Caracterização de matrizes invertíveis e sua apresentação no artigo “Modelos estatísticos, Trabalhos de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Caracterização de matrizes invertíveis e sua apresentação no artigo “Modelos estatísticos e outras Trabalhos em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Caracterização de matrizes invertíveis e sua apresentação no artigo “Modelos estatísticos para seleção de dosadores helicoidais com diferentes dispositivos de descarga de fertilizante Luis Felipe S. Coelho & Manoel Malon C. de Moura Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará (UNIFESSPA) — 68507-590 Resumo — São chamadas de matrizes uma tabela retangular composta de escalares, onde esses escalares são denominados de elementos. É bastante utilizada em diversos setores das ciências, tal como matemática ou até mesmo em biologia e até mesmo na criação de jogos. Portanto, é crucial entender todos seus aspectos e propriedades, tal como matrizes invertíveis, que são relacionadas intimamente com matrizes identidade. Elementos. Palavras-chaves — Matrizes. Invertíveis. I. INTRODUÇÃO A matriz inversa é aquela que possui padrão semelhante à sua matriz original. Logo, é uma matriz que contém o mesmo número de linhas e colunas (matriz quadrada), chamada de identidade. Para afirmar se uma matriz é invertível, é necessário primeiro identificar o seu determinante. Caso este determinante seja diferente de zero, a matriz é invertível. Em situações em que o determinante é nulo, a matriz não pode ser considerada invertível, assim sua inversa é inexistente. Contudo, apenas a matrizes quadradas podem possuir uma inversa, visto que o cálculo do determinante somente é possível neste tipo de matriz. H. MATRIZ INVERSA Para prosseguir com a caracterização de matrizes invertíveis, precisamos definir o que é uma matriz invertível. Para isso, primeiramente vamos definir o que é matriz identidade, pois é crucial no entendimento de matriz invertíveis. A matriz identidade 1 é a matriz quadrada de ordem nxn que tem 1 na diagonal principal e O nas demais posições. Em um caso 3x3, temos: 100 h=/010 o 01 Esta matriz satisfaz AL, =A para qualquer matriz A de ordem m x n. Da mesma forma, temos LB = B para qualquer matriz B de ordem n x m. O nome identidade vem desta propriedade, que é parecida com a propriedade da unidade nos números reais: Lx =x =x.1. Existindo a matriz identidade, outra pergunta natural é se existe um inverso multiplicativo. Para números reais, qualquer número não nulo possui: 1 xe Rx Os x?t=— x É um inverso multiplicativo. Ou seja: xx! =1 Portanto, é necessário determinar, dada uma matriz 4, a sua inversa, denotada por A-1 de modo que: AMI = =A-A II. CARACTERIZAÇÃO DE MATRIZES INVERTÍVEIS O teorema a seguir determina as matrizes invertíveis com suas propriedades: Dada uma matriz A com dimensões n x n, as premissas a seguir são todas falsas ou verdadeiras!?!: a. A é uma matriz invertível. b. A é equivalente por linhas à matriz identidade n x n. c. Atemn posições de pivô. d. A equação Ax = O admite apenas a solução trivial. e. As colunas de A formam um conjunto linearmente independente. f. A transformação linear x +» Ax é injetora. g. A equação Ax = b tem pelo o menos uma solução para cada b em R”, h. As colunas de A geram R”. i A transformação sobrejetora. j. Existe uma matriz Cn xntalque CA = 1 k. Existe uma matriz Dn xn tal que AD = 1. AT é uma matriz invertível. linear x m4Ax é Se qualquer uma destas premissas forem falsas, Vejamos uma próxima premissa importante em matrizes invertíveis: “Sejam A e B matriz quadradas. Se AB =I, então A e B serão invertíveis, com B= 4 !eA4= BB Portanto, temos duas classes de matrizes: as matrizes não invertíveis e as invertíveis. A negação de uma afirmação do teorema descreve uma propriedade comum a todas as matrizes não invertíveis n x n. Se uma matriz não invertíveln x n não ser equivalente a matriz identidade 1,, então não possui n posições de pivô e suas colunas são linearmente dependentes. Como exemplo, vamos determinar se a matriz abaixo é invertível: 1 0 —2 A=|]3 1 —2 -5 1.9 Utilizando as operações elementares para representar na forma escalonada reduzida, temos o seguinte formato: 10 —2 A=I01 4 00 3 Observando o teorema e o resultado da matriz, concluímos que se têm 3 posições de pivô, e, portanto, a matriz é invertível. O teorema citado está intimamente ligado as propriedades fundamenta: como independência linear das colunas e existência de soluções para equações da forma 4x =b. Entretanto, é importante salientar que o teorema somente é aplicável em matrizes quadradas, ou seja, que os números de linhas são iguais aos números de colunas. Transformações Lineares Invertíveis Quando se tem uma matriz invertível A, a equação