Cálculo de Campos Elétricos e Magnéticos em Linhas de Transmissão, Teses (TCC) de Cálculo Avançado

Baixe Cálculo de Campos Elétricos e Magnéticos em Linhas de Transmissão e outras Teses (TCC) em PDF para Cálculo Avançado, somente na Docsity! i Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Universidade Federal de São João del-Rei Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica Arthur Araújo Maia Farah CÁLCULO DE CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Belo Horizonte 2014 ii Arthur Araújo Maia Farah CÁLCULO DE CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Dissertação submetida à banca examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Associação Ampla entre a Universidade Federal de São João Del-Rei e o Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Concentração: Sistemas Elétricos Linha de Pesquisa: Eletromagnetismo Aplicado Orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso Coorientador: Prof. Dr. Marco Aurélio de O. Schroeder Belo Horizonte 2014 v Agradecimentos Ao meu orientador Marcio Matias pela atenção, paciência e confiança de sempre. Expresso a ele minha gratidão pela amizade e pelos sábios conselhos oferecidos, desde os tempos de graduação, motivando as minhas escolhas e me oferecendo diversas oportunidades de crescimento profissional. Aos professores e funcionários do Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica do CEFET-MG, pela colaboração sempre oferecida. Fica um agradecimento especial à Professora Patrícia Jota, pelo amparo oferecido em um momento de muitas dúvidas deste caminho; à Professora Úrsula Resende, a quem muito admiro pela forma esclarecedora e atenciosa de ensinar e contribuir; e à Rosimeire Rocha, pela ajuda e paciência de sempre. A CAPES que concedeu apoio financeiro nesta pesquisa, no início da jornada. Ao CEFET-MG, que desde sempre me ofereceu inumeradas oportunidades de vida. Aos amigos adquiridos ao longo dessa jornada, ficando um obrigado especial às queridas Ciby Rosa e Polyanna Pereira, as quais sempre foram uma amizade indispensável. Ao meu pai Roberto Farah, por sempre fazer de tudo para que não me faltassem as condições essenciais. Condições que permitiram minha transformação em um homem melhor. Agradeço por ele sempre ter sabido empreender, de maneira peculiar e criativa, a sua luta frente a todas as adversidades. As minhas irmãs Deborah e Roberta Farah, pelo carinho e atenção especial. A Tainah Miranda e aos seus iluminados pais, Robson e Denise, que me ensinaram um novo olhar de vida, baseado nos sentimentos mais sublimes de amor e compaixão, juntamente de significados mais amplos de liberdade. Sem vocês, a tranquilidade para esta conquista não seria possível. A Renata Garcia, que me deu apoio e amor imprescindíveis para fazer deste e de outros sonhos possíveis. vi Resumo A crescente demanda por energia elétrica apresenta, na atualidade, inúmeros desafios ao setor de transmissão de energia, requisitando sistemas que possam ser, ao mesmo tempo, menos onerosos, mais eficientes ao transporte de energia, e ainda, mais seguros àqueles que convivem em suas proximidades. Neste contexto, o estudo apurado dos campos elétricos e magnéticos gerados pelas linhas de transmissão é de grande relevância, estando relacionado às possibilidades de melhoria operacional e à redução dos diversos impactos causados por estes sistemas. Embora as técnicas numéricas de simulação computacional ofereçam um melhor suporte a estes estudos, frente às limitações encontradas em modelos analíticos usais, há ainda uma baixa empregabilidade das mesmas nesta classe de problemas. Este trabalho, assim, é destinado à aplicação do Método dos Elementos Finitos na modelagem do campo eletromagnético quase estático de linhas aéreas de transmissão. Perante aos inúmeros desafios que tornam a técnica pouco atraente na avaliação das linhas de transmissão, são aqui reunidas as melhores práticas de implementação, de modo a explorar detalhadamente aqueles aspectos relacionados à precisão numérica e ao desempenho computacional das soluções. De maneira a encorajar uma maior empregabilidade da técnica nos sistemas de transmissão, são avaliados estudos de casos específicos, de maior complexidade. Nestes estudos, o Método dos Elementos Finitos permite atingir resultados de grande interesse, quando em comparação as simplificações postas pelos métodos analíticos comumente empregados. Palavras-chave: Linhas de Transmissão, Método dos Elementos Finitos, Campos Elétricos Quase-Estáticos, Campos Magnéticos Quase-Estáticos. vii Abstract Currently, the growing of electricity demand presents new challenges to the power transmission sector, in order to develop new systems that can be, at the same time, more efficient for the energy transport, cheaper, and also, safer to the vicinity of these systems. In this context, the study of the electric and magnetic fields generated by power lines has great importance for its operational improvement and for the reduction of several existing impacts. Although numerical techniques could provide better support to these studies, compared with usual analytical models, that need to use some simplifications, they are still having a low employability in this class of problems. This research presents the numerical modeling to the quasi-static electromagnetic field of overhead transmission lines, based on the Finite Element Method. In order to encourage a greater use of this technique in power systems, this work presents the main aspects related with the computational implementation, focusing in numerical precision and improvement of performance of the results. Specific cases of studies are presented and show that this technique allows a more faithful representation of physical systems, with more fidelity and robustness than other methods commonly used. Key-words: Power Lines, Finite Element Method, Quase-Static Eletric Field, Quase-Static Magnetic Field x Apêndice A – Aspectos Qualitativos dos Campos Eletromagnéticos das LTs ......... 167 Apêndice B – Informações e Desenvolvimentos Matemáticos Auxiliares ............... 175 Apêndice C – Estrutura do Algoritmo Computacional .................................................... 186 Apêndice D – Resultados Gráficos ......................................................................................... 190 Apêndice E – Informações Auxiliares aos Estudos de Casos ........................................ 197 Apêndice F – Modelo Geral para Cômputo de Campo Magnético ............................... 204 Referências Bibliográficas ....................................................................................................... 210 xi Lista de Figuras Figura 1.1 – Potencial Hidrelétrico Brasileiro por Bacias .................................................................................................... 21 Figura 3.1 – Componentes de Linhas de Transmissão .......................................................................................................... 40 Figura 3.2 – Detalhe para Componentes de Linhas de Transmissão .............................................................................. 41 Figura 3.3 – Domínio Genérico com Presença de Potenciais Elétricos .......................................................................... 45 Figura 3.4 – Domínio Genérico com Presença de Densidades de Corrente Transversais ..................................... 46 Figura 3.5 – Fronteiras Fictícias ao Entorno da LT ................................................................................................................. 49 Figura 3.6 – Problema de Valor de Contorno com Meios Físicos Distintos ................................................................. 50 Figura 4.1 – Esquema representativo de modelagem e solução via MEF ..................................................................... 53 Figura 4.2 – Domínio Ω discretizado em vários subdomíos Ω. ....................................................................................... 58 Figura 4.3 – Elemento Triangular ................................................................................................................................................... 58 Figura 4.4 – Mapeamento do Triangulo de Segunda Ordem no Elemento de Referência ..................................... 62 Figura 4.5 –Elemento Triangular Subparamétrico de Segunda Ordem......................................................................... 63 Figura 4.6 – Pontos de Integração no Elemento de Referência ......................................................................................... 66 Figura 4.7 – Truncamento de Fronteira Externa para Magnetostática.......................................................................... 72 Figura 4.8 – Truncamento de Fronteira Externa em LTs ..................................................................................................... 72 Figura 4.9 – Transformação Espacial de Problemas Abertos em Problemas Fechados ......................................... 75 Figura 4.10 – Transformação Kelvin aplicada a LTs – Domínio Inteiro ........................................................................ 75 Figura 4.11 – Transformação Kelvin aplicada a LTs com solo considerado CEP ...................................................... 79 Figura 4.12 – Transformação Kelvin aplicada na proximidade dos cabos condutores .......................................... 80 Figura 4.13 – Estrutura Algorítmica Geral .................................................................................................................................. 82 Figura 5.1 – Configuração Geométrica – LT 500kV Furnas ................................................................................................. 84 Figura 5.2 – Malha de Elementos – LT 500kV Furnas ........................................................................................................... 85 Figura 5.3 – Campo Elétrico ao Nível do Solo (MEF x MIS) – LT 500kV Furnas ........................................................ 86 Figura 5.4 – Distribuição de Potencial e Campo Elétrico ao Nível do Solo – LT 500kV Furnas .......................... 87 Figura 5.5 – Campo Elétrico Superfícial - Feixe A (MEF x MIS) – LT 500kV Furnas ................................................ 88 Figura 5.6 – Distribuição de Potencial e Campo Elétrico para Região dos Feixes – LT 500kV Furnas ............ 89 Figura 5.7 – Distribuição de Potencial e Campo Elétrico para o Domínio Completo – LT 500kV Furnas ...... 90 Figura 5.8 – Esparsidade do Sistema Matricial ......................................................................................................................... 91 Figura 5.9 – Malha de Elementos com cabos Para-Raios ..................................................................................................... 92 Figura 5.10 –Campo Elétrico ao Nível do Solo Com e Sem Para Raios ........................................................................... 92 Figura 5.11 – Campo Elétrico Superfícial Com e Sem Para-Raios .................................................................................... 94 Figura 5.12 –Distribuição de Potencial e Campo Elétrico Com Para Raios .................................................................. 95 xii Figura 5.13 – Campo Elétrico - Análise de Sensibilidade por Nível de Discretização ............................................. 98 Figura 5.14 – Esforço Computacional por Nível de Discretização ................................................................................... 99 Figura 5.15 – Distribuição de Potencial Elétrico – Análise por Discretização ......................................................... 