EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS, Exercícios de Cálculo Avançado

Baixe EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS e outras Exercícios em PDF para Cálculo Avançado, somente na Docsity! NOTAS DE AULA 1 Curso: Engenharia Ambiental Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias Professora: Dra. Camila N. Boeri Di Domenico Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 1. INTRODUÇÃO Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Essa descrição começa com: i) identificação das variáveis que são responsáveis por mudanças do sistema, e ii) um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema. A estrutura matemática de todas essas hipóteses, ou o modelo matemático do sistema, é muitas vezes uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. O estudo das equações diferenciais começou com os m´métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII para resolver problemas motivados por considerações físicas e geométricas. Esses m´métodos, na sua evolução, conduziram gradualmente à consolidação das Equações Diferenciais como um novo ramo da matemática, que em meados do século XVIII se transformou numa disciplina independente. Um modelo matemático de um sistema físico geralmente envolve a variável tempo. A solução do modelo representa o estado do sistema: em outras palavras, para valores apropriados do tempo t, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema no passado, presente e futuro. As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como:  O crescimento de culturas de bactérias;  Competitividade entre as espécies de um ecossistema,  Escoamento de fluidos em dutos,  O movimento dos planetas em torno do sol,  Trajetória de projeteis,  A formação do granizo na atmosfera, Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 4 Uma lei empírica de resfriamento atribuída a Isaac Newton assegura que a taxa de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio. A frase acima é uma descrição verbal de uma equação diferencial, conhecida por Lei de Resfriamento de Newton. Essa lei é expressa matematicamente como: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) em que T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura do meio (constante), 𝑑𝑇 𝑑𝑡 representa a taxa de variação da temperatura do corpo, k é uma constante de proporcionalidade (como o corpo está esfriando, devemos ter T > Tm, logo, k <0). Essa equação diferencial pode ser resolvida por meio de variáveis separáveis, que será discutido a seguir. Exemplo 3: Frequentemente, observa-se que a taxa de crescimento de certas bactérias é proporcional ao número de bactérias presentes num dado instante de tempo. 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑘𝑥, 𝑥(𝑡0) = (𝑥0) em que k é uma constante de proporcionalidade, t é o tempo e x é o número de bactérias. 2. DEFINIÇÕES BÁSICAS Definição 1: Equação Diferencial Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de Equação Diferencial (ED). Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como: Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 5 F(x, y, y’ , y ’’, ... , y (n)) = 0 ou F(x, y, dx dy , 2 2 dx yd , ..., n n dx yd ) = 0. As equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade. Tipo: Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, com relação a uma única variável independente, ela é chamada Equação Diferencial Ordinária (EDO). Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de Equação Diferencial Parcial (EDP). Exemplos: a) yx dx dy 2 → EDO b) x dx dy sen → EDO c) 0 2 2  y dx dy x dx yd → EDO d) 0 2 2 2 2       t u x u , onde u = (x, t) → EDP e) 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 → EDP Notação: Ao longo deste texto, derivadas ordinárias serão escritas utilizando-se a notação de Leibniz dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3, ..., ou a notação prima y’, y’’, y’’’,... Na verdade, a notação prima é utilizada para indicar apenas as primeiras três derivadas; a quarta derivada e ́ escrita Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 6 y(4) em vez de y’’’’. Em geral, a derivada de ordem n é dny/dxn ou y(n). Apesar de ser menos conveniente de escrever e digitar, a notação de Leibniz é mais vantajosa em relação à notação prima pelo fato de apresentar de modo mais claro tanto as variáveis dependentes como as variáveis independentes. Por exemplo, na equação diferencial d2x/dt2 +16x = 0, percebe-se imediatamente que o símbolo x agora representa uma variável dependente, enquanto a variável independente é t. Deve-se estar consciente que em física e engenharia a notação em ponto de Newton e ́ algumas vezes utilizada para indicar derivadas em relação ao tempo t. Assim, a equação diferencial d2s/dt2 = -9,81 se escreve ?