Análise de Escoamentos de Fluidos: Pressão e Vazão, Esquemas de Fluidos

Baixe Análise de Escoamentos de Fluidos: Pressão e Vazão e outras Esquemas em PDF para Fluidos, somente na Docsity! 13/05/2012 1 CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO DE BERNOULLI – 2ª PARTE UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS Prof. Eliane Justino 3.6 – EXEMPLOS DA APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Se o escoamento puder ser modelado como invíscido, incompressível e se o regime for permanente, tem-se para a Equação de Bernoulli entre dois pontos que pertencem a mesma linha de corrente, (1) e (2):
3.6.1 – JATO LIVRE
Descreve a descarga de líquidos para a atmosfera de um grande reservatório.
Como mostrado na Figura a seguir. 13/05/2012 2 3.6.1– JATO LIVRE
Escoamento Vertical no Bocal de um Tanque 3.6.1– JATO LIVRE
Aplicando a Equação de Bernoulli entre (1) e (2):
Considerando que a referência está na saída do jato
O reservatório é de grande porte – V1 ≈ 0 – Conservação da Massa.
p1 = p2 = 0 – estão expostos à pressão atmosférica e consideraremos a pressão relativa, sendo assim os valores de p1 e p2 são nulos.
Portanto: 13/05/2012 5 3.6.1 – JATO LIVRE
A velocidade na linha de centro do escoamento V2, será um pouco maior que V1, e um pouco menor do que a do fundo, V3, devido a diferença de elevação.
V1 < V2 < V3
A velocidade na linha de centro do escoamento representa bem a velocidade média do escoamento se d << h.
Se o contorno do bocal não é suave, veja figura a seguir, o diâmetro do jato, dj, será menor que o diâmetro do orifício, dh.
Este efeito, conhecido como vena contracta, é o resultado da inabilidade do fluido de fazer uma curva de 90º. 3.6.1 – JATO LIVRE
Como as linhas de corrente no plano de saída são curvas ( R < ∞), a pressão não é constante entre as linhas de corrente. Note que é necessário um gradiente infinito de pressão para que seja possível fazer uma curva com raio nulo (R = 0). Efeito da Vena Contracta num Orifício com Borda pontuda 13/05/2012 6 3.6.1 – JATO LIVRE
A pressão mais alta ocorre ao longo da linha de centro em (2) e a mais baixa, p1 = p3 = 0, ocorre na periferia do jato.
Assim, as hipóteses de que a velocidade é uniforme, que as linhas de correntes são retilíneas e que a pressão é constante na seção de descarga não são válidas.
Entretanto, elas são no plano da vena contracta (seção a – a).
A hipótese de velocidade uniforme é válida nesta seção desde que dj << h.
O formato da vena contracta é função do tipo de geometria da seção de descarga. 3.6.1 – JATO LIVRE
Algumas configurações típicas estão mostradas na Figura ao lado juntamente com os valores típicos experimentais do coeficiente de contração, Cc.
Este coeficiente é definido pela relação Aj/Ah onde Aj é a área da seção transversal do jato na vena contracta e Ah é a área da seção de descarga do tanque. 13/05/2012 7 3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
São caso de escoamentos em que a pressão não pode ser determinada a priori, como acontece no caso de jato livre, visto que, a pressão em que estes escoamentos estão submetidas é diferente da pressão atmosférica.
EXEMPLO: Escoamento em bocais e nas tubulações que apresentam diâmetro variáveis.
Onde a velocidade média do escoamento varia, porque a área de escoamento não é constante.
