Equações diferenciais ordinárias exercício, Exercícios de Equações Diferenciais

Baixe Equações diferenciais ordinárias exercício e outras Exercícios em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! Equação de Euler / Bernoulli IM250 Prof. Eugênio Rosa Equações de Q. Movimento: Linha do Tempo (112 anos) , Re >> 1 Re ~ 1 20 P g V      Stokes (1850), Re << 1 George Stokes – Inglês (1819 1903) Balanço: atrito e pressão Ausente: força inércia Daniel Bernoulli - Suíço (1700 1782) 2P V 2 gz C    Bernoulli (1738) Balanço: inércia e pressão Ausente: força viscosa L. Euler – Suíço(1707 1783) DV Dt P g     Euler (1750) Balanço: inércia e pressão Ausente: força viscosa 2DV P g V Dt        Navier(1823) Stokes(1845) Claude Navier – Frances (1785 /1836) George Stokes – Inglês (1819 / 1903) Balanço: inércia, atrito e pressão Veja as contribuições de cada autor para se chegar na Eq. N-S no Apêndice I Equação de Euler: Eq. quantidade de movimento sem atrito Coordenadas Cartesianas DV P g Dt      IM250 Prof. Eugênio Rosa Euler: algumas características: Balanço: Inércia, Pressão (tensão normal) e força g; cisalhamento não causa movimento do fluido em Euler; ausência de viscosidade! A ordem da Eq. Q.M. reduziu de 2  1 só atende 1 c.c. para cada variável para cada direção  Euler permite deslizamento na parede! E sc o a m en to s R ea is x E u le r Fluidos reais possuem viscosidade entretanto para Re>>1 mas: • Os efeitos viscosos concentram-se numa camada limite; • Externo à camada limite termos viscosos são O(1/Re) vezes menores que os termos inerciais; IM250 Prof. Eugênio Rosa Plano da Aula Parte (I) – Dedução da Eq. Bernoulli • Integração eq. Euler ao longo de uma linha de corrente & aplicações. • Escoamento de Euler irrotacional e a eq. de Bernoulli. • Bernoulli e sua relação com a 1ª e 2ª leis da Termodinâmica. • Conclusões Parte (II) – Aplicações da Eq. Bernoulli • Escoamento incompressível • Equações linearizadas (acústica) • Escoamento compressível regime permanente • Escoamento compressível 1D (invariantes de Reimann) Parte (III) – Aplicações da Eq. Bernoulli • Referencial não inercial (escoamento geotrópico) Apêndices – • Contribuições de Bernoulli, Euler, Navier e Stokes na equação de N-S • Dedução de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente. • Bernouille e o Teorema de Crocco IM250 Prof. Eugênio Rosa Seção I-A Euler em coordenadas ajustadas às linhas de corrente DV P g Dt      Seção – I 06 IM250 Prof. Eugênio Rosa Seção I-A Euler em Coordenadas Ajustadas à Linha de Corrente  A eq. de Euler para um sistema de coordenadas ortogonal local composto por dois versores: um tangente (s) e outro normal (n) à linha de corrente  Como V é sempre tangente à linha de corrente, ela não possui componente normal, i.e. V=(Vs,0n) e V = |V|.  A representação com s e n aplica-se a sistemas 2D. Caso contrário seria necessário introduzir um versor binormal para definir uma base ortogonal 3D. ^ ^ ^ ^ ^ ^ Q Rc linha de corrente n s V  V Vs 0n ˆ, ˆ ^ ^ Seçã - I DV P g Dt      IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler: direções s e n ^ ^ Q Rc n s V 1 2 g z z1 z2 ^ ^ A dedução da decomposição da eq. Euler ao longo de uma linha de corrente nas direções paralela e normal à linha de corrente está no Apêndice II. Recomendado ao aluno estudar a dedução Euler s e n para melhor compreender seu significado dos termos Euler normal à linha de corrente:   2 c V P z n g R               * ˆ n n   2V V s P gz 0 t 2               * ˆ Euler ao longo linha de corrente:       dP dP dP , P P P P      * * e fluido barotrópico IM250 Prof. Eugênio Rosa Resumo :Bernoulli ao longo Linha de Corrente (processo reversível e adiabático) Escoamento Compressível: p1/ρ1  = p2/ρ2  22 2 22 1 11 1 Transiente P V V gz d 1 2 t               Escoamento Incompressível,  = cte  dp = (p)|1,2 22 2 22 1 11 1 Transiente P V V gz d 2 t        Seçã - I  O termo transiente pode variar instante a instante e aplica somente para linhas de correntes paralelas. 