Equaçoes diferenciais Ordinarias, Exercícios de Equações Diferenciais

Baixe Equaçoes diferenciais Ordinarias e outras Exercícios em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! Semana 4 1. Séries de Potências Uma série de potências em torno de um ponto x0 ∈ R é uma expressão da forma c0 + c1(x− x0) + c2(x− x0)2 + c3(x− x0)3 + . . . , ou, usando śımbolo de somatório, uma expressão da forma (1) ∞∑ n=0 cn(x− x0)n. (Aqui usamos a convenção 00 = 1.) Ao substituir x por um valor numérico em (1) obtemos uma série numérica. Esta série numérica pode ser convergente ou divergente, dependendo do valor de x. Se nós denotamos por D o conjunto dos pontos x em que a série correspondente for convergente, vemos que a expressão (1) define uma função f(x) de D em R. Em particular, note que quando x = x0 a série se torna c0 + 0 + 0 + 0 + . . . , que claramente converge (absolutamente!). Ou seja, sabemos de antemão que x0 ∈ D e por este motivo pouco analisaremos o caso x = x0 no que se segue. Enfim, note que uma série de potências em torno de x0 pode ser transladada para obter uma série de potências em torno de 0 (com os mesmos coeficientes): basta fazer z = x− x0 para ficar com ∑∞ n=0 cnz n. Exemplo 1. No Exemplo 3 da semana 2 estudamos a série geométrica ∑∞ n=0 λ n. Vimos que ela converge a 1/(1 − λ) no caso em que |λ| < 1, e diverge se |λ| ≥ 1. Se pensarmos em λ como uma variável e escrevermos x = λ, obtemos a série de potências ∞∑ n=0 xn = 1 + x+ x2 + . . . . É uma série de potências em torno do ponto x = 0, na qual todos os coeficientes são iguais a 1. Ela define a função f(x) = 1 1− x no intervalo (−1, 1). Exemplo 2. No Exemplo 1 vimos que f(x) = (1 − x)−1 pode ser escrita como série de potências em torno do ponto x = 0. E se quisermos escrevê-la como série de potências em torno de um outro ponto, digamos x = 5? Neste caso basta escrever z = x− 5 e manipular a expressão resultante 1 f(x) = 1 1− x = 1 1− (z + 5) = 1 −4− z = 1 (−4) · (1− (−z/4)) =(2) = −1 4 ∞∑ n=0 ( −z 4 )n = −1 4 ∞∑ n=0 ( −1 4 )n (x− 5)n =(3) = −1 4 + (x− 5) 42 − (x− 5)2 43 + (x− 5)3 44 − . . . .(4) Note que a passagem de (2) para (3) é válida apenas para ∣∣− z 4 ∣∣ < 1, ou seja, apenas para∣∣x−5 4 ∣∣ < 1 ⇐⇒ |x− 5| < 4 ⇐⇒ x ∈ (1, 9). Exemplo 3. Considere a série de potências (5) 1 + x+ x2 2 + x3 6 + . . .+ xn n! + . . . = ∞∑ n=0 xn n! . Gostariamos de saber para quais valores de x esta série é convergente. Para este fim, vamos usar o critério da razão. Lembramos que o critério da razão lida com séries numéricas, e não explicitamente com séries de potências. Mas isso não importa, já que, para cada valor fixo de x a série de potências se reduz a uma série numérica. Denotando o termo geral por an = xn/n!, temos∣∣∣∣an+1 an ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ xn+1 (n+ 1)! /xn n! ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ xn+1 (n+ 1)! · n! xn ∣∣∣∣ = |x| n+ 1 → n→∞ 0 para todo x ∈ R. Em outras palavras, a série (5) converge qualquer que seja x real e portanto podemos definir uma função f : R→ R, por f(x) = ∑∞ n=0 xn n! . Exemplo 4. Considere a série de potências (6) ∞∑ n=0 (−1)n x2n 4n(2n+ 1)(2n+ 3) = 1 1 · 1 · 3 − x2 4 · 3 · 5 + x4 42 · 5 · 7 − x6 43 · 7 · 9 + . . . Denotando o termo geral por an, temos∣∣∣∣an+1 an ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ x2n+2 4n+1(2n+ 3)(2n+ 5) · 4n(2n+ 1)(2n+ 3) x2n ∣∣∣∣ = |x2| 4 · (2n+ 1) (2n+ 5) → n→∞ |x|2 4 . O critério da razão nós diz que a série converge absolutamente quando |x| < 2 e diverge quando |x| > 2. O mesmo critério é inconclusivo no caso em que |x| = 2. Tratemos este caso separadamente. Observe que se |x| = 2 temos x2n = 4n. Portanto a série se reduz a (7) ∞∑ n=0 (−1)n (2n+ 1)(2n+ 3) . Esta série é absolutamente convergente, pois o valor absoluto do termo de ordem n satisfaz (8) 0 < 1 (2n+ 1)(2n+ 3) < 1 4n2 2 Enquanto este argumento não inclui os casos em que alguns cn = 0, nem os casos onde lim |cn| |cn+1| não existe, o Teorema continua valendo mesmo nesses casos. Observação 1. Cuidado ao usar a fórmula (13) para o raio de convergência de uma série: primeiro, ela não pode ser usada se a série tiver coeficientes cn nulos – em particular, tenha certeza que o cn usado é o coeficiente de zn (não de z2n ou z2n+1); segundo, ela faz sentido apenas quando aquele limite existe (ou é ∞). Na dúvida, não a use – volte à série original e use ali os critérios de convergência que você aprendeu. Observação 2. Note que no caso 1) nada foi dito sobre a convergência quando x = x0 − R ou x = x0 + R. Nestes pontos é posśıvel haver divergência, convergência condicional ou convergência absoluta. A convergência nestes pontos precisa ser analisada individualmente para cada exemplo. 3. Derivadas e integrais de Séries de Potências Uma das primeiras coisas que se aprende numa aula de cálculo é como calcular a derivada de um polinômio. A regra pode ser resumida da seguinte maneira: Seja p(x) = n∑ k=0 ckx k um polinômio. Então p(x) é derivável e sua derivada é dada por p′(x) = n∑ k=1 ckkx k−1. A boa not́ıcia é que esta fórmula admite uma generalização para séries de potências. Teorema 2. Seja ∑∞ n=0 an(x−x0)n uma série de potências com raio de convergência R > 0 (inclusive R = ∞), e seja f : (x0 − R, x0 + R) → R a função por ela definida. Então f é derivável em (x0 −R, x0 +R) e sua derivada é dada por f ′(x) = ∞∑ n=1 cnn(x− x0)n−1. Além disso, a série ∑∞ n=1 ann(x − x0) n−1 tem o mesmo raio de convergência que a série∑∞ n=0 an(x− x0)n. Veremos agora alguns exemplos de como usar a fórmula da derivada de séries de potências. Exemplo 8. Já sabemos que 1 1− x = 1 + x+ x2 + . . . = ∞∑ n=0 xn no intervalo (−1, 1). Segue então pelo teorema 2 que 1 (1− x)2 = 1 + 2x+ 3x2 + . . . = ∞∑ n=1 nxn−1 no intervalo (−1, 1). 