Campos Elétricos: Cargas Elétricas, Permitividade Elétrica e Campos Elétricos, Esquemas de Matemática

Baixe Campos Elétricos: Cargas Elétricas, Permitividade Elétrica e Campos Elétricos e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity! Tema 1. Campo Eletrostática no vácuo 1.1. Cargas elétricas 1.2. Lei de Coulomb 1.3. Campos elétricos 1.4. Fluxo elétrico; 1.5. Lei de Gauss; 1.6. Potencial elétrico 1.7. Condutores em equilíbrio eletrostático 1.8. Condensadores 1.1. Cargas elétricas Das interações fundamentais da natureza as únicas que podem ser ordinariamente detetadas são as interações gravitacionais e as interações eletromagnéticas (eletricidade estática, ímanes, os micro-ondas, etc). Vamos estudar as forças que aparecem entre objetos que têm alguma distribuição de cargas e essa distribuição pode variar com o tempo. A estas forças associam- se a campos. E destes campos surgem um grande numero de fenómenos entre os quais destacam as ondas eletromagnéticas. A matéria deve as suas propriedades as interações eletromagnéticas entre as moléculas (os diferentes átomos que compo-los) especialmente, a sua estrutura elétrica. A eletrostática é a parte da física que estuda a eletricidade estática (no vazio ou na matéria). Ou seja, os fenómenos associados as cargas elétricas em repouso. 1.2. Lei de Coulomb Em 1784, o físico francês Charles Augustin Coulomb, descobriu a lei das forças entre dois cargas pontuais (cargas com dimensões desprezíveis comparadas com a distancia de separação entre elas), mexendo as forças de atração ou repulsão. Coulomb fez as medidas no ar, mas rigorosamente a lei da força eletrostática é no vazio, (onde não há moléculas ou outras partículas). A lei de Coulomb: “A magnitude da força de atração ou de repulsão entre dois cargas pontuares é diretamente proporcional ao produto das suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distancia entre elas.” Permitividade elétrica (ou constante dielétrica) no vacuo A direção da força exercida é na direção duma reta que une as dois cargas. 1.2. Lei de Coulomb Sistemas de unidades a) Sistema MKS (sistema internacional de medidas). F : Newton (N) Q : Coulomb (C). É a quantidade de carga elétrica entre 2 cargas separadas um metro sobre as que exercem uma força de 9 x 109 N. r : Metro (m) K constante de Coulomb=1/(4πε 0 )=8.9875518×109 N·m2/C2 (vácuo) Constante de permitividade elétrica no vazio: ε 0 = 8.85 x 10-12 C2/Nm2 b) SISTEMA CGS. F : Dina Q : Stat Coulomb (stc) r : Centímetro K = 1 (vazio) A conversão entre coulomb e stc: 1 C = 3 x 109 stc 1.3. Campos elétricos A lei de Coulomb calcula a força sobre uma carga quando conhece-se a sua posição relativa com a outra cargas. Mas a lei de Coulomb não diz como "sabe" a primeira carga que a outra está lá. Como resultado de estas e outras considerações semelhantes, é útil fazer uma divisão mental das interações entre ambas cargas para presentar dois aspetos: 1. A carga fonte produz "algo" sobre o ponto do espaço e, 2. Este "algo" atua sobre a carga que está num ponto do espaço, produzindo a força que atua sobre ela. Este "algo" faz de intermediário entre as duas cargas, e chama-se o Campo Elétrico E. 1.3. Campos elétricos Principio de sobreposição Este principio de sobreposição dos campos elétricos diz que em cada ponto o campo elétrico total é a suma vetorial de todos os campos elétricos que tenha-se nesse ponto. E(r) T = E(r 1 ) 1 +E(r 2 ) 2 +...