Para solucionar este tipo de problema é utilizado o conceito de Conservação da Massa (ou Equação da Continuidade) juntamente com a equação de Bernoulli. 3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
Será utilizado uma Derivação a partir de argumento intuitivos para obtenção da Equação da Conservação da Massa Simplificada:
Considere um escoamento de um fluido num volume fixo, tal como um tanque, que apresenta apenas uma seção de alimentação e uma seção de descarga, como mostrado na Figura abaixo: 13/05/2012 10 EXEMPLO 3.7 – pág. 109 EXEMPLO 3.7 – pág. 109
SOLUÇÃO
Se modelarmos o escoamento como invíscido, incompressível e em regime permanente, a aplicação da Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2) resulta em: (1)
Admitindo que p1 = p2 = 0, z1 = h e z2 = 0, tem-se 13/05/2012 11 EXEMPLO 3.7 – pág. 109
Note que o nível d’água pode permanecer constante (h = constante) porque existe uma alimentação de água no tanque. Da Equação da Conservação da massa, que é adequada para escoamento incompressível, requer que Q1 = Q2, onde Q = A.V. Assim, A1.V1 = A2.V2, ou: (2)
Assim: (3) EXEMPLO 3.7 – pág. 109
Combinando as Equações (1) e (3), obtém-se
e:
Neste exemplo nós não desprezamos a energia cinética da água no tanque (V1 ≠ 0). Se o diâmetro do tanque é grande em relação ao diâmetro do jato (D >> d), A Eq. (3) indica que V1 << V2 e a hipótese de V1 = 0 será adequado 13/05/2012 12 EXEMPLO 3.7 – pág. 109
O erro associado com esta hipótese pode ser visto a partir da relação entre a vazão calculada admitindo que V1 ≠ 0, indicada por Q, e aquela obtida admitindo que V1 = 0, denotada por Q0. Essa relação é dada por:
A Figura a seguir mostra o gráfico dessa relação funcional. Note que 1 < Q / Q0 ≤ 1,01 se 0 < d / D < 0,4. EXEMPLO 3.7 – pág. 109
Assim, o erro provocado pela hipótese de V1 = 0 é menor do que 1% nesta faixa de relação de diâmetros. 13/05/2012 15 EXEMPLO 3.8 – pág. 110
Assim:
E da Eq. (1):
A pressão na mangueira é constante e igual a p2 se os efeitos viscosos não forem significativos. O decréscimo na pressão de p1 a p2 acelera o ar e aumenta sua energia cinética de zero no tanque até um valor intermediário na mangueira e finalmente até um valor máximo na seção de descarga. EXEMPLO 3.8 – pág. 110
Como a velocidade do ar na seção de descarga do bocal é nove vezes maior que na mangueira, a maior queda de pressão ocorre do bocal (p1 = 3 kPa, p2 = 2,96 kPa e p3 = 0).
Como a variação de pressão de (1) para (3) não é muito grande em termos absoluto, (p1 – p3)/ p1 = 3,0/101 = 0,03, temos que a variação na massa específica do ar não é significativa. (veja equação dos gases perfeito).
Assim, a hipótese de escoamento incompressível é razoável para este problema.
Se a pressão no tanque fosse consideravelmente maior ou se os efeitos viscosos forem importantes, os resultados obtidos neste exercícios não são adequados. 13/05/2012 16 EXEMPLO 3.9 – pág. 112
Em muitos casos a combinação dos efeitos de energia cinética, pressão e gravidade são importantes no escoamento. O Exemplo 3.9 ilustra uma destas situações.
A Figura a seguir mostra o escoamento de água numa redução. A pressão estática em (1) em (2) são medidas com um manômetro em U invertido que utiliza óleo, densidade igual a SG, como fluido manométrico. Nestas condições, determine a leitura no manômetro (h). EXEMPLO 3.9 – pág. 112 13/05/2012 17 EXEMPLO 3.9 – pág. 112
SOLUÇÃO:
Se admitirmos que o regime de operação é o permanente e que o escoamento é incompressível e invíscido, nós podemos escrever a Equação de Bernoulli do seguinte modo:
A Equação da conservação da massa pode fornecer uma segunda relação entre V1 e V2 se admitirmos que os perfis de velocidade são uniformes nestas duas seções. Deste modo: EXEMPLO 3.9 – pág. 112
Combinando as duas últimas Equações: (1)
Esta diferença de pressão é medida pelo manômetro e pode ser determinada com os conceitos desenvolvidos no Cap. 2. Assim:
Ou (2) 13/05/2012 20 CAVITAÇÃO
Distribuição de Pressão e Cavitação Numa Tubulação com Diâmetro Variável; CAVITAÇÃO
Esta diminuição de pressão, necessária para acelerar o fluido na restrição, pode ser grande o suficiente para que a pressão no líquido atinja o valor da sua pressão de vapor.
EXEMPLO: Cavitação pode ser demonstrada numa mangueira de jardim.
Se o bocal de borrifamento for estrangulado obtém-se uma restrição da área de escoamento, de modo que a velocidade da água nesta restrição poderá ser relativamente grande, se formos diminuindo a área de escoamento, o som produzido pelo escoamento de água mudará, um ruído bem definido é produzido a partir de um certo estrangulamento, este som é provocado pela Cavitação. 13/05/2012 21 CAVITAÇÃO
A Ebulição ocorre na Cavitação (apesar da temperatura ser baixa) e, assim, temos a formação de bolhas de vapor nas zonas de baixa pressão.