100 Figura 5.16 – Análise de Sensibilidade Por Tipo de Elementos ..................................................................................... 102 Figura 5.17 – Esforço Computacional – Análise de Sensibilidade Por Tipo de Elementos ................................ 103 Figura 5.18 – Malha de Elementos – Análise de Sensibilidade por Tratamento de Fronteira.......................... 106 Figura 5.19 – Campo Elétrico Superficial – Condutor 1 / Feixe A – Tratamento de Fronteira ........................ 108 Figura 5.20 – Campo Elétrico ao Nível do Solo – Análise de Tratamento de Fronteira ....................................... 109 Figura 5.21 – Campo Elétrico – Transformação Kelvin Próxima aos Condutores ................................................. 109 Figura 5.22 – Transformação Kelvin considerando solo como CEP ............................................................................. 114 Figura 5.23 – Transformação Kelvin considerando solo homogêneo ......................................................................... 114 Figura 5.24 – Transformação Kelvin com solo CEP e fronteira próxima a condutores ....................................... 115 Figura 5.25 – Transformação Kelvin com solo homogêneo e fronteira próxima a condutores ....................... 116 Figura 5.26 – Configuração Geométrica – LT 500kV 5 Hydro-Québec ....................................................................... 117 Figura 5.27 –Malha de Elementos – LT 500kV Hydro-Québec ....................................................................................... 119 Figura 5.28 –Campo Magnético ao Nível do Solo (MEF x Carson) – LT 500kV Hydro-Québec ........................ 119 Figura 5.29 – Distribuição de Potencial e Campo Magnético – LT 500kV Hydro-Québec .................................. 120 Figura 5.30 – LT 500kV - Presidente Dutra/Teresina/Sobral/Fortaleza .................................................................. 123 Figura 5.31 – Campo Elétrico Superficial – Feixe A – LPNE-FEX x LPNE ................................................................... 126 Figura 5.32 – Campo ao Nível do Solo – LPNE-FEX x LPNE ............................................................................................. 126 Figura 5.33 – Distribuição de Campos – LPNE ....................................................................................................................... 127 Figura 5.34 – LT 500kV – Interligação Norte-Sul – Trecho 2 .......................................................................................... 128 Figura 5.35 – LT 500kV – São Gonçalo – Ouro Preto........................................................................................................... 131 Figura 5.36 – Seção Transversal de Condutores Reais de Linhas Aéreas de Transmissão ................................ 131 Figura 5.37 – Malha de Elementos – Condutor 1 Feixe de Fases B ............................................................................... 132 Figura 5.38 – Campo Elétrico Superficial – Analise de Condutores Reais ................................................................. 132 Figura 5.39 – Campo Elétrico ao Nível do Solo – Analise de Condutores Reais ...................................................... 134 Figura 5.40 – Comportamento dos Campos Elétricos Superficiais nos Fios de Condutores Reais ................ 134 Figura 5.41 – Distribuição Espacial do Campo Elétrico em Condutores Reais ........................................................ 135 Figura 5.42 – LT 230kV circuito duplo - CTEEP .................................................................................................................... 137 Figura 5.43 – Análise de Resistividade - Campo Elétrico a 1m do Nível do Solo .................................................... 138 Figura 5.44 – Análise de Resistividade - Potencial Elétrico a 1m do Nível do Solo ............................................... 139 Figura 5.45 –Representação do Solo Estratificado .............................................................................................................. 141 Figura 5.46 – Análise de Resistividade - Campo e Potencial Elétrico na Superfície do Solo ............................. 142 Figura 5.47 – Análise de Resistividade - Campo e Potencial Elétrico a Meio Metro do Solo ............................. 143 Figura 5.48 – Análise de Resistividade - Campo Magnético - Modelo Estático ....................................................... 145 Figura 5.49 – Análise de Resistividade - Campo Magnético - Modelo Quase-Estático ......................................... 146 Figura 5.50 – Distribuições de Densidades de Correntes pelo MEF ............................................................................. 147 Figura 5.51 – Análise de Resistividade - Campo Magnético - Modelo de Solo Multicamadas........................... 148 xv Lista de Abreviações ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas ACSR – Cabo de Alumínio com Alma de Aço ANEEL – Agência Nacional de Energia Elétrica ATP/EMTP – Alternative Transients Program/Eletromagnetic Transient Program BPA – Bonneville Power Administration CA – Corrente Alternada CC – Corrente Contínua CEP – Condutor Elétrico Perfeito CEPEL – Centro de Pesquisas de Energia Elétrica CHESF – Companhia Hidroelétrica da Bacia do São Francisco CSR – Compressed Sparse Row CTEEP – Companhia de Transmissão de Energia Elétrica Paulista EDP – Equação Diferencial Parcial ELETROBRAS – Centrais Elétricas Brasileiras EPRI – Electric Power Research Institute ICNIRP – International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection IEEE – Institute of Electrical and Electronics Engineers LNC – Linhas Não Convencionais LPNE – Linha Natural de Potência Elevada LPNE-FEX – Linha Natural de Potência Elevada por Feixes Expandidos LT – Linha de Transmissão MATLAB – MATrix LABoratory MDF – Método das Diferenças Finitas MEC – Método dos Elementos de Contorno MEF – Método dos Elementos Finitos MMQ – Método dos Mínimos Quadrados MoM – Método dos Momentos xvi MSC – Método de Simulação de Cargas MSCS – Método de Simulação das Cargas Superficiais MSCS – Método de Simulação de Cargas Superficiais PVC – Problema de Valor de Contorno RI – Radio Interferência RMS – Valor Médio Eficaz (Root Mean Square) SDI – Strategic Dual Image SEP – Sistema Elétrico de Potência SIN – Sistema Interligado Nacional TEM – Onda Transversal Eletromagnética TW – Cabo Compacto Trapezoidal (Traped-Wired) PSO – Otimização por Enxame de Partículas (Particle Swarm Optimization) SIL – Potência Natural (Surge Impedance Loading) xvii Lista de Símbolos e Constantes A – Fasor Potencial Magnético [Ae] Az – Componente Longitudinal de Potencial Magnético [Ae] B – Fasor Densidade de Fluxo Magnético [T] B – Vetor Densidade de Fluxo Magnético [T] B , B – Componentes Direcionais de Dens. de Fluxo Magnético [T] H – Fasor Campo Magnético [A/m] V – Potencial Escalar Elétrico Complexo [V] – Valor Máximo (Pico) de Potencial Elétrico [V] D – Fasor Densidade de Fluxo Elétrico [C/m2] E – Fasor Campo Elétrico [V/m] E – Vetor Campo Elétrico [V/m] E , E – Componentes Direcionais de Campo Elétrico [V/m] I – Corrente Elétrica [A] J – Fasor Densidade de Corrente de Condução [A/m2] Jz – Componente Longitudinal Densidade de Corrente [A/m2] Js – Densidade de Corrente de Condução [A/m2] Je – Densidade de Corrente de Induzida [A/m2] k – Fasor densidade linear de corrente [A/m] L – Indutância [H] C – Capacitância [F] ε – Permissividade Elétrica [F/m] εo – Permissividade Elétrica do Espaço Livre = 10/36 [F/m] εr – Permissividade Relativa µ – Permeabilidade Magnética [H/m] µ o – Permeabilidade Magnética do Espaço Livre = 4 ∗ 10 [H/m] µ r – Permeabilidade Relativa 20 Capítulo 1 – Introdução 1.1. Contextualização da Dissertação Nas últimas décadas os sistemas de transmissão elétrica vêm enfrentando inúmeros desafios e estímulos, os quais apontam para a necessidade de desenvolver novas técnicas que propiciem tanto a otimização operacional quanto a redução de impactos diversos (econômicos, sociais e ambientais), porém, de uma forma confiável e a um baixo custo. Se por um lado o aumento da demanda de transmissão de energia é sempre requisitado, uma vez que o crescimento econômico dos países fica diretamente atrelado à alta disponibilidade de energia, por outro lado, também é crescente a necessidade de melhor utilização dos recursos naturais disponíveis. Isto, aliado às restrições impostas pelas novas regulamentações dos setores de energia, impõe dificuldades que precisam ser balanceadas neste segmento. A utilização racional da matriz energética é intimamente dependente de um adequado sistema de transmissão, o qual transporte a energia explorada de maneira eficiente (sem grandes perdas) até os grandes centros de consumo. Tal condição é especialmente crítica e preponderante em países de longa extensão territorial, os quais dependem de amplos sistemas de transmissão, necessários à confiabilidade da demanda energética em todas as regiões. No caso do Brasil, que dispõe de recursos naturais limpos e renováveis não explorados em regiões demasiadamente remotas dos grandes centros consumidores, o setor de transmissão acaba sendo uma parcela decisiva para a viabilização da exploração de recursos. No entanto, tal setor ainda carece de perspectivas para sistemas de transmissão que possam ser, ao mesmo tempo, eficientes ao transporte de energia, e viáveis do ponto de vista econômico (constituindo projetos pouco onerosos) e ecológico (minimizando impactos de desmatamentos) (DART, JÚNIOR e ESMERALDO, 2005) (PORTELA, SILVA e ALVIM, 2007). 21 Isto é destacado na figura (1.1), que demonstra as regiões de maior potencial hidrelétrico do país (em azul escuro – de 15 a 30 TW), juntamente com a representação gráfica do percentual utilizado e daquele ainda disponível (respectivamente, em amarelo e em verde), distinguidos pelas bacias hidrográficas. É claramente percebido o abundante potencial hidrelétrico ainda disponível nas bacias da região amazônica, as quais estão relativamente distantes das regiões de maior população e industrialização, na região sudeste; bem como isoladas das demais regiões do país, dificultando interligações com o Sistema Interligado Nacional (SIN), que conecta o sistema de energia de todo o país. Figura 1.1 – Potencial Hidrelétrico Brasileiro por Bacias (PORTELA, SILVA e ALVIM, 2007) 22 Para os sistemas de transmissão ainda residem outras preocupações recentes, as quais dizem respeito à necessidade de redução de desmatamentos para a constituição das faixas de passagem e servidão. Tais faixas são constituídas tanto para a manutenção operacional permanente dos sistemas de energia quanto para restringir as atividades e a circulação de pessoas aos seus arredores, uma vez que existe a possibilidade dos campos elétricos e magnéticos gerados por estas linhas afetarem a saúde humana, além de interferirem sobre outros elementos alheios ao sistema elétrico, tais como: linhas de comunicação, linhas férreas, oleodutos, gasodutos, cercas, dentre outros (COSTA, RUEDA, et al., 2001), (PORTELA e TAVARES, 2002). Tais preocupações têm gerado recentemente inúmeras discussões entre governos, institutos de pesquisa e comunidades, culminando em normatizações para o setor, tal como a resolução normativa 398 da ANEEL de 2010, que regulamenta os procedimentos para que as concessionárias de energia elétrica realizem medições periódicas dos campos elétricos e magnéticos gerados em todas as suas instalações, e os quais devem estar dentro de limites máximos de referência permitidos (MARCOS SILVA, 2010). Para lidar com os casos acima citados, o uso de novos tipos de estruturas de transmissão não convencionais, compactas e de feixe expandido, em faixas de servidão reduzidas, inexistentes, ou em meio de ambientes urbanos, se torna cada vez mais explorado. Muitos desenvolvimentos têm sido realizados nas últimas décadas, possibilitando a utilização de novas configurações de linhas de transmissão (LT) que permitam tanto a melhoria de eficiência na transmissão de energia, viabilizando tecnicamente os investimentos realizados em empreendimentos, como garantindo a segurança operacional através de um melhor ajuste do ambiente eletromagnético (PAGANOTTI, 2012). A investigação acerca destas novas possibilidades, tanto para a concepção de novas LTs, quanto para a recapacitação ou readequação a baixo custo das linhas existentes, necessita da análise detalhada acerca das distribuições de campos elétricos e magnéticos gerados ao entorno destes sistemas. Estes campos estão intimamente relacionados ao estudo de perdas ao longo do processo de transmissão, também precisando ser adequadamente enquadrados em níveis de intensidade estabelecidos pelas normas regulamentadoras. 