EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS, Notas de estudo de Cálculo

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Universidade Federal do Piauí Centro de Educação Aberta e a Distância EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Vicente de Paulo Lima Este texto é destinado aos estudantes do curso de Física que participam do programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI), Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piaui (IFPI), com apoio do Governo do estado do Piauí, através da Secretaria de Estado da Educação e Cultura tem por objetivo introduzir de forma sucinta, um estudo de equações diferenciais, concentrado em vários exemplos simples de equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordens, além de mostrar exemplos de problemas da Física, que envolvem esses tipos de equações, de forma que iniciantes nessa área, tenham total compreensão do assunto em estudo. O texto é composto de 07 unidades, contendo itens e subitens, que discorrem sobre: Na Unidade 1: História das Equações Diferenciais Na Unidade 2 : Conceitos Fundamentais Na Unidade 3: Equações de Primeira Ordem e Primeiro Grau Na Unidade 4: Equações Homogêneas Na Unidade 5: Equações Diferenciais Exatas Na Unidade 6: Equações Lineares de Primeira Ordem Na Unidade 7: Equações Lineares de Segunda Ordem. UNIDADE 1 HISTÓRIA DAS EQUAÇõES DIFERENCIAIS .................................. 11 UNIDADE 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Grau de uma equação diferencial3 ...........................................22 Solução de uma equação diferencial .........................................23 Resolução de uma equação diferencial .....................................24 Tipos de soluções ......................................................................24 Interpretação geométrica ..........................................................25 UNIDADE 3 EQUAÇõES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM E 1º GRAU Equações de variáveis separáveis ..............................................39 Resolução de equações diferenciais de variáveis separáveis ....39 Trajetórias ortogonais................................................................51 UNIDADE 4 EQUAÇõES HOMOGÊNEAS Resolução de uma equação diferencial homogênea .................63 Equações redutíveis às homogêneas .........................................67 11 19 37 63 História das Equações Diferenciais 11 HISTóRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS História das Equações Diferenciais De várias maneiras, as equações diferenciais são o coração da análise e do cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 (trezentos) anos. As Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante para ciências físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim é amplamente aceito que equações diferenciais são importantes em ambas as matemáticas, pura e aplicada. A história sobre este assunto é rica no seu desenvolvimento e é isto que será apresentado. Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de um homem, Leonhard Euler, que pode- se dizer que a história deste assunto começa e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento. Existem vários contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise necessários para desenvolver muitas das ideias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram ideias inteiramente novas, inacessíveis à perspectiva do séc XVIII de Euler e sofisticadas além do entendimento de apenas uma pessoa. Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. Daremos uma pequena olhada nas pessoas, nas equações, nas técnicas, na teoria e nas aplicações. A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, Newton, e Leibniz. A partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram entendimento suficiente e notação para a Saiba Mais acesse: http://cwx.prenhall.com/ bookbind/pubbooks/thomas_br/ chapter1/medialib/custom3/ bios/euler.htm unidade 0112 derivada, esta logo apareceu em equações e o assunto nasceu. Contudo, logo descobriram que as soluções para estas equações não eram tão fáceis. As manipulações simbólicas e simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco. A integral (antiderivada) e seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculo ofereceu ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em circunstâncias muito especiais. O método de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. Assim estes pesquisadores iniciais do século 17 focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e técnicas para aqueles que os seguiram. Ao redor do início do séc XVIII, a próxima onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas em astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princípios para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos usando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti (1676-1754) começou um estudo sério de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor usou séries para “resolver” equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas séries para vários propósitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das equações diferenciais. No início do século XVIII, este e muitos outros matemáticos tinham acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitas variedades de equações diferenciais. Saiba Mais acesse http://cwx.prenhall.com/ bookbind/pubbooks/thomas_br/ chapter1/medialib/custom3/ deluxe-content.html Pesquisar os tópicos: - Fermat, Pierre de (1601-1665) - Newton, Isaac (1642-1727) - Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) - História da Derivada - História da Integral - O Teorema Fundamental do Cálculo - Bernoulli, Jakob (1654-1705) - Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646--1716) - Bernoulli, Jakob (1654-1705) - Bernoulli, Johann (1667-1748) - Taylor, Brook (1685-1731) - Lagrange, Joseph Louis (1736-1813) - Bernoulli, Daniel (1700-1789) História das Equações Diferenciais 15 do potencial como um ramo coerente da matemática. Também reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a chave para entender muitos dos resultados necessários em equações diferenciais aplicadas. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. Os resultados são agora clássicos em hidrodinâmica. Inventou o método das características, o qual é importante na análise e solução de várias equações diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a definir completamente as ideias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo e equações diferenciais. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a desenvolver a transformada de Fourier para prover soluções algébricas para equações diferenciais. Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar estas teorias poderosas e aplicá-las a vários ramos da ciência. Os trabalhos iniciais de Poisson em mecânica apareceram em Traité de mécanique em 1811. Aplicou seu conhecimento de equações diferenciais a aplicações em física e mecânica, incluindo elasticidade e vibrações. Muito de seu trabalho original foi feito na solução e análise de equações diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de Green em fundamentos matemáticos de gravitação, eletricidade e magnetismo foi publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism. A matemática de Green proveu a base na qual Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual do magnetismo. Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equações diferenciais à astronomia. Seu trabalho sobre funções de Bessel foi feito para analisar perturbações planetárias. Posteriormente estas construções foram usadas para resolver equações diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava equações diferenciais para desenvolver teorias sobre a condução do calor. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo equações integrais equivalentes, um método refinado por Fredholm e Hilbert no início da década de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funções elementares foi uma contribuição substancial para soluções de equações diferenciais. As investigações teóricas e experimentais de Stokes Saiba Mais acesse: http://cwx.prenhall.com/ bookbind/pubbooks/thomas_br/ chapter1/medialib/custom3/ deluxe-content.html Pesquisar os tópicos: - Poisson, Siméon-Denis (1781--1840) - Green, George (1793--1841) - Thomson, William (1824-- 1907) - Stokes, George Gabriel (1819--1903) - Rayleigh, John William Strutt (1842--1919) - Maxwell, James Clerk (1831- -1879) - Ostrogradsky, Mikhail Vasilievich (1801--1862) unidade 0116 cobriram hidrodinâmica, elasticidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar. Ele usou modelos de equações diferenciais em todos os campos de estudo. Na metade do séc XIX, uma nova estrutura era necessária para atacar sistemas de mais de uma equação diferencial. Vários matemáticos vieram em socorro. Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformações em uma ferramenta poderosa para avaliar integrais múltiplas e resolver equações diferenciais. A estrutura jacobiana foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito hábil e um perito numa variedade de campos aplicados. Cayley também trabalhou com determinantes e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. Cayley era um amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos para lecionar na Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas áreas da matemática, dinâmica teórica e astronomia. Cayley criou a noção de matrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de matrizes nas décadas posteriores. Josiah Gibbs fez contribuições à termodinâmica, ao eletromagnetismo e à mecânica. Por seu trabalho nos fundamentos de sistemas de equações, Gibbs é conhecido como o pai da análise vetorial. À medida que o final do séc XIX se aproximava, os principais esforços em equações diferenciais se moveram para um plano teórico. Em 1876, Lipschitz (1832-1903) desenvolveu teoremas de existência para soluções de equações diferenciais de primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funções e soluções de equações. À medida que a teoria se desenvolveu, as seis funções trigonométricas básicas foram provadas transcendentais, assim como as inversas das funções trigonométricas e as funções exponenciais e logarítmicas. Hermite mostrou que a equação de quinta ordem poderia ser resolvida por funções elípticas. Enquanto seu trabalho era teórico, os polinômios de Hermite e as funções de Hermite se mostraram posteriormente muito úteis para resolver a equação de onda de Schrödinger e outras equações diferenciais. O próximo a construir fundamento teórico foi Bernhard Riemann. Seu doutorado foi obtido, sob a orientação de Gauss, na teoria de variáveis complexas. Riemann também teve o benefício de trabalhar com o físico Wilhelm Weber. O trabalho de Riemann em equações diferenciais Saiba Mais: acesse http://cwx.prenhall.com/ bookbind/pubbooks/thomas_br/ chapter1/medialib/custom3/ deluxe-content.html Pesquisar os tópicos: - Gibbs, Josiah Willard (1839- -1903) - Cayley, Arthur (1821-1895) - Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804-1851) - História dos Vetores - Weierstrass, Karl (1815-1897) - Sonya Kovalevsky (1850-891) - História das Sequências e Séries - Weber, Wilhelm (1804-1891) - Riemann, Bernhard (1826-66) - Hermite, Charles (1822-1901) - Runge, Carl (1856--1927) - Richard Courant (1888-1972) - Poincaré, Jules- Henri (1854- 1912) História das Equações Diferenciais 17 contribuiu para resultados em dinâmica e física. No final da década de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergência e o “fenômeno de Gibbs” da série de Fourier. O próximo contribuinte teórico importante foi Kovalevsky, a maior matemática antes do século XX. Depois de vencer dificuldades consideráveis por causa da discriminação de seu gênero, ela teve oportunidade de estudar com Weierstrass. No início de sua pesquisa, completou três artigos sobre equações diferenciais parciais. No seu estudo da forma dos anéis de Saturno, ela se apoiou no trabalho de Laplace, cujo trabalho ela generalizou. Basicamente, o trabalho de Kovalevsky era sobre a teoria de equações diferenciais parciais e um resultado central sobre a existência de soluções ainda leva seu nome. Ela publicou vários artigos sobre equações diferenciais parciais. Posteriormente, no séc XX, trabalhos teóricos de Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas classificações para o entendimento posterior de algumas das mais complicadas famílias de equações diferenciais. O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos mais robustos e eficientes. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolver as equações diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atômico. Estes métodos numéricos ainda são usados hoje. Ele usou tanta matemática em sua pesquisa que físicos pensaram que fosse matemático, e fez tanta física que os matemáticos pensaram que fosse físico. Hoje seu nome está associado com os métodos de Runge-Kutta para resolver equações diferenciais. Kutta, outro matemático aplicado alemão, também é lembrado por sua contribuição à teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios em aerodinâmica, baseada em equações diferenciais. Na última metade do século XX, muitos matemáticos e cientistas da computação implementaram métodos numéricos para equações diferenciais em computadores para dar soluções rápidas e eficientes para sistemas complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforço. Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. Poincaré, o maior matemático de sua geração, produziu mais de trinta livros técnicos sobre física, matemáticas e mecânica celeste. A maioria destes trabalhos envolveu o uso e análise de equações diferenciais. Em mecânica celeste, trabalhando com os resultados do astrônomo americano George Hill, conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa de equações diferenciais não lineares. Muitos resultados de seu trabalho foram unidade 0220 Conceitos Fundamentais 21 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Definição: equação diferencial é toda equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Exemplos: as equações 1. 2. 3. 4. a seguir são equações envolvendo a função incógnita y de uma variável x exceto o exemplo 5. cuja função incógnita é z e as variáveis são x e y. Uma equação diferencial é dita ordinária (EDO) quando a função incógnita depende apenas de uma variável independente. E é dita equação diferencial parcial (EDP) quando a função incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes. Exemplos: as equações 1. 2. 3. e 4. do exemplo anterior são equações diferenciais ordinárias, enquanto que a equação do exemplo 5 é uma equação diferencial parcial pois z = z ( x, y ). unidade 0222 Ordem de uma equação diferencial DEFINIÇÃO: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada contida na equação. Grau de uma equação diferencial DEFINIÇÃO: supondo a equação escrita sob forma racional inteira em relação às derivadas, chamam-se de grau da equação o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação. Exemplos: analisando as equações do exemplo acima podem-se classifica-las quanto à ordem e ao grau em : Exemplo 1 : 1ª ordem e 1º grau Exemplo 2 : 2ª ordem e 1º grau Exemplo 3 : 4ª ordem e 3º grau Exemplo 4 : 3ª ordem e 2º grau Exemplo 5 : 2ª ordem e 1º grau NOTA: observe-se, pelos exemplos a seguir que nem sempre, à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato quanto à ordem e grau. Exemplo 6. é de 3ª ordem e 2º grau pois ela é equivalente a Exemplo 7. é de 1ª ordem e 1º grau pois ela é equivalente ou ou Casos particulares Saiba Mais: Logaritmos e propriedades operatórias www.brasilescola.com Conceitos Fundamentais 25 Exemplo 2. y= é uma solução particular da equação diferencial (toma-se no exemplo 2 anterior e ) Interpretação geométrica Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial representa uma família de curvas, que recebem o nome de curvas integrais. Essa solução denomina-se também de primitiva ou integral da equação diferencial. Exemplo: Seja a equação: A sua solução geral nos fornece uma família de parábolas de concavidade voltada para cima, como mostra a Fig 02 a seguir Fig 02 Lista de exercícios resolvidos Determine para cada uma das curvas dadas a seguir, a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária: unidade 0226 Exemplo1. Solução: graficamente tem-se Fig 03 Derivando, tem-se: Exemplo2. Solução: graficamente tem-se Fig 04 Conceitos Fundamentais 27 Derivando tem-se: Como as constantes não foram eliminadas, deve-se derivar mais uma vez, daí: ou É fácil ver que o valor entre parênteses corresponde ao próprio dado, o que permite escrever: Exemplo 3. Solução: graficamente tem-se Fig 05 Derivando tem-se e observando que e em seguida, substituindo na derivada, obtém-se e simplificando tem-se . unidade 0230 Fig 08 Multiplicando ambos os membros por e2x, tem-se: Derivando, obtém-se : e daí tem-se . Multiplicando por , tem-se e derivando de novo fica, . Assim, agrupando fica: ou , o que nos permite escrever, pois . Conceitos Fundamentais 31 Exemplo 7. In . Solução: graficamente tem-se Fig 09 Usando propriedades operatórias dos logaritmos tem-se e isolando o valor de C obtém-se . Derivando, tem-se Substituindo C pelo seu valor obtido acima tem-se: Multiplicando ambos os membros por xy, fica: ou ou . unidade 0232 E assim pode-se escrever Exemplo 8. Determine a equação diferencial da família de círculos de raio 2 e cujos centros estejam sobre o eixo dos x. Solução: graficamente tem-se Fig 10 A família de círculos é dada por onde a é a abscissa do centro. Daí, tem-se e derivando obtém-se e elevando a dois tem-se Desenvolvendo fica e substituindo por tem-se simplificando fica e daí a equação diferencial procurada é . Conceitos Fundamentais 35 ou . Daí como pode-se escrever . d) Multiplicando ambos membros de por ex obtém-se e derivando tem-se . Multiplicando agora por e-3x obtém-se e derivando novamente pois deve-se eliminar a constante C1 tem-se ou .Como e-2x ≠ 0 pode-se escrever . Web-Bibliografia http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/edogeral.htm http://www.ime.uerj.br/~calculo/LivroIV/apli2.pdf unidade 0236 História das Equações Diferenciais 37 UNIDADE 03 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau Resumo Nesta unidade será visto o estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e primeiro grau com destaque para as equações de variáveis separáveis incluindo método de solução. Além disto far-se-á aplicações em problemas geométricos e entre eles destacando problemas que tratam de trajetórias ortogonais. Objetivo Desenvolver no aluno a percepção da importância e do grau de aplicabilidade das equações diferenciais na modelagem matemática de situações concretas. unidade 0340 A1(x)A2(y)dx+B1(x)B2(y)dy=0, separando as variáveis x e y, de forma que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separáveis. Assim vem: E integrando tem-se A equação obtida é a solução geral de uma equação de variáveis separáveis. Lista de exercícios resolvidos Para as equações a seguir, mostre que são do tipo variáveis separáveis e obtenha uma solução para as mesmas Exemplo 1. dy/dx=5x+1 Solução: observe que esta equação é de variáveis separáveis, pois uma vez escrita na forma diferencial tem-se (5x+1)dx-dy=0 onde M(x,Y)=a(x)=5x+1 e N(x,y)=B(y)=-1. E para obter a solução basta integrar. Desta forma tem-se: ∫(5x+1)dx-∫ dy=C e portanto 5x2/2+x-y=C é a solução geral da equação diferencial dy/dx=5x-1. Exemplo 2. ydx+xdy=0 Solução: é fácil ver que tal equação é de variáveis separáveis pois para tanto basta dividir os membros por xy, chamado fator de integração, e daí tem-se a equação equivalente é 1/xdx+1/ydy=0 , onde M(x,y)=A1/x e N(x,y)=B(y)=1/y . Integrando tem-se: ∫1/xdx+∫1/ydy=C lnx+lny=C. Usando as propriedades dos logaritmos tem-se ln xy=C-ln K e daí tem-se a solução procurada que é xy=k. Exemplo 3. tgxsecy dx_ sectgy dy=0 Solução: tal equação é de variáveis separáveis pois é da forma M dx+N dy=0, onde M(x,y)=A1(x) A2(y)=tgxsexy e N(x,y)=B1(x)B2(y)=secxtgy Dividindo-se ambos os membros da equação por secxsecy, fica: Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 41 Simplificando obtém-se e daí tem-se sen x dx-sen y dy=0 Integrando ∫sen x dx-∫sen y dy=C o que nos leva à solução -cos x + cos y=C Exemplo 4: Solução: tal equação é de variáveis separáveis pois é da forma M dx+N dy=0. Onde M(x,y)=A1(x)A2(y)=(x 2-1) √1-y2 e N(x,y)=B1(x)B2(y)=-x2 Dividindo-se ambos os membros da equação por x2√1-y2, fator integrante, fica, e integrando tem-se Assim sendo tem-se Exemplo 5: ydx+(x+1)dy=0 Solução: é imediato ver que tal equação é de variáveis separáveis e que tem como fator integrante y(x+1). Daí dividindo todos os termos por este fator obtém-se dx/x+1+dy/y=0. Integrando fica ∫dx/x+1+ ∫dy/y=C e assim tem-se ln(x+1)+iny=lnK e portanto pode-se escrever que a solução geral procurada é (x+1)y=k. Exemplo 6: Solução: reescrevendo a equação tem-se que é equivalente a anterior e portanto tem-se uma equação do tipo onde M(x,y)=A(x)=1/1+x2 e N(x,y)=B(y)=y/!