Cederj - Cálculo III - Lista 1 & gabarito, Exercícios de Cálculo

Baixe Cederj - Cálculo III - Lista 1 & gabarito e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Cálculo III Exercícios Programados 1 – versăo tutor Orientações para os Tutores O intuito dessas orientações é auxiliar vocês tutores na sua atividade semanal de tutoria. Não pretendemos com isso “ensinar a ensinar”, até porque sabemos que muitos dos nossos tutores já são nossos colegas de profissão. O que queremos é só traçar algumas diretrizes de procedimentos que julgamos indispensáveis para o bom andamento do curso que coordenamos. Uma orientação geral é promover a discussão dos assuntos tratados e correlacionados ao invés de simplesmente resolver os exercícios ou responder perguntas. Só através do diálogo com os estudantes é que as dúvidas aparecem. E quando estas aparecerem, divida essa responsabilidade com todo o grupo que participa da seção de tutoria (mesmo que esse grupo seja unitário). Responda uma indagação com outra, procurando conduzir o aluno a (ele próprio) encontrar a resposta para a sua questão. Bom professor não é aquele quem dá os caminhos, mas aquele que com prazer ensina a caminhar. Essa técnica, com base no diálogo, busca estimular o próprio aluno a refletir sobre o assunto que está sendo tratado, os conceitos e as propriedades correlacionadas. Procure, sempre que possível, associar os novos exercícios aos problemas análogos que ele já tenha enfrentado ou visto a solução. Mesmo lidando com dúvidas de conteúdo, vocês devem orientar a discussão a respeito da questão levantada pelo aluno e dos meios que ele dispõe para resolvê-la, incentivando sempre a participação de todos os presentes. Passemos então à solução das questões apresentadas: Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 1) Esboce o domínio das seguintes funções reais de variáveis reais: a) f(x,y) = 2 24 x y− − b) g(x,y) = 2ln(1 )x y− + c) h(x,y,z) = 2 2 1 x y x y z − − − − Solução: a) Note, inicialmente, que a expressão não pode ser negativa pois esta se encontra “dentro” de um radical. 224 yx −− Assim: 224 yx −− ≥ 0 => 4 ≥ 22 yx + O que implica que o domínio de f é um disco fechado no plano xy com centro na origem e raio 2. y 2 2 x b) Note inicialmente que o logaritmando da função deve ser estritamente positivo, isto é 21 x y− + > 0 ⇔ 21 y x+ > Observe que a expressão 21x y= + representa uma parábola “deitada” com “concavidade voltada para a direita” (veja a parábola da figura a seguir). Logo o domínio da função g(x,y) é a região do plano xy que possui, para cada y fixado, todos os pontos (x,y) do plano cujos valores “x” são menores que 21x y= + ; isto é, o dom(g) é a região do plano xy que se situa à esquerda da parábola 21x y= + . Note ainda que dom(g) não contém a parábola 21x y= + . Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 3) Esboce o gráfico das seguintes funções reais de variáveis reais: a) z = f(x,y) = 21 x− b) z = g(x,y) = 221 yx −− c) z = h(x,y) = 221 yx −− d) z = p(x,y) = 2 21 x y− + e) z = k(x,y) = ysenx 2− Solução: Para a solução do exercício adotemos a seguinte orientação para o sistema de coordenadas: z y x a) z = f(x,y) = 21 x− Parábola z = 1 – x2 contida no plano xz O gráfico de f é uma superfície cilíndrica gerada pela parábola z = 1 – x2 contida no plano xz. gráfico elaborado usando o Winplot: z = 1 – x^2 Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 b) z = g(x,y) = 221 yx −− O gráfico de g é um parabolóide de revolução gerado pela rotação da parábola z = 1 – x2 contida no plano xz (ou da parábola z = 1 – y2 contida no plano yz) em torno do eixo z. gráfico elaborado usando o Winplot: z = 1 – x^2 – y^2 c) z = h(x,y) = 221 yx −− Note inicialmente que se elevarmos ao quadrado a expressão acima teremos: x2 + y2 + z2 = 1 , que é a equação da esfera de raio 1. Observe ainda que o domínio da função é o disco x2 + y2 ≤ 1. Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Logo o gráfico de h é o hemisfério “norte” da esfera acima: Domínio da função h gráfico elaborado usando o Winplot: z = (1 – x^2 – y^2)^0.5 d) z = p(x,y) = 2 21 x y− + Note inicialmente que se elevarmos ao quadrado a expressão acima teremos: z 2 + x 2 – y 2 = 1 , que é a equação de um hiperbolóide de revolução de uma folha (ai que saudade de Geometria Analítica!!! Como você percebeu, uma revisão de quádricas e cônicas seria uma boa idéia... decore o seu quarto com estas belezarias da GA). Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 4) Adaptação da 1ª Questão da AD1-2006-1 – Seja 2 2( , ) 4z f x y y x= = − a) Determine e faça um esboço para o domínio de f. b) Determine e faça um esboço para a curva de nível k = 1 de f. c) Faça um esboço para o gráfico de f. Solução: y x a) ⇒ 2 24y x− ≥ 0 2 24 2y x y≥ ⇒ ≥ x ⇒ dom (f) = ( ){ }2, ; 2 2x y R y x ou y x∈ ≥ ≤ − = região hachurada na figura ao lado y x 1 -1 b) 2 21 4 ⇒ 1 4 y x= − y x= − y x= − 2 2 Logo a curva de nível é a hipérbole 1 4 2 2 indicada em azul na figura ao lado c) Note inicialmente que: • z ≥ 0 ; • que as curvas de níveis z = 2 4 2x= − 2 k y são hipérboles do tipo ; 2 2 4k y x= − • que a interseção do gráfico com o plano yz (isto é, x = 0 ) é a curva z y= ; • que a interseção do gráfico com o plano xz (isto é, y = 0 ) é a origem (0,0,0); • que a interseção do gráfico com planos verticais y = k são semi- elipses 2 2 2 2 24 4 ,z k x z x k z= − ⇒ + = ≥ 0 (figura 2); • que a interseção do gráfico com planos verticais x = k ≠0 são arcos de hipérboles 2 2 2 2 24 4 ,z y k y z k z= − ⇒ − = ≥ 0 (figura 3) Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Logo um esboço do gráfico de 2( , ) 4z f x y y x= = − 2 é como segue (figura 1) figura 1 Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] figura 2 figura 3 z y x z y x Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 gráfico elaborado usando o Winplot: z = x-sin(2y) 5) Calcule os seguintes limites: a) 2 2 ( , , ) (1,1,1) 2 3lim 1 2 3 4x y z 2x y z x y z−> + + − − − b) 3 2 4 2( , , ) (0,0,0) lim x y z 3 x y z x y z−> + + + + c) 2 2 ( , ) (0,0) ( )lim x y sen x y x y−> − + d) 3 3 2 2( , ) (0,0) lim s t s t s t−> − + Solução: a) 2 2 ( , , ) (1,1,1) 2 3lim 1 2 3 4x y z 2x y z x y z−> + + − − − = 2 2 2 ( , , ) (1,1,1) ( , , ) (1,1,1) lim ( 2 3 ) 1 2 3 6 3 lim (1 2 3 4 ) 1 2 3 4 8 4 x y z x y z x y z x y z −> −> + + + + = = − − − − − − − = − Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Solução: a) Note inicialmente que x2 + y4 = 0 x2 = 0 x = 0 e y4 = 0 y = 0 isto é: (x,y) = (0,0). Logo, como o denominador não pode ser zero, temos que o domínio de f é R2 – {(0,0)} b) 2 2 2 4 2 2 4 20 0 0 0 ( )lim ( ( )) lim ( , ) lim lim ( ) ( ) ( )t t t t at bt ab tf t f at bt at bt t a b t α −> −> −> −> = = = + + 3 = 0 )( lim 242 2 0 = +>− tba tab t se a2 ≠0; e se a2 =0, temos que b2 > 0 (lembre-se que a2 + b2 > 0) , isto é, a e b não podem ser nulos simultaneamente ⇒ a = 0 e b ≠ 0 ⇒ ⇒ 0 )( lim . 242 2 0 = +>− tba tab t = → t ot Logo (lim f 0))(α . c) O resultado acima quer dizer APENAS que o limite de f quando (x,y) (0,0), ao longo de qualquer reta ( ) ( , ) ( , )t at bt t a bα = = do plano e que passa pela origem, é ZERO. Isto é, quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer reta do plano o “limite de f” é zero. Note, entretanto, que se fizermos (x,y) (0,0) ao longo da parábola , t∈R, (tracejado em azul) teremos 2( ) ( , )t t tα = 2 1 2 lim )( lim 4 4 044 22 0 == + >−>− t t tt tt tt Logo, podemos afirmar que não existe limite de f(x,y) quando fazemos (x,y) (0,0). Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 d) Ora, 2 2 2 4 2 4( , ) (0,1) ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) 0.1lim ( , ) lim lim 0 0 1x y x y x y xyf x y x y→ → → = = + + = Por hoje, é só... e até a próxima! Um abraço fraterno, Prof. Wanderley Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected]