Baixe Cederj - Cálculo III - Lista 3 & gabarito e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Cálculo III Exercícios Programados 4 – versăo tutor 1) Use a melhor aproximação afim da função 22),( yxyxfz +== para determinar um valor aproximado de f (2.97 , 4.04). Solução: Observe inicialmente que o valor de ( , )f x y no ponto (3,4) é igual a 2 23 4+ = 5 ) e o ponto (2.97 , 4.04) está próximo de (3,4). Por isso, iremos considerar uma função afim definida na vizinhança do ponto (3,4). A equação então da função afim que melhor aproxima a função na vizinhança do ponto (3,4) é dada por: ( , )z f x y= ( 3) ( 4z c m x n y= + − + − , em que , (3,4) 5c f= = 2 2 ( , ) (3,4) 3(3,4) 5 x y f xm x x y = ∂ = = = ∂ + e 2 2 ( , ) (3,4) 4(3,4) 5 x y f yn y x y = ∂ = = ∂ + = Ou seja, 3 45 ( 3) ( 4 5 5 z x y= + − + − ) Usando a expressão acima para fazer uma estimativa de f (2.97 , 4.04), obtemos: ( ) 3 42.97 , 4.04 5 (2.97 3) (4.04 4) 5 5 3 45 ( 0,03) (0.04) 5 ( 0,018) (0.032) 5 (0,014) 5.014 5 5 f = + − + − = = + − + = + − + = + = Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 2) Seja ( ) 2 2 2 2 1 , ( , ) (0, ( , ) 0, ( , ) (0,0) x y sen se x y f x y x y se x y ⎧ ⎛ ⎞ + ≠⎪ ⎜ ⎟= +⎨ ⎝ ⎠ ⎪ =⎩ 0) . (a) Calcule xf e yf . (b) Mostre que f é diferenciável em (0,0). (c) Mostre que xf não é contínua em (0,0). (d) No item (b) foi pedido para mostrar que f é diferenciável em (0,0) e no item (c) foi pedido para provar que xf não é contínua em (0,0), isto não parece contraditório? Justifique sua resposta. Solução: Como bons estudiosos de Cálculo, vamos “por partes”. (a) Primeiro, calculemos s derivadas parciais de f para (x,y) ≠ (0,0): Para calcular xf , fixamos y e usamos as regras de derivação usuais em f(x, yfixo): 2 2 2 2 2 2 1 2 12 . .cosx xf x sen x y x y x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Para calcular yf , fixamos x e usamos as regras de derivação usuais em f(xfixo , y): 2 2 2 2 2 2 1 2 12 . .cosy yf y sen x y x y x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Repare que no primeiro teorema, nada é afirmado sobre a continuidade das derivadas parciais. Portanto, nada temos a concluir sobre sobre a continuidade das derivadas parciais. Temos sim, que se f é diferenciável em (a,b) então a própria f é contínua em (a,b). No segundo teorema, a continuidade das derivadas parciais é que implica na diferenciabilidade da f, e não ao contrário. Por isso, não temos contradição alguma. Fique em paz e durma tranquilo! Durmir não!!! Ainda falta rever as soluções de três questões... (depois disso, você pode tirar uma merecida soneca) Caiu em prova... 3) AP3 – 2006 -1 (1a Questão - 2,0 pontos) Seja 3 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) 0 ( , ) ( y se x y f x y x y se x y ⎧ ≠⎪= +⎨ ⎪ =⎩ 0,0) a) Verifique se f é contínua em (0,0). b) Calcule, caso existam, )0,0( x f ∂ ∂ e )0,0( y f ∂ ∂ . c) Verifique se f é diferenciável em (0,0) Solução: a) 3 2 2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2lim lim 2 . 0 (0,0) x y x y y yy x y x y→ → = = + + f= ⇒ f é contínua em (0,0). b) 0 0 ( ,0) (0,0) 0 0(0,0) lim lim 0 x x f f x f x x→ → ∂ − = = ∂ x − = 0 0 (0, ) (0,0) 2(0,0) lim lim 2 y y f f y f y y→ → ∂ − = = ∂ y y = Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 c) ( ) 3 22 2 32 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2 2 2 ( , ) 2lim lim lim x y x y x y y y E x y yxx y x y x y x y → → → − −+= = + + + fazendo cosx r θ= e y rsenθ= , obtemos ( ) 3 2 3 2 3 32 2( , ) (0,0) 0 02 2 2 2 2 2 0 ( , ) 2 cos 2 coslim lim lim cos lim 2cos x y r r r E x y r sen r sen rx y r r sen sen θ θ θ θ θ θ θ → → → → − − = = + + = − θ = Logo, o limite não existe e, portanto, f não é diferenciável na origem. 4) AP1 – 2006 -1 (2ª Questão - 2,5 pontos) - Seja ( )2 2 2 , ( , ) (0,( , ) 1, ( , ) (0,0) x y se x yf x y x y se x y ⎧ + ≠⎪= +⎨ ⎪ =⎩ 0) a) Determine e faça um esboço para a curva de nível kyxf =),( , k = 2. b) Verifique se f é contínua em (0,0). c) Calcule, caso existam, )0,0( x f ∂ ∂ e )0,0( y f ∂ ∂ . d) Verifique se f é diferenciável em (0,0). Justifique sua resposta. Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected] Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Solução: a) Como f(0,0) ≠ 2, temos que 2 2 2 2 2 2x y xy x y + + = + ⇔ 2 2 22 2 2 2x y xy x y+ + = + yxyx +−= ⇔ 0 ⇔ ⇔ y = x 22 2 2)(0 yx −= k = 2 ⇒ a curva de nível k = 2 é a reta y = x, exceto o ponto (0,0) b) Note que se fizermos (x,y) (0,0) ao longo da curva y = x teremos → ( )2 2 2 2 20 0 2 4lim lim 2 1 (0,0) 2y x x x x x f x x x= → → = = ≠ = + ⇒ f não é contínua em (0,0). c) 2 2 22 3 30 0 0 0 1( ,0) (0,0) 0(0,0) lim lim lim lim 0 0y x x x x f f x f x xx x x x x x= → → → −∂ − − = = = = ∂ − 0x→ = , 2 2 22 3 30 0 0 0 1 (0, ) (0,0) 0(0,0) lim lim lim lim 0 0y y y x y f f y f y yy y y y y y= → → → − ∂ − − = = = = ∂ − 0y→ = d) Como f não é contínua em (0,0) (veja item b), podemos concluir que f não é diferenciável em (0,0). Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: [email protected]

1 / 9