre os outros. Essa forma de interpretação pode ser explorada como análoga ao volume dos prismas, concluindo-se que o volume de um cilindro é produto da área de sua base pela altura: V = Ab ∙ h. Nessa situação também pode ser aplicado o princípio de Cavalieri. Considerando um prisma e um cilindro de mesmas áreas de base, apoiados sobre um mesmo plano, qualquer plano que passar paralelo à base deve interceptar os dois sólidos, formando duas superfícies S1 e S2, paralelas às bases do prisma e do cilindro, de mesma área. Sendo assim, podemos concluir que o volume de um cilindro, como no prisma, é determinado pelo produto da área de sua base pela altura. Nesse caso, a base é um círculo, cuja expressão da área será Ab = π u ∙ r2. Logo, o volume será dado por: V = π r2h. Fonte: Elaborada pelo autor ATIVIDADE 11 Latas de molho de tomate têm, geralmente, forma cilíndrica. Um consumidor encontrou duas marcas de seu interesse e observou os seguintes fatos: • A embalagem da marca A possuía o dobro da altura da embalagem da marca B. • A embalagem da marca B possuía o dobro do diâmetro da embalagem da marca A. Sabendo-se que a primeira custa R$ 2,30 e a segunda, R$ 3,40, qual será a compra mais econômica? Fonte: Elaborada pelo autor CADERNO DO PROFESSOR76 Resolução: • O cilindro A tem raio da base igual a d/2 e altura igual a 2h.Logo, • O cilindro B tem raio da base igual a d e altura igual a h. Logo, VB = Ab · h = π · d2 · h O volume da marca B tem o dobro do volume da marca A. Como o preço da marca A é maior que a metade do preço da marca B, é mais vantajoso comprar a marca B. ATIVIDADE 12 Os reservatórios de gasolina dos postos, geralmente, são tanques no formato de um cilin- dro reto. Para avaliar o volume de combustível que ainda resta no cilindro enterrado no solo, o funcionário do posto utiliza uma régua, colocada verticalmente na boca do tanque até atingir o nível do combustível. Ao retirar a régua do tanque, o funcionário lê a graduação e determina a altura do nível do combustível vendido. Admitindo-se que o tanque tenha sido enterrado no sentido vertical, como ilustra a figura, e que tenha raio da base R = 1 m e altura H = 2 m, qual é o volume de combustível do tanque quando a régua registra altura d = 40 cm? Fonte: Elaborada pelo autor Apoiados na figura, observamos que o volume do combustível no tanque é igual à dife- rença entre o volume total e o volume do cilindro de altura d (volume de combustível vendido)e que suas bases são iguais. Podemos chegar à seguinte expressão: V = π · R2 · H - π · R2 · d Substituindo os valores de R = 1m · H = 2m e d = 0,4m, temos: V = π · 12 · 2 - π · 12 · 0,4 , portanto V = 2π - 0,4 π V = 1,6 π aproximadamente 5,024 m³. Após a resolução, o professor pode continuar explo- rando outros fatos interessantes do mesmo problema. MATEMÁTICA 77 ATIVIDADE 13 Com base na atividade anterior: a. Encontre a expressão que relaciona o volume V do combustível contido no tanque com a medida d da régua. Sendo R = 1 m e H = 2 m, temos: V = 2 π – dπ, logo, V = π (2 – d). b. Construa e analise o gráfico da função V(d). Fonte: Elaborada pelo autor ATIVIDADE 14 Vamos, agora, considerar um tanque de armazenamento de álcool com o mesmo formato indicado na atividade 4. Contudo, ele está colocado na posição horizontal, como indica a figura. Do mesmo modo, para medir a quantidade de álcool do tanque, utiliza-se uma régua, e o pro- cedimento é o mesmo da atividade 4. Suponha que o tanque tenha o formato de um cilindro com 1 m de raio de base e 4 m de altura. Qual é o volume de álcool vendido quando a régua registra a marca d = 30 cm? CADERNO DO PROFESSOR80 O valor desse ângulo θ pode ser determinado se dividirmos o triângulo isósceles AOB, a partir da altura relativa ao vértice O, ou seja, o lado AB do triângulo AOB. Assim, o ângulo θ também será dividido ao meio e o novo triângulo será retângulo. A medida do ângulo pode ser encontrada a partir de seu cosseno: Desse modo, devemos determinar qual o arco cujo cosseno seja igual a 0,7. Fonte: Elaborada pelo autor Consultando uma tabela trigonométrica ou por estimativa, admitindo que , tere- mos que e, portanto, o valor de = 45º. O ângulo do setor circular pode ser consi- derado, então, próximo de 90º, e sua área equivalerá a da área total do círculo. Como a área do círculo é Acírculo = π · 12 = π, a área do setor será . Adotando π = 3,14, temos que; b) Cálculo da área do triângulo: Uma vez que o ângulo do setor é de 90º, o triângulo AOB é retângulo em O e portanto, sua área será: c) Área do segmento circular (A): A = Asetor – Atriângulo = 0,785 – 0,5 A = 0,285m2 MATEMÁTICA 81 Retomando o volume do combustível vendido (V1): V1 = A · H = 0,285 · 4 V1 = 1,14m3, isto é, V1 = 1140 litros Então, a resposta ao problema proposto é que foram comercializados 1 140 litros de álcool. Terminada essa atividade, o professor pode pedir aos estudantes que investiguem, em postos de gasolina, como é medido o estoque de combustível nos tanques. Atualmente, há processos sofisticados de medições desses volumes. Dispositivos são instalados no interior dos tan- ques e fornecem em tempo real, em um painel, a conversão da altura ao volume do combustível disponível. Nos postos mais antigos, o estoque é calculado pela combinação da “régua de medição” com uma tabela específica de conversão. O professor também pode, julgando o tempo suficiente, distribuir para diferentes grupos de estudantes valores diferentes de d e, agrupando-os em uma tabela, propor a construção do gráfico do volume armazenado no tanque em função de d · V(d), O VOLUME DE AR DE UM PNEU Todo pneu de automóvel possui um código alfanumérico que traz especificações sobre suas dimensões e características. Vamos explorá-lo: A letra P, que não aparece em todos os pneus, indica que se trata de um pneu para veículos de passeio. I. A largura do pneu ou da sua banda de rodagem é dada em milímetro. II. A altura lateral do pneu é indicada pelo porcentual da largura da banda de rodagem. Também recebe o nome de série. III. A letra R significa que o pneu é de construção radial. Sua estrutura é formada por camadas de lonas dispostas paralelamente e em sentido radial. A ausência dessa letra significa que o pneu é de construção diagonal, sendo as lonas cruzadas umas em relação às outras. IV. Refere-se à medida do diâmetro do aro da roda. Ele é dado em polegadas (1 pol. apro- ximadamente 2,54 cm). O pneu da figura, por exemplo, está identificado com o código P245/45 R19. Portanto, ele é um pneu de carro de passeio, possui uma largura de 245 mm; como a altura do pneu é 45% da largura, ela mede 245 u 0,45 = 110,25 mm ou 11, 025 cm; e o diâmetro da roda interna mede 19 polegadas, ou 19 u 2,54 = 48,26 cm. ATIVIDADE 15 Considerando um pneu como um modelo de cilindro vazado, calcule o volume aproximado de ar que ele comporta. Fonte: Elaborada pelo autor CADERNO DO PROFESSOR82 ATIVIDADE 16 (ENEM 2008 - adaptada) Um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, tem 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação: (A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3 (B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm. (C) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros. (D) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00 se o custo de 1 m3 de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50. (E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas. Resolução: Analisando cada alternativa: a. De acordo com as informações, o consumo médio é de 500 litros. Então, 900 casas consumirão, no total 900 · 500 = 450.000 litros. A diminuição em 10% do consumo de água, corresponderá a 45.000 litros, que é equiva- lente a 45m3. (Alternativa incorreta) b. Pelos cálculos do item anterior, temos que a capacidade do reservatório é de 450m3 para 6 metros de altura. Então, 45m3 está para 60 centímetros. (Alternativa correta) c. A quantidade de água economizada é de 45.000 litros. Como visto anteriormente. Então, se uma casa economiza 450 litros, 