̈? = -9,81. Derivadas parciais são frequentemente apresentadas por uma notação de subscrito indicando as variáveis independentes. Por exemplo: uxx + uyy = 0 e uxx = utt - 2ut. Ordem: A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação. O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem. Exemplos: Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais. (a) 07 3 2 2        dx dy dx dy dx yd É uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d2y/dx2 é a derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira potência de dy/dx não tem influência no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem que d2y/dx2. (b) 03 2       y dx dy dx dy É uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem; dy/dx é a derivada de maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx aparecendo na equação. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 9 Definição 2: Resolução de uma Equação Diferencial Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração. Definição 3: Solução É a função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser: • Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. • Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. • Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não apresentam essa solução. As soluções ainda podem ser: • Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f(x) é chamada solução explícita. • Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G(x,y)=0 trata-se de uma solução implícita. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 10 Exemplos: (a) Verificar que y = 4.e-x + 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e primeiro grau .0 2 2  dx dy dx yd Observando que xe dx dy  .4 e xe dx yd  .4 2 2 e substituindo na equação diferencial dada, temos: 4.e-x + (– 4.e-x) = 0 0 = 0 A solução y = 4.e-x + 5 no exemplo acima é um exemplo de uma solução particular de uma equação diferencial. Podemos verificar que y = 4.e-x + 3 é também uma solução particular da equação diferencial no exemplo (a). Deste modo, uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução particular. (b) Verificar que y = x x eC eC .1 .1   é uma solução da equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau )1( 2 1 2  y dx dy . A primeira derivada da equação dada é  2.1 ..2 x x eC eC dx dy   . Substituindo este resultado na equação diferencial dada, temos:  2.1 ..2 x x eC eC  =                1 .1 .1 2 1 2 2 x x eC eC  2.1 ..2 x x eC eC  =                 2 2222 .1 ..21..21 2 1 x xxxx eC eCeCeCeC  2.1 ..2 x x eC eC  =             2 .1 ..4 2 1 x x eC eC  2.1 ..2 x x eC eC  . Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 11 Uma solução y = f(x) de uma equação diferencial de ordem n contendo n constantes arbitrárias é chamada uma solução geral. Assim, a solução y = x x eC eC .1 .1   no Exemplo (b) ou y = 4.e-x + C no Exemplo (a) é um exemplo de uma solução geral. (c) Verifique que 𝑦 = 𝑥4 16 é uma solução para a equação não-linear: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦1/2 (d) Verifique que a função 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 é uma solução para a equação linear: 𝑦" − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 Curvas Integrais: Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da equação diferencial. Exemplo: Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 14 Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características. Teorema: Considere o problema de valor inicial { 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 Se p(x) e q(x) são contínuas em um intervalo aberto I e contendo x0, então o problema de valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. Observa-se que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” ao cálculo de uma integral e sabe-se que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 15 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 1) Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais. a) 07 3 2 2        dx