25 1.2. Objetivos Este trabalho tem como objetivo geral estudar o emprego do Método de Elementos Finitos na determinação das intensidades de campo elétrico e magnético no entorno de linhas de transmissão trifásicas reais, operando em regime permanente, em baixas frequências. Assim, são apuradas formas de tornar a utilização do MEF mais atraente nesta classe de problemas, frente às diversas dificuldades existentes, agregando contribuição para a solução de problemas de maior complexidade. São considerados objetivos específicos: - realizar uma revisão bibliográfica sobre o uso de métodos numéricos, com foco no MEF, em sistemas de transmissão elétrica; - agregar de maneira didática os passos necessários para a modelagem dos campos elétricos e magnéticos em LTs através do MEF; - explorar diferentes possibilidades na modelagem pelo MEF, de forma a verificar as dependências e as melhorias na qualidade das soluções, tanto em relação à exatidão numérica, quanto em relação ao tempo computacional, tornando a utilização prática do método mais palpável e atraente; - realizar uma discussão a respeito do tratamento de domínios abertos pelo MEF, uma vez sendo tal assunto escasso e pouco explorado na literatura; - comparar os resultados obtidos com aqueles de outras abordagens analíticas ou numéricas disponíveis; - validar alguma das simplificações comumente assumidas por modelos analíticos, através da simulação de cenários pelo MEF; - realizar aplicações para situações mais complexas, cuja utilização de um modelo numérico mais robusto seja mais adequada, ante ao emprego das técnicas analíticas ou semi-analíticas usuais; Através desses objetivos estabelecidos, é elaborada uma ferramenta computacional, utilizando o software MATLAB®, pela qual é possível realizar o cômputo e a representação gráfica bidimensional dos níveis de campo elétrico e magnético em LTs com configurações geométricas quaisquer, e ainda com possibilidades de se considerar: a geometria real dos condutores da linha, representação de modelos de solos estratificados, a presença de objetos no domínio de estudo, dentre outros. 26 Assim, tal estudo pode constituir a base de um sistema computacional maior e mais complexo, a continuar em desenvolvimento, destinado tanto à otimização de linhas de transmissões reais, quanto à análise prática de interferência destas linhas em sistemas diversificados (biológicos ou não). 1.3. Organização do Texto Este trabalho está organizado em 6 capítulos, incluindo este capítulo introdutório, o qual situou o contexto do trabalho, expondo a importância do tema abordado e os objetivos da presente pesquisa. O capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica a respeito do cálculo dos campos elétricos e magnéticos gerados nos sistemas aéreos de transmissão de energia; primeiramente de maneira geral, demonstrando a evolução histórica das técnicas aplicadas, e posteriormente, com foco específico na aplicação do MEF. O capítulo 3 aborda a modelagem matemática dos campos elétricos e magnéticos em LTs. O modelo clássico para esses campos é desenvolvido a partir das equações de Maxwell, através das quais são derivadas as equações de Poisson, aqui aplicadas aos fenômenos quase estáticos. Por fim, o problema de cômputo desses campos é colocado sob a forma de um problema de valor de contorno (PVC) generalizado. O capítulo 4 é destinado à aplicação do MEF na resolução do PVC obtido. Para isso, a equação diferencial parcial (EDP) do PVC é desenvolvida pelo método de Galerkin, resultando em uma forma fraca passível de solução aproximada. É discutida a discretização de domínios de estudos bidimensionais, com a apresentação dos elementos triangulares de primeira e segunda ordem. Os desenvolvimentos algébricos para a interpolação de grandezas físicas no interior destes elementos é fornecida para a constituição de funções de forma. São abordadas também as condições de contorno, com importância especial ao tratamento das fronteiras fictícias, as quais são impostas para a delimitação dos domínios abertos do problema. Métodos diferentes são explorados para realizar este tratamento, dentre os quais: o truncamento, o Strategic Dual Image (SDI) e a Transformação Espacial Kelvin. Por fim, é apresentada uma estrutura algorítmica para a implementação computacional do método através do software MATLAB®. 27 O capítulo 5 apresenta os resultados para a aplicação da modelagem proposta. Tais resultados são obtidos através de simulações computacionais pelo programa desenvolvido. O modelo numérico é validado através da aplicação em linhas reais, comparando os resultados gerados com outros encontrados na literatura, e dados através de outras metodologias de cálculo. São realizadas análises de sensibilidade, de forma a demonstrar influências que afetam a eficácia dos resultados e a eficiência computacional. Por fim são analisados alguns casos de aplicação, acrescentando relevância ao estudo, sendo estes: - análises de linhas não convencionais, com distribuição de feixes em configurações geométricas assimétricas, e destinadas ao transporte mais eficiente de energia; - análise do campo elétrico superficial em condutores de formatos geométricos reais; - análise em modelos de solo diferenciados (homogêneos e estratificados), sem assumir os mesmos como condutores elétricos perfeitos (CEP); - análise de interferências elétricas em dutos metálicos presentes na faixa de passagem; O último capítulo sintetiza os principais resultados obtidos, confrontando-os aos objetivos inicialmente propostos. Também são indicadas possibilidades de continuidade desta pesquisa para a realização de futuros trabalhos. 30 abordagens são normalmente utilizadas para estimar os campos em condições de pior caso (situações de tensão e corrente máxima, computadas no ponto de altura mínima dos condutores). Assim as avaliações dos campos são tidas com uma margem de tolerância adequada aos valores reais encontrados, em comparação com exigências dadas por regulamentações (BRACKEN, 2010). Logo, do ponto de vista de engenharia, em diversas aplicações, os erros obtidos pelas abordagens dadas são irrelevantes. A existência de outras situações de interesse prático, cujos métodos citados não são satisfatórios ou mesmo aplicáveis, motivaram o aperfeiçoamento e a derivação em outras técnicas mais adequadas. Para o campo elétrico, quando na avaliação das regiões mais próximas à superfície dos condutores ou em configurações de linhas mais complexas, com feixes expandidos em múltiplos subcondutores, as distribuições de cargas necessitam de aproximações mais condizentes, uma vez não sendo suficiente admitir distribuições uniformes e filamentares de cargas no interior dos condutores. Esta deficiência conduziu ao desenvolvimento das seguintes técnicas, ainda nas décadas de 60-70: o Método de Markt e Mengele, o Método das Imagens Sucessivas (MIS), o Método de Simulação de Cargas (MSC), e o Método de Simulação de Cargas Superficiais (MSCS). Todas estas técnicas operam através de considerações físicas para, primeiramente, obter distribuições espaciais de cargas elétricas que possam produzir efeito aproximadamente equivalente às distribuições de cargas não uniformes reais existentes nos condutores da LT. Posteriormente, os campos elétricos são computados pelo mesmo modo analítico (por uso da Lei de Gauss e do método das imagens). Por este motivo, tais técnicas são denominadas ‘‘semi-analíticas’’. O Método de Markt e Mengele (KING, 1963) (PAKALA e TAYLOR, 1968) é aplicado através da simplificação dos sistemas de feixes de condutores, os quais são resumidos à consideração de um único condutor disposto na proximidade do centro dos feixes. A posição exata depende das distâncias entre os todos os condutores do sistema. A densidade de cargas é então avaliada conforme o procedimento dos coeficientes potenciais de Maxwell, considerando apenas um único condutor por feixe, a qual é posteriormente dividida, de maneira igual, dentre todos os subcondutores existentes. Conforme (IEEE WORKING GROUP, 1979) e (LI, ROWLAND e SHULTLEWORTH, 2014), esta técnica somente produz bons resultados para feixes simétricos com poucos 31 subcondutores (menor do que 4), para classes de tensões menores, e sendo a distância entre os subcondutores dos feixes relativamente pequena em comparação com a distância entre as fases. Suprindo as deficiências dadas pela simplicidade do método anterior, o MIS (SARMA e JANISCHEWSKYJ, 1969) substitui sucessivamente as cargas em cada condutor por uma série de cargas lineares equivalentes, as quais são posicionadas no interior do mesmo. Cada processo de imagem sucessiva guarda a equipotencial natural da superfície de outro condutor do sistema. Assim, as distribuições de carga são dadas em função do posicionamento dos vários condutores do resto do sistema, e são localizadas de maneira a manter as superfícies equipotenciais de todos os condutores. Tal artifício permite assim obter distribuições de campos elétricos não uniformes ao redor dos condutores. O trabalho de (PAGANOTTI, 2012) oferece uma boa revisão acerca deste método, com aplicações em linhas de feixes expandidos de diferentes configurações, incluindo feixes assimétricos. Embora o MIS possa fornecer resultados satisfatórios para o campo elétrico superficial em configurações de LTs diversificadas, tal método realiza procedimentos iterativos para alocar as cargas no interior dos condutores, até produzir resultados satisfatórios, sendo ineficiente para a realização de análises em pontos de observação longe da linha, e não servindo para a consideração da presença de outros objetos no domínio de estudos. Sua aplicação é, assim, mais adequada apenas para a análise de campo elétrico superficial dos condutores (IEEE WORKING GROUP, 1979). A deficiência do MIS é suplantada pelo MSC, que se tornou mais popular, sendo amplamente utilizado no cálculo de campos elétricos desde meados da década de 70. Seu uso na análise da distribuição de campo elétrico em componentes de isolamento de alta tensão é bastante comum (LI, ROWLAND e SHULTLEWORTH, 2014). O MSC é baseado na simulação da distribuição real das cargas elétricas superficiais dos condutores por um conjunto de cargas discretas colocadas em pontos do interior dos mesmos. Estas cargas discretas são então calculadas de forma que os potenciais gerados em alguns pontos da superfície dos condutores (pontos de amostragem) sejam iguais aos potenciais especificados para estes condutores (ASSIS, COUTINHO, et al., 2011). Alguns