Baixe EP de álgebra e exercícios com gabarito e lista de exercícios com gabarito. Resolução comp e outras Exercícios em PDF para Álgebra, somente na Docsity! Exerćıcios Programados 1 - Gabarito 1a Questão: Mostre que o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as operações usuais de soma e produto, (M2×2,+, ·), é um anel não comutativo com unidade. Solução: Comutatividade da Soma a b c d + a′ b′ c′ d′ = a + a′ b + b′ c + c′ d + d′ = a′ + a b′ + b c′ + c d′ + d = = a′ b′ c′ d′ + a b c d Associatividade da Soma a b c d + a′ b′ c′ d′ + a′′ b′′ c′′ d′′ = a + a′ b + b′ c + c′ d + d′ + a′′ b′′ c′′ d′′ = = (a + a′) + a′′ (b + b′) + b′′ (c + c′) + c′′ (d + d′) + d′′ = a + (a′ + a′′) b + (b′ + b′′) c + (c′ + c′′) d + (d′ + d′′) = a b c d + + a′ + a′′ b′ + b′′ c′ + c′′ d′ + d′′ = a b c d + a′ b′ c′ d′ + a′′ b′′ c′′ d′′ Elemento Neutro da Soma O elemento neutro da soma é a matriz 0 0 0 0 , pois a b c d + 0 0 0 0 = a b c d Simétrico O simétrico da matriz a b c d é a amtriz −a −b −c −d , pois a b c d + −a −b −c −d = a + (−a) b + (−b) c + (−c) d + (−d) = 0 0 0 0 1 Comutatividade da Multiplicação Essa propriedade é satisfeita. Por exemplo 1 1 0 0 · 0 0 1 1 = 1 1 0 0 0 0 1 1 · 1 1 0 0 = 0 0 1 1 Associatividade da Multiplicação a b c d · a′ b′ c′ d′ · a′′ b′′ c′′ d′′ = aa′ + bc′ ab′ + bd′ ca′ + dc′ cb′ + dd′ · a′′ b′′ c′′ d′′ = = (aa′ + bc′)a′′ + (ab′ + bd′)c′′ (aa′ + bc′)b′′ + (ab′ + bd′)d′′ (ca′ + dc′)a′′ + (cb′ + dd′)c′′ (ca′ + dc′)b′′ + (cb′ + dd′)d′′ = = a(a′a′′ + b′c′′) + b(c′a′′ + d′c′′) a(a′b′′ + b′d′′) + b(c′b′′ + d′d′′) c(a′a′′ + b′c′′) + d(c′a′′ + d′c′′) c(a′b′′ + b′d′′) + d(c′b′′ + d′d′′) = = a b c d · a′a′′ + b′c′′ a′b′′ + b′d′′ c′a′′ + d′c′′ c′b′′ + d′d′′ = a b c d · a′ b′ c′ d′ · a′′ b′′ c′′ d′′ Elemento Neutro da Multiplicação O elemento neutro da multiplicação é a matriz 1 0 0 1 , pois a b c d · 1 0 0 1 = 1 0 0 1 · a b c d = a b c d Distributividade a b c d · a′ b′ c′ d′ + a′′ b′′ c′′ d′′ = a b c d · a′ + a′′ b′ + b′′ c′ + c′′ d′ + d′′ = = a(a′ + a′′) + b(c′ + c′′) a(b′ + b′′) + b(d′ + d′′) c(a′ + a′′) + d(c′ + c′′) c(b′ + b′′) + d(d′ + d′′) = = (aa′ + bc′) + (aa′′ + bc′′) (ab′ + bd′) + (ab′′ + bd′′) (ca′ + dc′) + (ca′′ + dc′′) (cb′ + dd′) + (cb′′ + dd′′) = 2
