Equaçoes diferenciais Ordinarias, Exercícios de Equações Diferenciais

Baixe Equaçoes diferenciais Ordinarias e outras Exercícios em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! 1. Sequências Informalmente uma sequência numérica é uma lista ordenada e infinita de números a0, a1, a2, a3, . . . , an, . . . Denotamos N o conjunto dos inteiros não negativos {0, 1, 2, . . .}. Sem é um destes inteiros, denotamos m ∈ N. Usamos a notação N≥m para o conjunto {m,m + 1, . . .} dos inteiros maiores ou iguais do que m. Denotamos R o conjunto dos números reais. Definição 1. Uma sequência de números reais é uma função a : N≥m → R de N≥m até R, para um determinado m ∈ N. Segundo esta definição formal, escrevendo a sequência como uma lista de números, temos am, am+1, am+2, . . . , an, . . . Portanto para termos uma sequência não é necessário chamar o primeiro elemento da sequência por a0. Tradicionalmente, denotamos os valores a(n) da forma an e a sequência a também denota-se (an)n≥m ou simplesmente (an). Os valores an são os termos da sequência. Podemos representar graficamente uma sequência no plano desenhando o conjunto de pontos (n, an) para todo n: 1 2 3 5 6 7 8 10 (6, a6) (5, a5) (1, a1) Obviamente, podemos também chamar uma sequência u, b, c, v, w, etc. e denotar os termos un, bn, cn, vn, wn, etc. Exemplo 1. Se f : (0,+∞) → R é uma função, podemos construir a sequência (f(n))n≥1. As seguintes sequências podem se obter desta maneira: (1) a sequência (un) definida por un = 1/n, n ∈ N≥1, (aqui f(x) = 1/x) (2) a sequência (vn) definida por vn = log n, n ∈ N≥1, (aqui f(x) = log x) (3) a sequência (wn) definida por wn = en, n ∈ N, (aqui f(x) = ex) (4) a sequência (tn) definida por tn = n2, n ∈ N, (aqui f(x) = x2) (5) a sequência (cn) definida por cn = 1/(1− n2), n ∈ N≥2. (aqui f(x) = 1/(1− x2)). Exemplo 2. Nem sempre uma sequência tem que ser definida a partir de uma fórmula fechada. Por exemplo, considere a sequência de Fibonacci, definida recursivamente por F0 = 0;F1 = 1 e Fn+1 = Fn + Fn−1 para n = 1, 2, 3, ... 1 ou seja, (Fn) = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... 1.1. Limite de uma sequência. Definição 2. Seja L ∈ R. Dizemos que a sequência (an) tem limite L (ou que (an) tende a L) e escrevemos lim n→∞ an = L se os termos an ficam tão próximos de L quanto quisermos ao fazer n suficientemente grande. Também podemos usar a notação limn an = L ou lim an = L. Se limn→∞ an existe, dizemos que a sequência é convergente. Caso contrário, dizemos que a sequência é divergente. Um exemplo de uma sequência (an) com limite igual a L está dado no seguinte gráfico, y = L (3, a3) Um exemplo de uma sequência (an) divergente está dado no seguinte gráfico, Exemplo 3. A sequência (an) definida por an = 1/n tem limite igual a 0, pois o número 1/n é tão próximo de 0 quanto quisermos. Basta tomar o n grande o suficiente. Ao dizer “tão próximos a L quanto quisermos” na Definição 2, incluimos a possibilidade de an ser igual a L, como mostra o próximo exemplo. Exemplo 4. A sequência (vn)n≥0 definida por vn = 3 tem limite L = 3. Com efeito, para todo n ∈ N, |vn − L| = |3− 3| = 0. Então vn é sempre tão próximo de L quanto quisermos, para todo n. Outra sutileza na Definição de limite é o seguinte: para que (an) convirja a L, não é necessário que a distância entre an e L seja uma função decrescente. 2 para qualquer real x. Exemplo 12. Consideremos an = 1/n2 e bn = 1/n. Para todo n ≥ 2, temos an ≤ bn. Sabemos que ambas sequências são convergentes. A Proposição 3 nos indica que limn an ≤ limn bn. Por outro lado, conhecemos o valor exato destes limites: é o valor comum 0. Este exemplo mostra que, mesmo se tivermos uma desigualdade estrita an < bn para todo n ≥ m, no limite podemos obter uma igualdade. Ou seja, podemos ter an < bn para todo n ≥ m no enunciado da Proposição 3 mas obter que limn an = limn bn. Proposição 4 (Teorema do confronto). Sejam (an)n≥m e (cn)n≥m duas sequências que pos- suem o mesmo limite. Seja (bn)n≥m uma terceira sequência tal que, para todo n ≥ m, an ≤ bn ≤ cn. Então limn bn existe e lim n an = lim n bn = lim n cn. Exemplo 13. Se bn = sen(n2)/n2, então −1/n2 ≤ bn ≤ 1/n2. Usando o Exemplo 10 e o teorema do confronto, vemos que limn bn = 0. 