Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O), Resumos de Matemática

Baixe Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O) e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity! ULA Introdução às Equações Diferenciais Professor Cleomacio Miguel da Silva 1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL Equação é uma sentença matemática que estabelece uma relação de igualdade entre expressões. Por exemplo, a famosa equação de Euler 𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0, estabelece uma relação de igualdade entre as cinco principais constantes da matemática. Porém, uma equação diferencial é uma sentença matemática que estabelece a relação de igualdade entre expressões que contém derivadas. Vejamos alguns exemplos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 7𝑥 + 3 (1) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 7𝑦 = 0 (2) 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 = 5 (3) 2 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 ( 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2) 2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = tan 𝑥 (4) ( 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2) 7 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 4 + 3𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 (5) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 − 4 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 2 (6) 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑧2 = 0 (7) 1. TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Quando existe apenas uma só variável independente, as derivadas são ordinárias, e a equação é chama de Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.). Este é o caso das equações de (1) a (5), onde 𝑥 é a variável independente. No caso de haver mais de uma variável independente, a equação é denominada Equação Diferencial Parcial (E.D.P.). Este é o caso das equações (6) e (7). As equações diferenciais parciais serão discutidas posteriormente. Serão consideradas, primeiramente, as equações diferenciais com uma variável independente. 2. CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS As equações diferencias ordinárias podem ser classificadas em relação à ordem, ao grau a à linearidade. • Ordem: é o maior expoente no qual o "𝑑" da variável dependente está elevado. Por exemplo, na Equação (1), o "𝑑" da variável dependente 𝑦 está elevado ao expoente 1. Assim, a equação é uma E.D.O. de 1ª ordem. No caso da Equação (2), o maior expoente de "𝑑" de 𝑦 é 2. Logo, a equação é uma E.D.O. de 2ª ordem. Assim, as Equações (3), (4) e (5) são, respectivamente, de 1ª, 3ª e 2ª ordem. • Grau: é o expoente no qual a derivada de maior ordem está elevado. Só é possível determinar o grau de uma equação diferencial se ela puder ser escrita como um polinômio. Na Equação (1), por exemplo, a derivada de maior ordem é 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , pois "𝑑" é de potência 1. Porém 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 1 . Assim a Equação (1) é do 1º grau. A Equação (2) é de ordem 2, pois "𝑑" é de potência 2. Neste caso, a mais alta derivada é 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2. Porém, 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = ( 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2) 1 . Logo, a Equação (2) é uma E.D.O. de 2ª ordem e do 1º grau. Semelhantemente, as Equações (3) e (4) são do 1º grau.A Equação (5) é do 7º grau, pois a derivada de maior ordem 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 está elevada ao expoente 7. • Linearidade: uma E.D.O. pode ser linear e não linear. Para ser linear, a E.D.O. de ordem 𝑛 deve ser escrita na forma: 4 𝑑𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑥−2 e 𝑑2𝜑(𝑥) 𝑑𝑥2 = 2 − 2𝑥−3 Como, 𝑓(𝑥) = 𝑦(𝑥) = 𝜑(𝑥), temos: 𝑑2𝜑(𝑥) 𝑑𝑥2 − 2 𝑥2 𝜑(𝑥) = 0 Assim, 2 − 2𝑥−3 − 2 𝑥2 (𝑥2 − 𝑥−1) = 0 2 − 2𝑥−3 − 2 𝑥2 𝑥2 + 2 𝑥2 𝑥−1 = 0 2 − 2𝑥−3 − 2 + 2𝑥−3 = 0 Assim, 𝜑(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥−1 é uma solução explícita de 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 − 2 𝑥2 𝑦 = 0 em (−∞, 0) e em (0, ∞). Para 𝜓(𝑥) = 𝑥3, temos: 𝑑𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 = 3𝑥2 e 𝑑2𝜓(𝑥) 𝑑𝑥2 = 6𝑥 Como, 𝑓(𝑥) = 𝑦(𝑥) = 𝜓(𝑥), temos: 𝑑2𝜓(𝑥) 𝑑𝑥2 − 2 𝑥2 𝜓(𝑥) = 0 Logo, 6𝑥 − 2 𝑥2 𝑥3 = 0 6𝑥 − 2𝑥 = 0 4𝑥 = 0 ∴ 𝑥 = 0 que é válido somente no ponto 𝑥 = 0 e não em um intervalo 𝐼. Portanto 𝜓(𝑥) não é uma solução de 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 − 2 𝑥2 𝑦 = 0. EXEMPLO 2 Mostre que para qualquer escolha das constantes 𝑐1 e 𝑐2, a função 𝜑(𝑥) = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑒2𝑥 é uma