Equações diferenciais ordinárias, Notas de aula de Equações Diferenciais

Baixe Equações diferenciais ordinárias e outras Notas de aula em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ensino Superior do Seridó Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas Equações diferenciais ordinárias e algumas aplicações Danielle Dantas Nóbrega 2016 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ensino Superior do Seridó Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas Equações diferenciais ordinárias e algumas aplicações por Danielle Dantas Nóbrega sob orientação da Profa. Ma. Maria Jucimeire dos Santos e coorientação do Prof. Me. Ivanildo Freire Pereira Caicó-RN Junho de 2016 i Equações diferenciais ordinárias e algumas aplicações por Danielle Dantas Nóbrega Monogra…a apresentada à coordenação do curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ensino Superior do Seridó do Campus Caicó-RN, como requisito parcial para a obtenção do título de Graduação em Licenciatura em Matemática. Aprovada por: Profa. Ma. Maria Jucimeire dos Santos - UFRN (Orientadora) Prof. Me. Luis Gonzaga Vieira Filho - UFRN Prof. Gabriel de Araújo Ramalho - UFRN ii "O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo."(Roger Bacon). iii Agradecimentos Primeiramente agradeço a Deus, autor do meu destino, por todas as coisas boas e más que me aconteceram, pois foi por meio delas, que sucedeu minha formação pro…ssional e pessoal, foi uma jornada difícil, mas de muitas vitórias e superações. Agradeço a minha mãe Maria Lúcia Dantas Nóbrega pelo carinho, con…ança e por todas as suas orações, obrigada por está sempre ao meu lado. A meu pai Valdemar Nóbrega (in memoriam), tenho certeza que onde estiver está muito feliz por mais esta etapa que se conclui em minha vida. A minha querida sobrinha Marina Nóbrega Costa (in memoriam), foi tão curto o tempo conosco, no entanto tão intenso, obrigada por sua existência meu anjo. Aos meus irmãos Michelle e Marcelo e a meu cunhado Mácio, que sempre acreditaram que iria concretizar mais esta etapa da minha vida. Sou eternamente grata a todos os meus Professores, que contribuíram para o meu ensino e aprendizagem, que perdurarão por toda vida. Agradeço ao meu professor coorientador Me. Ivanildo Freire Pereira e à professora orientadora Ma. Maria Jucimeire dos Santos, por toda ajuda durante as orientações, serei sempre grata, pois graças a con…ança e incentivo consegui concluir este trabalho. Destaco também, minha gratidão aos professores: Dr. Francisco de Assis Bandeira e Dr. Deilson de Melo Tavares, a compreensão de vocês me …zeram prosseguir neste curso. Agradeço aos meus colegas universitários e principalmente aos amigos: Reginaldo, Jonas, Denise, Lidiane, Wagner e Renan, por estarem sempre presentes nos meus dias, tornando-os mais agradáveis. Agradeço a todos que diretamente ou indiretamente contribuíram para a minha formação acadêmica. iv Sumário 1 Introdução 1 2 Uma breve história das equações diferenciais 3 3 Equação Diferencial 7 3.1 Classi…cação pelo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Classi…cação pela ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Classi…cação pela linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.4 Solução de uma equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.5 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.6 Equações Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.6.1 Problema de valor inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.6.2 Método de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.7 Equações lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.7.1 Solução para equações lineares homogêneas com coe…cientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.7.2 Problema de valor inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.7.3 Redução de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.7.4 Equação característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7.5 Solução para equações lineares não-homogêneas com coe…cientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Aplicações de equações diferenciais ordinárias 27 4.1 Equações diferenciais lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . 27 4.1.1 Circuito elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1.2 Crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Aplicações de equações diferenciais lineares de segunda ordem . . . . . 32 vii 4.2.1 Sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.2 Circuitos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Aplicações de equações diferenciais ordinárias não-linear . . . . . . . . 39 4.3.1 Reação química . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.2 População . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 viii Capítulo 1 Introdução O Estudo das equações diferenciais começou no século XVII com o estudo de cálculo por Newton e Leibniz, sabe-se ainda que as primeiras aplicações foram nas ciências físicas, posteriormente em outras áreas, no entanto, mesmo após passar-se tanto tempo as equações diferenciais, continuam com problemas importantes e atrativos, a serem solucionados, essa é uma área de conhecimento que está profundamente enleado ao avanço geral da matemática. O objetivo deste trabalho é mostrar ao leitor que as equações diferenciais ordinárias não lineares e ordinárias lineares, sejam de primeira ou segunda ordem, podem ser aplicadas a outras ciências, e quem sabe assim despertar no leitor a curiosidade de aprofundar seus conhecimentos nessa área da matemática. O interesse pela matemática aplicada surgiu logo no início do curso. Mais tarde ao cursar a disciplina equações diferenciais ordinárias houve uma a…nidade com o assunto, que despertou bastante interesse, tendo em vista que envolve outras ciências. Escolhi especi…camente, investigar sobre equações diferenciais ordinárias pela curiosidade e com o intuito de aprofundar os meus conhecimentos. É satisfatório o uso do Cálculo para resolução das equações, consolidando os conhecimentos adquiridos nas diversas disciplinas de cálculo e entendendo a sua importância, que muitas vezes não …ca claro durante o curso. O presente trabalho apresenta-se da seguinte forma: 1. Introdução, 2. Uma breve história das equações diferenciais, 3. De…nições, classi…cações e métodos de soluções que envolvem equações diferenciais lineares, 4. Aplicações de equações diferenciais ordinárias, lineares homogêneas, lineares não-homogêneas, não-lineares, sendo de primeira e segunda ordem. A pesquisa caracterizou-se por um levantamento 1 última equação na qual f(x; y) é um polinômio em x e y, usando séries1 in…nitas. Leibniz basicamente autodidata em matemática chegou aos resultados fundamentais do cálculo independentemente, pouco depois de Newton, no entanto, foi ele o primeiro a publicar seus estudos, no ano 1684. Diferente de Newton que considerava variáveis mudando com o tempo, Leibniz estudava as variáveis x e y variando sobre sequências de valores in…nitamente próximos, ele introduziu a notação dx e dy como as diferenças entre os valores sucessivos dessas sequências, ele tinha consciência da importância de uma boa notação e por isso estabeleceu a notação de derivada dy dx , assim como o sinal de integral. Em 1691 descobriu o método de separação de variáveis e desenvolveu o método de redução de equações homogêneas em equações separáveis, no ano de 1694, o procedimento para resoluções de equações lineares de primeira ordem. Leibniz mantinha contato por cartas com outros matemáticos, e foi por esse meio de comunicação, que foram resolvidos muitos problemas em equações diferenciais, em especial com os irmãos Jakob Bernoulli (1654 - 1705) e Johann Bernoulli (1667 - 1748) os quais contribuíram signi…cativamente com o desenvolvimento de métodos para resolução de equações diferenciais e expansão no campo de suas aplicações. Segundo Teixeira (2012, p 16) Jakob Bernoulli, em 1690 resolveu a equação diferencial y 0 = a 2 p (a=(b2ya3)) , e no mesmo artigo, usou pela primeira vez a palavra “integral” no sentido moderno. Johann Bernoulli resolveu a equação dy dx = y ax e o problema da catenária, uma curva de equação transcendente a qual era subentendida a partir do modo como a curva era construída e que satisfaz a equação diferencial y 00 = w H 2 p (1 + (y0)2). O estudo da catenária encontra-se mais detalhado na dissertação de Talavera (2008). Chinchio relata que o avanço do cálculo proporcionou a resolução de inúmeros problemas, os quais puderam ser modelados matematicamente na forma de equações diferenciais e vários desses problemas como por exemplo a resolução da braquistócrona, um problema que se destinava a determinar a forma de uma curva ligando dois 1Seja (an)nN uma sequência de números reais, então: a soma in…nita a1+ a2+ a3+ :::+ an+ ::: =P1 n=1 an é chamada série, onde cada número ai é um termo da série, onde an é o termo genérico da série. Para de…nir a soma de in…nitas parcelas, consideram-se as somas parciais. S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 ... Sn = a1 + a2 + a3 + :::+ an1 + an: 4 pontos distintos sobre um plano vertical, foram resolvidos explicitamente por grandes matemáticos como os da família Bernoulli e Leonhard Euler, mas com o passar do tempo eles perceberam que não seria possível obter procedimentos gerais de resolução explícita para as equações diferenciais, e no século XVII, pesquisadores desta ciência começaram a procurar outros métodos de estudo das equações diferenciais que não a sua solução explícita. Nessa época teve grande destaque Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) que demonstrou a existência de soluções para uma grande parte das equações