100 casas economizarão 45.000 litros. (Alternativa Incorreta) d. Os moradores economizarão R$3,75. (Alternativa incorreta) e. Se diminuirmos o raio do cilindro, então sua capacidade diminuirá também. (Alternativa incorreta). MATEMÁTICA 85 ATIVIDADE 20 Dado um cubo, quando unimos por segmentos de reta, os centros de suas faces, obtemos um novo poliedro: o octaedro regular (do grego octo – “oito” e edro – “face”). Ao proceder do mesmo modo com um octaedro, obtemos, no seu interior, um cubo. O octaedro regular e o cubo são chamados, em razão disso, de poliedros duais. Fonte: Elaborada pelo autor A figura anterior representa o dual cubo-octaedro. O octaedro representado é uma figura espacial que pode ser obtida reunindo-se, pela base, duas pirâmides idênticas de base quadrada. Todas as arestas desse octaedro têm o mesmo comprimento, logo, suas faces são triângu- los equiláteros. Considerando o octaedro regular de aresta 20 cm, determine: a. a altura das faces laterais do octaedro; b. a área da superfície do octaedro; Resposta: A = 1384 cm2 c. a altura do octaedro; Resposta: H ≅ 28,2 cm d. a área da superfície do cubo. Resposta: A = 4.800 cm2 ATIVIDADE 21 Nas figuras a seguir temos, uma pirâmide e um prisma com mesma área de base e mesma altura. Estime uma relação entre os volumes dos dois sólidos. Fonte: Elaborada pelos autores CADERNO DO PROFESSOR86 Durante o debate, referente à atividade21, o professor pode registrar na lousa as hipóteses dos estudantes para, depois, compará-las com o fato de o volume dessa pirâmide ser um terço do volume do prisma. A partir desse momento, o importante é encontrar um meio de significar o fator 1/3, que caracteriza o cálculo do volume dos sólidos com afunilamento, como as pirâmides e os cones. Presente em vários livros didáticos, a demonstração do cálculo do volume da pirâmide apoia-se em figuras que consideramos de difícil visualização e interpretação por parte dos estudantes. ATIVIDADE 22 Uma pirâmide de base triangular é um sólido de 4 faces, chamado tetraedro. Um tetraedro regular (faces são triângulos equiláteros) tem área total igual a 8 cm2. a. Desenhe o tetraedro e o seu dual, ou seja, o poliedro cujos vértices são os centros das faces do poliedro dado. O dual de um tetraedro é outro tetraedro. b. Encontre o volume do tetraedro maior. Resposta: V ≅ 2,67 cm3 ATIVIDADE 23 Walter pegou um cubo de madeira e colocou sobre um copo: • Apenas um vértice do cubo ficou no interior do copo, conforme a figura; • Os pontos comuns ao cubo e ao copo determinaram um triângulo equilátero. Sabendo-se que a borda do copo é uma circunferência de raio igual a 2cm, calcule o volume da parte do cubo que ficou no interior desse copo. CONSTRUINDO UM CONE ATIVIDADE 24 Vamos construir setores circulares a partir de círculos de 10 cm de raio desenhados em uma folha de papel sulfite. Observe que, para cada setor, construímos também o setor de seu replemen- tar. (dois ângulos replementares têm a soma de suas medidas igual a 360°.) a. 60º b. 120º c. 90º d. 270º MATEMÁTICA 87 Ao encerrar a construção, recorte os setores Fonte: Elaborada pelos autores ATIVIDADE 25 Tomando os setores da atividade anterior, use fita adesiva para unir os raios, de modo a formar figuras parecidas com chapéus de festa de aniversário. Cada uma dessas figuras corres- ponde à superfície lateral de um cone e os raios desses setores constituem a sua geratriz. Observando cada um dos modelos criados, procure completar os dados da tabela a seguir. Ângulo central α (graus) Área do setor circular A (cm2) Raio da base r (cm) Altura do cone H (cm) 60° 90° 25π 120° 270° 75π CADERNO DO PROFESSOR90 EXPLORANDO ALGUNS CONCEITOS DA ESFERA NO GEOGEBRA ATIVIDADE 29 Acesse o link: https://www.geogebra.org/m/hUb7KZxj disponível no Geogebra online. Desenvolvido pelo autor: Humberto José Bortolossi “Caminhos de Comprimento Mínimo em Uma Esfera” e explore conceitos importantes da esfera. Clique e arraste os pontos P e Q sobre a superfície esférica do globo