dy dx dy dx yd b) 03 2       y dx dy dx dy c) 22 yx dx dy  d) y’’’- 4y’’ + xy = 0 e) 023 2       dx dy x dx dy f) y’+ x.cosx = 0 g) yx dx dy xy dx yd 2 2 2 5  h) (y’’)3 - xy’ + y’’ = 0 i) 0 2 2        dx dy y dx dy x j) y’’+ ex y = 2 2) Verificar que y = 4.e-x + 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e primeiro grau .0 2 2  dx dy dx yd 3) Mostre que y = C.e-2x é uma solução para a equação diferencial y’ + 2y = 0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 16 4) Verificar que cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação diferencial dada. a) 3 dx dy ; y = 3x – 7 b) yx dx dy x  2 ; y = x2 + Cx c) 242 xxy dx dy  ; y = x2 - 4x d) x xy dx dy 42  ; y = x2 - 4x 5) Na aplicação abaixo, classificar a equação dada quanto ao tipo, ordem e linearidade. Suponhamos que uma certa quantia 𝐴0 de dinheiro seja depositado em uma instituição financeira que paga juros à taxa 𝑘% a.a. O valor do investimento 𝐴(𝑡), em qualquer instante 𝑡, depende da frequência na qual o juro é capitalizado e também da taxa de juros. As instituições financeiras seguem várias orientações no que se refere a capitalização dos juros: alguns fazem- na mensalmente, outras semanalmente e até diariamente. Admitiremos que a capitalização seja contínua. Seja 𝑑𝐴 𝑑𝑡 a taxa de variação do valor do investimento e esta taxa é proporcional a taxa na qual o investimento cresce a cada instante 𝑡, ou seja: 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝜆 ∙ 𝐴, onde 𝜆 = 𝑘 100 então: { 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝑘 100 ∙ 𝐴 𝐴(0) = 𝐴0 A solução dessa equação diferencial fornece o valor do montante A(t) creditado ao investidor em qualquer instante 𝑡. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 19 c) y = x2 - 4x 242 xxy dx dy  ; y’=2x-4 2x - 4 + x2 - 4x + 2x + 4 = x2 x2 = x2 d) y = x2 - 4x x xy dx dy 42  ; y’=2x-4 x(2x-4)-2(x2 - 4x) = 4x 4x = 4x Exercício 5: Equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e primeiro grau. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 20 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 5.1 Motivação A taxa de crescimento de uma população é diretamente proporcional a população num instante considerado. Determinamos a variação populacional em função do tempo, sabendo que no tempo 𝑡 = 0 a população era 𝑃0. Seja  𝑃 a população no instante 𝑡  𝑑𝑃 𝑑𝑡 a taxa de crescimento populacional no instante 𝑡 segundo as condições do problema então { 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝑘𝑃 𝑃(0) = 𝑃0 Este modelo é conhecido como modelo de Malthus. Ele também é aplicado em certos tipos de microorganismos que se reproduzem por mitose. A equação acima é classificada como uma Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem de Variáveis Separáveis. Vejamos, agora, como determinar a sua solução geral. 5.2 Introdução No estudo da metodologia de resolução de equações de primeira ordem, a forma mais simples de EDO é dada por: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) (1) Se g(x) é uma função continua dada, então (1) pode ser resolvida por integração e sua solução é: 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 A equação (1) bem como a sua resolução é um caso especial das equações com variáveis separáveis. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 21 Exemplos: a) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 + 𝑒2𝑥 Solução: b) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) Solução: 5.3. Definição de Equação Separável Uma equação diferencial da forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) ℎ(𝑦) é chamada separável ou tem variáveis separáveis. Observa-se que uma equação separável pode ser escrita como ℎ(𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) (2) Se ℎ(𝑦), a equação (2) fica reduzida a (1). Agora, se y = f(x) denota uma solução para (2), tem-se: ℎ(𝑓(𝑥))𝑓´(𝑥) = 𝑔(𝑥) Logo, ∫ ℎ(𝑓(𝑥))𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 (3) Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 24 3) Desintegração Radioativa A velocidade de uma substância radioativa é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Determinamos a lei de variação da massa da variação da massa da substância radioativa em função do tempo, sabendo que no instante 𝑡 = 0 a massa era 𝑚0. Determina-se a velocidade de desintegração como segue. Seja  𝑚 a massa no instante 𝑡  𝑑𝑚 𝑑𝑡 a