capitulo 7 halliday fisica 1, Esquemas de Física

Baixe capitulo 7 halliday fisica 1 e outras Esquemas em PDF para Física, somente na Docsity! LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, às 22:55 Exercı́cios Resolvidos de Fı́sica Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraı́ba (João Pessoa, Brasil) Departamento de Fı́sica Baseados na SEXTA edição do “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Contents 7 Trabalho e Energia Cinética 2 7.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2.1 Trabalho: movimento 1D com força constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2.2 Trabalho executado por força variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7.2.3 Trabalho realizado por uma mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7.2.4 Energia Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7.2.5 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.2.6 Energia Cinética a Velocidades Elevadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...) (listaq3.tex) http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 1 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, às 22:55 7 Trabalho e Energia Cinética 7.1 Questões Q 7-13 As molas A e B são idênticas, exceto pelo fato de que A é mais rı́gida do que B, isto é kA > kB . Qual das duas molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e (b) quando elas são distendi- das por forças iguais. I (a) Temos WA = kAx2/2 e WB = kBx2/2, onde x representa o deslocamento comum a ambas molas. Por- tanto, WA WB = kA kB > 1, ou seja, WA > WB . (b) Agora temos WA = kAx2A/2 e WB = kBx2B/2, onde xA e xB representam os delocamentos provocados pela força idêntica que atua sobre ambas as molas e que implica ter-se, em magnitude, F = kAxA = kBxB , donte tiramos xB = kAxA/kB . Portanto WA WB = kAx 2 A kB(kAxA/kB)2 = kB kA < 1, ou seja, WA < WB . 7.2 Problemas e Exercı́cios 7.2.1 Trabalho: movimento 1D com força con- stante E 7-2 (7-7/6a edição) Para empurrar um caixote de 50 kg num piso sem atrito, um operário aplica uma força de 210 N, dirigida 20o acima da horizontal. Se o caixote se desloca de 3 m, qual o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo operário, (b) pelo peso do caixote e (c) pela força normal exer- cida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total executado sobre o caixote? I (a) A força aplicada é constante e o trabalho feito por ela é WF = F · d = Fd cosφ, onde F é a força, d é o deslocamento do caixote, e φ é o ângulo entre a força F e o deslocamento d. Portanto, WF = (210)(3) cos 20 o = 590 J. (b) A força da gravidade aponta para baixo, perpendic- ular ao deslocamento do caixote. O ângulo entre esta força e o deslocamento é 90o e, como cos 90o = 0, o trabalho feito pela força gravitacional é ZERO. (c) A força normal exercida pelo piso também atua per- pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra- balho por ela realizado também é ZERO. (d) As três forças acima mencionadas são as únicas que atuam no caixote. Portanto o trabalho total é dado pela soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma das três forças, ou seja, o trabalho total é 590 J. P 7-9 (???/6a) A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso L. Suponha que o atrito seja desprezı́vel e que as duas polias de baixo, às quais está presa a carga, pesem juntas 20 N. Uma carga de 840 N deve ser levantada 12 m. (a) Qual a força mı́nima F necessária para levantar a carga? (b) Qual o trabalho executado para levantar a carga de 12 m? (c) Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d) Qual o trabalho executado pela força F para realizar esta tarefa? I (a) Supondo que o peso da corda é desprezı́vel (isto é, que a massa da corda seja nula), a tensão nela é a mesma ao longo de todo seu comprimento. Considerando as duas polias móveis (as duas que estão ligadas ao peso L) vemos que tais polias puxam o peso para cima com uma força F aplicada em quatro pontos, de modo que a força total para cima aplicada nas polias móveis é 4F . Se F for a força mı́nima para levantar a carga (com ve- locidade constante, i.e. sem acelera-la), então a segunda lei de Newton nos diz que devemos ter 4F −Mg = 0, onde Mg representa o peso total da carga mais polias móveis, ou seja, Mg = (840 + 20) N. Assim, encon- tramos que F = 860 4 = 215 N. (b) O trabalho feito pela corda é W = 4Fd = Mgd, onde d é a distância de levantamento da carga. Portanto, o trabalho feito pela corda é W = (860)(12) = 10320 J. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 2 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, às 22:55 = 1.16 × 104 J. (b) O peso tem magnitude mg e aponta na direção oposta do deslocamento. Ele executa um trabalho Wg = −mgd = −(72)(9.8)(15) = −1.06 × 104 J. (c) O trabalho total feito é WT = 11600 − 10600 = 1000 J. Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cinética final deverá ser igual a WT (d) Como K = mv2/2, a velocidade final do astronauta será v = √ 2K m = √ 2(1000) 72 = 5.27 m/s = 18.9 km/h. P 7-36 (7-19/6a) Uma corda é usada para fazer descer verticalmente um bloco, inicialmente em repouso, de massa M com uma aceleração constante g/4. Depois que o bloco desceu uma distância d, calcule (a) o trabalho realizado pela corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o bloco pelo seu peso, (c) a energia cinética do bloco e (d) a velocidade do bloco. I (a) Chame de F a magnitude da força da corda so- bre o bloco. A força F aponta para cima, enquanto que a força da gravidade, de magnitude Mg, aponta para baixo. A aceleração é g/4, para baixo. Considere o sentido para baixo como sendo o sentido positivo. A se- gunda lei de Newton diz-nos que Mg − F = Mg/4, de modo que F = 3Mg/4. A força está direcionada no sentido oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela faz é WF = −Fd = − 3 4 Mgd. (b) A força da gravidade aponta no mesmo sentido que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho Wg = Mgd. (c) O trabalho total feito sobre o bloco é WT = − 3 4 Mgd+Mgd = 1 4 Mgd. Como o bloco parte do repouso, o valor acima coincide com sua energia cinética K após haver baixado uma distância d. (d) A velocidade após haver baixado uma distância d é v = √ 2K M = √ gd 2 . 7.2.5 Potência P 7-43 (???/6a) Um bloco de granito de 1400 kg é puxado por um guin- daste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade constante de 1.34 m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a rampa é 0.4. Qual a potência do guindaste? I Para determinar a magnitude F da força com que o guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de corpo livre. Chamemos de f a força de atrito, no sentido oposto ao de F . A normal N aponta perpendicularmente à rampa, enquanto que a magnitude mg da força da gravidade aponta verticalmente para baixo. Da figura dada vemos que ângulo θ do plano inclinado vale θ = tan−1 (30 40 ) = 37o. Tomemos o eixo x na direção do plano inclinado, apon- tando para cima e o eixo y apontando no mesmo sentido da normal N. Como a aceleração é zero, as componentes x e y da se- gunda lei de Newton são, respectivamente, F − f −mg sen θ = 0, N −mg cos θ = 0. Da segunda equação obtemos que N = mg cos θ, de modo que f = µkN = µkmg cos θ. Substiutindo este resultado na primeira equação e resolvendo-a para F obtemos F = mg ( sen θ + µk cos θ ) . A força do guindaste aponta no mesmo sentido que a ve- locidade do bloco, de modo que a potência do guindaste é P = Fv = mgv ( sen θ + µk cos θ ) = (1400)(9.8)(1.34) ( sen 37o + 0.4 cos 37o ) = 17 kW. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 5 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, às 22:55 P 7-47 (???