estudos aplicando o MSC em diferentes situações são 32 (SINGER, STEINBIGLER e WEISS, 1974), (DENO e ZAFFANELLA, 1982), (MALIK, 1989), (SANTOS, SCHROEDER, et al., 2010) e (SALAMA, ABDELSATTAR e SHOUSH, 2012). Por fim, o MSCS é uma técnica semelhante ao MSC, mas cuja distribuição das cargas simuladas é dada através da superfície dos condutores, com maior flexibilidade para as formas de distribuição (que no MSC são resumidas a linhas de cargas filamentares uniformes) e, consequentemente, com maior liberdade para assumir as densidades de cargas em cada região. Por conta disto, o MSCS é mais geral do que o MSC, sendo aplicável em uma gama maior de problemas (SATO, 1987), (LU, 2009), como por exemplo, em problemas de eletrodos finos com diferentes composições de materiais (ZHOU, 1993). Para o campo magnético, a principal limitação do modelo analítico descrito anteriormente reside na desconsideração das correntes de retorno pelo solo. Mesmo que, em geral, estas correntes não influenciem significantemente os resultados de campo magnético acima da superfície do solo, seu efeito sobre as impedâncias de linha acaba sendo expressivo, sobretudo em fenômenos eletromagnéticos de maior frequência (ASSIS, COUTINHO, et al., 2011). A correção do modelo analítico pode assim ser adequadamente realizada através das equações de Carson (CARSON, 1926). Nestas, a avaliação do campo magnético requer o cálculo de integrais impróprias, que devem ser expandidas em uma série infinita ou avaliadas utilizando métodos de integração numérica. Devido à complexidade envolvida, muitos trabalhos tentaram obter aproximações mais simples. Destes, o mais comum e empregado é o de (DERI, TEVAN, et al., 1981), no qual é proposto que o retorno de corrente através de um solo homogêneo pode ser adequadamente representado através de um plano ideal colocado abaixo da superfície do solo, a uma distância igual à profundidade de penetração complexa das ondas planas geradas pela LT. Tal abordagem produz resultados praticamente equivalentes àqueles obtidos a partir dos termos de correção de Carson (GLOVER e SARMA, 2007). Alguns trabalhos que aplicam de maneira mais detalhada esta metodologia podem ser analisados através de (DENO e ZAFFANELLA, 1982), (IEEE WORKING GROUP, 1988), (PERRO, 2007), (MORA, M., et al., 2009), (VINTAN, MIHU e BORLEA, 2011) e (VIEIRA, 2013). Uma vez que as distribuições reais de correntes no interior dos condutores não são homogêneas, em sistemas com múltiplos condutores ou ainda, quando analisando 35 solucionar os potenciais de toda a região espacial ao entorno dos condutores, e não somente nos locais desejados, a eficiência de solução é bastante baixa. Em comparação ao MEF, cuja eficiência de solução é equiparável, o MDF tem maior dificuldade em considerar objetos com complexidades geométricas ou compostos por materiais diferentes, sendo, portanto, preterido. Algumas aplicações para o MDF são fornecidas através dos trabalhos de (ELHIRBAWY, NGUYEN, et al., 2002), (RAMLI, ABD- ALHAMEED, et al., 2011), (RAMLI, ABD-ALHAMEED, et al., 2013). Das técnicas numéricas indicadas, resta ainda apresentar o MEF, o qual tem seu histórico de aplicação em sistemas de transmissão evidenciado de maneira mais detalhada no próximo tópico, uma vez que este é o método tratado no restante do trabalho. 2.2. Aplicação do Método dos Elementos Finitos em Sistemas de Transmissão Dentre os métodos empregados em simulação numérica, de maneira geral, o MEF é tido como o mais popular, devido a sua versatilidade em lidar com problemas complexos de diversas naturezas, envolvendo meios físicos com materiais não lineares e em domínios com maior complexidade geométrica (JIN, 2002). No entanto, com exceção a sua utilização para o designe de isoladores, tal como retrata (SILVA, OLIVEIRA, et al., 2013), em sistemas de transmissão a sua aplicação é acanhada, comparativamente aos demais métodos analíticos e semi-analíticos relatados. O MEF foi utilizado inicialmente no campo da análise estrutural, motivado pela solução de problemas da engenharia civil e aeronáutica na década de 50, sendo aplicado em problemas eletromagnéticos somente nos fins da década 60, com os trabalhos de (WINSLOW, 1965), relativo ao cômputo de campos magnetostáticos, e de (SILVESTER, 1969), aplicado à modelagem de guias de ondas na presença de meios homogêneos. O desafio de adequar o MEF às aplicações quase-estáticas aparece, inicialmente, na resolução de problemas de máquinas elétricas (SILVESTER, CABAYAN e BROWNE, 1973). Até a década de 90, embora o MEF já tivesse se estabelecido como uma robusta ferramenta numérica para resolução de problemas eletromagnéticos de grande 36 complexidade, conforme contextualizado em (MESQUITA, 1990), comparativamente às outras possibilidades de aplicações, poucos são os estudos encontrados na literatura sobre a utilização prática do MEF em problemas de cômputo de campo elétrico ou magnético em LTs. No estudo de (ANDERSEN, 1977) o cálculo de potenciais elétricos complexos em alta tensão é realizado pelo MEF. Em (TAKUMA, IKEDA e KAWAMOTO, 1981), é efetuado o cálculo da distribuição do campo elétrico e do fluxo de íons ao redor dos condutores de linhas de alta tensão mono e bipolar, em corrente contínua, sendo levada em consideração a incidência de ventos. Já o cálculo de campos elétricos para o designe de isoladores é encontrado no trabalho de (CROWLEY, HURWITZ, et al., 1985). A partir da década de 90, devido a maior disponibilidade dos recursos computacionais, o número de publicações utilizando o MEF no estudo eletromagnético das LTs passa a ser maior, com a ocorrência crescente de aplicações. Assim, o uso do MEF no cálculo dos campos elétricos e magnéticos ao entorno de LTs de alta tensão em CA, operando em regime permanente e em baixas frequências, pode ser encontrado em (HAMEYER, MERTENS e BELMANS, 1995), (PASARE, 2008 (1)), (PASARE, 2008 (2)) e (RAZAVIPOUR, JAHANGIRI e SADEGHIPOOR, 2012). Nos trabalhos de (HAMEYER, MERTENS e BELMANS, 1996) e (MARCOS SILVA, 2010) é ainda realizado o cômputo tridimensional desses campos, através da composição de soluções bidimensionais, em planos transversais da linha, segundo a catenária dos cabos. Em todos os trabalhos, os resultados de campo a uma altura de 1 metro do nível do solo são validados através da comparação com outros métodos analíticos, ou ainda por meio de medições físicas em linhas reais. Os estudos revelam boa precisão para os resultados alcançados pelo MEF, indicando que este pode ser útil ao designe de LTs com diferentes configurações geométricas. Em (MATIAS e RAIZER, 1997), a análise tridimensional do campo elétrico das LTs é realizada através do cálculo de potenciais escalares complexos, utilizando elementos tetraédricos pelo MEF. Os resultados obtidos são validados através do MSC. Tal modelo é então utilizado para computar o campo elétrico em situações de cruzamento de linhas de transmissão e de distribuição, ou ainda analisando a presença de residências embaixo da linha. É destacado neste trabalho que nenhum outro estudo 37 pôde ser localizado na literatura, com resultados para situações similares às analisadas, revelando potencialidades do MEF em novas aplicações das LTs. Em (SATSIOS, LABRIDIS e DOKOPOULOS, 1998), é pesquisado o campo magnético e a corrente induzida em gasodutos subterrâneos paralelos às linhas de transmissão, com análises para ocorrências de curto-circuitos. O solo é considerado a partir de modelos não homogêneos. Os resultados demonstram que o MEF é capaz de modelar problemas diversificados com maior facilidade. Em (MUFTI, AL-HAMOUZ e ABDEL-SALAM, 1999), o efeito corona em linhas de transmissão CC monopolares é analisado pelo MEF. A variação da carga iônica espacial e a densidade de corrente induzida no solo são tomados para avaliação dos perfis de campo elétrico. Os resultados obtidos são compatíveis aos valores medidos experimentalmente, sendo o fluxo de carga por efeito corona menor do que aquele obtido por outros métodos empíricos, que consideram a carga iônica espacial constante. Em (TRIANTAFYLLIDIS, PAPAGIANNIS e LABRIDIS, 1999), o MEF é utilizado para calcular a matriz de impedâncias de uma LT, considerando as irregularidades do solo e analisando a dependência com a frequência de operação. As variáveis de campo são relacionadas com a matriz de impedância das componentes simétricas da LT, e os resultados são comparados com aqueles obtidos através do software EMTP. A possibilidade de considerar modelos de solo mais realísticos e a adequada topografia dos terrenos, revela ser interessante ao estudo de transitórios eletromagnéticos das LTs pelo MEF. Em (LU, FENG, et al., 2007), a análise de cargas iônicas ao redor dos condutores e os campos elétricos ao nível do solo produzidos por LTs com feixes múltiplos de ultra alta tensão (>800 kV), em corrente contínua (HVDC), são analisados através do MEF. Este tipo de linha é bastante atraente para transmissões de energia a longas distâncias, sendo que os aspectos de eficiência e segurança da LT adequadamente avaliados e garantidos pelos resultados obtidos, para a configuração de linha avaliada. Dos últimos desenvolvimentos disponíveis na literatura para o MEF, é apresentado um modelo de cômputo de campos elétricos e magnéticos, o qual é realizado diretamente através da equação de onda (equação de Helmholtz) nos trabalhos de (PAO-LA-OR, ISARAMONGKOLRAK e KULWORAWANICHPONG, 2008), (TUPSIE, ISARAMONGKOLRAK e PAO-LA-OR, 2009) e (DHANALAKSHMI, KALAIVANI e 40 Capítulo 3 – Modelagem Eletromagnética de Linhas de Transmissão 3.1. Linhas de Transmissão As linhas de transmissão são elementos fundamentais do SEP, sendo responsáveis pelo transporte de energia desde as usinas de geração (usinas hidrelétricas e termelétricas, dentre outras) até os centros de consumo, interligando o sistema elétrico de regiões distintas e oferecendo confiabilidade ao fornecimento de energia. O desempenho e o comportamento elétrico de uma linha aérea de transmissão dependem de sua geometria e das características físicas (portanto, também geográficas) do meio no qual a mesma está inclusa (FUCHS, 1979). A figura (3.1) apresenta os principais itens componentes das LTs (feixe de condutores das fases, cabos para-raios, espaçadores, cadeia de isoladores e torre), enquanto a figura (3.2) oferece uma visão detalhada a respeito de alguns destes componentes. Figura 3.1 – Componentes de Linhas de Transmissão Linha de Transmissão 500KV, 4 Condutores por Fase, Adaptado de (FURNAS S.A.) 41 Figura 3.2 – Detalhe para Componentes de Linhas de Transmissão (a) Cabo Condutor, (b) Espaçador, (c) Cadeia de Isoladores (FURNAS S.A.) Os cabos condutores das fases constituem os elementos ativos das LTs. Estes são sustentados pelas estruturas das torres por meio de cadeias de isoladores, cuja função é a de manter os condutores suspensos e isolados eletricamente das estruturas suportes, principalmente durante a ocorrência de sobretensões advindas de manobras de curta duração ou por ocorrência de descargas atmosféricas, evitando assim dissipação da energia através das estruturas da linha. Em situações onde se tem mais de um condutor por fase, existe a necessidade de utilização de ferragens ou espaçadores, conforme ilustra a figura (3.2b). Estes ditam o formato dos feixes de fase, mantendo certa distância entre os subcondutores. Na parte superior das estruturas das LTs podem também estar localizados cabos para-raios, os quais se destinam a proteção dos condutores de fase contra a incidência direta de descargas atmosféricas. Para o transporte de energia, nos sistemas de transmissão, o nível de tensão necessita ser elevado por meio de transformadores nas subestações. Isto reduz substancialmente a corrente de linha e proporciona a diminuição de perdas de energia, bem como, possibilita a redução da seção de bitola dos cabos. A diminuição das bitolas dos cabos, por sua vez, é responsável por grande economia na construção das linhas, 42 devido à diminuição dos esforços mecânicos sob as estruturas do sistema (FUCHS e ALMEIDA, 1982). As instalações de transmissão de energia elétrica são fontes de campos elétricos e magnéticos devido à presença, respectivamente, de correntes e tensões elétricas operando em regime alternado senoidal. Portanto, o conhecimento dos níveis destes campos gerados é um fator importante de sua modelagem, fornecendo informações essenciais para a segurança das pessoas e equipamentos existentes em sua proximidade, bem como garantindo um bom desempenho do transporte de energia. Estes campos são entendidos e descritos através das equações de Maxwell. 