+E(r N ) N Se há N cargas pontuais qk com (k = 1, 2, ...N) colocadas nos pontos r k , o campo elétrico total devida as k cargas é a suma dos campos: 1.3. Campos elétricos Campo criado por uma distribuição contínua de cargas O principio de sobreposição pode-se generalizar por o caso de que as distribuição de carga seja continua. Se as cargas estão distribuídas continuamente num volumem, temos uma densidade volumétrica ρ(r ) de carga, se é numa superficial temos uma densidade superficial σ(r ) de carga e se é numa linha há uma densidade linear ou filiforme λ(r ). E em cada caso há um elemento dq(r ) de carga associado ao ponto r da distribuição continua. 1.3. Campos elétricos Linhas de campo Uma linha de campo indica a direção da força que exerce-se sobre uma carga introduzida num campo. Se fica livre a carga, esta iria na direção da linha de campo. O campo elétrico representa-se graficamente pelas linhas de campo e devem cumprir: a) A tangente a uma linha de campo num ponto mostra a direção da intensidade do campo elétrico nesse ponto. b) As linhas de campo por unidade de área de secção transversal é proporcional à intensidade do campo elétrico (+ numero de linhas diz campo mais intenso). 1.3. Campos elétricos Campo elétrico gerado por um dipolo elétrico A carga positiva do dipolo exerce no ponto P um campo E + e a carga negativa gera um campo E - . No eixo x é a suma e no eixo y o campo fica 0 (iguais e de sentido contrario). E +x =E -x =E + cos(θ)=E - cos(θ) cos(θ)= d /2 R = d /2 √(d /2) 2 +r2 d E+x=E+❑ d /2 √(d /2) 2 +r 2 = q 4 πε0 R 2 d /2 √(d /2)2 +r2 = q 4π ε0((d /2) 2 +r2 ) d /2 √(d /2) 2 +r2 E+x= q 4π ε0 d /2 ((d /2) 2 +r2 ) 3 /2 →r≫d /2→E+x= q 4 π ε0 d /2 r 3 E=2 E+x= q 4π ε0 d r3 = p 4 π ε0r 3 1.3. Campos elétricos Movimento de partículas carregadas em campos elétricos uniforme Uma partícula carregada que está numa região onde há um campo elétrico, senti uma força elétrica F=q·E. Carga +, a força no sentido do campo e se a carga é – a força no sentido contrario ao campo. Si o campo é uniforme, a força é constante (a aceleração também) e por tanto é um movimento retilíneo uniformemente acelerado: a=qE/m  v=v 0 +at = v 0 +qE/m t   x=v 0 t+1/2 a t2 = v 0 t+1/2 qE/m t2 Pelo principio de conservação da energia, a energia potencial elétrica (qEx) pode transformar-se em energia cinética. q E x = ½ m (v2-v2 0 ) 1.4. Fluxo elétrico O fluxo elétrico Φ é proporcional ao número de linhas de campo que atravessam uma superfície qualquer. O elemento de área pode representasse como um vetor dS, de magnitude dS e direção normal à superfície. Ficando o fluxo do campo elétrico a través da superfície fechada S dum volumem V finito como: 1.5. Lei de Gauss Lei de Gauss em distribuições de carga com simetrias esféricas 1.5. Lei de Gauss Lei de Gauss em distribuições de carga com simetrias cilíndrica 1.5. Lei de Gauss Lei de Gauss em distribuições de carga com simetrias planar 1.6. Potencial elétrico Potencial electrostatico debido a uma carga pontual Há uma carga puntual Q e cria um campo elétrico em torno dela 1.6. Potencial elétrico Potencial eletrostático devido a um grupo de cargas pontuais Há uma N cargas pontuais Q i e criam uns campos elétricos em torno delas. Pelo principio de sobreposição E T =E 1 +E 2 +...