velocidade de desintegração no instante 𝑡 Segundo a condição do problema { 𝑑𝑚 𝑑𝑡 = −𝑘𝑚 𝑚(0) = 𝑚0 em que 𝑘 é um coeficiente de proporcionalidade (𝑘 > 0). Introduzimos o sinal negativo uma vez que a massa decresce quando o tempo cresce. A solução geral desta equação é dada por: Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 25 4) O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se numa velocidade que é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Se 100 miligramas desta substância são reduzidas a 82,04 miligramas em uma semana, ache uma expressão para a massa presente em qualquer tempo. Chamamos de meia vida de uma substância, ao período de tempo gasto para que a massa dessa substância se reduza a metade. Com base nisso determine a meia vida de 100 miligramas de tório 234. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 26 5) A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional a diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja 𝑇 a temperatura de corpo e 𝑇𝑚 a temperatura do meio ambiente. Então a taxa de variação da temperatura do corpo é 𝑑𝑇 𝑑𝑡 e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser formulada como: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) ou 𝑑𝑇 𝑑𝑡 + 𝑘𝑇 = 𝑘𝑇𝑚 onde 𝑘 é uma constante de proporcionalidade. Se 𝑘 > 0, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton, a fim de tornar 𝑑𝑇 𝑑𝑡 negativa em um processo de resfriamento. A solução geral dessa equação é dada por: Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 29 8) Resolva (1 + 𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0 A solução é dada resolvendo-se as integrais de ambos os lados, após reescrever a equação: 9) Resolva o problema de valor inicial 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑦 , 𝑦(4) = 3 Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 30 LISTA DE EXERCÍCIOS 2 1) Resolver a equação diferencial y’ – 2x = 0 sujeita à condição inicial y(2) = 1. 2) Resolver a equação diferencial y + xy’ = 0 sujeita à condição inicial y(3) = 2. 3) Resolva: 02  dxyxdy 4) Resolva: 03 23  xydydxyx 5) Resolva: 0 ydxxdy 6) Resolva: 0cos3  xy dx dy 7) Determinar a solução particular da equação diferencial sujeita à condição dada: 42 yx dx dy  ; y (1) = 1 8) Determinar a solução geral da equação diferencial x2yy’ – 2xy3 = 0. 9) Resolver a equação diferencial x(1 + y2) – y(1 + x2)y’= 0. 10) Resover: 0 2  y e dx dy x 11) Segundo a lei de resfriamento de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e a do meio ambiente. Se a temperatura ambiente é 20oC e a temperatura de um corpo passa de 100oC para 60oC em vinte minutos, qual é o tempo necessário para que a temperatura do corpo seja igual a 30oC? 12) A taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do meio circundante. Um objeto cuja temperatura era de 40 graus foi colocado num ambiente cuja temperatura é de 80 graus. Após 20 minutos, a temperatura do objeto chegou a 50 graus. Expresse a temperatura do objeto como função do tempo. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 31 13) Uma substância, a 98º C, é colocada em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos, a temperatura desta substância é de 38º C. Supondo que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que a substância atinja 20º C? 14) A velocidade de desintegração do rádio é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Se 10g de rádio são reduzidas a 9,93g em 15 anos, ache uma expressão para a massa dessa substância presente em qualquer tempo e encontre a meia vida de 10g dela. 15) Numa certa cultura de bactérias a taxa de aumento é proporcional ao número de bactérias presente. Verificando que o número dobra em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 12 horas? 16) Numa determinada cultura de bactérias a taxa de aumento é proporcional ao número de bactérias presentes em determinado instante. Sabe-se que no fim de 3 horas existiam 104 e no fim de 5 horas 4 ∙ 104, quantas bactérias existiam no começo, ou seja, qual a população inicial de bactérias? 17) Sabendo que uma determinada substância radioativa se decompõe numa razão proporcional a quantidade existente e que sua meia vida se dá em 1600 anos, calcular a percentagem perdida em 100 anos. 18) O nuclídeo radioativo plutônio 241, decai de acordo com: 𝑑𝑚 𝑑𝑡 = −0,0525𝑚 onde 𝑚 está em miligramas e 𝑡 em anos. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 34 16) P(0) = 1250 17) m(100) = 0,96m0 → Perdeu 4% 18) a) 𝑡 ≅ 13,2 𝑎𝑛𝑜𝑠; 𝑏) 𝑚 ≅ 29,58𝑚𝑔 19) 𝐴(𝑡) = 𝐶 ∙ 𝑒 𝑘𝑡 100 Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 35 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES 6.1. Motivação Na década de 1960-70, a poluição nos Grandes Lagos tornou-se uma preocupação pública. Estabeleceremos um modelo para quanto tempo levaria até que os lagos se livrassem da poluição, supondo que não fossem jogados mais poluentes no lago. Seja 𝑄 a quantidade total de poluentes num lago de volume 𝑉 ao tempo 𝑡. Suponha que a água limpa está fluindo para o lago a uma taxa constante 𝑟 e que a água escorre para fora à mesma taxa. Suponha que o poluente esteja uniformemente distribuído pelo lago e que a água limpa que entra no lago se mistura imediatamente com o resto da água. Como varia 𝑄 com o tempo? Primeiro, observe que como poluentes estão saindo do lago mas não estão entrando, 𝑄 decresce e a água que deixa o lago se torna menos poluída, de modo que a taxa à qual saem os poluentes diminui. Isto nos diz que 𝑄 é decrescente e côncava para cima. Além disso, os poluentes nunca serão totalmente removidos do lago, ainda que a quantidade que resta se torne arbitrariamente pequena. Para entender como varia 𝑄 com o tempo, escrevemos uma equação diferencial para 𝑄. Sabemos que 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑄 = −𝑇𝑎𝑥𝑎 à 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑎𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑙𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 O sinal negativo representa o fato de 𝑄 estar decrescendo. Ao tempo 𝑡 a concentração de poluentes é 𝑄 𝑉⁄ e água contendo essa concentração está saindo à taxa 𝑟. Assim 𝑇𝑎𝑥𝑎 à 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 × 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 𝑟 ∙ 𝑄 𝑉 Portanto, a equação diferencial é 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = −𝑟 ∙ 𝑄 𝑉 Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 36 A equação acima é caracterizada como sendo uma equação diferencial de primeira ordem linear. 6.2. Introdução Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como,         g(x)yxa dx d a dx d a dx d xa 011-n 1-n 1-nn n n  y x y x y  Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando n = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem. 6.3. Definição – Equação Linear Uma equação diferencial da forma )()()( 01 xgyxa dx dy xa  é chamada de equação linear. Dividindo pelo coeficiente a1(x), obtemos uma forma mais útil de uma equação linear:   Q(x).yxP dx d  y . (1) Procuramos uma solução para (1) em um intervalo I no qual as funções P(x) e Q(x) são contínuas. Na discussão a seguir, supomos que (1) possui uma solução. Usando diferenciais, podemos escrever a equação (1) como Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 39 6.4. Sintetizando o método de solução: (1) Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque – a na forma abaixo, isto é, faça o coeficiente de )()( xfyxp dx dy  (2) Identifique P(x) e encontre o fator de integração  dxxPe )( (3) Multiplique a equação obtida em pelo fator de integração: )()( )()()( xfeyxpe dx dy e dxxPdxxPdxxP   (4) O lado esquerdo da equação em é a derivada do produto do fator de integração e a variável independente y; isto é,   )()()( xfeye dx dy dxxPdxxP   (5) Integre ambos os lados da equação encontrada e obtemos    )( )()( xfeye dxxPdxxP Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 40 Exemplos: 1) Retornando ao exemplo da seção 6.1 sobre o problema da poluição e usando o quadro abaixo, que contém valores de r e V para quatro dos Grandes Lagos, determine: a) quanto tempo levará até que 90% da poluição seja removida do Lago Erie; b) para que 99% seja removida. Quadro: Volume e escoamento nos Grandes Lagos Lago V (milhares de km3) r (km3/ano) Superior 12,2 65,2 Michigan 4,9 158 Erie 0,46 175 Ontario 1,6 209 Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 41 2) A mistura de duas soluções de sal de concentrações diferentes resulta em uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor que um tanque de mistura grande comporte 300 litros de salmoura. Outra solução de salmoura é bombeada para dentro desse tanque grande a uma taxa de 3 litros por minuto; a concentração de sal neste fluxo é de 2kg de sal por litro. Quando