+y2. Desta forma tem-se uma equação de variáveis separáveis e integrando tem-se: Decompondo a segunda integral usando as somas parciais escreve- se: A+B=0 C=0 A=1. :B=-1 Assim: = C. unidade 0342 Desta forma, E daí tem-se e multiplicando por 2 e também usando as propriedades dos logaritmos tem-se: Exemplo 7: xydx-(1+x2)dy=0 Solução: reescrevendo a equação dada tem-se que é equivalente a anterior e portanto tem-se uma equação do tipo Mdx+Ndy=0 onde M(x,y)=A(x)=x/1+x2 e N(x,y)=B(y)=1/y. Desta forma temos uma equação de variáveis separáveis e integrando tem-se o que nos dá ou ou ou ou . Exemplo 8. dy/dx+ycos x = 0 Solução: para constatar que esta equação é do tipo variáveis separáveis basta multiplicar todos os termos por dx/y e daí tem-se dy/y+cos x dx=0 que é uma equação da forma Mdx+Ndy=0 onde M(x,y)=A(x) cos x e N(x,y)=B(y)=1/y. E para obter solução, devemos integrar, e desta forma fica 1ny- senx=C ou 1ny=C-senx ou y=ec-sen x pois ce é uma constante K. Exemplo 9: sec2xtgy dx+sec2 ytgx dy=0 Solução: usando o fator de integração tgytgx pode-se reescrever a equação obtendo e daí constatar que tem-se uma equação de variáveis separáveis. Integrando tem-se e portanto: 1n tg +1n tg y=1n C ou 1ntg x + tg y=1nC1 e assim tgxtgy=C1 Saiba mais: Métodos de integração- http://www.somatematica. c o m . b r / s u p e r i o r / integrais2/integrais4.php Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 45 5) y2dx+(x-1)dy=0 Solução: Separando as variáveis tem-se 1/x-1dx+1/y2dy e integrando pode- se escrever 1n(x-1)-1/y=1nk ou 1nx-1/K=1/y ou y1n.x-1/K=1 Aplicações: Problemas Geométricos Dada uma curva plana C, em um ponto P(x, y) desta curva, considera- se os chamados “segmentos notáveis,” a saber: PT= comprimento da tangente PN= comprimento da normal TM= comprimento da subtangente MN= comprimento da subnormal Seja α o ângulo formado pela reta tangente a curva no ponto P e o eixo dos x, e analisando a figura 13 acima, tem-se: Assim (1) Assim ( 2 ) Fig 13 unidade 0346 (3) Assim Assim (4) Exercícios resolvidos 1) Determinar a equação das curvas que têm a subnormal constante. Solução: Sabe-se de (2) que a subnormal é dada por MN=Y.dy/dx, e daí deve- se ter Y.dy/dx=k, k uma constante. Reescrevendo esta equação obtém-se ydy=kdx e integrando tem-se y2/2=kx+C ou y2=2kx+C que representa a família de curvas de subnormal constante. A representação gráfica da família cuja constante é k=3 é Para o caso particular y2=6x e sendo P1(2, √3) e P2( tem-se a representação abaixo e pode-se ver nos dois casos que MN=3. Fig 14 Fig 15 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 47 2) Determinar a equação das curvas que têm a subtangente constante. Solução: sabe-se de (1) que a subtangente é dada por TM=y/dy/dx e daí deve-se ter y/dy/dx = k, k uma constante. Reescrevendo esta equação obtém-se k.dy/dx=y ou dx=k.dy/y e integrando tem-se k1ny=x+C ou 1ny=x/k+ C1 ou y=e x/k+C1 que representa a família de curvas de subtangente constante. A representação gráfica da família cuja constante é k=2 é 3) Escrever a equação de uma curva sabendo que a normal em cada ponto dela e o segmento de reta que une este ponto a origem formam um triângulo isósceles de base no eixo dos x. Como o triângulo ∆ OPN é isósceles tem-se PN=OP e daí, OM=MN=x. Deste modo y.dy/dx=x ou y dy=xdx e integrando temos y2/2=x2/2+C ou y-x. Assim sendo pode-se ver que tais curvas são hipérboles como as da Fig 18. Fig 16 Fig 17 Fig 18 unidade 0350 2) Sabe-se que a subtangente é dada por e como por hipótese a subtangente é igual ao dobro da abscissa do ponto de contacto, deve-se ter ou ydx=2xdy e separando as variáveis fica . Integrando tem-se 1/21nx=1ny+1nC1 ou 1nx=21ny+21nC1 ou 1nx-1ny 2+1nC21 ou 1nx=1ny2C ou x=y2C. Tais curvas tem representação gráfica como segue: 3) Observando o gráfico abaixo E da hipótese tem-se OP=PT e como sabe-se que o comprimento da tangente é dado por e que tem- se: ou ou Fig 23 Fig 24 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 51 ou e separando as variáveis fica dy/y=+-dx/x. Integrando, obtém-se ou 1n y=+-1nx+C ou 1n y =+-1nx+1n k e daí temos: i) 1n y=1nx+1nk ou 1ny=1nxk ou y=kx retas que passam pela origem. ii) 1ny=-1nx+1nk ou 1ny+1nx=1nk ou 1nyx=1nk ou yx=k hipérboles equiláteras Г Graficamente temos: Trajetórias ortogonais Em muitos problemas de física, por exemplo, assim como em outras áreas, conhecida uma família de curvas T, busca-se uma outra família de curvas T que interceptam perpendicularmente as curvas da família inicial. As curvas dessa segunda família são denominadas trajetórias ortogonais das curvas da família T. Fig 26: hipérboles equiláteras Fig 25: retas passando pela origem Fig 27: Г trajetórias em preto e T trajetórias em azulα β unidade 0352 Definição: Diz-se que duas curvas Г1 e T 1 são ortogonais em um ponto se, e somente se, suas retas tangentes t1 e t2 são perpendiculares no ponto de interseção. Exemplo: Analisando o gráfico abaixo pode-se observar que as curvas Г1: T1: x2-y2=1 são ortogonais no ponto P(√2,1). NOTA: exceto no caso em que t1 e t2 são paralelas aos eixos coordenados, quer dizer que os coeficientes angulares m1 e m2 das retas tangentes t1 e t2 são tais que m1.m2 = -1. Diz-se que duas famílias de curvas Г e T são trajetórias ortogonais uma da outra quando todas as curvas da família Г interceptam ortogonalmente todas as curvas da família T. OBSERVAÇÃO: trajetórias ortogonais ocorrem na construção de mapas meteorológicos e no estudo de eletricidade e magnetismo. Por exemplo, em um campo elétrico em volta de dois corpos de cargas opostas, as linhas de força são perpendiculares às curvas equipotenciais. Exemplo: 1) Achar as trajetórias ortogonais da família de curvas y=px2, para qualquer valor de p. Solução: graficamente tem-se que a família y=px2 é representada como segue: Fig 28 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 55 Diferenciando a equação dada em relação a x, obtém-se: dy/dx=x/3y que são as declividades da família x2+3y2=P. Assim sendo, para determinarmos as trajetórias ortogonais, deve-se ter curvas cujas declividades são dy/ dx=3y/x. Separando as variáveis tem-se dx/x=dy/3y. Integrando temos: ou ou ou y=Kx3, que são as