+E N 1.6. Potencial elétrico Potencial eletrostático devido a um dipolo elétrico Suponhamos que, r > > 2a r 2 - r 1 = 2a cos(α) ≈ 2a cos(θ) r 2 r 1 ≈ r 2 2 =r2 Onde p é o momento do dipolo elétrico V= Q 4π ε0r1 + −Q 4 π ε0r2 = Q (r2−r1) 4π ε0r1 r2 V= Q (2a cos(θ)) 4π ε0r2 2 = pcos(θ) 4π ε0 r2 2 1.7. Condutores em equilíbrio eletrostático Distribuição de carga num conductor isolado Se temos duas esferas com diferente carga e diferente radio unidas por um filo conductor cada esfera tem o seu potencial. Se estão unidas produz-se um movimento de carga de uma esfera à outra até que os potenciais ficam iguais V 1 =V 2 A densidade de carga deve ser maior em superfícies condutoras com rádios de curvatura mais pequenos. Sendo a densidade superficial de carga σ numa área A: Q 1 =A 1 σ 1 =4πR2 1 σ 1 fica: A densidade de carga é maior nas superfícies condutoras de rádios de curvatura mais pequenos. Q1 4 πε0 R1 = Q2 4 πε0 R2 → Q1 R1 = Q2 R2 Q1 R1 = Q2 R2 → 4π R1 2 σ 1 R1 = 4 πR 2 2 σ2 R2 → σ 1 σ 2 = R2 R1 1.8. Condensadores Condutores e isoladores (dieléctricos) Sabemos que existem materiais condutores (como os metais) e materiais isolantes (como o vidro, os plásticos etc). E também existem materiais intermédios chamados semicondutores. Condutores são materiais que possibilitam a movimentação das cargas elétricas no seu interior com grande facilidade. Esses materiais possuem uma grande quantidade de eletrões livres, que podem ser conduzidos quando neles aplicamos uma diferença de potencial. Metais como cobre, platina e ouro são bons condutores. Estas cargas desprazam-se (corrente elétrica) quando aplica-se um campo elétrico. Na eletrostática não há movimento de cargas, não há correntes e só é possível se E interior = 0. Os materiais isolantes são aqueles que oferecem grande oposição à passagem de cargas elétricas. Nesses materiais, os eletrões encontram-se, de modo geral, fortemente ligados aos núcleos atómicos e, por isso, não são facilmente conduzidos. Materiais como borracha, silicone, vidro e cerâmica são bons exemplos de isolantes. 1.8. Condensadores Um condensador é um dispositivo formado por dois condutores (placas o armaduras) com cargas iguais e opostas separadas por um dielétrico (um material isolante que opor-se ao movimento das cargas elétricas). Os condensadores usam- se para muitas coisa: para produzir campos elétricos constantes, armazenar energia elétrica, reduzir flutuações do voltagem, gerar oscilações eletromagnéticas de radio frequência, etc. A capacitância elétrica C mede aptitude que tem um condutor para armazenar carga elétrica a potenciais eletrostáticos relativamente baixos como C=Q/V SISTEMA MKS Carga Q: Coulomb (C) Voltagem V: Volt (V) capacitância do condensador C: Coul/Volt = Faradio (F) A capacitância depende da forma geométrica das placas, do afastamento entre as placas e do dielétrico. Existem vários tipos de condensadores dependendo da sua forma geométrica: Planos, esféricos e cilíndricos 1.8. Condensadores Capacitância dum condensador esférico Um condensador esferico consta duma esfera externa de R b e Q e uma esfera interna de R a e -Q. Aplicando a lei de Gauss a uma esfera de radio r em que R a < r < R b : 1.8. Condensadores Os condensadores normalmente usam-se formando circuitos. Estes circuitos estão formados por condensadores dispostos de formas diversas. As formas mais simples são em serie e em paralelo. EM SERIE EM PARALELO 1.8. Condensadores Energia armazenado num condensador Quando carga-se um condensador com uma bateria, esta faz um trabalho W para transportar a carga elétrica duma placa à outra. Condensador plano W= ½ Q2/C O trabalho fica armazenado em forma de energia potencial no condensador, ou seja a energia elétrica armazenada no condensador W=U= ½ Q2/C= ½ Q ΔV= ½CΔV2 . Mas fica por saber onde é que fica esta energia… Num condensador plano C= ε 0 A/d Então U= ½ ε 0 E2 (d A)= ½ ε 0 E2 (volumem) Este resultado é surpreendente!!! A energia por unidade de volume só depende só campo elétrico.