Quando o fluido escoa para uma região que apresenta pressão mais alta (baixa velocidade), as bolhas colapsam.
Este processo pode produzir efeitos dinâmicos (implosões) que causam transientes de pressão na vizinhança das bolhas. Acredita-se que pressões tão altas quanto 690 MPa ocorrem neste processo.
Se as bolhas colapsam próximas de uma fronteira física elas podem, depois de um certo tempo, danificar a superfície na área de cavitação. CAVITAÇÃO
A Figura abaixo mostra a cavitação nas pontas de uma hélice. Neste caso, a alta rotação da hélice produz uma zona de baixa pressão na periferia da hélice. Obviamente, é necessário projetar e utilizar adequadamente os equipamentos para eliminar os danos que podem ser produzidos pela cavitação. 13/05/2012 22 EXEMPLO 3.10 – pag. 114
A Figura a seguir mostra um modo de retirar água a 20º C de um grande tanque. Sabendo que o diâmetro da mangueira é constante, determine a máxima elevação da mangueira, H, para que não ocorra Cavitação no escoamento de água na mangueira. Admita que a seção de descarga da mangueira está localizada a 1,5 m abaixo da superfície inferior do tanque e que a pressão atmosférica é igual a 1,13 bar. EXEMPLO 3.10 – pag. 114
SOLUÇÃO:
Nós podemos aplicar a Equação de Bernoulli ao longo da linha de Corrente que passa por (1), (2) e (3) se o escoamento ocorre em regime permanente, é incompressível e invíscido. Nestas condições: (1)
Nós vamos utilizar o fundo do tanque como referência. Assim, z1 = 4,5 m, z2 = H e z3 = -1,5 m. Nós também vamos admitir que V1 = 0 (tanque grande), p1 = 0 (tanque aberto), p3 = 0 (jato livre).
A Equação da continuidade estabelece que A2V2 = A3V3. Como o diâmetro da mangueira é constante, temos que V2 = V3. Assim a velocidade do fluido na mangueira pode ser determinada com a Eq. (1), ou seja; 13/05/2012 25 3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO
A Figura abaixo mostra três tipos de comuns de medidores de vazão: 3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO
A operação de cada um é baseada no mesmo princípio – um aumento de velocidade provoca uma diminuição na pressão.
A diferença entre eles é uma questão de custo, precisão e como sua condição ideal de funcionamento se aproxima da operação ideal.
Admitindo que o escoamento entre os pontos (1) e (2) é incompressível, invíscido e horizontal (z1 = z2). Se o regime de escoamento é permanente, a Equação de Bernoulli fica restrita a: (1) 13/05/2012 26 3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO
Note que o efeito da inclinação do escoamento pode ser incorporado na Equação incluindo a mudança de elevação z1 – z2 na Equação de Bernoulli.
Admitindo que os perfis de velocidade são uniforme em (1) e (2), a Equação de Conservação da massa, pode ser rescrita como: (2)
Combinando as Equações (1) e (2), tem-se a seguinte expressão para a vazão em volume teórica: 3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO
Assim para uma dada geometria do escoamento (A1 e A2) a vazão em volume pode ser determinada se a diferença de pressão p1 – p2 for medida.
A vazão real, Qreal, será menor que o resultado teórico porque existe várias diferenças entre o mundo real e aquele modificado pelas hipóteses utilizadas na obtenção da Equação para a vazão em volume real, estas diferenças dependem da geometria dos medidores e podem ser menor do que 1% ou tão grande quanto 40%. 13/05/2012 27 EXEMPLO 3.11 – pág. 116
Querosene (densidade = SG = 0,85) escoa no medidor Venturi mostrado na Figura abaixo e a vazão em volume varia de 0,005 a 0,050 m3/s. Determine a faixa de variação da diferença de pressão medida nestes escoamento (p1 – p2). EXEMPLO 3.11 – pág. 116
SOLUÇÃO:
Admitindo que o escoamento é invíscido, incompressível e que o regime é permanente, a relação entre a variação de pressão e a vazão pode ser calculada com a Equação:
Tem-se: 13/05/2012 30 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS
A comporta mostrada na Figura abaixo é muito utilizada para controlar e medir vazão em canais abertos. Comporta Deslizante MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS
A vazão em volume, Q, é função da profundidade de escoamento de água a montante da comporta, z1, da largura da comporta, b e da sua abertura, a.
Aplicando a Equação de Bernoulli e a Equação da Conservação de Massa (Continuidade) entre os pontos (1) e (2) pode oferecer uma boa aproximação da vazão real neste dispositivo,
Admitindo que os perfis de velocidade são suficientemente uniformes a montante e a jusante da comporta.