/6a) Uma força de 5 N age sobre um corpo de 1.5 kg inicial- mente em repouso. Determine (a) o trabalho executado pela força no primeiro, segundo e terceiro segundos e (b) a potência instantânea aplicada pela força no final do terceiro segundo. I (a) A potência é dada por P = Fv e o trabalho feito por F entre o instante t1 e t2 é W = ∫ t2 t1 P dt = ∫ t2 t1 Fv dt. Como F é a força total, a magnitude da aceleração é a = f/m e a velocidade em função do tempo é dada por v = at = Ft/m. Portanto W = ∫ t2 t1 F 2t m dt = 1 2 F 2 m ( t22 − t21 ) . Para t1 = 0s e t2 = 1s temos W1 = 1 2 (52 15 ) [(1)2 − (0)2] = 0.83 J. Para t1 = 1s e t2 = 2s temos W2 = 1 2 (52 15 ) [(2)2 − (1)2] = 2.5 J. Para t1 = 2s e t2 = 3s temos W3 = 1 2 (52 15 ) [(3)2 − (2)2] = 4.2 J. (b) Substitua v = Ft/m em P = Fv obtendo então P = F 2t/m para a potência num instante t qualquer. Ao final do terceiro segundo temos P = (5)2(3) 15 = 5 W. P 7-48 (7-35/6a) Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa total de 1200 kg e deve subir 54 m em 3 min. O con- trapeso do elevador tem uma massa de 950 kg. Cal- cule a potência (em cavalos-vapor) que o motor do el- evador deve desenvolver. Ignore o trabalho necessário para colocar o elevador em movimento e para freá-lo, isto é, suponha que se mova o tempo todo com veloci- dade constante. I O trabalho total é a soma dos trabalhos feitos pela gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravi- dade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre o sistema: WT = We + Wc + Wm. Como o elevador move-se com velocidade constante, sua energia cinética não muda e, de acordo com o teorema do Trabalho- Energia, o trabalho total feito é zero. Isto significa que We +Wc +Wm = 0. O elevador move-se 54 m para cima, de modo que o tra- balho feito pela gravidade sobre ele é We = −megd = −(1200)(9.8)(54) = −6.35 × 105 J. O contrapeso move-se para baixo pela mesma distância, de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele é Wc = mcgd = (950)(9.8)(54) = 5.03 × 105 J. Como WT = 0, o trabalho feito pelo motor é Wm = −We −Wc = (6.35 − 5.03) × 105 = 1.32 × 105 J. Este trabalho é feito num intervalo de tempo ∆t = 3 min = 180 s e, portanto, a potência fornecida pelo motor para levantar o elevador é P = Wm ∆t = 1.32 × 105 180 = 735 W. Este valor corresponde a 735 W 746 W/hp = 0.99 hp. P 7-49 (???/6a) A força (mas não a potência) necessária para rebocar um barco com velocidade constante é proporcional à veloci- dade. Se são necessários 10 hp para manter uma veloci- dade de 4 km/h, quantos cavalos-vapor são necessários para manter uma velocidade de 12 km/h? I Como o problema afirma que a força é proporcional à velocidade, podemos escrever que a força é dada por F = αv, onde v é a velocidade e α é uma constante de proporcionalidade. A potência necessária é P = Fv = αv2. Esta fórmula nos diz que a potência associada a uma velocidade v1 é P1 = αv21 e a uma velocidade v2 é P2 = αv 2 2 . Portanto, dividindo-se P2 por P1 podemos nos livrar da constante α desconhecida, obtendo que P2 = (v2 v1 )2 P1. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 6 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 21 de Novembro de 2013, às 22:55 Para P1 = 10 hp e v2 = 3v1, vemos sem problemas que P2 = (12 4 )2 (10) = (3)2(10) = 90 hp. Observe que é possı́vel determinar-se explicitamente o valor de α a partir dos dados do problema. Porém, tal solução é menos elegante que a acima apresentada, onde determinamos α implicitamente, chegando ao resultado final mais rapidamente. 7.2.6 Energia Cinética a Velocidades Elevadas E 7-50 (???/6a) Um elétron se desloca de 5.1 cm em 0.25 ns. (a) Qual é a relação entre a velocidade do elétron e a velocidade da luz? (b) Qual é a energia do elétron em elétrons-volt? (c) Qual o erro percentual que você cometeria se usasse a fórmula clássica para calcular a energia cinética do elétron? I (a) A velocidade do elétron é v = d t = 5.1 × 10−2 0.25 × 10−9 = 2.04 × 108 m/s. Como a velocidade da luz é c = 2.998×108 m/s, temos v = 2.04 2.998 c = 0.68 c. (b) Como a velocidade do elétron é próxima da veloci- dade da luz,devemos usar expressão relativı́stica para a energia cinética: K = mc2 ( 1√ 1 − v2/c2 − 1 ) = (9.11 × 1031)(2.998 × 108)×( 1√ 1 − (0.68)2 − 1 ) = 3.0 × 10−14 J. Este valor é equivalente a K = 3.0 × 10−14 1.60 × 10−19 = 1.90 × 105 = 190 keV. (c) Classicamente a energia cinética é dada por K = 1 2 mv2 = 1 2 (9.11 × 10−31)(2.04 × 108)2 = 1.90 × 10−14 J. Portanto, o erro percentual é, simplificando já a potência comum 10−14 que aparece no numerador e denomi- nador, erro percentual = 3.0 − 1.9 3.0 = 0.37, ou seja, 37%. Perceba que não usar a fórmula rela- tivı́stica produz um grande erro!! http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 7 de 7