Equaçoes diferenciais Ordinarias, Exercícios de Equações Diferenciais

Baixe Equaçoes diferenciais Ordinarias e outras Exercícios em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! Semana 3 1. Séries alternadas Uma série alternada é uma série ∑ an onde os termos an têm sinais alternados. Ob- servemos que se os termos an são alternadamente positivos e negativos, definindo bn = |an|, podemos escrever an = (−1)n−1bn ou an = (−1)nbn (dependendo do sinal do primeiro termo da série). Como exemplos, temos a série (1) ∞∑ n=1 cos(nπ) = −1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . ou a série harmônica alternada (2) ∞∑ n=1 (−1)n−1 1 n = 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 − . . . As séries geométricas também estão nesta categoria caso a razão r seja um número negativo. Por exemplo, se r = −1 3 , temos a série (3) ∞∑ n=0 ( −1 3 )n = 1− 1 3 + 1 9 − 1 27 + . . . O que sabemos sobre a convergência destas séries? Os critérios de comparação e da in- tegral, que estudamos até agora, só podem ser aplicados para séries com termos positivos. Para séries com termos positivos e negativos, até agora, poderiamos usar o critério da di- vergência e o caso bem estudado das séries geométricas. Usando isto, podemos concluir que a série (1) é divergente e a série (3) é convergente. Agora, para a série (2), ainda não temos ferramentas para decidir sobre a convergência desta série. O critério a seguir resolve o problema, permitindo concluir que esta série é convergente. Teorema 1 (Critério da Série Alternada). Se a série alternada (4) ∞∑ n=1 (−1)n−1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . . bn > 0 satisfaz as condições (para algum m ∈ N) (i) bn+1 ≤ bn para todo n ≥ m (ii) lim n→∞ bn = 0 Então a série é convergente. A figura a seguir ilustra o critério: 1 0 s1 = b1s2 = b1 − b2 s3 = b1 − b2 + b3s4 s6 s5L +b1 −b2 +b3 −b4 +b5 −b6 Observação 1. Alguns comentários importantes para usar de maneira eficiente o critério: (a) Um resultado similar vale para a série ∞∑ n=1 (−1)nbn = −b1+b2−b3+b4−. . . bn > 0. As hipóteses e a conclusão são exatamente iguais a como foi enunciado no teorema. (b) Como falamos na semana 1, para mostrar que a sequência {bn}n≥m é decrescente, no caso em que bn = f(n) para alguma função derivável f : (0,+∞) → R, podemos usar a derivada de f , mostrando que f ′(x) ≤ 0 para x ≥ m. (c) A primeira conta a ser feita quando temos uma série alternada é calcular limn→∞ bn. Se este limite não existir ou for diferente de zero, então podemos concluir que a série é divergente. Isto não é consequência do Critério da Série Alternada! Segue do critério da divergência, pois se limn→∞ bn = L (L 6= 0) então limn→∞(−1)n−1bn não existe! (d) Se temos uma série alternada ∑∞ n=1(−1)n−1bn tal que limn→∞ bn = 0, mas que não satisfaz a condição bn+1 ≤ bn, não podemos afirmar que ela é divergente. O critério da série alternada não afirma nada neste caso. Exemplo 1. Vejamos que a série harmônica alternada converge. Neste caso bn = 1 n . A sequência { 1 n } é decrescente, pois n < n+ 1 implica que 1 n > 1 n+ 1 , para todo n ≥ 1. Por outro lado, sabemos que lim n→∞ 1 n = 0. Pelo critério da série alternada, a série (2) converge. Exemplo 2. Consideremos a série ∞∑ n=1 (−1)n lnn n = −0 + ln 2 2 − ln 3 3 + ln 4 4 − . . . Neste caso bn = lnn n . Para calcular o limite de bn, temos uma indeterminação da forma +∞ +∞ . Usando a regra de L’Hôspital temos lim n→∞ lnn n = lim n→∞ 1 n 1 = lim n→∞ 1 n = 0 2 Observação 3. No caso em que r = 1, o critério é inconclusivo. Neste caso, a série pode ser convergente ou divergente. Exemplo 4. Consideremos a série ∞∑ n=1 n2 3n . Neste caso an = n2 3n . Calculando r temos r = lim n→∞ (n+1)2 3n+1 n2 3n = lim n→∞ 1 3 (n+ 1)2 n2 = 1 3 < 1 Pelo critério da razão, a série é absolutamente convergente. Exemplo 5. Consideremos a série ∞∑ n=1 (−1)n n! 3n . Neste caso |an| = n! 3n . Calculando r temos r = lim n→∞ (n+1)! 