solução explícita para a equação linear 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 0 ✓ Solução: Como 𝑦(𝑥) = 𝜑(𝑥), temos: 𝑑2𝜑(𝑥) 𝑑𝑥2 − 𝑑𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 − 2𝜑(𝑥) = 0 𝑑𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐1𝑒−𝑥 + 2𝑐2𝑒2𝑥 e 𝑑2𝜑(𝑥) 𝑑𝑥2 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 4𝑐2𝑒2𝑥 Como 𝑦(𝑥) = 𝜑(𝑥), temos: (𝑐1𝑒−𝑥 + 4𝑐2𝑒2𝑥) − (−𝑐1𝑒−𝑥 + 2𝑐2𝑒2𝑥) − 2(𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑒2𝑥) = 0 𝑐1𝑒−𝑥 + 4𝑐2𝑒2𝑥 + 𝑐1𝑒−𝑥 − 2𝑐2𝑒2𝑥 − 2𝑐1𝑒−𝑥 − 2𝑐2𝑒2𝑥 = 0 5 (𝑐1 + 𝑐1 − 2𝑐1)𝑒−𝑥 + (4𝑐2 − 2𝑐2 − 2𝑐2)𝑒2𝑥 = 0 Como a igualdade se mantém para todo 𝑥 em (−∞, ∞), então 𝜑(𝑥) = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑒2𝑥 é uma solução explícita de 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 0. 3.1.2. SOLUÇÃO IMPLÍCITA Uma relação 𝐺(𝑥, 𝑦) é considerada uma solução implícita para uma equação diferencial no intervalo 𝐼, se definir uma ou mais soluções explícitas em 𝐼. EXEMPLO 1 Mostre que a relação 𝑦2 − 𝑥3 + 8 = 0 define implicitamente uma solução para a equação não linear 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥2 2𝑦 no intervalo (2, ∞). ✓ Solução: 𝑦2 − 𝑥3 + 8 = 0 ⇒ 𝑦 = ±√𝑥3 − 8 Vamos experimentar 𝜑(𝑥) = √𝑥3 − 8 para verificar se é uma solução explícita. Como 𝑑𝜑 𝑑𝑥 = 3𝑥2 2√𝑥3−8 . Porém, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥2 2𝑦 . Mas 𝑦(𝑥) = √𝑥3 − 8. Logo, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥2 2(√𝑥3−8) . Assim, 3𝑥2 2(√𝑥3−8) = 3𝑥2 2√𝑥3−8 , que é realmente válido para todo 𝑥 em (2, ∞). Pode-se verificar que 𝜓(𝑥) = −√𝑥3 − 8 também é uma solução explícita de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥2 2𝑦 . EXEMPLO 2 Mostre que 𝑥 + 𝑦 + 𝑒𝑥𝑦 = 0 é uma solução implícita para a equação não linear (1 + 𝑥𝑒𝑥𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 + 𝑦𝑒𝑥𝑦 = 0 ✓ Solução: Primeiramente, pode-se observar que não podemos resolver a equação para 𝑦 em termos apenas de 𝑥. Porém, para que a equação diferencial se mantenha, percebe-se que qualquer mudança em 𝑥 exige uma mudança em 𝑦. Assim, esperamos que a relação 𝑥 + 𝑦 + 𝑒𝑥𝑦 = 0 defina implicitamente pelo menos uma função 𝑦(𝑥). Isto é difícil de mostrar de modo direto, mas pode ser rigorosamente verificado usando o teorema da função implícita do cálculo avançado, o qual garante que tal função 𝑦(𝑥) existe, e que também é diferenciável. Quando sabemos que 𝑦 é uma função diferenciável de 𝑥, podemos usar a técnica de diferenciação implícita. Na realidade, usando a relação 𝑥 + 𝑦 + 𝑒𝑥𝑦 = 0 pela técnica da diferenciação com relação a 𝑥 e a aplicação das regras do produto e cadeia, temos: 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥 + 𝑦 + 𝑒𝑥𝑦) = 1 + 𝑒𝑥𝑦 (𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) = 0 ou (1 + 𝑥𝑒𝑥𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 + 𝑦𝑒𝑥𝑦 = 0 que é idêntico à equação diferencial (1 + 𝑥𝑒𝑥𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 + 𝑦𝑒𝑥𝑦 = 0. Assim, a relação 𝑥 + 𝑦 + 𝑒𝑥𝑦 = 0 é uma solução implícita sobre algum intervalo garantido pelo teorema da função implícita, de (1 + 𝑥𝑒𝑥𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 + 𝑦𝑒𝑥𝑦 = 0. 3.1.3. SOLUÇÃO SINGULAR 6 É a solução da equação diferencial que não pode ser obtida da solução geral, por combinações efetuadas com as constantes arbitrárias. É uma solução que não pode ser obtida atribuindo valores particulares aos parâmetros na família de soluções. EXEMPLO A equação diferencial 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 1 2 em (−∞, ∞) tem uma família de soluções a um parâmetro 𝑦 = ( 1 4 𝑥2 + 𝐶) 2 . Quando 𝐶 = 0, a solução particular resultante é 𝑦 = 1 16 𝑥4. Verifica-se, porém, que a solução trivial 𝑦 = 0 é uma solução singular, uma vez que não é um membro da família 𝑦 = ( 1 4 𝑥2 + 𝐶) 2 . Pois, não existe nenhuma forma de atribuir um calor constante 𝐶 para obter 𝑦 = 0. 3.1.4. SOLUÇÃO PARTICULAR É a solução da equação obtida da solução geral, quando se atribuem valores particulares às constantes arbitrárias. EXEMPLO A primitiva da equação 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 = 0 é 𝑦 = 𝑐1𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3. Se 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 0, temos 𝑦 = 0. 3.1.5. CURVAS INTEGRAIS Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial representa uma família de curvas que recebem o nome de curvas integrais. Essa solução denomina-se primitiva ou integral da equação diferencial. EXEMPLO Seja a equação 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥. Sua solução 𝑦 = 𝑥2 + 𝐶 fornece uma família de parábolas de concavidade voltada para o eixo 𝑦 positivo, como mostra a figura abaixo.