Aplicando a Equações de Bernoulli e da Continuidade entre (1) e (2) que estão localizados na superfície livre do escoamento tem-se 13/05/2012 31 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS e
Como os dois pontos são superficiais, tem-se que p1 = p2 = 0. Combinando as Equações, resulta: MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS
No caso limite onde z1 >> z2, esta Equação fica reduzida a:
Neste caso limite a energia cinética do fluido a montante da comporta é desprezível e a velocidade do fluido a jusante da comporta é igual a de uma queda livre com uma altura igual (z1 – z2) ≈ z1.
O mesmo resultado pode ser obtido a partir da Equação de Bernoulli entre os pontos (3) e (4) e utilizando p3 = γZ1 e p4 = γz2 porque as linhas de correntes nestas sessões são retas.
Nesta formulação, em vez de temos as contribuições da energia potencial em (1) e (2) encontra-se as contribuições da pressão em (3) e (4). 13/05/2012 32 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS
Como o fluido não pode fazer uma curva de 90º e, também encontra-se uma vena contracta que induz um coeficiente de contração, Cc = Z2/a menor que 1.
O valor típico de Cc é aproximadamente igual a 0,61 para 0 < a/z1 < 0,20.
Mas o valor do coeficiente de contração cresce rapidamente quando a relação a/z1 aumenta. EXEMPLO 3.12 – pág. 118
A água escoa sob a comporta deslizante mostrada na Figura abaixo. Estime o valor da vazão em volume de água na comporta por unidade de comprimento de canal. 13/05/2012 35 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS – VERTEDOR0
Neste tipo de dispositivo a vazão de líquido sobre o vertedoro é função da altura do vertedoro, Pw, da largura do canal, b e da carga d’água acima do topo do vertedoro, H.
A aplicação da Equação de Bernoulli pode fornecer um resultado aproximado para a vazão nestas situações, mesmo sabendo que o escoamento real no vertedoro é muito complexo.
Os campos de pressão e gravitacional provocam a aceleração do fluido entre os pontos (1) e (2) do escoamento, ou seja, a velocidade varia de V1 para V2.
No ponto (1) a pressão é p1 = γ h, enquanto que no ponto (2) a pressão é praticamente igual a atmosférica p2 = 0. MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS – VERTEDOR0
Na região localizada acima do topo do vertedoro (seção a – a) a pressão varia do valor atmosférico na superfície superior até o valor máximo na seção e de novo para o valor atmosférico na superfície inferior.
Tal distribuição de pressão combinada com as linhas de corrente curvas produz um perfil de velocidade não uniforme na seção a – a.
A distribuição de velocidade nesta seção só pode ser determinada experimentalmente ou utilizando recursos teóricos avançados..
Analisando o problema de um modo mais simples, admitindo que o escoamento no vertedoro é similar ao escoamento num orifício com linhas de correntes livres. 13/05/2012 36 MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS – VERTEDOR0
Se a hipótese for válida, pode-se esperar que a velocidade média sobre o vertedoro é proporcional a (2.g.H)1/2 e que a área de escoamento para o vertedoro é proporcional a H. b. Assim:
Onde C1 é uma constante que precisa ser determinada.
C1 – geralmente é determinada por via experimental. EXEMPLO 3.13 – pag. 120
Água escoa sobre um vertedor triangular como mostrado na Figura abaixo. Determine a dependência funcional entre a vazão em volume, Q, e a profundidade H utilizando um procedimento baseado na Equação de Bernoulli. Se a vazão em volume é Q0, quando H = H0, estime qual é a vazão quando a profundidade aumenta para H = 3 H0. 13/05/2012 37 EXEMPLO 3.13 – pag. 120 SOLUÇÃO:
Se admitirmos que o escoamento é invíscido, incompressível e que ocorre em regime permanente nós podemos utilizar a equação:
Com esta, estima-se a velocidade média do escoamento sobre a comporta triangular.
Deste modo nós obtemos que a velocidade média é proporcional a (2gH)1/2.
Também vamos admitir que a área de escoamento, para uma profundidade H, é H(H.tan(θ/2). EXEMPLO 3.13 – pag. 120
A combinação destas hipótese resulta em:
Onde C2 é uma constante que precisa ser determinada experimentalmente.
Se triplicarmos a profundidade (de H0 para 3H0), a relação entre as vazões é dada por:
Note que a vazão em volume é proporcional a H5/2 no vertedoro triangular enquanto que no retangular é proporcional a H3/2.