Equaçoes diferenciais Ordinarias, Exercícios de Equações Diferenciais

Baixe Equaçoes diferenciais Ordinarias e outras Exercícios em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! Semana 2 1. Séries numéricas Uma série numérica (ou simplesmente uma série) é uma expressão da forma (1) a1 + a2 + a3 + . . . Aqui, (an) é uma sequência qualquer. Os números a1, a2, a3, . . . são os termos da série. Um exemplo de uma série é 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . Aqui, o n-ésimo termo pode ser escrito como (−1)n+1 n . Outras maneiras de escrever (1) são (2) ∞∑ n=1 an, ∑ n≥1 an, ou ∑ n∈N an. Mas o que exatamente significam estas expressões? É realmente posśıvel somar um número infinito de termos? Não, não é. Mas mesmo assim, as expressões (1) e (2) têm significados muito concretos. De fato, elas são simplesmente abreviações de (3) lim n→∞ n∑ k=1 ak. Dito de outra maneira, considere a sequência (sn), onde s1 = a1 s2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3 e assim por diante. Com esta notação temos (4) ∞∑ n=1 an = lim n→∞ sn. A sequência (sn) é chamada a sequência das somas parciais da serie (1). Assim como qualquer sequência, a sequência das somas parciais pode ser convergente ou divergente. Definição 1. Dizemos que a série ∑∞ n=1 an é convergente se a sequência de suas somas parciais é convergente. Caso contário, dizemos que a série é divergente. Se a sequência das somas parciais de ∑∞ n=1 an converge a L, escrevemos ∞∑ n=1 an = L e dizemos que L é a soma da série. 1 Exemplo 1. A série ∑∞ n=1 1 2n é convergente e sua soma é 1. Para ver isso, vamos formar a série das somas parciais: s1 = 1 2 s2 = 1 2 + 1 4 = 3 4 s3 = 1 2 + 1 4 + 1 8 = 7 8 ... Aparentemente, sn é dado por 1 − 1 2n . Para entender o porquê disso, vamos relembrar o bolo de chocolate do professor Pablo (último exemplo da Semana 1). Todo dia Pablo come a metade do que sobrou do dia anterior. Portanto, no final do n-ésimo dia, ele tem 1 2n bolo sobrando no congelador. Isso quer dizer que ele já comeu 1− 1 2n bolos. Ou seja, 1 2 + 1 4 + . . .+ 1 2n = 1− 1 2n . Agora que nós já estabelecemos que sn = 1− 1 2n , basta observar que ∞∑ n=1 1 2n = lim n→∞ ( 1− 1 2n ) = 1. Exemplo 2. Considere a série ∑∞ n=1(−1)n. Suas somas parciais são s1 = −1 s2 = −1 + 1 = 0 s3 = −1 + 1− 1 = −1 ... Em outras palavras, sn = −1 sempre que n for ı́mpar, e sn = 0 sempre que n for par. Esta sequência é divergente. Portanto a série em questão também o é. Paramos agora para fazer uma reflexão. Vimos que o estudo de uma série ∑∞ n=1 an na verdade se resume a estudar a sequência { ∑n k=1 ak}n. De forma rećıproca, dado uma série (an), é fácil encontrar uma série (bn) tal que (an) é a sequência das somas parciais de∑∞ n=1 bn. Com efeito, basta tomar b1 = a1, b2 = a2 − a1, b3 = a3 − a2, e assim por diante. Em outras palavras, estudar séries e estudar sequências é a mesma coisa! Mas porque nos preocupamos com séries então? A resposta é que é uma questão de praticidade. Séries aparecem naturalmente em muitas áreas da ciência, e é conveniente ter uma linguágem que lida com elas, sem precisar sempre ”converter” entre os dois formatos. Observação 1. Já que séries nada mais são que sequências disfarçadas, elas satisfazem as mesmas propriedades que limites de sequências. Mais precisamente, se ∑ n≥1 an e ∑ n≥1 bn forem duas séries e convergêntes, e α, β dois números quaisquer, então ∑ n≥1(αan + βbn) é convergente e ∑ n≥1 (αan + βbn) = α ∑ n≥1 an + β ∑ n≥1 bn 2 Usando a formulação do Teorema 2, vemos que o Critério da Divergência funciona como uma espécie de filtro, pois fornece uma maneira fácil de identificar algumas séries divergentes. Exemplo 5. A série ∑∞ n=1 3n√ n2+5 é divergente, pois lim n→∞ 3n√ n2 + 5 = lim n→∞ 3n |n| √ 1 + 5/n2 = 3. Exemplo 6. A série ∑∞ n=1(−1)n n n+2 é divergente, pois lim n→∞ (−1)n n n+ 2 não existe. (Para n grande, an está perto de 1 se n for par e perto de −1 se n for ı́mpar.) 4. O Critério da Integral Nosso próximo critério é o chamado Critério da integral. Teorema 3 (Critério da integral). Seja ∑ n an uma série e seja m um natural tal que an ≥ 0 para todo n ≥ m. Suponha que f(x) é uma função que no intervalo [m,+∞) satisfaz as seguintes condições: é cont́ınua, descrescente, não negativa, e tal que f(n) = an para todo número natural n ≥ m. Temos que a série ∑ n an é convergente se e somente se a integral imprópria ∫ +∞ m f(x)dx é convergente. (Note que com isso temos também que ∑ n an é divergente se e somente se a integral imprópria ∫ +∞ m f(x)dx é divergente). Vamos