trajetórias ortogonais da família x2+3y2=P cujas representações gráficas são como as do gráfico abaixo (representadas em vermelho) 4) Achar as trajetórias ortogonais da família de curvas x2+y2=px, para qualquer valor de p. Solução: graficamente tem-se que a família x2=y2=px é representada como segue: Fig 33 Fig 34 unidade 0356 Diferenciando a equação dada em relação a x, obtém-se Mas e portanto ou que são as declividades da família x2+y2=px. Assim sendo, para determinar as trajetórias ortogonais, devemos ter curvas cujas declividades são: ou cuja solução como será vista no próximo ponto (equações diferenciais homogêneas) é x2+y2=ky, que são as trajetórias ortogonais da família x2+y2=px, cujas representações gráficas são circunferências como as do gráfico abaixo (representadas em vermelho) 5) Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas por y=pe2x: Solução: graficamente tem-se que a família de curvas y=pe2x é representada por: Fig 35 Fig 36 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau 57 Diferenciando a equação dada em relação a x, obtém-se. dy/dx=2y, que são as declividades da família y=pe2x. Assim sendo, para determinar as trajetórias ortogonais, deve-se ter curvas cujas declividades são dy/dx=-1/2y. Daí separando as variáveis tem-se dx+2ydy=0. Integrando tem-se x+y2=C, que são as trajetórias ortogonais da família y=pe2x, cujas representações gráficas são parábolas como a fig 38 ( representadas em vermelho ) Lista de exercicios propostos Determine as trajetórias ortogonais das famílias seguintes e faça o esboço gráfico da família e das trajetórias (p = parâmetro). 1) x2+y2=p2 2) x2-y2=p2 Soluçao da lista Fig 37 Fig 38 unidade 0360 História das Equações Diferenciais 61 UNIDADE 04 Equações Homogêneas Resumo Esta unidade abordará o estudo das equações diferenciais homogêneas, métodos de resolução e o estudo das equações redutíveis às homogêneas. Objetivo Propiciar ao aluno desenvoltura em classificar e manipular problemas que envolvam equações diferenciais homogêneas, com técnicas específicas de abordagem, adequadas à resolução de cada um. unidade 0462 Equações Homogêneas 65 (x2+t2x2)dx-tx2(tdx+xdt)=0 (1+t2)dx-t2dx-txdx=0 ou dx-tx dt=0 Separando as variáveis fica dx/x-tdt=0 e integrando tem-se 1nx-t2/2=C Fazendo C=1nC1 e retornando a relação y/x=t obtém-se 1nx-y 2/2x2=1nC1 ou 1nx-1nC1=y 2/2x2 ou 1nx/C1=y/2x2 ou 21nx/C1=y/x 2 ou 1n(x/C1) 2=y/x2 ou ey/ x2=x2/C1 2 e assim temos a solução geral x2=key/x2 4) Resolva a equação homogênea (x-y)dx-(x+y)dy=0 Solução: Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx obtém-se (x-tx)dx-(x+tx)(tdx+xdt)=0 ou (1-t)dx-(1+t)(tdx+xdt)=0 ou dx-tdx-tdx-xdt-t2dx-txdt=0 ou (1-2t-t2)dx-(x+tx)dt=0 ou (1-2t-t2)dx-x(1+t)dt=0 Separando as variáveis obtém-se e em seguida integrando fica: Multiplicando por dois tem-se 21nx+1n(t2+2t-1)=2C ou 1nx2+1n(t2+2t-1)=2C e retornando à relação y=tx fica 1nx2+1n(y2/x2+2y/x-1)=2C ou 1n(y2+2xy- x2)=2C e fazendo 2C=1nk tem-se que a solução é: y2+2xy-x2=k Lista de exercicios propostos 1) Resolva as equações: a) (x2+y2)dx+(2x+y)ydy=0 b) (x+y)dx+(y-y)dy=0 2) Determinar as trajetórias ortogonais da família de circunferências: x2+y2=2ax Soluçao da lista 1) a) Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx, na equação (x2+y2)dx+(2x+y)ydy=0, obtém-se: (x2+t2x2)dx+(2x+tx)tx(tdx+xdt)=0 e daí tem-se (1+t2)dx+(2t+t2)(tdx+xdt)=0 ou (1+t2+2t2+t3)dx+(2tx+t2x)dt=0 Separando as variáveis fica: unidade 0466 Integrando tem-se: 1nx+1/31n(t3+3t2+1)=1nC ou 31nx+1n(t3+3t2+1)=31nC ou 1nx3+1n(t3+3t2+1)=1nC3 Retornando à relação y=tx obtém-se ou Desta forma, a solução procurada é y3+3xy2=x3=k 1) b) Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx, na equação (x+y)dx+(y-x)dy=0, obtém-se (x+tx)dx+(tx-x)(tdx+xdt)=0 ou (1+t)dx+(t-1)(tdx+xdt)=0 dx+tdx+t2dx+txdt-tdx-xdt=0 ou (1+t2)dx+x(t-1)dt=0 Separando as variáveis tem-se: ou e integrando tem-se 1nx+1/21n(t2+1)-arctgt=k. Retornando à relação y=tx, obtém-se ou Daí, a solução procurada é: 2) Para determinar as trajetórias ortogonais da família de circunferências, deriva-se x2+y2=2ax em relação a x, obtendo Eliminando-se a, vem: ou . E para obtermos as trajetórias ortogonais, substituir dy/dx por -dx/dy, e deste modo tem-se: x2+y2=2x2-2xy dx/dy o que nos leva a 2xy dx+(y2-x2)dy=0, que é uma equação homogênea. Substituindo y=xt e dy=xdt+tdx obtém-se: 2x xtdx+(x2t2-x2) (xdt+tdx)=0 2tdx+(t2-1)(xdt+tdx)=0 ou 2tdx+xt2 dt-xdt+t3dx-tdx=0 (2t-t+t3)dx+(xt2-x)dt=0 ou (t+t3)dx+x(t2-1)dt=0 Separando as variáveis tem-se ou e integrando tem-se 1nx=1nt-1n(t2+1)-1C ou 1nx=1nt-1n(t2+1)C 1nt- 1nx=1n(t2+1)C ou 1nt/x=1nC(t2+1) ou t/x=C(t2+1). Retornando à Equações Homogêneas 67 relação y=tx, obtém-se ou y=C(y2+x2). Dai tem-se que a família de trajetórias ortogonais a x2+y2=2ax é C(y2+x2) e a representação gráfica das duas famílias é como abaixo: Equações redutíveis às homogêneas DEFINIÇÃO: São todas as equações da forma onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes. Exemplos: 1) ou (2x-y+4)dy+(-x+2y-5)dx=0 2) ou (3x-y+2)dx+(9x-3y+1)dy=0 AFIRMAÇÃO: para obter solução para estas equações deve-se considerar os dois casos a seguir: a) O determinante é diferente de zero. Neste caso temos o sistema: cuja solução é dada pelas raízes x=α e yβ e faz-se a seguinte substituição: que geometricamente, equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto (α, β) que é a interseção das retas que compõem o sistema, e esta interseção é sempre possível uma vez que Veja