a solução do tanque estiver bem misturada, ela é bombeada para fora à mesma taxa da solução de entrada. Se 𝐴(𝑡) corresponde a taxa de sal (medida em quilos) no tanque no instante de tempo 𝑡, a taxa com a qual 𝐴(𝑡) se modifica é uma taxa líquida: 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙) − (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙) = 𝑅𝑖𝑛 − 𝑅𝑜𝑢𝑡 A taxa de entrada 𝑅𝑖𝑛 com a qual o sal entra no tanque é o produto do fluxo da concentração de sal e o fluxo da concentração de fluído. Observe que 𝑅𝑖𝑛 é medido em quilos por minuto 𝑅𝑖𝑛 = (2 𝑘𝑔/𝑙) ∙ (3 𝑙/𝑚𝑖𝑛) = (6 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛) Agora, como a solução está sendo bombeada para fora do tanque com a mesma taxa que ela é bombeada para dentro, a quantidade de litros de salmoura no tanque no instante de tempo 𝑡 é um valor constante de 300 litros. Consequentemente, a concentração de sal no tanque, assim como no fluxo para fora, é 𝑐(𝑡) = 𝐴(𝑡) 300 𝑘𝑔/𝑙 e assim, a taxa de saída 𝑅𝑜𝑢𝑡 de sal é 𝑅𝑜𝑢𝑡 = ( 𝐴(𝑡) 300 𝑘𝑔/𝑙) ∙ (3 𝑙/𝑚𝑖𝑛) = 𝐴(𝑡) 100 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛 A taxa líquida então se escreve 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 6 − 𝐴 100 Ou 𝑑𝐴 𝑑𝑡 + 1 100 𝐴 = 6 Assim, propõe-se a seguinte questão: se existissem 50kg de sal inicialmente dissolvidos em 300 litros, qual é a quantidade de sal no tanque após um longo período de tempo? Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 44 4) Encontre a solução geral de x6ex4y dx dy x  . Solução: Escreva a equação como x5exy 4 dx dy  x (dividindo por x) (1) Como P(x) = -4/x, o fator integrante é    dx x 4 - P(x)dx )( eex = e-4 lnx = x –4. Aqui, usamos a identidade básica blogbN = N, N > 0. Agora, multiplicamos (1) por este termo x –4. x544 exx.y x 4 x. dx dy   x –4. x5 xeyx.4 dx dy   (2) e obtemos   x4 xe.yx. dx d  . (3) Segue-se da integração por partes que x –4y = xex – ex + c ou y(x) = x5 ex – x4ex + c x 4. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 45 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 1) Um tanque contém 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma salmoura contendo 1 grama de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 L/min; a solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. Ache a expressão para A (t) de gramas de sal no tanque no instante t. 2) Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância é de 10-6 farads. Ache a carga q(t) no capacitor se q(0)=0. Ache a corrente i(t). 3) Depois de cessar a administração de uma droga no corpo de um paciente, a taxa à qual a droga deixa o corpo é proporcional à quantidade de droga que permanece no corpo. a) Se Q representar a quantidade remanescente, encontre uma EDO que expresse Q. b) Sabendo-se que ácido volpróico é uma droga usada para controlar epilepsia e que sua meia-vida no corpo humano é de cerca de 15h, use esta meia-vida para achar a constante k da EDO obtida na questão anterior. c) A qual tempo restarão 10% da droga? 4) Um fumante em cadeia fuma cinco cigarros por hora. De cada cigarro, 0,4mg de nicotina são absorvidas na corrente sanguínea da pessoa. A nicotina deixa o corpo a uma taxa proporcional à quantidade presente, com constante de proporcionalidade -0,346. a) Escreva uma equação diferencial para o nível de nicotina no corpo, N, em mg, como função do tempo, t, em horas. b) Resolva a EDO anterior. Suponha que inicialmente não há nicotina no sangue. c) A pessoa acorda às 7h da manhã e começa a fumar. Quanta nicotina há no seu sangue quando ela vai dormir às 23h? Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 46 5) Resolver cada EDO abaixo: a) xey dx dy 35  h) dxxydxxdy 223  b). xey dx dy 23  i) xdy – 5ydx = (4x + x 6)dx c). 2 3 3  x x y dx dy j) 32 )4(2  xy dx dy x d). 5 2 2  x x y dx dy k) dxxxydxdyx 22 32)1(  e). )23(2 3 xexy dx dy x  l) xxy dx dy sentan  f) )13(3 22  xeyx dx dy x m) 72 42  xxy dx dy x g) dxexydxdy x424  n) 52 32  xxy dx dy x 6) Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas. a) xey dx dy 23  ; y (0) = 2 c) xyecx dx dy cotcos  ; y (/2) = 3/2 b) 32  x x y dx dy ; y (1) = 3 d)  dxyxdy 3 ; y (0) = 1 Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 49 7 – EQUAÇÃO DE BERNOULLI A equação diferencial   nQ(x).y.yxP dx d  y (1) em que n é um número real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1, a equação (1) é linear em y. Agora, se y  0, (1) pode ser escrita como   Q(x).yxP dx d y n-1n-  y (2) Se fizermos w = y1 – n, n  0, n  1, temos   dx dy yn1 dx dw n Com essa substituição, (2) transforma-se na equação linear   n).Q(x)(1.wxn).P(1 dx dw  (3) Resolvendo (3) e depois fazendo y1 – n = w, obtemos uma solução para (1), ou seja,  CdxexQney n    n).P(x)dx-(1n).P(x)dx-(11 ).