diferenciais. Daniel Bernoulli, …lho de Johann, destacava um interesse maior nas equações diferenciais e suas aplicações, é o seu nome que está associado à equação de Bernoulli em Mecânica dos Fluídos, foi ele o primeiro a estudar as funções que hoje são conhecidas como funções de Bessel. Leonhard Euler (1707 - 1783), o maior matemático do século XVIII, aluno de Johann na universidade e colega de Daniel, foi o matemático mais produtivo, chegando suas obras completas a acumular mais de 70 volumes grossos, e seus interesses incluíam todas as áreas da matemática e muitos campos de aplicação, matemático este que mesmo após ter perdido a visão continuou seus trabalhos em ritmo acelerado até o dia de sua morte. Entre o ano de 1734 e 1735, Euler identi…cou a condição para que equações diferenciais de primeira ordem sejam exatas; no ano de 1739 desenvolveu o método de variação de parâmetros e em 1743 demonstrou a teoria de fatores integrantes e no mesmo artigo encontrou a solução geral de equações lineares homogêneas com coe…cientes constantes. Estendeu esse último resultado para equações não homogêneas de 1750 - 1751. Frequentemente usou a série de potências para solucionar equações diferenciais, incluiu o uso de aproximações numéricas, o desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas para algumas equações. Nas equações diferenciais parciais, equações que contém mais de uma variável independente, fez importantes contribuições. Foi ele quem deu o primeiro tratamento sistemático do cálculo de variações e de acordo com Teixeira (2012, p 16) trabalhou com séries de Fourier nas quais foram encontradas as funções de Bessel em seus estudos sobre vibrações de uma membrana circular esticada. Antes do nascimento de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830), Friedrich Wilhelm Bessel (1784 - 1846) e Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), Euler já havia aplicado transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais. Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) veio a suceder Euler na cadeira de Matemática na Academia de Berlim em 1766, e antes disso, no ano de 1762 até 5 1765, contribuiu com as relações diferenciais elementares, mostrando que a solução geral de uma equação linear homogênea de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes. Destacou-se também por seu trabalho fundamental em equações diferenciais parciais e cálculo de variações. Pierre-Simon de Laplace (1749 - 1827) eleito para Academia de Ciências em 1773, teve destaque no campo da mecânica celeste. A equação de Laplace é imprescindível em muitos ramos da física matemática, ele a estudou extensivamente em conexão com a atração gravitacional. Seu método “A transformada de Laplace” permite solucionar uma equação diferencial ordinária de coe…cientes constantes por meio da resolução de uma equação algébrica. No …nal do século XVIII, já haviam sido descoberto diversos métodos elementares para solucionar equações diferenciais ordinárias. Segundo Teixeira (2012, p 17) já no começo do século XIX, Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) e Augustin- Louis Cauchy (1789 - 1857) contribuíram no desenvolvimento das teorias e conceitos de funções de variáveis complexas. Gauss percebeu que a teoria das funções de uma variável complexa era a chave para alcançar muito dos resultados necessários em equações diferenciais aplicadas. Cauchy desenvolveu o método da equação característica o qual foi uma importante ferramenta na análise e solução de muitas equações diferenciais parciais. Já no …nal do século XIX iniciou-se a investigação de questões teóricas de existência e unicidade. No ano de 1876, Rudolf Lipschitz (1832 - 1903) desenvolveu o teorema de existência para soluções de equações diferenciais de primeira ordem. O desenvolvimento das soluções de determinadas equações diferenciais ainda continua como objeto de pesquisa, com problemas atrativos e importantes ainda não resolvidos. Para muitos matemáticos, conhecer seus resultados básicos e aplicações de equações diferenciais ordinárias é de extrema importância para quem pretende prosseguir seus estudos nessa área da Matemática. 6 3.3 Classi…cação pela linearidade As equações diferenciais classi…cam-se em linear e não-linear. De…nição 3.3.1: Equação Linear são equações cujos lados, direito e esquerdo, são funções lineares, sendo a potência de cada termo que envolve y de grau 1, em relação à incógnita e suas derivadas. É uma equação da forma an(x) dny dxn + an1(x) dn1y dxn1 +