mais: arquivos.unama.br / nead/gol/gol . . . /MS_ i m p r e s s o _ a u l a 1 3 . pdf Fig 44 unidade 0470 Daí retornando a relação t=v/u, temos: Substituindo u pelo seu valor x-3/7 e v por y-2/7 fica: E assim 2x2-6 xy+y2+2y+F=0 3) (x+2y-4)dx-(2x+y-5)dy=0 Solução: neste caso temos Daí, formamos o sistema cuja solução é e a substituição a ser feita é e daí temos que é uma equação homogênea e fazendo a substituição v=ut. dv=udt+tdu obtém-se (2u+ut)(u dt+tdu)=(u+2ut)du (2+t)(udt+tdu)=(1+2t)du ou 2udt+ut dt +2t du+t2du-du-2tdu=0 ou u(2+t)dt+(2t+t2-2t-1)du=0 du+(2+t)dt=0 E integrando fica Retornando a relação t=v/u tem-se: Substituindo u por (x-2) e v por (y-1) tem-se: b) O determinante é igual a zero. u t2-1 Equações Homogêneas 71 Como , os coeficientes de x e y são proporcionais de modo que pode-se escrever: a1b2=a2b1 ou a2/a1=b2/b1 Chamando esta relação constante de m, pode-se escrever: a2=ma1 e b2=mb1 Assim: Fazendo a1x+b1y=t, temos, sendo t=f(x): Derivando em relação à x: e a equação transformada: Que é uma equação de variáveis separáveis. Lista de exercícios resolvidos Resolver as seguintes equações: 1) Solução: neste caso tem-se e portanto devemos fazer 2x-y=t e daí temos y=2x-t e derivando em relação a x obtém-se O que transforma a equação em: ou ou Separando as variáveis fica: ou Integrando tem-se: unidade 0472 Daí temos: Retornando a relação t=2x-y tem-se 25x+k=15(2x-y)+4In(10x-5y-3) ou 30x-15y+4In(10x-5y-3)=25x+k ou 5x-15y+4In(10x-5y-3)=k 2) (2x+3y-1)dx+(2x+3y+2)dy=0 Solução: neste caso tem-se e a relação ou a2=a1; b2=b1 Reescrevendo a equação temos: Fazendo 2x+3y=t temos e derivando em relação a x, fica: Substituindo na equação obtém-se Separando as variáveis fica Integrando obtém-se: x=-t-9In(t-7)+C Mas t=2x+3y, logo: x=-2x-3y-9In(2x+3y-7)+C; 3x+3Y=-9In(2x+3y-7)+C 3) Solução: Reescrevendo a equação tem-se Daí, Fazendo -3x-3y=t tem-se Equações Homogêneas 75 3) (x-4y-3)dx-(x-6y-5)dy=0 Solução: neste caso tem-se s Daí forma-se o sistema cuja solução é Desta forma a substituição a ser feita é e a equação é transformada (u-4v)du-(u-6v)dv=0 em e pode-se ver que é uma equação homogênea de grau 1. Fazendo a substituição v=tu e dv=tdu+udt, obtém-se: (u-4tu)du-(u-6tu)(tdu+udt)=0 ou (1-4t)du-(1-6)(tdu+udt)=0 ou (1-5t+6t2)du- u(1-6t)dt=0 Separando as variáveis tem-se ou Integrando tem-se: ou Inu+In(2t-1)2-In(t-1/3)=K ou Retornando a relação t=v/u obtém-se: ou e daí . Como u=x+1 e v=y+1 temos 4) (3x-y+2)dx+(9x-3y+1)dy=0 Solução: neste caso tem-se . Reescrevendo a equação tem-se . Assim sendo faz-se t=3x-y e daí y=3x-t. Derivando y em unidade 0476 relação a x obtém-se o que transforma a equação em ou ou . Separando as variáveis fica ou . Integrando tem-se ou 6t-In(2t+1)=20x+C. Como t=3x-y, temos 2x+6y+In(6x-2y+1)=k Web-Bibliografia http://www.igm.mat.br/cursos/edo/edo_homogeneas.htm www.igm.mat.br/.../index.php?option...plaedoufg.. www.deetc.isel.ipl.pt/matematica/mat/aulas/.../Aula%20nº%208.pdf. www.dmat.ufba.br/disciplinas/programas/MAT043.d História das Equações Diferenciais 77 UNIDADE 05 Equações Diferenciais Exatas Resumo Nesta unidade abordaremos o estudo das equações diferenciais exatas, sua caracterização, e fator integrante. Objetivo Estudar os métodos básicos de resolução de equações diferenciais exatas. unidade 0580 e isto é um fato pois . Para resolver a equação deve-se determinar uma função U(x,y) tal que e . Como M(x,y)=x2-y2, obtém-se . Integrando ambos os membros em relação x tem-se: Diferenciando U(x,y) em relação a y obtém-se . Como tem-se -2xy=-2xy+Ø'(y) ou Ø'(y)=0 ou Ø'(y)=C. Deste modo tem-se que 2) (2x-y+1)dx-(x+3y-2)dy=0 Solução: neste caso tem-se M(x,y)=2x-y+1, N(x,y)=-x-3y+2 e é fácil ver que . Logo é uma equação diferencial exata. Para resolver, deve-se determinar uma função U(x,y) tal que: e . Como M(x,y)=2x-y+1 tem-se . Integrando ambos os membros em relação a x obtém-se. U(x,y)=x2-xy+x+Ø(y). Diferenciando em relação a y fica . Como obtém-se -3y+2= Ø . Daí, . Portanto . 3) eydx+(xey-2y)dy=0 Solução: tem-se neste caso que , logo a equação é exata. Para obtermos a solução deve-se determinar uma função U(x,y) ta que e . Como M(x,y)=ey tem-se . Integrando ambos os membros em relação a x fica U(x,y)=xey. Diferenciando em relação Equações Exatas 81 a y obtém-se . Como tem-se -2y= Ø'(y) ou Ø(y)=-y2+C . Desta forma, U(x,y)=xey-y2+C 4) (x3+y2)dx+(2xy+cosy)dy=0 Neste caso M(x,y)=x3+y2 e N(x,y)=2xy+cosy e assim é fácil ver que a equação é exata pois . Deve-se agora determinar U(x,y) tal que Daí tem-se e integrando em relação a x obtém-se: . Diferenciando em relação a y temos Como tem-se cos y= Ø(y) ou Ø(y) =seny+C. Desta forma tem-se . Lista de exercícios propostos Verifique se as equações são exatas e determine, em cada caso uma solução. 