terrestre, para calcular um caminho de comprimento mínimo sobre a superfície ligando P a Q, tendo a visão dos eixos, meridianos, paralelos e círculo máximo. Neste momento é importante associar os elementos identificados no software para explo- rar as relações de comprimento da circunferência, comprimento do arco da circunferência, áreas da circunferência, superfície da esfera e volume da esfera. As atividades, a seguir, contemplam essas relações com algumas aplicações. Elabore algumas atividades para retomar os conceitos e as relações da circunferência (com- primento e área). Use um livro didático do Ensino Fundamental para pesquisa. MATEMÁTICA 91 ATIVIDADE 30 Uma formiga vai se deslocar sobre uma superfície de uma lâmpada esférica de raio 50 cm, partindo de um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura. Qual o menor trajeto possível que essa formiga poderá percorrer? Fonte: Elaborada pelos autores O menor trajeto será percorrer a metade da circunferência, ou seja: Percurso = C = 2.π.r = 2.π.50cm = 100πcm ATIVIDADE 31 Uma esfera está inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície esférica. Resposta: A = 12,56 cm² ATIVIDADE 32 Considerando que nosso planeta Terra seja uma esfera perfeita e considerando o raio da Terra como 6400 km, calcule a área do “globo” terrestre, em km². Resposta: A = 5,14 · 108 km2 ATIVIDADE 33 Duas esferas de ouro, uma com 3 cm e outra com 6 cm de raio foram levadas para a fundi- ção e foi solicitado que, a partir dessas esferas menores, fosse construída uma esfera maior. Qual o raio dessa nova esfera? Resposta: 6,24 cm. CADERNO DO PROFESSOR92 ATIVIDADE 34 ENEM 2010 - Adaptada) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozi- nha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. Considere: Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, qual a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça? Resposta: 6 cm. ATIVIDADE 35 (ENEM 2012- Adaptada) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde moto- queiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte. MATEMÁTICA 95 EXPLORANDO O GEOGEBRA ONLINE E AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS NA ESFERA TERRESTRE ATIVIDADE 38 Acesse o link: https://www.geogebra.org/m/qJuMB7ma e explore a atividade elaborada pelo autor: Fábio Marson Ferreira. As coordenadas geográficas de um ponto P, localizado na superfície da esfera terrestre, são dadas pelos valores de dois ângulos medidos a partir do centro da esfera. Para a determinação da longitude, o ângulo é medido entre o meridiano de Greenwich (0°) e o meridiano do ponto em questão. A latitude é determinada pelo ângulo entre o plano do Equador e o segmento que une o centro da esfera e o paralelo em que o ponto se encontra. Faça uma pesquisa em parceria com o professor de Geografia para retomar alguns conceitos importantes sobre meridianos, paralelos, fusos horários, latitude, longitude e cunhas esféricas. Sugestão: Qual a latitude e longitude de sua cidade? Justifique essa localização através do Meridiano de Greenwich e a Linha do Equador. As próximas atividades contemplarão alguns conceitos de fusos e cunhas esféricas. ATIVIDADE 39 (UNESP) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura. CADERNO DO PROFESSOR96 Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é , determine, em função de π e de R: a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico); b) quantos cm² de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia. ATIVIDADE 40 Observe a sequência de figuras a seguir. Nela, temos uma semiesfera sendo inscrita em um cilindro e circunscrita em um cone. Sabe-se • o hemisfério tem raio R; • o cilindro tem raio da base R e altura também R; • o cone tem raio da base R e altura R. MATEMÁTICA 97 a) calcule o volume do cilindro de raio R e altura R; Resposta: Vcilindro = π R3 b) calcule o volume do cone de raio da base R e altura R; c) com base nos valores encontrados, anteriormente, uma expressão para o volume da esfera.