+ a1(x) dy dx + a0(x)y = g(x); (3.1) e possui as duas propriedades:  A variavel dependente y e todas as suas derivadas s~ao do primeiro grau;  Cada coeficiente depende apenas de uma variavel independente x: Ilustraremos os seguintes exemplos, com a …nalidade de esclarecer a de…nição anterior. Exemplo 1: A equação x3y(4)x2y00 +4xy0 3y = 0, está escrita da mesma forma que a equação (3.1), todos os termos envolvendo y tem potência 1 e seus coe…cientes estão em função apenas de x, que é a variável independente. Com isso, podemos a…rmar que é uma equação linear. Exemplo 2: Diferentemente do exemplo 1, a equação x2dy+(yxyxex) dx = 0 não está explicitamente na forma da (3.1). No entanto se dividirmos por dx, obtemos: x2 dy dx + y xy xex = 0; reorganizando a equação, onde colocamos y em evidência, e adicionando xex a ambos os lados da igualdade. x2 dy dx + (1 x)y = xex; obtemos uma equação da forma de…nida. Assim, podemos a…rmar que a equação x2dy + (y xy xex)dx = 0 é linear, onde a1(x) = x2, a0(x) = (1 x) e g(x) = xex: De…nição 3.3.2: Equação não-linear são as equações que não seguem as propriedades das equações lineares. Os exemplos que seguem, explicam um pouco mais a de…nição anterior. Exemplo 1: Note que a equação x d 3y dx3 2 dy dx
4 +y = 0, possui uma derivada elevada a quarta potência, descumprindo a primeira propriedade da de…nição de equação linear. Caracterizando assim uma equação não linear. 9 Exemplo 2: Observe que a equação y dy dx +2y = 1+x2, tem um de seus coe…cientes em função de y (variável dependente), onde só deveria depender apenas de x (variável independente). Com isso, não satisfaz a segunda propriedade da de…nição, a qual cada coe…ciente depende apenas de uma variável dependente x. Portanto, essa equação é não-linear. 3.4 Solução de uma equação diferencial De…nição 3.4.1: Qualquer função f de…nida em algum intervalo I, que quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo. Ou seja, uma solução para a equação diferencial F h x; y; y 0 ; :::; yn(x) i = 0, é uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação F h x; f(x); f 0 (x); :::; fn(x) i = 0, para todo x pertencente ao intervalo. A resolução do exemplo a seguir tem como …nalidade esclarecer resoluções das equações diferenciais. Exemplo 1: Dada a equação y0 = 25 + y2, devemos veri…car se y = 5 tg 5x é uma solução para essa EDO. Como y = 5 tg 5x então y 0 = 25 sec2 5x. Substituindo y e y 0 na equação, temos: 25 sec2 5x 25 (5 tg 5x)2 = 0 pelas propriedades das identidades fundamentais da trigonometria, temos que 1+ tg2t = sec2 t) 1+ tg25x = sec2 5x; logo, 25 1 + tg25x
25 (5 tg 5x)2 = 0; usando distributividade resulta em: 25 + 25 tg25x 25 25 tg25x = 0: 10 Portanto, y = 5 tg 5x é solução da equação y 0 = 25 + y2: 3.5 Equações Exatas Uma expressão diferencial M(x; y)dx+N(x; y)dy é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total1 de alguma função f(x; y). Uma equação diferencial da forma M(x; y)dx+N(x; y)dy = 0 é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Teorema 3.5.1 (Critério para uma Diferencial Exata) Sejam M(x; y) e N(x; y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R de…nida por a < x < b; c < y < d. Então, uma condição necessária e su…ciente para que M(x; y)dx+N(x; y)dy seja uma diferencial exata é @M @y = @N @x : Algumas vezes, uma equação não exata pode ser convertida em uma equação exata multiplicando-a por uma função  chamada fator de integração, que resulta na equação M(x; y)dx+ N(x; y)dy = 0; a solução pode não ser equivalente à original, pois a multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de solução. 1Diferencial total, como o movimento dos pontos (x0;y0) para (x0+dx; y0+dy) próximo, a variação resultante df = fx(x0;y0)dx+ fy(x0;y0)dy na linearização de f . 11 Encontrado o (x) = x, multiplicamos a equação (3.5) por ele x  dy dx + y x  = x  ex x  ) xdy dx + y = ex reescrevendo a equação, obtemos d dx [x:y] = ex integrando ambos os lados Z d dx [x:y]dx = Z exdx obtemos assim, x:y = ex + c) y = e x x + c x ; onde c, é a constante de integração. 3.6.1 Problema de valor inicial (PVI) O problema de valor inicial, consiste na resolução de equações diferenciais de primeira ordem, que pode ser de…nida geometricamente em algum intervalo I, tal que o grá…co passe por um ponto (x0;y0) determinando que a equação dy dx = f(x; y) (3.6) está sujeita a uma condição inicial y(x0) = y0, onde: x0 um número no intervalo I, e y0 número real arbitrário Teorema 3.6.1 (Existência de uma única solução) Seja R uma região retangular no plano xy de…nida por a  x  b, c  y  d, que contém o ponto (x0;y0) em seu interior. Se f(x; y) e @f @y são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em x0 e uma única função y(x) de…nida em I que satisfaz o problema de valor inicial. Para entendermos o problema de valor inicial (PVI), segue o exemplo. Exemplo 1: Resolva o problema de valor inicial (PVI) dy dx + y = 0; y(0) = 1 (3.7) 14 Solução: Percebe-se que a equação já está na forma de equação de primeira ordem (3.2), sendo assim, temos P (x) = 1, então vamos calcular o fator integração (x) (x) = e Z 1dx ) (x) = ex vamos multiplicar a equação (3.7) por (x) = ex, ex  dy dx + y  = ex:0 obtemos, ex dy dx + exy = 0) d dx [ex:y] = 0: Integrando ambos os lados Z d dx [ex:y]dx = Z 0dx resulta que ex:y = c) y = c ex ; ) y = cex; (3.8) assim, para encontrar o valor da constante c, tendo como condição inicial y(0) = 1; vamos substituir em (3.8) y = cex ) 1 = ce0 ) c = 1 Logo, como c = 1, substituindo na equação (3.8), temos que a solução é dada por y = ex: Para demonstrar que existem outras maneiras de resolver uma equação linear de primeira ordem que esteja sujeita a uma condição inicial, y(x0) = y0; vamos utilizar o Método de Picard. 