3n+1 n! 3n = lim n→∞ n+ 1 3 = +∞ Pelo critério da razão, a série é divergente. Exemplo 6. Consideremos ∞∑ n=1 (−1)n−1 1 n3 . Neste caso |an| = 1 n3 . Calculando r temos r = lim n→∞ 1 (n+1)3 1 n3 = lim n→∞ n3 (n+ 1)3 = 1 Logo o critério é inconclusivo. Isto dito, sabemos que a série ∞∑ n=1 (−1)n−1 1 n3 é absolutamente convergente (pois ∞∑ n=1 1 n3 é uma p-série com p = 3 > 1). Exemplo 7. Consideremos a série ∞∑ n=1 1 n . Da mesma maneira que no exemplo anterior, r = 1, ou seja, o critério é novamente inconclusivo. Apesar disto, sabemos que a série é divergente (série harmônica). 4. Critério da Raiz Este último critério é mais usado quando temos n−ésimas potências nos termos da série. Teorema 4 (Critério da Raiz). Sejam ∞∑ n=1 an uma série e r = lim n→∞ n √ |an|. Então (i) Se r < 1, a série ∞∑ n=1 an converge absolutamente. (ii) Se r > 1 (incluindo r = +∞), a série ∞∑ n=1 an diverge. Observação 4. No caso em que r = 1, o critério é inconclusivo. Neste caso, a série pode ser convergente ou divergente. 5 Exemplo 8. Consideremos ∞∑ n=1 ( 1 + 1 n )n2 . Temos |an| = ( 1 + 1 n )n2 . Calculando r: r = lim n→∞ n √( 1 + 1 n )n2 = lim n→∞ ( 1 + 1 n )n = e > 1 Pelo critério da raiz a série é divergente. Exemplo 9. Consideremos a série ∞∑ n=1 ( n2 + 1 3n2 + 5 )n . Temos |an| = ( n2 + 1 3n2 + 5 )n . Agora r = lim n→∞ n √( n2 + 1 3n2 + 5 )n = lim n→∞ n2 + 1 3n2 + 5 = 1 3 < 1 Pelo critério da raiz a série é absolutamente convergente. Temos já todos os critérios de convergência de séries que vamos usar. Suponhamos agora que temos uma série ∑∞ n=1 an e queremos saber se ela converge ou não. Qual dos critérios usar? Podemos seguir como guia os seguintes passos. (1) Calcule limn→∞ an. • Se limn→∞ an 6= 0, a série diverge pelo critério da divergência. • Se limn→∞ an = 0, siga em frente. (2) Se a série for da forma ∑∞ n=1Cλ n ou da forma ∑∞ n=1 1 np , então já sabemos em quais casos converge e em quais diverge (a primeira converge se |λ| < 1 e a segunda se p > 1). Observe que podemos precisar de algumas manipulações algébricas para “ver” a série escrita nestas formas. (3) Se an ≥ 0, pense qual é o comportamento de an quando n → ∞. Especificamente, determine qual termo domina o comportamento do numerador e qual termo domina o comportamento do denominador de an. Seja bn definido como o quociente destes termos dominantes. A série ∑ bn é uma série geométrica, uma série com termos 1 np ou alguma série da qual sabe se converge ou diverge? Caso a resposta seja sim, tente usar algum dos critérios de comparação entre ∑ an e ∑ bn. (4) Se a série for da forma ∑∞ n=1(−1)n−1bn ou ∑∞ n=1(−1)nbn, com bn ≥ 0 tente o critério da série alternada. (5) Se os termos an são positivos e negativos, tente determinar a convergência de ∑ |an|. Se for convergente, a série inicial é convergente. (6) Se an tem fatoriais ou algum número elevado a n, tente usar o critério da razão. (7) Se cada fator de an está elevado à potência n, tente usar o critério da raiz. (8) Se an = f(n) para alguma função f e podemos calcular ∫∞ m f(x)dx para algum m, tente usar o critério da integral. 6