5 Exemplo 9. O intuito neste exemplo é de calcular ∞∑ n=1 n 3n . Primeiramente, podemos usar o critério da razão para verificar que a série é convergente. De fato, ∣∣∣∣n+ 1 3n+1 · 3n n ∣∣∣∣ = 1 3 n+ 1 n → n→∞ 1 3 . Como 1 3 < 1, a série converge. No Exemplo 8 vimos que ∞∑ n=1 nxn−1 = 1 + 2x+ 3x2 + . . . = 1 (1− x)2 quando x ∈ (−1, 1). Multiplicando por x obtemos ∞∑ n=1 nxn = x+ 2x2 + 3x3 + . . . = x (1− x)2 . Substituindo x = 1/3, vem: ∞∑ n=1 n 3n = 1/3 (1− 1/3)2 = 3 4 . Exemplo 10. Vimos no exemplo 5 que a série ∞∑ n=0 xn n! = 1 + x+ x2 2! + x3 3! + . . . converge para todo x ∈ R (ou seja, seu raio de convergência é infinita). Portanto esta série define uma função f : R→ R. Substituindo x por 0 vemos que f(0) = 1. Segundo o teorema 8, esta função é derivável e sua derivada é f ′(x) = 1 + 2x 2! + 3x2 3! + 4x3 4! + . . . = 1 + x 1! + x2 2! + x3 3! + . . . Em outras palavras, f ′(x) = f(x). Mas só existe uma função satisfazendo o problema de valor inicial { f ′ = f f(0) = 1 Esta função é ex. Podemos então concluir que ex = 1 + x+ x2 2! + x3 3! + . . . = ∞∑ n=0 xn n! . Chamamos atenção a uma consequência muito interessante do teorema 2. O teorema diz que se a função f(x) pode ser expressa como uma série de potências no intervalo (x0−R, x0+ R), então f é derivável, e sua derivada f ′(x) também pode ser expressa por uma série de potências no mesmo intervalo. Portanto é possivel aplicar o teorema novamente, só que esta vez em f ′ no lugar de f . Neste caso o teorema diz que f ′ é derivável, e sua derivada f ′′ pode ser escrita como uma série de potências no mesmo intervalo (x0−R, x0 +R). Podemos 6 repetir este argumento quantas vezes que quisermos. Isso significa que f é de fato derivável infinitas vezes no intervalo (x0 − R, x0 + R), e todas as suas derivadas podem ser expressas como séries de potências. Outra consequência do teorema 2 é que se f for representada por uma série de potências em (x0 − R, x0 + R), então f é cont́ınua em (x0 − R, x0 + R). (Para quem não lembra, aprendemos em Cálculo IA que se uma função for derivável, então é cont́ınua.) Agora, se f é cont́ınua, então f possui uma função primitiva (isso também aprendemos em Cálculo IA). Teorema 3. Suponha que a função f(x) é definida pela série de potências ∞∑ n=0 cnx n no intervalo (x0 −R, x0 +R). Então toda função primitiva F de f é da forma F (x) = C + ∞∑ n=0 cn n+ 1 xn+1 no intervalo (x0 −R, x0 +R). Exemplo 11. Já sabemos que 1 1 + x = 1− x+ x2 − x3 + . . . = ∞∑ n=0 (−1)nxn. em (−1, 1). Integrando os dois lados usando o teorema 3 obtemos ln(1 + x) = C + x− x2 2 + x3 3 − . . . = C + ∞∑ n=0 (−1)n n+ 1 xn+1. Substituir x por 0 nos dois lados revela que C = 0. Portanto ln(1 + x) = x− x2 2 + x3 3 − . . . para todo x com |x| < 1. 4. Séries de Taylor e Maclaurin Suponha que uma função f(x) pode ser escrita como uma série de potências (14) f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + a3(x− x0)3 + . . . num intervalo (x0 −R, x0 +R). Aplicando o teorema 2 repetidamente, obtemos f ′(x) = a1 + 2a2(x− x0) + 3a3(x− x0)2 + 4a4(x− x0)3 + . . . f ′′(x) = 2a2 + 2 · 3a3(x− x0) + 3 · 4a4(x− x0)2 + 4 · 5 · a5(x− x0)3 + . . . f ′′′(x) = 2 · 3a3 + 2 · 3 · 4a4(x− x0) + 3 · 4 · 5a5(x− x0)2 + . . . f (4)(x) = 2 · 3 · 4a4 + 2 · 3 · 4 · 5a5(x− x0) + 3 · 2 · 4 · 5 · 6a6(x− x0)2 + . . . ... 7