15 3.6.2 Método de Picard Considere o problema de valor inicial (3.6) tal que, y(x0) = y0, onde f é uma função contínua em uma região que contém o ponto (x0; y0). Multiplicando a equação do PVI, por dx dx  dy dx  = dx [f(x; y)] ) dy = f(x; y)dx integrando ambos os lados da equação, e tomando x = t e y = y(t) y(x) = c+ Z x x0 f(t; y(t))dt como y(x0) = y0, temos y0 = y(x0) = c+ Z x0 x0 f(t; y(t))dt = c: Se y0 = c, temos que y(x) = y0 + Z x x0 f(t; y(t))dt: (3.9) Substituindo y(t) por y0(t), na equação (3.9) obtemos outra função mais próxima da solução, onde y1(x) = y0 + Z x x0 f(t; y0(t))dt; da mesma forma se substituir y(t) por y1(t), na equação (3.9) temos, y2(x) = y0 + Z x x0 f(t; y1(t))dt Assim, segue uma sequência y1(x); y2(x); y3(x); ::: cujo n-ésimo termo é de…nido por yn(x) = y0 + Z x x0 f(t; yn1(t))dt; n = 1; 2; 3; ::: o uso repetitivo da fórmula da equação (3.9) é conhecido como método iterativo de Picard. Exemplo 2: Segue como exemplo a resolução da equação(3.7), que foi resolvido 16 3.7 Equações lineares de segunda ordem As equações lineares de segunda ordem são de grande importância no estudo das equações diferenciais por duas razões: por ter uma estrutura teórica rica, implícita a diversos métodos sistemáticos de resolução e por elas serem essenciais para qualquer investigação séria das áreas clássicas da física matemática. É da forma d2y dt2 = f  t; y; dy dt  ; onde: fuma função dada tuma variável independente yuma variável dependente Para a equação acima ser linear a função f deve ter a forma f  t; y; dy dt  = g (t) p (t) dy dt q (t) y: Assim, se f é linear em y 0 e y 00 na equação acima, temos que g, p e q são funções especi…cadas da variável independente t, porém não depende de y, logo, podemos reescrever a equação da seguinte forma: d2y dt2 = g (t) p (t) dy dt q (t) y ) d 2y dt2 + p (t) dy dt + q (t) y = g (t) ou y 00 + p (t) y 0 + q (t) y = g (t) : (3.12) 3.7.1 Solução para equações lineares homogêneas com coe…cientes constantes Seja a equação de segunda ordem da forma d2y dt2 + p (t) dy dt + q (t) y = g (t) : 19 Se g(t) = 0, a equação é de segunda ordem linear homogênea, no entanto, se g(t) 6= 0, temos uma equação de segunda ordem linear não-homogênea. Teorema 3.7.1 (Princípio da superposição) Se y1 e y2 são soluções da equação homogênea y 00 + p (t) y 0 + q (t) y = 0, então a combinação linear y = c1y1 + c2y2 é também solução desta equação, quaisquer que sejam c1; c2 números reais. O Teorema está demonstrado em Chinchio (2012, p 46), ele nos garante que a soma de duas soluções da equação diferencial linear homogênea é também uma solução. 3.7.2 Problema de valor inicial (PVI) É um problema que consiste na resolução de equações de ordem dois ou maior, no entanto, nesse trabalho vamos limitar até equações de segunda ordem, e a variável dependente y ou suas derivadas, especi…cadas em pontos diferentes. Assim, temos: a2(t) d2y dt2 + a1 (t) dy dt + a0 (t) y = g (t) ; y(a) = y0; y 0(b) = y1 (3.13) um problema de valor inicial, onde y(a) = y0; y0(b) = y1, são as condições de contorno ou de fronteiras, cuja solução é uma função que satisfaça a equação diferencial em um intervalo I; contendo a e b; e seu grá…co passa nos pontos (a; y0) e (b; y1). Exemplo 1: Dada a equação y00 4y = 12x; (3.14) veri…que que y (0) = 4; y0(0) = 1; são condições iniciais para que y = 3e2x + e2x 3x seja solução para o PVI. Solução: Dado y = 3e2x + e2x 3x ) y0 = 6e2x 2e2x 3 ) y" = 12e2x + 4e2x: Substituindo y e y" na equação (3.14), 12e2x + 4e2x 4  3e2x + e2x 3x  = 12x; 20 agora basta veri…car se as condições iniciais são válidas. Substituindo x = 0 y = 3e2x + e2x 3x temos 3e2:0 + e2:0 3:0 = 4; de fato, y(0) = 4: Substituindo x = 0, em y0 : y0 = 6e2x 2e2x 3 ) 6e2:0 2e2:0 3 = 1 con…rmamos que y0(0) = 1: Dessa maneira, concluímos que a função y = 3e2x + e2x 3x, é uma solução do problema de valor inicial. Dependência linear e independência linear Um conjunto de funções f1(x); f2(x); :::; fn(x) é linearmente dependente em um intervalo I se existem constantes c1; c2; :::; cn não todas nulas, tais que c1f1(x)+ c2f2(x) + ::: + cnfn(x) = 0 para todo x no intervalo, assim, pelo menos uma função pode ser expressa como uma combinação linear das outras funções, caso contrário o conjunto de funções é linearmente independente. Teorema 3.7.2 (Critério para independência linear de funções) Suponha que f1(x); f2(x); :::; fn(x) sejam diferenciáveis pelo menos n 1 vezes, se o determinante f1 f2