aplicar o critério integral à chamada p-série (ou série harmonica de ordem p). Exemplo 7 (p-série). A p-série é a série +∞∑ n=1 1 np . onde p é um número real. Para p ≤ 0, temos limn→∞ 1/np 6= 0 logo, pelo critério de divergência, a série e divergente. Vamos analizar os outros caso, isto é quando p > 0, através do critério da integral. Note que an = 1/np é positiva para todo n ≥ 1. Tomamos f(x) = 1/xp. É claro que f(x) é uma função cont́ınua e positiva no intervalo [1,+∞). Além disso, f(n) = an para todo natural n ≥ 1. Vamos ver que f(x) é decrescente em [1,+∞). Como f ′(x) = −px−p+1, é claro que f ′(x) < 0 para x ∈ [1,+∞), e portanto f(x) é decrescente em x ∈ [1,+∞). Calculamos a integral imprópria em [1,+∞). Para p 6= 1 temos∫ +∞ 1 1 xp dx = lim n→∞ ∫ b 1 x−pdx = limn→∞ ( b−p+1 −p+ 1 − 1 −p+ 1 ) = { +∞, para 0 < p < 1 1 p−1 para p > 1 Para p = 1 temos ∫ +∞ 1 1 x dx = lim b→∞ ∫ b 1 1 x dx = lim b→∞ log(b) = +∞. A conclusão é que a série harmônica ∑ n 1/np de ordem p é: (i) convergente para p > 1. (ii) divergente para p ≤ 1. 5 5. Critérios de Comparação Nosso próximo critério é o chamado Critério da comparação. Teorema 4 (Critério da comparação). Sejam ∑ n an e ∑ n bn duas séries e seja m um número natural tal bn ≥ an ≥ 0 para todo n ≥ m. Temos: (i) se ∑ n bn é convergente, então a série ∑ n an é convergente. (i) se ∑ n an é divergente, então a série ∑ n bn é divergente. Exemplo 8. Vamos ver que a seguinte série é convergente:∑ n 2n 1 + 3n . De fato temos 2n 1 + 3n < 2n 3n = ( 2 3 )n e portanto a convergência segue pois ∑ n(2/3)n converge (veja Exemplo 3: é uma série geometrica com λ = 2/3 ). Exemplo 9. Vamos ver quando a seguinte série é convergente:∑ n sen4(n) + 2 np . Usando que 0 ≤ sen4(n) ≤ 1 para todo n, temos 2 np ≤ sen4(n) + 2 np ≤ 1 + 2 np = 3 np . Sabemos que a série harmônica ∑ n 1/np de ordem p converge se e somente se p > 1. Portanto, pela Observação 1, dada uma qualquer constante real α 6= 0, a série ∑ n α/n p converge se e somente se p > 1. Portanto pelo critério de comparação a série∑ n sen4(n) + 2 np é: (i) convergente para p > 1 (usando a desigualdade de direita e a convergencia da série∑ n 3/np para p > 1). (ii) divergente para p ≤ 1 (usando a desigualdade de esquerda e a divegência da série∑ n 2/np para p ≤ 1). As vezes é dificil usar o critério de comparação. Ou seja, se suspeitamos que uma série∑ n an, com an ≥ 0, é convergente, nem sempre é fácil encontrar uma série convergente∑ n bn tal que an ≤ bn. Ou então, se suspeitamos que ∑ n an é divergente, nem sempre é fácil encontrar uma série divergente ∑ n bn tal que bn ≤ an. Notamos porem que a série do Exemplo 8: ∑ n an = ∑ n 2n 1 + 3n já lembra muito a série geométrica ∑ n bn = ∑ n(2/3)n que é depois usada na comparação (para obter a série geometrica, deveŕıamos somente “tirar” o addendo 1 no denominador!). 6 De fato ∑ n an e ∑ n bn tem o mesmo comportamento em relação a convergencia. E no Exemplo 9 a série ∑ n sen4(n) + 2 np já lembra muito a p-série ∑ n bn = ∑ n 1/np que é depois usada (a menos de uma constante) na comparação. Pois bem, um instrumento para checar quando as série ∑ n an e ∑ n bn têm o mesmo comportamento em relação à convergencia ou divergência é o cálculo do limite do quociente de an e bn. No Exemplo 8: lim n→∞ an bn = lim n→∞ 2n 1+3n 2n 3n = lim n→∞ 3n 1 + 3n = 1. O fato deste limite ter dado finito e não nulo, diz que o comportamento em relação a con- vergência ou divergência das séries ∑ n an e ∑ n bn é o mesmo. Note que na última passagem do limite desconsideramos o addendo 1 no denominador (veja a observação informal acima sobre “tirar” o addendo 1 no denominador!). Neste caso, o fato de ∑ n bn ser convergente implica que ∑ n an é convergente. Já no Exemplo 9 temos: lim n→∞ an bn = lim n→∞ sen4(n)+2 np 1 np = lim n→∞ sen4(n) + 2 que não existe (e não adianta se colocarmos ao denominador α/np com α constante não nula). Neste caso a nossa checagem “deu errado” e precisamos fazer mesmo a analise mais detalhada da comparação como no Exemplo 9. O que acabamos de explicar nos exemplo é o seguinte Critério de comparação no limite, que pode ser tornar útil quando não é muito claro como obter estimativas que deixem usar o Critério de comparação. Teorema 5 (Critério da comparação no limite). Sejam ∑ n an e ∑ n bn duas séries e m um número natural tal que an ≥ 0 e bn > 0 para todo n ≥ m. Suponha que o seguinte limite L = lim n→∞ an bn exista. (i) Se L 6= 0 então∑ n an converge se e somente se ∑ n bnconverge. (ii) se L = 0 e ∑ n bn converge, então ∑ n an converge. 7