Baixe Equações Diferenciais Ordinárias e outras Exercícios em PDF para Cálculo Avançado, somente na Docsity! INSTITUTO FEDERAL DO PIAUÍ CAMPUS FLORIANO CURSO: Licenciatura Plena em Matemática MÓDULO: V TURNO: Noite DISCIPLINA: Equações Diferenciais Ordinárias PROFESSOR: Guilherme Luiz de Oliveira Neto ALUNO (A): ____________________________________________ Nº ___ 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS – Data: 13 de abril de 2009 01. Resolva as equações: a) 2 1dy x y dx y b) 3 1 dy y xy dx c) 2 2 dy x y xy dx d) 2 12 , 2 dy y y y dx e) 26 5 dy y y dx f) 3 dy dy y x dx dx 02. Resolva às equações diferenciais sujeitas as condições iniciais dadas: a) 2(1 ) 1, (1) 0 dy xy xy y dx b) 2 2 11 2 , (0) 0 x x xdy e e y y y e e y dx 03. Resolva as equações abaixo: a) 2 2 lny ydy xxe e dx x b) , ( )1 x yy e senx c) 4 2 3 3 32 3 dy x y x y x dx d) 3 , ,, ,, 1xy xy y e) 2 4 dy y x dx f) 2 2 2 2(2 3 7) (3 2 8) 0x y xdx x y ydy 04. Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Ricatti ou Clairaut. a) 1dy dx y x b) dy x y dx x c) 2 2 2 dy dy y x dx dx d) 1dy dx x x y e) 2 2 dy y y dx x x f) 24 5 dy y y dx g) 2( )ydx y xy dy h) x y dy x ye x dx i) , 2 2xyy y x j) , 2 22 2xyy y x k) 0ydx xdy l) 2 2 2 3 ln y x dx x dy x m) 1 dy x y dx y x n) 3 22 2 0x y y dy e x dx o) , , 2( 3)y xy y p) , 2 45 3 2y y x xy r) 2 2( )x y dx xydy s) , ,lny xy y 05. A população de uma cidade cresce a uma taxa promocional ao seu tamanho. Escreva o modelo (a equação diferencial) e a equação matemática que representa essa situação. 06. Escreva uma equação diferencial para descrever o fato de que a taxa segundo a qual as pessoas tomam conhecimento de um novo aumento das tarifas postais é proporcional ao número de pessoas que ainda não tomaram conhecimento do aumento. 07. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante t. Após três horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Determine: a) O número inicial de bactérias b) A população em função do tempo c) O número de bactérias após 1 2 dia d) O tempo para que a população decuplique 08. Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional a população presente. Sabendo-se que após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determinar a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique. 09. Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas. Se for observado que após 4 semanas 5 pessoas estão infectadas. Determine: a) o número de pessoas infectadas em função do tempo b) após 25 semanas o número de pessoas infectadas 10. O preço de revenda de certa máquina decresce a uma taxa que varia com o tempo de uso. Quando a máquina tinha t anos de uso, a taxa de variação de seu valor era de 5960. t e reais por ano. Se a máquina foi comprada nova por R$ 5 000,00, quanto valerá aproximadamente 10 anos depois? 11. O preço de revenda de certa máquina decresce em um período de 10 anos, segundo uma taxa que depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem t anos de uso, a taxa de variação e seu valor é de 3 31y cx reais por ano. Expresse o valor da máquina como função do tempo de uso e do valor inicial. Se a máquina valia originalmente R$ 12 000, quanto valerá daqui a 10 anos de uso? 12. Estima-se que daqui a t meses, a população de certa cidade esta variado segundo uma taxa de 2 t pessoas por mês. A população atual é de 50 0000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses? 13. Estima-se que daqui a t meses a população a população de uma cidade variará a uma taxa de 2 34 5t pessoas por mês. Se a população atual é de 10 000 pessoas, qual será a população daqui a 8 meses? 14. A taxa segundo a qual a temperatura de um objeto varia é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do meio ambiente circundante. Escreva a equação diferencial que satisfaz essa situação. 15. Um termômetro e levado de uma sala onde a temperatura e de 20 C para fora onde à temperatura e de 5 C. Após 12 minuto o termômetro marca 15 C. Determine: a) A temperatura marcada no termômetro como função do tempo? b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto? c) Em quanto tempo o termômetro ira marcar 10 C? 16. Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70 F, e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10 F. Após 0,5 minutos, o termômetro marcava 50 F. Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1 minuto? E quanto tempo levará para o termômetro marca 15 F? 17. Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquanto a resistência e de 200 ohms e a capacitância e de 10 farads. (a) encontre a carga Q(t) no capacitor em cada instante t. (b) se Q(0) = 0, encontre também a corrente I(t) em cada instante t. (c) encontre a ddp no resistor em função do tempo. 18. Considere o circuito elétrico abaixo formado por um resistor, um indutor e uma fonte de tensão externa. Para este circuito a segunda lei de Kirchhoff nos dá )(.. tV dt di LiR A bateria gera uma diferença de potencial de V(t) = 10 volts, enquanto a resistência R e de 100 ohms e a indutância L e de 0,5 henrys. Encontre a corrente i(t) em cada instante t, se i(0) = 0. 19. Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de t te 100 1 2 gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa. a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e contado a partir do início do processo. b) Calcule a concentração limite de sal no tanque quando t ? E o tempo necessário para que a concentração atinja metade deste valor. 20. Um tanque contém inicialmente 100 litros de água pura. Então, água salgada, contendo t e 10 2 30 gramas de sal por litro, passa a ser bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.

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