().1( Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 50 Exemplos 1) Resolva . 1 2xyy xdx dy  (1) Solução Em (1), identificamos P(x) = 1/x, Q(x) = x e n = 2. Logo, a mudança de variável w = y1-2 = y –1 e dx dy dx dw 2 y nos dá x.w x 1 dx dw  (*) O fator de integração para essa equação linear é 1ln 1     xee x dx x . Multiplicando ambos os lados de (*) pelo seu fator integrante x –1, obtemos: xw x 1 dx dw 111   xxx ou 1w dx dw 21   xx assim   1. dx d 1  wx . Integrando essa última forma, obtemos: x -1 w = - x + c ou w = - x2 + cx. Como w = y –1, então y = 1/w ou y = 1/(- x2 + cx) Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 51 2) Uma parte de uma corrente uniforme de 8m de comprimento está enrolada de forma livre em torno de uma estaca na beirada de uma plataforma horizontal elevada, estando a parte restante da corrente pendurada em repouso além da beirada da plataforma. Suponha que o comprimento da corrente pendurada seja de 3m, que o peso da corrente seja de 2N/m, e que a direção positiva seja para baixo. Iniciando em t=0 segundos, o peso da parte pendurada faz com que a corrente na plataforma se desenrole suavemente e caia no chão. Considerando que x(t) represente o comprimento da corrente pendurada no instante de tempo t>0, então v=dx/dt é sua velocidade. Quando todas as forças de resistência são ignoradas, pode-se mostrar que um modelo matemático relacionando v a x é dado por 𝑥𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣2 = 9,81𝑥 Determine a velocidade com a qual a corrente deixa a plataforma. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 54 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM HOMOGÊNEAS 8.1. Definição – Função Homogênea Se uma função f satisfaz ),(),( yxfttytxf n Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n. Exemplos: (1) f(x,y) = x2 – 3xy + 5y2 (2) f(x,y) = x3 + y3 + 1. OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada termo. Exemplos: (1) f(x,y) = 6xy3 – x2y2    A função é homogênea de grau quatro. grau 4 grau 4 Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 55 (2) f(x,y) = x2 – y    A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes grau 2 grau 1 8.2. Definição: Equação Homogênea Uma equação diferencial da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir. Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y = u.x onde u é uma função diferenciável de x e dy = u dx + x du. OBS: São válidas também as substituições x = y.v e dx = y dv + v dy. Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 56 Exemplo 1: Resolva (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 Exemplo 2: Resolva o PVI 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 + 𝑥𝑒𝑦/𝑥, y(1) = 1 Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 59 9. EQUAÇÃO EXATA 9.1. Definição – Equação Exata Uma expressão diferencial 0),(),(  dyyxNdxyxM é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f (x, y). Uma equação diferencial da forma 0),(),(  dyyxNdxyxM é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. 9.2. Teorema – Critério para uma diferencial exata Sejam M (x, y) e N (x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que 0),(),(  dyyxNdxyxM seja uma diferencial exata é x N y M      9.3. Método de Solução Dada a equação 0),(),(  dyyxNdxyxM Mostre primeiro que x N y M      Depois suponha que Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 60 ),( yxM x f    daí podemos encontrar f integrando M(x, y) com relação a x, considerando y constante. Escrevemos,   )(),(),( ygdxyxMyxf em que a função arbitrária g (y) é a constante de integração. Agora, derivando f(x,y) com relação a y e supondo :),( yxNyf        ),()´(),( yxNygdxyxM yy f Assim,    .),(),()´( dxyxM y yxNyg Finalmente, integre g’(y) com relação a y e substitua o resultado em f(x,y). A solução para a equação é f (x, y) = c. Exemplos: Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 61 LISTA DE EXERCÍCIOS 6 1) Resolva 2xy dx + (x2 – 1) dy = 0 R: x2y – y = c. 2) Resolva o problema de valor inicial (cosx senx – xy2) dx + y.