ATIAx =x pode ser interpretada como uma afirmação sobre transformações lineares. Multiplicação por A Multiplicação por A * Figura 1 - Demonstração da transformação linear. Uma transformação linear T; Rº > Rº é invertível se existir uma função S: R” > R” tal que: S(Tço) = x para todo xem R” T(S«o) = x para todo x em R” Vejamos um próximo teorema: “Seja TR” > IR” uma transformação linear e seja A a matriz canônica de T. Então T será invertível se e somente se A for uma matriz invertível. Neste caso, a transformação linear S definida por S(x) = Artx é uma única solução que satisfaz as equações (1) e (2) R é a velocidade de acionamento do dosador, em código adimensional. É importante ressaltar que para as inclinações longitudinais, os valores positivos (Figura 1A) e negativos (Figura 1B) simulam o deslocamento da semeadora em trajetória ascendente e descendente, respectivamente. Para inclinações transversais valores negativos (Figura 1C) e positivos (Figura 1D) simulam inclinações para a direita e a esquerda, respectivamente, considerando o observador localizado na parte posterior dos dosadores. Como os tratamentos são em códigos, o modelo também são. E para que sejam inseridos os valores no modelo é preciso primeiro executar a decodificação do modelo e como foram expressos como matrizes é possível aplicar, sobre elas, suas propriedades. Portanto, utilizando o uso da propriedade da matriz inversa, realizou a decodificação do modelo: b= inv(trat'xtrat)xtrat' xy b é matriz dos estimadores do modelo; inv é a matriz inversa; trat é a matriz dos tratamentos; trat” é a matriz transporta dos tratamentos; y é matriz dos resultados de predição do modelo codificado. Portanto foi utilizada a seguinte propriedade: (Atx At =(A Dt xa Foi feito na revista cálculos de erros, que se demonstraram bem pequenos, além disso, a comprovação da qualidade do modelo se deu também através da análise do número de variáveis significativas, sua magnitude e do seu sinal (positivo ou negativo). Resultados dos testes Os modelos estatísticos desenvolvidos demonstram que os dosadores influenciam de forma diferente a distribuição de fertilizantes pelo efeito de inclinações de trabalho, já que cada modelo apresentou diferentes valores para os estimadores dos parâmetros. Para todos os dosadores foi observado efeito significativo dos estimadores ligados ao efeito linear de IL. O efeito linear de IT foi significativo apenas para os dosadores DI e D3 e o efeito da interação entre IL e IT foi significativo apenas para D2 enquanto a interação entre IL e R foi significativa para todos. Na Tabela 2 estão apresentados os tratamentos e os valores utilizados para a determinação dos estimadores dos parâmetros do modelo matemático de cada dosador. 10404 1.830,00 Ba4, 1700,00 1 4 4 21440,00 942,00 2098,00 “1 1 «1 1.916,00 785,00 1654,00 1 1 4 2.158,00 986,00 1980,00 -1 - 1 4.408,00 2002,00 3934,00 1 - 1 4.918,00 2322,00 4524,00 -1 1 1 4.516,00 1972,00 3830,00 1 1 1 4.928,00 2360,00 4422,00 188 0 o 2.988,00 1324,00 2604,00 1,68 0 0 3.606,00 1855,00 3374,00 0 488 O 3.288,00 1550,00 3004,00 0 168 0 3.400,00 1484,00 2868,00 0 0 1,68 1.094,00 460,00 1044,00 0 0 168 5.570,00 2618,00 “936,00 0 0 º 3.356,00 1496,00 2986,00 0 0 0 3.344,00 1520,00 2994,00 0 0 o 3.324,00 1498,00 2978,00 0 0 0 3.378,00 1526,00 2960,00 0 0 0 3.342,00 1530,00 2956,00 Média 6 1.520,32 2.991,89, Tabela 2 - Tratamentos em código e valores observados nas coletas de dados!!! Sendo assim o que apresentou maior rendimento foi o DI e o de menor vazão foi D2. comprovando que apesar de todos os dosadores utilizarem helicoide com mesmo passo e diâmetro, além das mesmas condições experimentais, o tipo de descarga, folgas entre carcaça e helicoide, rugosidade do helicoide e da carcaça, além de outras características construtivas do dosador, também afetam sua vazão. V. OBSERVAÇÕES FINAIS As propriedades das matrizes invertíveis possibilitam uma manipulação mais facilitada das matrizes, além de identificação das mesmas e caminhos mais simplificados para resolução de sistemas matriciais. Os conceitos de vetores, independência linear, matriz aumentada, matriz dos coeficientes, entre outros são utilizados e aproveitados na caracterização de matrizes invertíveis. Entretanto, é importante que os conceitos estejam bem fundamentados e claros para que se possam aproveitar todas vantagens que se apresentam. REFERÊNCIAS [1] Cristian J. Franck, Airton dos S. Alonço, et all. “ Modelos estatísticos para seleção de dosadores helicoidais com diferentes dispositivos de descarga de fertilizante” - Bento Gonçalves: Revista Brasileira de Engenharia Agrícola e Ambiental. 2] Lay, David €., “Álgebra Linear e suas aplicações”; tradução Valéria de Magalhães Iorio — Rio de Janeiro: LTC, 2013.