fn f 01 f 0 2


f 0n ... ... ... ... f (n1) 1 f (n1) 2


f (n1) n for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I , então as funções f1(x); f2(x); :::; fn(x) serão linearmente independentes no intervalo. O determinante desse teorema é chamado de Wronskiano e denotado por W(f1(x); f2(x); :::; fn(x)). Esse Teorema está demonstrado no livro de Zill e Cullen. 21 qualquer que seja a solução, ela será uma função que se anula com suas derivadas. Portanto, temos que é uma função aproximada de suas derivadas. Dessa maneira, se tentarmos uma solução da forma y = emt; onde m é uma constante. Dado y = emt ) y0 = m:emt ) y" = m2:emt: Substituindo y; y0 e y" na equação (3.17), temos a m2:emt
+ b m:emt
+ c:emt = 0 ) am2 emt
+ bm emt
+ c emt
= 0 ) am2 + bm+ c
emt = 0; como emt nunca se anula para valores reais de t, para satisfazer a equação diferencial temos que escolher um m de tal forma que ele seja raiz da equação quadrática am2 + bm+ c = 0; (3.18) chamada de equação característica da equação diferencial. Para esta equação diferencial (3.18), consideramos três casos: quando as soluções das equações correspondem a raízes reais distintas, raízes reais iguais e raízes complexas conjugadas. 1o Caso: raízes reais distintas Supondo que a equação característica (3.18) possua duas raízes diferentes m1 e m2, encontramos duas soluções: y1 = e m1x e y2 = e m2x: O conjunto fundamental de soluções é qualquer conjunto y1; y2; :::; yn de n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3.1) em um intervalo I. Assim temos como solução geral y = c1e m1x + c2e m2x: 2o Caso: raízes reais iguais Dada a equação característica (3.18), temos m1 = m2, logo obtemos uma única 24 solução exponencial, e a solução geral y = c1e m1x + c2xe m1x: 3o Caso: raízes complexas conjugadas Sendo m1 e m2 raízes complexas podemos de…nir m1 = + i e m2 = i , onde e > 0 são reais e i2 = 1, formalmente não há diferença entre este caso e o 1o Caso, y = c1e ( +i )x + c2e ( i )x; como é preferível trabalhar com funções reais em vez de exponenciais complexas, usando a fórmula de Euler, ei = cos  + i sen, chegamos a solução geral y = e x(c1 cos x+ c2 sen x); (3.19) este caso, esta mais detalhado em Zill e Cullen. 3.7.5 Solução para equações lineares não-homogêneas com coe…cientes indeterminados Uma equação de segunda ordem d2y dx2 + p (x) dy dx + q (x) y = g (x) é classi…cada como uma equação linear não-homogênea, quando g(x) 6= 0. Teorema 3.7.3 (Princípio da superposição - Equações não-homogêneas) Sejam yp1; yp2; :::; ypk; k soluções particulares para a equação diferencial linear de n-ésima ordem (3.1) em um intervalo I, correspondendo a k funções distintas g1; g2; :::; gk: Isto é, suponhamos que yp1 seja uma solução particular para a equação diferencial correspondente an(x)y n + an1(x)y n1 +


+ a1(x)y0 + a0(x)y = gi(x) em que i = 1; 2; :::; k. Então, yp = yp1(x) + yp2(x) + :::+ ypk(x); 25 é uma solução particular para an(x)y n + an1(x)y n1 +


+ a1(x)y0 + a0(x)y = g1(x) + g2(x) + :::+ gk(x): Para solucionar uma equação diferencial linear não homogênea, devemos:  encontra-se uma função complementar yc, resolvendo a equação homogênea associada;  encontra-se qualquer solução particular yp da equação não homogênea. Portanto a equação geral para uma equação não-homogênea em um intervalo é y = yc + yp Ométodo dos coe…cientes indeterminados, tem por base o princípio da superposição, o qual limita-se, a equações lineares não homogênea com coe…cientes constantes, onde g(x) é uma combinação linear de funções do tipo: k(constante), xn; xneax; xneaxsen x e xneax cos x; onde n é um número inteiro não negativo e e são números reais. 26 Usando a condição inicial onde i(0) = 0, na equação (4.3), 0 = 3 5 + ce100:0 ) c = 3 5 : Portanto, temos que i = 3 5 3 5 e100t: Assim, passado um longo tempo a corrente é igual a 3 5 ampére: 4.1.2 Crescimento e decrescimento Problema 2: (Zill e Cullen, p 113 ) A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa-se que há 400 bactérias presentes. Após 10 horas, existem 2000 bactérias presentes. Qual era o número inicial de bactérias? Dados: ppopulação de bactérias t tempo p(t)população em um instante t p(3) = 400 bactérias p(10) = 2000 bactérias p(0) : p0 (população inicial) Substituindo os valores do problema na equação de primeira ordem (3.2), dp dt = kp(t); onde k é a constante de proporcionalidade. Resolvendo o PVI, quando essa população ainda está no instante p(0) = p0 dp dt kp = 0 (4.4) calculando o fator integração (t), quando p(t) = k: (t) = e R kdt ) (t) = ekt: Calculado o fator integração, vamos encontrar a equação de crescimento, multiplicando 29 a equação (4.4), pelo fator integração (t) = ekt, ekt  dp dt kp  = ekt:0 pela distributividade, obtemos