3.2. Campos Eletromagnéticos gerados por Linhas de Transmissão 3.2.1. Equações de Maxwell As Equações de Maxwell constituem um conjunto de quatro leis fundamentais do eletromagnetismo, e as quais são apresentadas abaixo em sua forma diferencial, considerando campos harmônicos no tempo (HAYT JR. e BUCK, 2012): Lei de Faraday: ∇ × . = − j12 (3.1) Lei de Ampère: ∇ × 3 = 4 + j16 (3.2) Lei de Gauss do Magnetismo: ∇ ∙ 2 = 0 (3.3) Lei de Gauss: ∇ ∙ 6 = 7 (3.4) Nestas equações, todas as grandezas denotadas em negrito correspondem a quantidades fasoriais complexas, as quais são funções apenas da posição espacial. A lei de Faraday (3.1) descreve como densidades de fluxo magnético 2 produzem distribuições espaciais de campos elétricos .. A lei de Ampère (3.2) descreve como densidades de correntes de condução 4 e densidades de fluxo elétrico 6 produzem distribuições espaciais de campos magnéticos 3. A lei de Gauss do magnetismo (3.3) 45 cabos condutores, e cujo ambiente ao redor é composto de meios dielétricos de diferentes permissividades ε e condutividades σ. Figura 3.3 – Domínio Genérico com Presença de Potenciais Elétricos Manipulando a Lei de Ampère e a Lei de Gauss do Magnetismo, através de propriedades vetoriais, pode ser demonstrado (LARSSON, 2007) que o campo elétrico é dependente do gradiente espacial do potencial elétrico existente, e da variação temporal de um potencial vetor magnético I, conforme a seguinte expressão: . = −∇V / jωI (3.12) Considerando que nas LTs o campo elétrico é principalmente gerado devido aos altos valores de potencial elétrico aplicado aos condutores, e uma vez ignorando os efeitos do potencial vetor magnético, devido ao fato das variações temporais destes valores serem suficientemente lentas, o segundo termo da equação (3.12) pode ser desprezado <jωI → 0?. Assim, para o domínio bidimensional analisado, o campo elétrico pode ser obtido apenas em função dos valores do potencial espacial existente: .  /∂V∂x '& / ∂V∂y (& (3.13) Cabe agora compreender como se dão as distribuições espaciais dos potenciais elétricos. Conforme realizado em (MATIAS e RAIZER, 1997), aplicando o operador 46 divergente em ambos os lados da Lei de Ampère (3.2), e associando ainda os resultados da equação (3.12) e das relações constitutivas (3.5) e (3.7), pode ser obtida a equação diferencial parcial (EDP) que descreve o comportamento do potencial escalar complexo nos pontos do domínio ao redor da LT: ∇ ∙ <σ 5 jω:?-V  0 (3.14) 3.2.2.2. Campo Magnético De maneira similar à realizada para o campo elétrico, a figura (3.4) apresenta o modelo da LT, agora sob a perspectiva de existência de distribuições de densidades de correntes de condução nos condutores <J  JBC<DEFG??, e sob a presença de meios de diferentes permeabilidades µ. Figura 3.4 – Domínio Genérico com Presença de Densidades de Corrente Transversais A natureza solenoidal apresentada pelo campo magnético, conforme demonstra a Lei de Gauss do Magnetismo (3.3), sugere existência de um potencial vetor magnético, desde que é conhecimento de que o divergente de um rotacional de um campo vetorial é sempre nulo (BASTOS, 1996). Ou seja: 2  - , I (3.15) 47 No problema bidimensional analisado, em qualquer instante, apenas existirão componentes longitudinais (perpendiculares ao plano de estudo) para as densidades de corrente de condução (4 = J )̂) e para o potencial vetor magnético (I = A )̂). Assim, a indução magnética pode ser descrita conforme: 2 = ∂I∂y '& − ∂I∂x (& (3.16) Para a determinação dos campos magnéticos cabe agora compreender como se dão as distribuições espaciais dos potenciais magnéticos. Através da Lei de Ampère (3.2), sob a perspectiva quase-estática, a corrente de deslocamento pode ser desprezada, uma vez sendo esta quantidade desprezível em comparação à corrente de condução existente nos condutores ( j16 ≪ 4 ) (LARSSON, 2007). Associando nesta equação a relação constitutiva (3.6) e a equação (3.15), pode ser obtida a EDP que descreve o comportamento do potencial magnético nos pontos do domínio ao redor da LT: ∇ × (υ ∇ × I) = 4 (3.17a) Em que a relutividade magnética υ é dada por: υ = 1/9 (3.17b) Lembrando que o potencial vetor e a densidade de corrente são invariantes na direção longitudinal, a equação pode ser reduzida para (WEISS e CSENDES, 1982): ∇ ∙ [υ ∇I] = 4 (3.18) A princípio, a equação (3.18) é utilizada para o desenvolvimento da solução de potenciais magnéticos através do MEF. Neste caso, as variações temporais do campo magnético são assumidas como sendo suficientemente lentas, e as densidades de corrente parasitas, induzidas ao redor do domínio, são desprezadas. As distribuições de correntes elétricas nos condutores são consideradas ainda homogêneas, não sendo 50 Condição Essencial (ou de Dirrichlet): U = U ^ , válida em Γ\ (3.20a) Condição Natural (ou de Neumann): β _`_a  b , válida em Γ] (3.20b) Em que U ^ representa valores conhecidos de potenciais impostos nas fronteiras Γ\, e g representa um valor relacionado à derivada normal da função U nas fronteiras Γ]. O fato de que, obrigatoriamente, alguma dessas condições deva ser especificada para a cada parte das fronteiras (Γ  Γ\ 5 Γ]) é aqui observado. Figura 3.6 – Problema de Valor de Contorno com Meios Físicos Distintos Na figura (3.6), o fato das superfícies dos condutores serem consideradas como contornos de Dirrichlet (Γ\), bem como das fronteiras fictícias serem representadas como contornos de Neumann (Γ]) é apenas ilustrativo. Em cada caso específico (campo elétrico ou magnético) e em cada abordagem de tratamento possível, as mesmas superfícies podem ter diferenciações nesta consideração, conforme a discussão a seguir. No caso do cômputo do campo elétrico, a superfície de cada condutor existente é tomada como uma fronteira de Dirrichlet (Γ\), dada pela existência de um potencial elétrico complexo estabelecido, cujo valor, em regime permanente, em formato fasorial e notação polar, é equivalente à: 51 V" = | d|√3 ∠ g (3.21) Sendo d a tensão nominal da linha e g o ângulo de fase característico de cada condutor (-120o, 0o e 120o, para um sistema trifásico). Já para os cabos para-raios, o potencial elétrico é considerado nulo (V"=0) em sua superfície, uma vez que estes são solidamente aterrados nos sistemas de transmissão. O solo, quando considerado CEP, também terá potencial elétrico nulo especificado em sua superfície, sendo assim tomado como uma fronteira do domínio de estudos, conforme representado pela figura (3.5a). No caso do campo magnético, nada pode ser estabelecido em relação ao potencial existente no solo e nas superfícies dos condutores. Assim, apenas as fronteiras fictícias delimitam o domínio, uma vez que também é necessário assumir o interior dos condutores. As densidades de corrente existentes são consideradas homogêneas e, para cada condutor, são equivalentes a: J" = |hd|∠ gij"aZ (3.22) Sendo hd a corrente de linha, g o ângulo de fase característico de cada condutor (- 120o, 0o e 120o, para um sistema trifásico), e ij"aZ a área da seção transversal do condutor. A corrente hd, por sua vez, depende momentaneamente das cargas conectas à LT, sendo variável. A mesma pode ser calculada conforme (PEREIRA, 2012): hd = kj lm √3 | d|cos (q) (3.23) Sendo kj lm a potência de carga e cos(q) correspondente ao seu fator de potência. Como normalmente a carga conectada a uma LT tem bastante variação ao longo dos horários, esta consideração acima pode ser impraticável. Assim, em muitos 52 problemas práticos, quando desejado calcular as condições críticas de operação, a corrente máxima especificada para os condutores (a qual se associa aos dados nominais de ampacidade dos cabos) é utilizada para a avaliação dos campos magnéticos máximos. Sobre as condições de continuidade, novamente considerando a figura (3.6), uma vez que os parâmetros físicos β sofrem descontinuidades e mudanças abruptas entre os diferentes meios presentes no domínio (Ω+ e Ω−), as seguintes condições são estabelecidas na interface ΓZ: U Ω+ = U Ω− (3.24) rβΩ+ SU Ω+S' + βΩ+ SU Ω+S( s ∙ %&tu = rβΩv SU Ω−S' + βΩ− SU Ω−S( s ∙ %&tu (3.25) Assim, para o caso tratado, entre a interface ar-solo e também na consideração de outros meios presentes no domínio de estudo (por exemplo, dutos metálicos, estruturas da LT ou organismos biológicos), essas condições de continuidade devem ser respeitadas. Uma vez definido o PVC associado ao caso tratado, com o estabelecimento claro do domínio de estudos e das condições de fronteira e de interface, é agora necessário admitir condições mais fracas, aproximadas, para a solução das derivadas existentes na equação (3.19). Para sanar esta questão e possibilitar o desenvolvimento completo do problema, o MEF é introduzido no próximo capítulo. 55 aproximada seja expressa mediante a integração ponderada da própria equação diferencial representativa do problema. Para a aproximação completa da solução, resta agora definir funções de peso kx e de aproximações yx de forma a possibilitar o desenvolvimento da equação (4.3). Para isto, existem diversos casos de desenvolvimento particulares, tais como: o Método de Galerkin; o Método dos Mínimos Quadrados; e o Método Colocacional; dentre outros enunciados por (JIN, 2002). Neste trabalho o método de Galerkin é utilizado por este ter maior emprego na maioria das aplicações encontradas na literatura, e também devido a sua maior simplicidade. 