1) (3x2+6xy2)dx+(6x2y+2y3)dy=0 2) (1+y sen x)dx+(1-cos x)dy=0 3) (2xcosy-ex)dx-x2sen y dy=0 4) Soluções da lista de exercícios 1) (3x2+6xy2)dx+(6x2y+2y3)dy=0 Solução: nesta equação M(x,y)=3x2+6xy2 e N(x,y)=6x2y+4y3. Como e temos que a equação é exata. unidade 0582 Integrando ambos os membros de em relação a x, tem-se U(x,y)=x3+3x2y2+Ø(y). Derivando esta expressão em relação a y, tem-se . Com o tem-se 6x2y+4y3=6x2y+ Ø'(y) ou Ø'(y)=4y3 ou Ø(y)=y4+C 2) Daí temos U(x,y)=x3+3x2y2+y4+C Solução: tem-se M(x,y)=1+y sen x, N(x,y)=1-cosx e Logo a equação é exata. Sabe-se que a função U procurada é tal que e: Daí temos e integrando ambos os membros em relação a x obtém-se U(x,y)=x-y cos x+ Ø(y). Diferenciando esta expressão em relação a y tem-se . Como fica: 1-cos x=-cos x+ Ø'(y) ou Ø'(y)=1:. Ø(y)=y+C , daí tem-se U(x,y)=x-ycos x+y+C. 3) 2(2x cos y-ex)dx-x2 sen dy=0 Solução: este caso, M(x,y)=2xcosy-ex, N(x,y)=-x2seny e Logo a equação é exata. Sabendo que e integrando em relação a x tem- se U(x,y)=x2 cos y - ex+ Ø(y). Derivando em relação a y tem-se: ou Ø(y)=0 ou Ø(y)=C. Daí, U(x,y)=x2cos y-ex+C. 4) Solução: Neste caso tem-se e . Como concluímos que a equação é exata. Equações Exatas 85 Daí, e desta forma temos que um fator integrante é e a equação em questão é transformada em ou ou Daí temos uma diferencial exata (∂M/∂y =1=∂N/∂x) o que nos leva a existência de uma função U(x,y) tal que dU=Mdx+Ndy com a condição de . Portanto tem-se ou Resta-nos calcular Ø(y). Para tanto derivemos a igualdade anterior em relação a y. Daí, tem-se ou ou . Desta forma tem-se que a solução da equação é xy+Iny=C 2) (x2-y2)dx+2xydy=0 Solução: calculando e . Constata-se que a equação não é dife- rencial exata (∂M/∂y ≠∂N/∂x) tem-se pela relação dada no caso i) que: ou ou Assim: Daí, , Desta forma a equação é transformada em ou SAIBA MAIS: Atualizar conhecimentos das propriedades operatórias de função exponencial e função logarítmica. unidade 0586 E daí é fácil ver que a equação obtida é uma diferencial exata pois ∂M/∂y=2y/x2= ∂N/ ∂x. Resolvendo tem-se e daí, Assim sendo, temos ou Lista de exercicios propostos Determinar em cada caso um fator integrante e resolver as seguintes equações: 1) ydx+(-x+y2)dy=0 2) (2xy-x)dx-dy=0 3) 2xtdx+y2dy=0 Solução da lista 1) ydx+(-x+y2)dy=0 Solução: 1) Neste caso tem-se M(x,y)=y e N(x,y)=-x+y2. Daí, tem-se ∂M/∂y=1 e ∂N/x=-1 o que comprova que a equação não é diferencial exata. Para calcular um fator integrante usar a seguinte relação: Daí, ou e assim, ou ou = fator integrante. Desta forma a equação é transformada em ou . Resolvendo temos: ou ou mas ou Ø'(y)=1 ou Ø(y)=y+C. Daí, ou Equações Exatas 87 2) (2xy-x)dx-dy=0 Solução: neste caso M(x,y)=2xy-x e N(x,y)=-1. Como ∂M/∂y=2x e ∂N/∂x=0 são diferentes então a equação não é exata. Para obter um fator integrante usaremos a relação: Daí Ø(x)=-2x e desta forma tem-se = fator integrante. Desta forma a equação é transformada em e-x2[(2xy-x)dx-dy]=0 ou (2xye-x2-xe-x2) Agora resolvendo tem-se U= ∫Ndy+ Ø(x) ou: U=∫-e-x2dy+ Ø(x); U=-ye-x2+ Ø(x); Ø'(x)= xe-x2 Daí, ou 3) 2xydx+y2dy=0 Solução: neste caso temos M(x,y)=2xy, N(x,y)=y2 e ∂M/∂y=2x e ∂N/∂x=0 logo esta equação não é exata. Para determinar um fator integrante usaremos a relação: Daí, e assim fator integrante. Desta forma a equação é transformada em ou 2xdx+ydy=0. Agora resolvendo tem-se ou U= ∫Ndr+ Ø(x) ou U= ∫ydy+Ø(x) ou . Mas e portanto Ø(x)=x2+C Daí ou unidade 0690 Equações Lineares 91 EQUAÇÕES LINEARES Equações lineares Definição: equações lineares são as equações da forma: onde P e Q são funções de x ou constantes. Se Q=0, a equação é dita linear homogênea ou incompleta. Exemplos: Métodos de resolução Método da substituição ou Método de Lagrange Seja a equação: (*) Este método consiste em substituir y por z.t onde: sendo z a nova função incógnita e t a função a determinar. Derivando y em relação a x tem-se: unidade 0692 e substituindo em (*) dy/dx pelo valor obtido, tem-se: daí, Para integrar esta equação, examinar dois casos particulares da equação (*), a saber: Caso 01 : , isto é, P = 0 ou ou Caso 02: , isto é, Q=0, Para analisar o caso 02, começamos multiplicando todos os termos por dx deste modo tem-se: dy+Pydx=0 Daí, separando as variáveis fica: e integrando tem-se: ou ou E daí pela definição de logaritmo, pode-se escrever: Fazendo ec=k vem que é a solução de uma equação linear homogênea ou incompleta. Exemplo: A solução da equação é Voltando à equação: podemos ver que, se consegue- se obter os valores de t e z obviamente ter-se a solução da equação (*) dita linear completa, já que y=zt. Assim, pesquisem-se na equação acima um Veja Mais: Logarítmos, definição e propriedades Equações Lineares 95 Calcula-se um fator integrante tem-se: e multiplica-se a equação modificada por 1/x tem-se: Que é uma diferencial exata, pois Assim: ou Daí, usando , temos ou ou e desta forma tem-se e a solução geral é: y+2xIn x-x2=Cx 2) Resolva pelo método de Lagrange a equação Solução: Substituindo: y=z.t tem-se Daí, e reescrevendo a equação fica: Cálculo de t: Separando as variáveis temos e integrando fica e assim tem-se t=sec x Cálculo z: ou ou dz=senx cosx dx ou Solução geral: 3) Utilizando a fórmula (**) acima, isto é, usando resolva a equação: Solução: reescrevendo a equação tem-se: unidade 0696 Daí, P=1/x e e e Como eInx= temos Assim, a solução é: Lista de problemas propostos Resolver as seguintes equações lineares: 1) 2) 3) 4) y2 dx-(2xy+3)dy=0 Resp.: x=Cy2-1/y 5) Achar a solução particular para y=0 e x=0 Resp.:y=x/cos x 6) Achar a solução particular para y=b e x=a Resp .: Solução da lista de exercicios propostos 1) Solução: Substituindo y=zt e tem-se ou Equações Lineares 97 Calculando t: ou ou In t=In x ou t=x Calculando z: Mas t=x e daí ou z=x+C Solução geral y=z.t=x(x+C) ou y=Cx+x2 2) Solução Substituindo y=zt e tem-se daí . Calculando: t ou ou In t=-2In x ou In t=In x-2 ou t=1/x2 Calculando z . Como t=1/x2 ou dz/dx=x5 e daí . Solução geral 3) Solução Reescrevendo a equação, fica (tg x y + cos x)dx-dy=0 e calculando um fator integrante, temos multiplicando os dois membros por λ=cos x tem-se (sex xy+cos2x)dx-cos xdy=0 e pode-se ver que logo é uma diferencial exata. Desta forma ou ou ou