(1 - x2) dy = 0, y (0) = 2. R: y2 (1 – x2) – cos2x = 3 3) Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral. a) (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0 R: x² - 3xy + y² = C b) yexdx + exdy = 0 R: yex = C c) (3y2 + 10xy2)dx + (6xy – 2 + 10x2y)dy = 0 R: 3xy² + 5x²y² - 2y = C d) 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0 R: sen(2x – y) = C e) (4x3 – 6xy2)dx + (4y3 – 6xy)dy = 0 R: não é exata 4) Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. a) 0)3cos3(sen3  ydyydxe x ; y(0) =  R: e3x.sen3y = 0 b) (x2 + y2)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1 R: xy² + 3 x3 = 12 Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 64 temos que  dxxhe )( = xdx ee 1 é um fator integrante. Multiplicando a equação dada por ex, obtemos a equação diferencial exata (y2ex – x ex) dx + 2yex dy = 0 cuja solução é obtida da seguinte maneira: f(x,y) = )(y dy2yedy y)N(x, 2 xgex x   f ’(x,y) = )(y '2 xgex  = y2ex – x ex )(' xg = – x ex (integração por partes) Logo, g(x) = – x ex + ex , o que implica na solução geral xe2y – x ex + ex = c. OBS: Um outro fator integrante é: Se M(x,y) = y. f(x,y) e N(x,y) = x. g(x,y), então y)y.N(x, - y)x.M(x, 1 ),( yx (*) Exemplo 2 Resolva y’ = x yxy 2 . Solução Escrevendo a equação sob forma diferencial, temos x yxy   2 dx dy Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 65 (xy2 – y)dx – xdy = 0 y.(xy – 1)dx – x.(1)dy = 0 (multiplicando por – 1) y.(1 - xy)dx + x.(1)dy = 0 (1) De acordo com (*), temos: (x,y) =     x.(1)y. - xy-1y.x. 1 = yx -x-x.y 1 22 y = 22x- 1 y = 2)(x 1 y  Multiplicando (1) por (x,y), obtemos: 2)(x 1 y  .[y.(1 - xy)dx + x.(1)dy] = 0, ou seja,   0 11 22   dy xy dx yx xy que é exata. Aplicando o método de resolução de equação exata, chegamos à solução y = - 1/(x.lncx) Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 66 LISTA DE EXERCÍCIOS 7 a) Encontre o fator integrante que é função apenas de x ou apenas de y, e use-o para encontrar a solução geral da equação diferencial dada. 1. ydx - (x + 6y2)dy = 0 6. (2x2y – 1)dx + x3dy = 0 2. (2x3 + y)dx - xdy = 0 7. y2dx + (xy - 1)dy = 0 3. (5x2 - y)dx + xdy = 0 8. (x2 +2x + y)dx + 2dy = 0 4. (5x2 – y2)dx + 2ydy = 0 9. 2ydx + (x – sen y )dy = 0 5. (x + y)dx + tgxdy = 0 10. (-2y3 + 1)dx + (3xy2 + x3)dy = 0 Gabarito Lista de Exercícios 7 1) FI: 1/y²  (x/y) – 6y = C 6) FI: x -1  x²y - lnx = C 2) FI: 1/x²  (y/x) – x² = C 7) FI: (1/y)  xy - lny = C 3) FI: 1/x²  (y/x) + 5x = C 8) FI: 2 x e  2 x e (2y + 2x² - 4x + 8) = C 4) FI: e-x  e-x (y² - 5x² - 10x – 10) = C 9) FI: (1/ y )  x. y + cos y = C 5) FI: cosx  y.senx + x.senx + cosx 10) FI: x -3  x -2y³ + y - (1/ 2x²) = C Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 69 (20) C senhu ducoshu  (21) C tghu duu sech2  (22) C cotghu - duu cosech2  (23) C sechu du sechu.tghu  (24) C cosechu - dutghu cosechu.co  (25) C auuln au du 22 22    (26) C au au ln 2a 1 ua du 22       (27) C aa ln 1 u au du 22 22      u u a FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA (01)    duu sen n 1n u u.cossen n 1 duu sen 2-n1-nn (02)    duu cos n 1n u u.sen cos n 1 duu cos 2-n1-nn (03)   duu tut1-n 1 duu t 2-n1-nn ggg (04)   duu cotg-ucotg1-n 1 duu cotg 2-n1-nn (05)    duu sec 1-n 2n u u.tgsec 1-n 1 duu sec 2-n2-nn (06)    duu cosec 1-n 2n u u.cotgcosec 1-n 1 duu cosec 2-n2-nn (07)                    1n2222 n122 n 22 au du 1n2a 32n 1n2a auu. au du Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 70 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS a u 22 ua  u = a sen  du = a cos d 22 ua  = a.cos u 22 ua  a u = a tg  du = a sec2  d 22 ua  = a.sec 22 au  u a u = a sec  du = a sec  tg  d 22 au  = a. tg  IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1. 2 2sen cos 1x x  . 2. 2 21 tg secx x  . 3. 2 21 cotg cosecx x  . 4. 2 1 cos 2sen 2 x x   . 5. 2 1 cos 2cos 2 x x   . 6. sen 2 2 sen cosx x x . 7.    2 sen cos senx y x y sen x y    . 8.    2 sen sen cos cosx y x y x y    . 9.    2 cos cos cos cosx y x y x y    . 10. 1 sen 1 cos 2 x x          . 11. senx cosy = ½ [sen(x – y) + sen(x + y)] 12. senx seny = ½ [cos(x – y) - cos(x + y)] 13. cosx cosy = ½ [cos(x – y) + cos(x + y)] 14. cos (a  b) = cosa.cosb  sena.senb 15. sen (a  b) = sena.cosb  senb.cosa Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 71 16. tgx = senx / cosx 17. cotgx = cosx / senx 18. secx = 1 / cosx 19. cosecx = 1 / senx ALFABETO GREGO