4.1.1. Método de Galerkin O método de Galerkin consiste em considerar que as funções de peso kx sejam as mesmas funções de aproximação yx, e as quais são também chamadas de funções de forma (OLIVEIRA, 1990). No caso tratado, isto é expresso através da integral de resíduo ponderado como: ƒ yx … SS' β SUwS' + SS( β} SUwS( − V† '(„ = 0 (4.4) Após a aplicação de identidades relacionadas a campos vetoriais e do teorema da divergência, conforme demonstrado no tópico (B-1) do anexo B deste trabalho, a equação (4.4) acima pode ser desenvolvida, alcançando o seguinte formato (JIN, 2002): ƒ ‡β SyxS' SUwS' + β} SyxS( SUwS(ˆ'(„ +‰ yxŠ ∙ %& Γt −ƒ yxb '(„ = 0 (4.5a) Em que, Š = β SUwS' '& + β} SUw S( (& (4.5b) 56 A parcela dada pela segunda integral da equação (4.5a) está relacionada às condições de contorno impostas ao PVC, uma vez que a mesma é aplicada ao contorno Γ do domínio. Conforme visto no capítulo anterior, tal fronteira é especificada através de duas possíveis condições de contorno: condições de Dirrichlet em Γ\ e condições de Neumann em Γ]. Assim, para a parte Γ\ do contorno, a contribuição dessa integral é nula, uma vez que sendo o potencial estabelecido constante sobre as mesmas. Já para a parte Γ] do contorno, os termos das componentes de Š são dados pela condição de Neumann. No problema tratado somente é considerada a possibilidade da condição de Neumann ser homogênea, impondo que os campos elétricos e magnéticos apenas apresentem componentes tangenciais nas fronteiras Γ]. Ou seja: Condição de Neumann Homogênea: _` _a = 0 , em Γ] (4.6) Consequentemente, a contribuição desta parcela para a integral sendo verificada também é nula. Assim, a equação (4.5) pode ser resumida à seguinte forma: ƒ ‡β SyxS' SUw S' + β} SyxS( SUw S(ˆ' („ =ƒ yxb ' („ (4.7) Por fim, substituindo a solução aproximada Uw pela equação (4.1), e retirando o somatório para fora da integral, uma vez sendo constantes os termos UC , o seguinte formato é obtido: z‡ƒ ‡β SyxS' SyCS' + β} SyxS( SyCS( ˆ' („ ˆ a C{\ UC =ƒ yxb ' („ Œ| Ž = 1,… , % (4.8) A equação (4.8) é chamada de forma fraca da formulação, uma vez que a mesma apenas contém derivadas de primeira ordem, resultando assim em uma ordem mais 57 fraca para manuseamento, em termos de técnicas numéricas (OLIVEIRA, 1990) (JIN, 2002). Assim, desde que existam % funções de aproximação yC válidas e conhecidas, quando aplicada a cada uma das % funções de peso yx disponíveis (as quais, por definição, são idênticas às funções de aproximação), a equação (4.8) constituirá um sistema algébrico de % equações. A solução desse sistema possibilita a determinação das % constantes ∅x, e consequentemente, a determinação da solução aproximada Uw também, através da equação (4.1). Apesar do método de Galerkin possibilitar a aproximação da solução do PVC existente, não há, no entanto, uma forma sistemática para a constituição das funções de forma yx. A única restrição existente é que estas devem ser linearmente independentes, e obviamente, um número infinito de conjuntos de funções de forma poderia ser utilizado, recaindo riscos de escolhas inadequadas (MESQUITA, 1990). Tais dificuldades são contornadas pela utilização do MEF, o qual fornece uma base geral e sistemática para a constituição das funções de forma, como é demonstrado adiante, permitindo uma alternativa viável para a aplicação da equação aproximada (4.8) em um espaço de dimensão finita. 4.2. Discretização em Elementos Finitos O método dos elementos finitos consiste da divisão do domínio de estudo através de regiões discretas, denominadas elementos, e sob os quais as soluções Uw do problema são aproximadas individualmente, por funções de interpolação. Assim, a solução geral do PVC, o qual é governado por uma EDP imposta sobre o domínio Ω, pode ser indiretamente obtida pela reunião das contribuições individuais dadas em cada subdomínio elementar Ω‘ (JIN, 2002). Um domínio dividido em % elementos pode então ser enxergado pela aproximação abaixo, como ocorre para o caso bidimensional ilustrado na figura (4.2): Ω ≈zΩx‘a‘x{\ (4.9) 60 E sendo ∆‘a área do triangulo, a qual é dada por: ∆‘= 12 (V\‘—]‘ − V]‘—\‘) (4.12c) As deduções acima são todas realizadas com maior nível de detalhamento no tópico B-2 do apêndice B, sendo apresentadas também importantes propriedades para as funções de forma yC‘ . Uma vez sendo obtidas as funções de forma, as suas derivadas espaciais podem também ser facilmente calculadas, conforme apresentado: SyC‘S' = 12∆‘ VC‘ SyC‘S' = 12∆‘ —C‘ (4.13) Consequentemente, o conjunto de equações de resíduos ponderados, representado pela equação (4.8), pode agora também ser desenvolvido sob o ponto de vista elementar, conforme se segue: z‡ƒ ‡β ‘ Syx‘S' SyC‘S' + β}‘ Syx‘S( SyC‘S( ˆ' („˜ ˆ ” C{\ UC‘ =ƒ yx‘b‘ ' („˜ , Œ| Ž = 1,2,3 (4.14) Este conjunto de equações pode ser escrito em formato matricial, conforme se segue: [™‘]šU‘› = šV‘› (4.15a) Neste, os termos da matriz [™‘]” ” e do vetor šV‘›” \, quando desenvolvidos analiticamente, conforme realizado em (JIN, 2002), são correspondentes a: ™xC‘ = 14∆‘ œβ ‘Vx‘VC‘ + β}‘—x‘—C‘ (4.15b) Vx‘ = ∆‘3 b‘ (4.15c) 61 E sendo: šU‘› = šU\‘ U]‘ U”‘›ž (4.15d) Também é possível desenvolver as derivadas para os potencias Uw‘ aproximados para o interior do domínio elementar, em relação a cada coordenada, considerando a equação (4.11) e as funções de forma (4.12): SUw‘S' = 12∆‘zVC‘ ” C{\ UC‘ SU w‘S( = 12∆‘z—C‘UC‘ ” C{\ (4.16) Assim, é importante notar que estes são termos constantes, dependentes apenas da geometria do elemento e dos valores de potencial nodais. Isto implica em considerar que os campos elétrico e magnético sejam uniformes no interior do elemento triangular de primeira ordem, uma vez que suas componentes, em cada direção, dependerão exclusivamente das derivadas acima, conforme visto pelas equações (3.13) e (3.16). 4.2.2. Elemento Triangular Subparamétrico de Segunda Ordem A aproximação do campo vetorial no interior do elemento triangular de primeira ordem pode ser insatisfatória do ponto de vista físico. Assim, a utilização de elementos de ordem superior pode ser mais interessante, possibilitando aproximações mais condizentes. A despeito deste benefício, existe o fato de que tais elementos são mais complexos, necessitando considerar mais pontos nodais para constituição das funções de forma yC‘ , as quais são obtidas através de polinômios de interpolação de maior grau, além de necessitarem de operações algébricas sobre contornos curvos, quando na resolução da integral de resíduos ponderados (BASTOS e SADOWSKI, 2003). Assim, para facilitar o tratamento matemático, é conveniente que as coordenadas reais (x e y) dos elementos de ordem superior sejam referenciadas para um elemento local, definido em coordenadas naturais (ξ e η) previamente conhecidas, através da utilização de funções de transformação geométrica (BASTOS e SADOWSKI, 2003). Deste 62 modo, as operações matemáticas podem ser simplificadas, sendo dadas numericamente, de maneira padronizada. A figura (4.4) apresenta o elemento triangular de segunda ordem e sua transformação através do elemento de referência (OLIVEIRA, 1990). Tal elemento é composto de seis nós locais, sendo três destes localizados nos vértices e outros três localizados em pontos médios de segmentos parabólicos curvos. As coordenadas destes nós, tanto para o elemento real quanto para o elemento de referência, são também evidenciados pela tabela (4.1). Figura 4.4 – Mapeamento do Triangulo de Segunda Ordem no Elemento de Referência (JIN, 2002) Tabela 4.1 – Relação Entre Coornedandas Reais e Locais Elemento Real (Ÿ,  ) Elemento de Referência (¡, ¢) (£>, ¤>) (0,0) (£=, ¤=) (1,0) (£¥, ¤¥) (0,1) (£¦, ¤¦) (1 2⁄ , 0) (£¨, ¤¨) (1 2⁄ , 1 2⁄ ) (£©, ¤©) (0, 1 2⁄ ) No caso tratado, referente ao cômputo de campos elétricos e magnéticos em LTs, por não ser necessário tratar geometrias demasiadamente complexas, a discretização dos domínios considerará apenas elementos triangulares com arestas não curvas, conforme representado na figura (4.5). 65 equações de resíduos ponderados seja desenvolvido sob o ponto de vista deste elemento. Ou seja: z‡ƒ ‡β ‘ Syx‘S' SyC‘S' + β}‘ Syx‘S( SyC‘S( ˆ' („˜ ˆ ¬ C{\ UC‘ =ƒ yx‘b‘ ' („˜ , Œ| Ž = 1,2,3,4,5,6 (4.23) Uma vez considerando a transformação geométrica realizada, a equação (4.23) precisa ser trabalhada de modo a avaliar as integrações existentes sob o ponto de vista do elemento de referência. Isto é realizado no tópico B-4 do apêndice B, sendo o conjunto de equações finalmente obtido, reescrito conforme o seguinte formato matricial: [™‘]šU‘› = šV‘› (4.24a) Com os termos da matriz [™‘]¬ ¬ e do vetor šV‘›¬ \ sendo correspondentes a: ™xC‘ = ´ ´ \µB\B 1|¶| ·β ‘ ‡[ J ]],] Syx‘S¯ − [ J ]\,] Syx‘Sη ˆ‡[ J ]],] SyC ‘S¯ − [ J ]\,] SyC‘Sη ˆ +β}‘ ‡[ J ]\,\ Syx‘S¯ − [ J ]],\ Syx‘Sη ˆ‡[ J ]\,\ SyC‘S¯ − [ J ]],\ SyC‘Sη ˆ¸ ¯ η (4.24b) Vx‘ = ´ ´ yx‘b‘ |¶| ¯ η\µB\B (4.24c) Onde a matriz Jacobiana é dada por: [ J ] = ¹'] − '\ (] − (\'” − '\ (” − (\º (4.24d) O vetor dos potenciais nodais incógnitos pode ser escrito como: šU‘› = šU\‘ U]‘ U”‘ Uª‘ U«‘ U¬‘›ž (4.24e) 66 As integrais em (4.24b) e (4.24c), agora dadas através da área do elemento de referência, são solucionadas numericamente pelo método de Gauss. Assim, as mesmas são resumidas a um somatório de termos que correspondem ao integrando avaliado em | diferentes pontos (¯x , ηx? do interior elemento de referência, e ponderados por valores »x, conforme a equação a seguir (OLIVEIRA, 1990) (MARCOS SILVA, 2010): ´ ´ <¯ , η?¯ η\µB z»x <¯x , ηx? l x{\ \ B (4.25) O número | de pontos define a precisão do processo de integração numérica (MARCOS SILVA, 2010), sendo, para o elemento triangular subparamétrico de segunda ordem, um número | ¼ 3 suficientemente preciso (OLIVEIRA, 1990). Assim, 4 pontos de integração são utilizados, conforme ilustrado na figura (4.6), e cujos valores das coordenadas <¯x , ηx? e dos pesos »x associados à estes pontos são dados pela tabela (4.2) (OLIVEIRA, 1990). Figura 4.6 – Pontos de Integração no Elemento de Referência Tabela 4.2 – Pontos de Integração de Gauss no Elemento de Referência Coordenadas <¡½ , ¾½? Peso ¿½ (>/¥ , >/¥? -27/96 (>/¨ ,>/¨? 25/96 (¥/¨ ,>/¨? 25/96 (>/¨ ,¥/¨? 25/96 67 Cabe por último notar que, uma vez sendo aproximados os potenciais Uw‘ no interior do elemento subparamétrico através da utilização de funções polinomiais de segunda ordem, isto acarreta em considerar que as componentes direcionais dos campos vetoriais sejam aproximadas de maneira linear no interior destes elementos (JIN, 2002). Tais componentes, em dado ponto do elemento real, podem ser tomadas através do gradiente da função Uw‘ em relação às coordenadas reais, atendendo à transformação geométrica pelo elemento de referência e considerando as funções de forma (4.22), que em formato matricial são dadas por (OLIVEIRA, 1990): Á ÂÂà SUw‘S' SUw‘S( ÄÅÅ ÅÅÆ = 1|¶| Ç [ J ]],] −[ J ]\,]−[ J ]],\ [ J ]\,\ È Á ÂÂà Sy\‘S¯ Sy]‘S¯ Sy\‘Sη Sy]‘Sη … Sy¬‘S¯ … Sy¬‘Sη ÄÅÅ ÅÅÆ ÉU\ ‘U]‘⋮U¬‘Ë (4.26) Considerando, por exemplo, a verificação dos campos vetoriais no baricentro dos triângulos (cujas coordenadas no elemento de referência são dadas por ξ = 1/3 e η = 1/3), a equação acima resulta nas seguintes componentes: Á ÂÂà SUw‘S' SUw‘S( ÄÅÅ ÅÅÆ = 13 |¶| Ç [ J ]],] −[ J ]\,]−[ J ]],\ [ J ]\,\ È Ç −U\‘ U”‘ −U\‘ −4U]‘ 4Uª‘ −4U¬‘ 4Uª‘ U«‘ È (4.27) 4.3. Contribuição Geral dos Elementos Uma vez avaliada as equações de resíduos ponderados sob o ponto de vista elementar, através das funções de forma yC‘ , é possível aproximar os potenciais Uw‘ no interior dos elementos a partir dos valores discretos Ux‘ existentes nos nós dos elementos. Para a solução geral do PVC imposto, é agora necessário reunir as contribuições de cada elemento de maneira global, de forma a constituir a variável Uw ao longo de todo o domínio de estudos, através do relacionamento geral entre os subdomínios 70 inserção de fronteiras fictícias. Assim, um tratamento matemático consistente se faz necessário para assumir esta aproximação. 