ekt dp dt ektkp = 0) d dt  ekt:p  = 0 integrando a equação, Z d dt  ekt:p  dt = Z 0dt ) ekt:p = c; logo, a equação que satisfaz o crescimento da população é p = cekt: (4.5) Considerando a população inicial, onde p(0) = p0, substituindo na equação (4.5) p0 = ce k:0 ) p0 = c: Como vimos no momento que a população se inicia, a nossa constante de proporcionalidade é igual a população inicial, logo, p0 = c. Substituindo na equação de crescimento populacional (4.5), temos que a equação que satisfaz o crescimento da populacão é p = p0e kt: (4.6) Sabemos que p(3) = 400 bactérias, assim: 400 = p0e k:3; portanto, a população inicial é dada por: p0 = 400e 3k: (4.7) Quando se passar 10 horas e a população atingir 2000 bactérias, ou seja, p(10) = 2000; usando a equação (4.6), temos 2000 = p0e k:10; 30 logo, p0 = 2000e 10k: (4.8) Igualando as equações (4.7) e (4.8): 400e3k = 2000e10k dividindo por 400e10k, resulta em: e7k = 5; usando o logaritmo, encontramos 7k = ln 5) k = ln 5 7 ' 0; 23; se k é aproximadamente igual a 0; 23:substituindo esse valor na equação (4.7) ou (4.8), encontramos o valor da população inicial. Usando a equação (4.7), obtemos, p0 = 400e 3:0;23 ) p0 = 400e0;69; sendo e0;69 aproximadamente igual 0; 50;temos p0 = 400:0; 50) p0 ' 200: Portanto, a população inicial de bactérias era de aproximadamente 200 bactérias. 31 Problema 1: (Teixeira, p 71) Um corpo de massa 100 g estica uma mola 10 cm. O corpo está preso a um amortecedor viscoso. Considere a aceleração da gravidade como 103cm=s2 e suponha que o amortecedor exerce uma força de 104dinas = 104g
cm=s2 quando a velocidade é 10 cm=s. Se o sistema é puxado para baixo 2 cm e depois solto, determine a posição u em função do tempo t. Dados: m = 100 = 102 gramas L = 10 cm g = 103cm=s2 Fd = 104g:cm=s2 u (0) = 2 cm=s u0 (t) = 10 cm=s Para determinar a posição u em função do tempo t; vamos primeiramente encontrar a constante da mola e a constante de amortecimento. Se, m:g = k:L) k = m:g L dessa maneira temos que k = 102:103 10 = 104: Logo, a constante da mola k é igual a 104: Para encontrar a constante de amortecimento Fd(t) = u0(t)) = Fd(t) u0(t) obtemos, = 10 4 10 = 103: Podemos observar que no problema nada foi dito a respeito de alguma força externa agindo sobre o corpo, então vamos supor que nenhuma força agiu sobre o corpo, assim F (t) = 0: Então, substituindo os dados do problema na equação (4.11), temos 102u"(t) + 103u0(t) + 104u(t) = 0 dividindo a equação por 102; obtemos u"(t) + 10u0(t) + 102u(t) = 0: 34 que resulta em duas raízes complexas: m1 = 5 + 5i 2 p 3 e m2 = 5 5i 2 p 3; onde = 5 e = 5 2 p 3; logo a solução geral segue de acordo com o 3o caso da equação característica substituindo na equação (3.19), ou seja, u (t) = e5t(c1 cos 5 2 p 3t+ c2 sen5 2 p 3t) u (t) = c1e 5t cos 5 2 p 3t+ c2e 5t sen5 2 p 3t: (4.12) Derivando a equação (4.12), temos u0(t) = 5c1e5t cos 5 2 p 3t5 2 p 3c1e 5t sen5 2 p 3t5c2e5t sen5 2 p 3t+5 2 p 3c2e 5t cos 5 2 p 3t: (4.13) O problema deu ainda que a posição inicial u(0) = 2; substituindo na equação (4.12), 2 = c1e 5:0 cos 5 2 p 3:0 + c2e 5:0 sen5 2 p 3:0 ) c1 = 2: Como a mola foi solta, então não existe velocidade inicial, logo u0(0) = 0. Substituindo na equação (4.13) 0 = 5c1e5:0 cos 5 2 p 3:05 2 p 3c1e 5:0 sen5 2 p 3:05c2e5:0 sen5 2 p 3:0+5 2 p 3c2e 5:0 cos 5 2 p 3:0 ) c2 = 5c1 5 2 p 3 = 5 2 p 3c1 15 = 2 p 3c1 3 como c1 = 2; temos c2 = 2 2 p 3 3 : Portanto, ao substituir os valores encontrados, c1 e c2 na equação (4.12), obtemos como posição u em função do tempo: u (t) = 2e5t cos 5 2 p 3t+ 2 2 p 3 3 e5t sen5 2 p 3t: 35 4.2.2 Circuitos elétricos Figura 3.2.2: O circuito elétrico FONTE: Boyce (2006) Para o próximo problema, vamos considerar um circuito fechado, que é a soma das quedas de tensão (Ri) em uma resistência, a uma bobina de indutância Ldi dt
e em um condensador de capacitância C é igual a força eletromotriz E. Considera-se R;L e C como constantes e que a corrente i e a carga q estão ligadas pela relação i = dq dt . Dessa maneira, temos que a equação diferencial de um circuito elétrico é L di dt +Ri+ q C = E(t); (4.14) onde: Lé a indutância (henry) Ldi dt bobina de indutância Ré a resistência (ohms) ié a corrente (ampére) Riqueda de tensão qcarga (coulombs) Cé a capacitância (farads) E é a força eletromotriz ou fem (volt) dado i = dq dt ; temos que a derivada de i di dt = d2q dt2 ; (4.15) substituindo (4.15) em (4.14), temos L d2q dt2 +R dq dt + q C = E(t): (4.16) 36 4.3 Aplicações de equações diferenciais ordinárias não-linear 4.3.1 Reação química Problema 1: (Zill e Cullen, p 129) Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C. A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C. Inicialmente, há 40 gramas de A e 50 gramas de B, e para cada grama de B, 2 gramas de A são usados. É observado que 10 gramas de C são formados em 5 minutos. Quanto