1.3. Sequências monótonas. Definição 4. Consideremos uma sequência (an)n≥m. • Esta sequência é crescente se, para todo n, an+1 ≥ an. • Esta sequência é decrescente se, para todo n, an+1 ≤ an. • Esta sequência é estritamente crescente se, para todo n, an+1 > an. • Esta sequência é estritamente decrescente se, para todo n, an+1 < an. • Esta sequência é monótona se é crescente ou decrescente. Observamos que se (an) é estritamente crescente, então é crescente e então é monótona. O mesmo tipo de observação vale para sequências estritamente decrescentes. Exemplo 14. A sequência (an) = (1/n) é estritamente decrescente. Isto porque para todo n, n < n+ 1; tomando o inverso temos que 1 n > 1 n+ 1 , para todo n. Note que nem toda sequência é monótona. Por exemplo, os termos da sequência do Exemplo 6, an = (−1)n satisfazem a0 > a1, a1 < a2, a2 > a3 e analogamente para os termos seguintes. Logo a sequência não é crescente nem é decrescente. Observação 3. No caso em que an = f(n) para alguma função f , uma maneira de mostrar que a sequência (an)n≥m é decrescente, é mostrar que a função f é decrescente no intervalo [m,∞). De fato, se f é decrescente em [m,∞), então para n + 1 > n ≥ m, vale que f(n+ 1) ≤ f(n). Logo an+1 ≤ an, para todo n ≥ m. Analogamente podemos mostrar que a sequência é crescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente, mostrando que f tem a propriedade correspondente no intervalo [m,∞). Exemplo 15. A sequência (an)n≥2 com an = 1 1− n3 é estritamente crescente. Vamos mostrar isto usando a função f(x) = 1 1− x3 , pois an = f(n). Derivando a função f temos f ′(x) = −(−3x2) (1− x3)2 = 3x2 (1− x3)2 > 0 para todo x ≥ 2 5 Logo f é estritamente crescente em [2,∞). Como foi dito na Observação 3. isto implica que a sequência (an) é estritamente crescente. 1.4. Sequências limitadas. Definição 5. Consideremos uma sequência (an)n≥m. • Esta sequência é limitada inferiormente se existe s ∈ R tal que, para todo n, temos s ≤ an. • Esta sequência é limitada superiormente se existe S ∈ R tal que, para todo n, temos an ≤ S. • Esta sequência é limitada se é limitada inferiormente e superiormente, ou seja, se existem s, S ∈ R tal que, para todo n, temos s ≤ an ≤ S. Exemplo 16. A sequência (sen(n))n≥0 é limitada, pois, para todo n ≥ 0, −1 ≤ sen(n) ≤ 1. Observemos que toda sequência crescente é limitada inferiormente. Por exemplo, para a sequência (an)n≥0, se temos an ≤ an+1 para todo n, então em particular vale que a0 ≤ an para todo n, ou seja, basta tomar s = a0 na definição acima. Analogamente, toda sequência decrescente é limitada superiormente. Exemplo 17. A sequência ( 1 n ) n≥1 é limitada superiormente pois ela é estritamente decres- cente. De fato, temos que 1 n ≤ 1 para todo n ≥ 1. Por outro lado, a sequência também é limitada inferiormente, pois vale que 0 ≤ 1 n para todo n ≥ 1. Assim, a sequência é limitada. Exemplo 18. A sequência (n)n≥0 é limitada inferiormente mas não é limitada superiormente. Obviamente 0 ≤ n, mas não existe R ∈ R tal que n ≤ R, pois lim n→∞ n = +∞. Observação 4. A sequência (an) é limitada inferiormente se e só se a sequência (−an) é limitada superiormente. Teorema 5. Toda sequência crescente e limitada superiormente é convergente. Uma consequência simples deste resultado é o seguinte. Corolário 6. (1) Toda sequência decrescente e limitada inferiormente é convergente. (2) Toda sequência monótona e limitada é convergente. Exemplo 19. Considere a seguinte sequência: a1 = 0 a2 = 0, 1 a3 = 0, 101 a4 = 0, 101001 a5 = 0, 1010010001 ... A sequência an é estritamente crescente, pois an+1 é obtido como a soma de an com um número da forma 10−k para algum k ≥ 1, que é um número positivo. Também é evidente 6 que a sequência an é limitada superiormente, já que todo an é menor que 1. Segue do Teorema 5 que a sequência an é convergente. Exemplo 20. Um belo dia o professor Pablo faz um bolo de chocolate incrivelmente gostoso. A felicidade, porém, dura pouco, pois Pablo enfrenta o seguinte dilema. Por um lado, ele quer que o bolo nunca acabe. Por outro lado, ele gostaria de comer um pouco todo dia. Após refletir por um momento, ele decide fazer o seguinte. No primeiro dia ele come uma parte do bolo e congela o resto. No dia seguinte ele descongela e come uma parte do que sobrou no congelador. No terceiro dia ele novamente descongela e come um novo pedaço, e assim por diante. Vamos fingir que o professor Pablo é imortal e que o congelador dele nunca falha, para que este processo possa se repetir infinitas vezes. Vamos chamar de an a fração do bolo inicial que sobra no congelador ao final do dia n. A sequência an é decrescente, já que todo dia o professor come um pouco de bolo. Também é claro que a sequência é limitada superiormente: an ≤ 1 para todo n. Segue do Teorema 5 que a sequência an é convergente, mas não necessariamente para 0 (depende da fome do Pablo). 7