4.4.1. Tratamento do Domínio Aberto Em muitas situações práticas de engenharia, os problemas eletromagnéticos não estão confinados a um domínio finito, sendo caracterizados pela existência de fronteiras físicas abertas, ou seja, que se estendem até o infinito. Nesta classe de problemas, uma vez que o MEF precisa atuar sobre domínios discretos claramente delimitados, deve ser estabelecido um limite externo máximo, a certa distância finita do centro dos objetos de interesse, e o qual deve ser tratado por técnicas especiais, representando corretamente a região exterior não abrangida (CHEN e KONRAD, 1997). É prática comum, utilizada na maioria dos softwares comerciais, quando se utilizando do MEF, a realização do truncamento da malha, a alguma distância finita a partir do centro do problema (CHEN e KONRAD, 1997). Assim, uma fronteira artificial é constituída o mais remota possível, sendo o erro presenciado assumido como parte do ruído da solução (EMSON, 1988). Embora a ampla maioria dos trabalhos encontrados na literatura, tratando da aplicação do MEF em problemas eletromagnéticos estáticos e quase-estáticos utilizem esta abordagem sem maiores discussões a respeito do tema, no trato deste trabalho, tal alternativa pode apresentar certos inconvenientes, sendo determinante ao que se refere à eficiência computacional da solução. Isso porque, uma vez sendo a dimensão das bitolas dos cabos de uma LT muito pequena quando comparada à dimensão das torres, há tanto a necessidade de constituição de malhas de elementos muito refinadas nos arredores dos condutores, quanto de malhas muito extensas, de forma a ser capaz de abranger um domínio de estudos coerente, e o qual cubra a interação com o solo e de toda a faixa de passagem da LT. Logo, a precisão de solução requerida pode ficar atrelada a um alto custo de processamento, necessário ao tratamento de um número maior de elementos. Tal fato inviabilizaria, por exemplo, a utilização do MEF no desenvolvimento de algoritmos para a otimização de LTs, em formatos não 71 convencionais, uma vez que a solução para configurações diversas seriam dispendiosas em relação ao tempo de solução. Assim, além do truncamento, neste trabalho é aplicada outra técnica mais consistente para o tratamento das fronteiras fictícias, a qual consiste em mapear o domínio externo em uma região fechada, através do uso de transformações espaciais. Os trabalhos de (CHEN e KONRAD, 1997), (EMSON, 1988) e (BETTESS, 1988) fornecem mais alternativas para a realização deste tratamento, tal como o uso de elementos infinitos, os quais usam funções de decaimento para expressar a atenuação dos potenciais em sua região interna. 4.4.1.1. Truncamento O truncamento das fronteiras externas é uma abordagem intuitiva que se baseia na suposição de que em uma distância suficientemente grande de suas fontes, os valores dos potenciais U ou de suas derivadas normais sejam próximos de zero (CHEN e KONRAD, 1997). Ou seja, os contornos fictícios são assumidos ou como fronteiras de Dirrichlet nulas, ou como fronteiras homogêneas de Neumann: U^ = 0 … €Ð … _`_a = 0 em Γ‘ E (4.30) O efeito de tal consideração é similar ao de se assumir fontes extras implícitas, localizadas externamente a fronteira, que atuam equivalentemente de forma contrária, como demonstra a figura (4.7). Logo, pequenos erros para os potenciais internos do domínio serão também dados por influência da fonte externa implícita (EMSON, 1988). Assim, embora a abordagem seja conceitualmente simples, sua precisão é aceitável apenas para limites exteriores estabelecidos suficientemente longes das fontes, o que, por sua vez, aumenta os requisitos de memória e tempo de processamento para a solução do problema via MEF (BETTESS, 1988). 72 Figura 4.7 – Truncamento de Fronteira Externa para Magnetostática (EMSON, 1988) No trabalho de (CHEN e KONRAD, 1997) é estabelecida uma regra geral a qual indica que a localização deste limite exterior deva ser no mínimo cinco vezes a distância da superfície mais externa de relevância do problema ao centro dos objetos de interesse. Ou seja, no caso tratado, a mesma é equivalente a uma fronteira circular cujo raio seja ao menos cinco vezes a distância entre o solo e o condutor localizado a maior altura da LT, conforme ilustra a figura (4.8). Logo, fica claro o grande desafio em aplicar o MEF por utilização do truncamento no problema tratado, uma vez sendo necessário abranger um domínio de estudos muito extenso. Figura 4.8 – Truncamento de Fronteira Externa em LTs Abordagens iterativas também podem ser realizadas, a fim de melhorar a precisão do truncamento, deslocando a fronteira virtual sucessivamente, até que certo critério seja satisfeito ou até que seja possível realizar extrapolações para uma solução considerando a fronteira localizada no infinito (EMSON, 1988). Isto requer um maior 75 Figura 4.9 – Transformação Espacial de Problemas Abertos em Problemas Fechados Neste trabalho uma transformação espacial denominada “transformação Kelvin” é utilizada devido à facilidade de aplicação desta técnica em problemas bidimensionais abertos, além de ter sido notado um maior emprego da mesma na literatura, com a obtenção de resultados satisfatórios. Dentre estas aplicações, a utilização no cômputo de campos elétricos e magnéticos em LTs pode ser vista em (PASARE, 2008 (2)). A figura (4.10) considera, portanto, a aplicação da transformação Kelvin no problema tratado. O domínio circular interno ΩÜÝÞ envolve a linha de transmissão e abrange também toda a área de interesse de estudos, delimitando uma fronteira virtual ΓÜÝÞ, a qual separa o espaço exterior ΩßÞ aberto, que se estende até ao infinito. Figura 4.10 – Transformação Kelvin aplicada a LTs – Domínio Inteiro Pode ser percebido que a fronteira ΓÜÝÞ é comum tanto ao domínio interno quanto ao domínio externo, os quais compõe o real domínio do problema, e sendo ainda que: 76 à = àxaE ∪ à‘ E (4.32) A essência do método, consiste em mapear, de uma forma contínua, o domínio exterior infinito ΩßÞ, dado através das coordenadas reais (x,y), através de outro espaço transformado, circular e finito, dado em outro sistema de coordenadas. Um requisito da formulação clássica diz respeito ao comprimento dos raios obtidos para definição dos domínios circulares que devem ser iguais tanto para o domínio interno quanto para o domínio externo transformado (NOGUEIRA e LE BOUDEC, 2011). A transformação espacial para a região externa pode assim ser descrita conforme as relações geométricas: Distância de um ponto em relação à origem, nas coordenadas reais: | = â(' − 'j‘aEl")] + (( − (j‘aEl")] (4.33a) No caso de | > ... ä ¯ = ]|] (' − 'j‘aEl") + ¯j‘aEl" å = ]|] (( − (j‘aEl") + åj‘aEl" (4.33b) Sendo "" o raio das circunferências que delimitam os domínios, ('j‘aEl", (j‘aEl") e (¯j‘aEl", åj‘aEl") as coordenadas do centro das circunferências que delimitam, respectivamente, o domínio interno e o domínio externo transformado. A transformação inversa pode também ser descrita, conforme as relações geométricas: Distância de um ponto em relação à origem, no espaço externo transformado |æ = â(¯ − ¯j‘aEl")] + (å − åj‘aEl")] (4.34a) No caso de |æ < ... ä ' = ]|æ] (¯ − ¯j‘aEl") + 'j‘aEl" ( = ]|æ] (å − åj‘aEl") + (j‘aEl" (4.34b) 77 De acordo com a equação (4.33), é percebido que na medida em que os pontos externos são tomados a grandes distâncias do centro de referência das coordenadas reais, para além da fronteira ΓÜÝÞ, esses pontos, uma vez transformados, tendem ao centro de referência das coordenadas transformadas. Ou seja, o centro do domínio transformado representa o infinito do problema original: èЍ%€: | → ∞ ... Logo: (¯, å) → (¯j‘aEl", åj‘aEl") (4.35) Uma vez transformada a região externa, ambos os domínios podem ser discretizados para a aplicação do MEF. Embora as malhas de elementos das regiões interna e externa transformada não necessitem ser iguais, os mesmos pontos nodais nas fronteiras circulares ΓÜÝÞ devem ser tomados em ambos os domínios, já que estas fronteiras são coincidentes. Fisicamente, estando estes nós conectados, os potenciais Uí½îïx em cada um dos nós coincidentes são iguais (STOCHNIOL, 1992). As equações de resíduos ponderados, quando aplicadas aos elementos do domínio externo ΩßÞ, precisam, então, de serem adaptadas ao domínio transformado. Assim a equação (4.8) pode ser desmembrada de forma matricial, com os termos de contribuição elementar sendo equivalentes a (BRUNOTTE, MEUNIER e IMHOFF, 1992) (TANG, DUN, et al., 2009): ™xC‘ =ƒ 1|¶| ·‡ J ],] Syx‘S¯ −  J \,] Syx‘Sη ˆ‡ J ],] SyC‘S¯ −  J \,] SyC‘Sη ˆ „˜ÑҘ + ‡ J \,\ Syx ‘ S¯ −  J ],\ Syx‘Sη ˆ‡ J \,\ SyC‘S¯ −  J ],\ SyC‘Sη ˆ¸ ¯ η (4.36a) Vx‘ = ƒ yx‘b‘ |¶| ¯ η„˜ÑҘ = 0 (4.36b) A equação (4.36b) é sempre nula, uma vez que todas as fontes devam ser consideradas confinadas dentro do domínio interno. Já a matriz jacobiana, para a 80 Figura 4.12 – Transformação Kelvin aplicada na proximidade dos cabos condutores Quando considerando as fronteiras fictícias aplicadas nas proximidades dos condutores, sendo desejado computar os campos elétricos ou magnéticos em pontos localizados externamente ao domínio interior, tal como, por exemplo, o campo ao nível do solo, é necessário desenvolver as derivadas dos potenciais em relação às coordenadas do domínio real ( _`_ e _`_}), a fim de poder refletir esses campos em função dos potenciais calculados no domínio externo transformado. Isto é realizado considerando as derivadas parciais de cada transformação espacial, conforme abaixo:  ÂÃSUS'SUS(ÅÅÅ ÅÆ = Á ÂÃS¯S' SηS'S¯S( SηS(ÄÅÅ ÅÆ óôôôõôôôö ÷   Â Âà SUS¯ SUSηÅÅ ÅÅ Æ (4.38a) 81 Considerando a transformação espacial provida pela equação (4.33), a matriz Jacobiana é agora dada por (SILVESTER e FERRARI, 1996): As derivadas dos potenciais em relação às coordenadas naturais ( __̀ø e _`_µ) podem ser calculadas através de cada elemento do domínio externo transformado, de maneira similar aquela apresentada pelas equações (4.16) e (4.26), respectivamente para os elementos triangulares de primeira e segunda ordem. Por consequência, as componentes espaciais de campo elétrico e magnético em qualquer ponto das coordenadas reais (x,y), localizados externamente a fronteira fictícia (| > , pela equação (4.33)), podem ser computados mediante a equação (4.38), através dos resultados de potenciais do domínio externo. 4.5. Solução dos Sistemas Matriciais Após a obtenção final do sistema de equações, com a consideração das condições de contorno e tratamento das fronteiras fictícias, deve-se passar à etapa de resolução do sistema de equações final obtido. A solução deste sistema pode ser implementada através de técnicas diversas para resolução de sistemas lineares. Uma breve discussão acerca destas possibilidades é então realizada no tópico C-1 do apêndice C. Neste trabalho, a Fatoração de Choleski, o qual é mais bem discutido em (CAMPOS FILHO, 2007), é o método escolhido para a resolução dos sistemas lineares obtidos. Tal escolha é baseada no melhor desempenho computacional obtido, após a realização de testes diversos na resolução dos sistemas de equações obtidos pela aplicação do MEF no problema tratado, usando diferentes métodos, e também baseado no estudo de (GILBERT, MOLER e SCHREIBER, 1992), o qual retrata melhores práticas para uso e manipulação de sistemas esparsos no software MATLAB®. [ J ] = 1] Ç (( − (j‘aEl") ] − (' − 'j‘aEl")] −2(' − 'j‘aEl")(( − (j‘aEl") −2(' − 'j‘aEl")(( − (j‘aEl") (' − 'j‘aEl")] − (( − (j‘aEl")] È (4.38b) 82 4.6. Estrutura Algorítmica Implementada Para a solução de casos de estudo diversificados, a aplicação do cômputo de campos elétricos e magnéticos em LTs utilizando o MEF, conforme a modelagem discutida neste capítulo, é implementada através do software MATLAB®. A macroestrutura do algoritmo é apresentada através da figura (4.13). Figura 4.13 – Estrutura Algorítmica Geral Tipicamente, esta estrutura é apresentada sob três etapas: Pré-Processamento (para os blocos funcionais em vermelho); Processamento (para os blocos funcionais em azul); e Pós-Processamento (para os blocos funcionais em verde). Cada um desses blocos funcionais são melhores detalhados no apêndice C. O próximo capítulo apresenta os resultados para a execução deste programa através de problemas diversos. 