é formado em 20 minutos? Qual é a quantidade limite de C após um longo período de tempo? Qual é a quantidade remanescente de A e B depois de um longo período de tempo? Dados: A = 40 gramas. B = 50 gramas. A = 2B, pois para cada grama de B, 2 de A são usados. X(t) : é a quantidade do composto C no instante t. X(0) = 0: X(5) = 10 gramas. X(20) : é a quantidade do composto produzidos em 20 minutos. limt!1X(t) : é a quantidade do composto produzidos quando o t tende ao in…nito. A e B : quantidades remanescente. Se A+B = X; (4.21) e para cada grama de B, 2 gramas de A são usados, temos que A = 2B; então substituindo na equação (4.21) temos, 2B +B = X ) B = X 3 : Portanto, X 3 de B são convertidos no composto C. Com isso, A = 2B ) A = 2X 3 : 39 Dessa maneira, as quantidades remanescentes de A e B, são A =  40 2X 3  e B =  50 X 3  Logo, dX dt = k1  40 2X 3  50 X 3  ; isto é, dX dt = k1  120 2X 3  150X 3  ) dX dt = k1 2 3 1 3 (60X) (150X) : Tomando k = k1 23 1 3 ; a derivada anterior resulta em: dX dt = k (60X) (150X) : Multiplicando a equação por dt (60X)(150X) ; obtemos: 1 (60X) (150X)dx = kdt: Integrando a equação, Z 1 (60X) (150X)dx = Z kdt: (4.22) Para resolver a integral (4.22), usaremos o método das frações parciais: A (60X) + B (150X) = A(150X)+B(60X) (60X)(150X) : Dessa maneira, 150A+ 60B = 1 AB = 0) B = A implica que 150A 60A = 1) A = 1 90 como B = A; então B = 1 90 : Logo, Z A (60X)dx+ Z B (150X)dx = Z kdt 40 ) Z 1 90 (60X)dx+ Z 1 90 (150X)dx = Z kdt: calculando as integrais, obtemos: 1 90 j60Xj+ 1 90 j150Xj = kt+ c1; multiplicando a equação por 90, j60Xj+ j150Xj = 90kt+ 90c1 aplicando a propriedade logarítmica ln 150X60X  = 90kt+ 90c1; usando exponencial 150X 60X = e 90kt:e90c1 tome c = e90c1 ; logo 150X 60X = Ce 90kt: (4.23) Como X(0) = 0, resulta em: 150 0 60 0 = Ce k:0 ) C = 5 2 : Substituindo C = 5 2 , na equação (4.23) 150X 60X = 5 2 e90kt (4.24) usando a equação (4.24), com X(5) = 10, vamos encontrar a constante arbitrária k 150 10 60 10 = 5 2 e90k:5 ) 140 50 = 5 2 e90k:5: Multiplicando pelo inverso multiplicativo de 5 2 ; e90k:5 = 280 250 ) e90k:5 = 28 25 41 onde a e b considera-se constantes positivas. Vimos que a equação de uma população foi descrita no problema de crescimento e decrescimento como a equação d(P ) d(t) = kp; k > 0; onde P (t) apresenta um crescimento exponencial não limitado, no entanto, essa equação diverge substancialmente do previsto. Assim para resolver o problema a seguir que está relacionado com transmissão do vírus da gripe a uma população de alunos, vamos utilizar a equação logística (4.27). Para solucionar essa equação (4.27) usa-se o método de separação de variável. Seja dP dt = P (a bP ) por separação de variáveis, tem-se dP P (a bP ) = dt integrando Z dP P (a bP )dP = Z dt Usando o método das frações parciais: 1 P (abP ) = C P + D abP ) 1 P (abP ) = C(abP )+D:P P (abP ) : Com isso, a:C = 1) C = 1 a ; bC +D = 0) D = b a Obtemos, Z  C P + D a bP  dP = Z dt) Z 1 a P + b a a bP ! dP = Z dt isolando a constante, 1 a Z 1 P dP + b a Z 1 a bP dP = Z dt; 44 integrando, resulta em 1 a ln jP j+ b a  1 b  ln ja bP j = at+ ac: Usando a propriedade logarítmica, ln Pa bP = at+ ac usando exponencial P a bP = e at:eac; tomando k = ec P = (a bP ) keat = akeat bPkeat ) 1 + bkeat
:P = akeat ) P = ake at (1 + bkeat) = akeat eat (eat + bk) = ak (eat + bk) Logo, a quantidade da população é dada pela seguinte função: P = ak (eat + bk) : (4.28) No entanto, se o problema for de condição inicial P (0) = P0; tal que P0 6= ab : Substituindo na equação (4.28), P0 = ak (ea:o + bk) ) P0 = ak (1 + bk) ; multiplicando (??) por (1 + bk) ; P0 (1 + bk) = ak ) P0 + P0bk = ak temos assim que P0 = (a P0b) k logo, k = P0 (a P0b) : 45 Substituindo o valor de k na equação (4.28), P = a  P0 (aP0b)  h eat + b  P0 (aP0b) i = aP0(aP0b) bP0+(abP0)eat abP0 : Portanto, dado uma condição inicial, a equação da população é da forma: P (t) = aP0 bP0 + (a bP0)eat : (4.29) Problema 2 (Zill e Cullen, p 121): Suponha que um estudante infectado com um vírus da gripe retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontra 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade x de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após 6 dias, se ainda é observado que depois de 4 dias x(4) = 50: Dados: P :quantidade de alunos x(t): a quantidade de alunos em um instante t x(0) = 1 x = 1000 alunos x(6): quantidade de alunos infectados em 6 dias x(4) = 50 alunos infectados De acordo com a equação logística, vamos supor que ninguém se ausentou do campus. Assim podemos desenvolver a seguinte equação dx dt = kx(1000 x)) dx dt = x(1000k kx): Dessa maneira sendo a equação logística (4.27), temos que a = 1000k e b = k, logo no momento que x(0) = 1, a equação (4.29), será x(t) = 1000k : 1 k:1 + (1000k k:1)e1000kt = 1000k k + (1000k k)e1000kt ) x(t) =  1000k k(1 + 999e1000kt)  : 46