85 desprezados, e os condutores de fase têm seção circular regular. A fronteira externa do domínio é truncada, e considerada como tendo potencial elétrico nulo. Esta é a situação mais idealizada possível, sendo assim encontrada na maioria dos estudos. Tal modelo é evoluído gradualmente no próximo tópico, com melhor percepção das consequências sobre os resultados. A figura (5.2a) apresenta a geometria do problema discretizada em 15546 elementos triangulares e 8056 nós globais, com detalhes de refinamento da malha. As figuras (5.2b) e (5.2c) apresentam a malha ao redor do feixe de condutores da fase A e envolta de um destes condutores, respectivamente, demonstrando a grande densidade de elementos na região, devido à necessidade de modelar a pequeníssima dimensão dos condutores, quando comparada à dimensão inteira do domínio de estudos. (a) (b) (c) Figura 5.2 – Malha de Elementos – LT 500kV Furnas a) Geometria Completa Discretizada; b) Condutores do Feixe da Fase A; c) Condutor 1 da Fase A -100 -50 0 50 100 20 40 60 80 100 120 Coord. X (metros) C oo rd . Y ( m et ro s) -8.5 -8 -7.5 -7 -6.5 16.5 17 17.5 18 18.5 19 Coord. X (metros) -8.06 -8.04 -8.02 -8 -7.98 -7.96 -7.94 -7.92 -7.9 17.42 17.44 17.46 17.48 17.5 17.52 17.54 17.56 17.58 86 A aplicação da equação (4.15) a cada um dos subdomínios da figura anterior nos permite constituir, então, um sistema de equações cuja solução fornece o potencial elétrico em todo domínio. O campo elétrico é posteriormente determinado em cada elemento através da aplicação da equação (4.16). A figura (5.3) mostra curvas comparativas para o campo elétrico obtido a 1 metro de altura do nível do solo através do MEF e do método das imagens sucessivas (MIS), cujo resultado é obtido através do trabalho de (PAGANOTTI, 2012). A tabela (5.2) apresenta o erro médio global entre as abordagens considerando a avaliação de resultados em 40 metros da faixa de passagem (de -20m a 20m). Também é apresentado o erro e as posições para o campo elétrico máximo, valor este de grande importância ao projeto de LTs, e o qual é limitado por regulamentações específicas (MARCOS SILVA, 2010). Figura 5.3 – Campo Elétrico ao Nível do Solo (MEF x MIS) – LT 500kV Furnas Tabela 5.2 – Campo Elétrico ao Nível do Solo (MEF x MIS) – LT 500kV Furnas Erro (MEF x MIS) Campo Máximo Posição (Campo Máx.) Global (%) MEF (V/m) MIS (V/m) Erro (%) MEF (m) MIS (m) 5,4 4578,6 4316,5 7,2 11,2 11,1 É percebida uma boa concordância entre os resultados de intensidade de campo elétrico, a qual é notada pelo perfil de curva ao nível do solo. O erro presenciado é maior nas proximidades da região de campo elétrico máximo, quando comparando as metodologias distintas. -15 -10 -5 0 5 10 15 20 2500 3000 3500 4000 4500 Coord. x (metros) C am po E lé tr ic o (V /m ) MIS MEF 87 A figura (5.4) apresenta os resultados para a distribuição espacial do potencial e campo elétrico na região próxima ao solo, obtidos pelo MEF. Um grande decaimento do potencial elétrico pode ser notado da altura de 2,5 metros até a superfície do solo, enquanto que, para uma mesma posição, o campo elétrico se mantém praticamente constante, em função da altura analisada. Ou seja, o padrão mostrado para o perfil do campo elétrico a 1 metro de altura se repete, com pouca variação de intensidade, para alturas diferentes próximas ao nível do solo. As curvas de potencial são tangentes à superfície do solo enquanto as curvas de campo são ortogonais, resultado este fisicamente esperado. Comparativamente às técnicas analíticas, uma vantagem do MEF é a de permitir essa melhor interpretação física das situações estudadas, explorando o uso de resultados gráficos mais detalhados e amplos. (a) (b) Figura 5.4 – Distribuição de Potencial e Campo Elétrico ao Nível do Solo – LT 500kV Furnas a) Potencial Elétrico (V); b) Campo Elétrico (V/m) O resultado para o campo elétrico superficial ao entorno dos condutores da LT é também comparado entre as abordagens (MEF e MIS), segundo os resultados obtidos por (PAGANOTTI, 2012). Os gráficos para os condutores da fase A são disponibilizados 90 Em linhas de alta tensão, um altíssimo nível de intensidade de campo elétrico é localizado próximo à superfície dos condutores, decaindo muito rapidamente ao se afastar dos mesmos, conforme observado pela figura (5.6b). Tal fato ofusca a visualização do comportamento espacial dos campos elétricos para a região e também para o resto do domínio de estudos. Por isso, a partir deste ponto, tais gráficos, quando considerando a região dos condutores, são dados em escala logarítmica (log\B x), como aquele disponibilizado pela figura (5.6c), provendo melhor entendimento da variação espacial dos campos elétricos. A figura (5.7) provê a visualização das distribuições espaciais de potencial e campo elétrico para todo o domínio de cômputo considerado pelo MEF. Para melhor visualização de comportamento, os potenciais elétricos são dispostos em escala logarítmica (log\B x) na figura (5.7b). Pode ser observado nesta figura que, com o afastamento da região superficial dos condutores, valores da ordem de 103 V são ainda presenciados a um raio de distância de 100 metros da linha. (a) (b) (c) Figura 5.7 – Distribuição de Potencial e Campo Elétrico para o Domínio Completo – LT 500kV Furnas a) Potencial Elétrico (V); b) Potencial Elétrico (Escala Logarítmica); c) Campo Elétrico (Escala Logarítmica) 91 É importante demonstrar também uma visão aproximada da matriz de rigidez global [K] do sistema matricial final obtido pelo MEF, a qual é fornecida através da figura (5.8). Nesta, os pontos em azul correspondem aos 55282 termos não nulos (apenas 8% do total de termos), ficando evidente a enorme economia propiciada pelo armazenamento eficiente de memória. Figura 5.8 – Esparsidade do Sistema Matricial Embora os valores alcançados pelo MEF no cálculo dos campos elétricos tenham sido satisfatórios em comparação aos resultados do MIS, é necessário apurar como alguns detalhes assumidos no modelo de cômputo influenciam os resultados numéricos e o tempo de processamento computacional. 5.2.1. Análise de Sensibilidade Os próximos subtópicos fazem análises das alterações de resultados do MEF relacionadas aos seguintes fatores do modelo: presença dos cabos para-raios; nível de refinamento da malha de elementos; utilização de elementos de segunda ordem; tratamento das fronteiras fictícias. 92 5.2.1.1. Consideração dos Cabos Para-Raios Para o problema tratado, diferentemente de alguns métodos analíticos, a consideração dos cabos para-raios através do MEF não acarreta nenhuma dificuldade adicional, implicando somente na sua consideração geométrica e na inserção de um maior número de elementos ao entorno destes. Isto ocasiona em um acréscimo mínimo de tempo para processamento da solução, o que não justifica a sua desconsideração. A figura (5.9) apresenta a malha de elementos para a discretização da geometria do domínio anterior, agora considerando os cabos para-raios, com detalhe para a região dos condutores. Figura 5.9 – Malha de Elementos com cabos Para-Raios A figura (5.10) avalia o campo elétrico ao nível do solo, com e sem a presença dos cabos para raios pelo MEF, comparativamente ao resultado do MIS (PAGANOTTI, 2012). Figura 5.10 –Campo Elétrico ao Nível do Solo Com e Sem Para Raios 95 C 1 1,37 15,39 15,19 1,31 138,3 134,2 2 1,41 14,56 14,35 1,47 49,4 39,4 3 0,90 14,27 13,99 2,04 316,1 317,0 4 0,81 14,90 14,75 1,00 217,7 225,7 (b) a) MEF com Para-Raios x MIS; b) MEF sem Para-Raios x MEF com Para-Raios A consideração dos cabos para-raios incorreu em erros de até 7% para o campo elétrico superficial dos condutores do feixe central, enquanto que os condutores das demais fases tiveram desvios entre 2-3%. Tal avaliação é dada tanto comparando o MEF com o MIS, quanto analisando apenas os resultados entre o próprio MEF. Portanto, embora muitos trabalhos, tais como (DENO e ZAFFANELLA, 1982) e (PAGANOTTI, 2012), desprezem os cabos para-raios na avaliação do campo elétrico das LTs, simplificando o modelo analítico, tal escolha pode incorrer erros consideráveis em alguns pontos. Isto é presenciado através do desvio de campo elétrico superficial do feixe central de fases do caso estudado, embora a maioria dos demais pontos não tenham grandes diferenças. Como última ilustração, a figura (5.12) apresenta as distribuições espaciais para o potencial e campo elétrico na região dos condutores, com a presença dos condutores para-raios. São notadas diferenciações para as curvas equipotenciais além de uma alta intensidade de campo elétrico nas superfícies dos cabos para-raios, quando os mesmos são considerados. (a) (b) Figura 5.12 –Distribuição de Potencial e Campo Elétrico Com Para Raios a) Potencial Elétrico (kV); b) Campo Elétrico (Escala Logarítmica) 96 5.2.1.2. Refinamento da Malha de Elementos Para o problema tratado, uma decisão estratégica sobre os aspectos de geração da malha de elementos é fator fundamental para que o tempo de solução seja viável, com a apresentação de bons resultados. Observando que a menor dimensão (bitola dos cabos para-raios) seja da ordem de 10mm, enquanto que a maior dimensão (maior altura do condutor) seja da ordem de 30m, a geração de um alto número de elementos é necessária. Isto exige grande disponibilidade de memória e de tempo de computação para atingir resultados precisos. É assim necessário buscar indicadores para controlar adequadamente as dimensões dos elementos e de suas taxas de crescimento, no entorno dos condutores da LT, buscando equilibrar a precisão e o tempo das soluções. Resultados para níveis diversos de discretização são apresentados na tabela (5.6a), que sumariza os erros globais para o campo elétrico superficial de cada condutor do feixe A e para o campo elétrico ao nível do solo, de acordo com o número de elementos existentes no domínio. É tomado como referência a solução pelo MEF com o maior número de elementos, uma vez sendo esta a solução de menor erro global em relação ao MIS (PAGANOTTI, 2012), mas podendo considerar aqui os efeitos da existência dos cabos para-raios. Também é informado o tempo total de processamento em cada situação, tomado através da média de tempo de cinco execuções consecutivas do algoritmo. A tabela (5.6b), por sua vez, dispõe informações do campo elétrico máximo em cada situação, incluindo o erro relativo associado ao resultado de referência. Tabela 5.6 – Análise de Sensibilidade por Refinamento de Malha Feixe A Condutor 1 Condutor 2 Condutor 3 Condutor 4 Solo Tempo No Elem. No Nós Erro (%) Erro (%) Erro (%) Erro (%) Erro (%) (s) 7841 4035 17,3 15,51 15,67 16,36 1,26 51,52 12249 6313 7,76 8,40 8,47 8,59 0,68 69,49 16678 8606 5,50 5,27 5,36 5,46 0,36 106,47 21098 10847 2,07 1,79 1,96 2,01 0,12 131,58 24828 12834 0,78 0,63 0,58 0,66 0,09 195,74 27998 13995 0,29 0,22 0,24 0,25 0,08 305,32 31687 16624 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 463,84 (a) 97 Feixe A Condutor 1 Condutor 2 Condutor 3 Condutor 4 Solo No Elem. No Nós (kV/cm) Erro (%) (kV/cm) Erro (%) (kV/cm) Erro (%) (kV/cm) Erro (%) (kV/cm) Erro (%) 7841 4035 12,06 15,25 12,79 15,35 12,81 12,74 11,58 16,69 4665,4 1,38 12249 6313 13,18 7,38 13,76 8,93 13,37 8,92 12,63 9,14 4631,7 0,65 16678 8606 13,53 4,92 14,28 5,49 13,87 5,52 13,06 6,04 4618,9 0,37 21098 10847 13,89 1,76 14,84 1,79 14,41 1,84 13,63 1,94 4602,9 0,02 24828 12834 14,12 0,77 14,98 0,86 14,55 0,89 13,74 1,15 4602,7 0,02 27998 13995 14,19 0,28 15,08 0,20 14,61 0,48 13,83 0,50 4602,1 0,01 31687 16624 14,23 0,00 15,11 0,00 14,68 0,00 13,90 0,00 4601,8 0,00 (b) (a) Erro Global e Tempo de Processamento; (b) Análise de Campo Elétrico Máximo; São também dispostos os comportamentos gráficos destes resultados, de acordo com a figura (5.13). Devido ao grande número de curvas dispostas em cada gráfico, a legenda é dada unicamente através da figura (5.13a). (a) (b) (c) (d) -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 3000 3500 4000 4500 Coord. x (metros) C am po E lé tr ic o (V /m ) 0 50 100 150 200 250 300 350 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 Coord. Rho (Graus) C am po E lé tr ic o (k V /c m ) 50 100 150 200 250 300 350 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 Coord. Rho (Graus) C am po E lé tr ic o (k V /c m )