2 Permanente P V gz C 1 2           2 Permanente P V gz C 2     Compressibilidade ~ Ma2, veja nota nos ‘Slides Complementares’ IM250 Prof. Eugênio Rosa http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ 2P V gz C 2     Teorema de Bernoulli: originalmente proposto: incompressível, ao longo de uma linha de corrente e regime permanente. Seu sucesso deve-se ao fato que ela é uma das ‘poucas’ (talvez a única) expressões analíticas na área que relaciona velocidade e pressão de forma genérica. Nota Histórica IM250 Prof. Eugênio Rosa Algumas Aplicações Bernoulli s Avança ^ IM250 Prof. Eugênio Rosa Escoamento num Vertedouro A vazão volumétrica Q num vertedouro pode ser estimada utilizando Bernoulli. (1) V = 0, z = 0 e Patm (2) V = ?, z = -h e Patm  V2 = 2gh Patm (1) (2) Considerando na seção ‘d’ a velocidade é uniforme e igual a V2, então: Q d 2gh T u b o d e P i t o t ( 1 7 3 2 ) Pressão Estática Corrente Livre: P, V, T Manômetro Diferencial Pressão Estagnação ou Pressão Total (1) Corrente Livre (2) Estagnação; V=0      1PP2 V ou V 2 1 PP 2 1 2 112 2 222 2 111 V 2 1 P V 2 1 P  P. Estat P. Din P. Estag. = 0 IM250 Prof. Eugênio Rosa Aplicação: Bernoulli Transiente Reservatório de água com nível constante é conectado a uma tubulação de descarga com uma válvula na extremidade. Determine como a velocidade evolui com o tempo. h=cte D L d 1 2 z 2 2 2 1 2 1 dV p V p V d gz gz 0 dt 2 2                     se d<<D → V2>>V1 2 2 2dV V V t L gh 0; C.I.: V(0) 0 Tanh dt 2 2gh 2L 2gh             0 0 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler direção n A eq. Euler n relaciona com duas linhas de corrente adjacentes que possuem os mesmos raios de curvatura, Rc, entre os pontos (1) e (2): Rc g z z1 z2 2 1 n s V ^ ^   2 c P gz V R           * n Simplificações e definições: Escoamento incompressível; Força gravitacional desprezível - n é a distância na direção n. 2 c P V 0 R     n • Se há L.C. com curvatura há grad. P normal! • Pressão aumenta na direção do raio de curvatura. ^ IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação de Euler   2V V s P gz 0 t 2 Euler ao longo de uma linha de corrente Integração ao longo de uma L. C. BERNOULL I                 * ˆ Seçã - I   2 c V P z n g R Euler normal a uma linha de corrente pouca explorada nos livros textos...                * ˆ n n Para escoamento incompressível, Para escoamento compressível e isoentrópico     22 1 1 dP P P P 1P                 *     2 2 1 1 dP 1 P P P P            * IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler direção n Relaciona o gradiente de pressão normal a linha de corrente à força centrífuga! Rc g z z1 z2 2 1 n s V ^ ^ Simplificações:  Escoamento incompressível;  Força gravitacional desprezível  O vetor ‘n’ é paralelo ao Rc  O vetor ‘n’ mas pode ter o mesmo de Rc ou contrário; 2 c P V 0 R     n Curvatura das linhas de corrente causa um gradiente de pressão normal. Corolário: linhas de correntes paralelas não possuem gradiente de pressão normal! A pressão aumenta na direção crescente do raio de curvatura! ^ IM250 Prof. Eugênio Rosa Escoamento secundário: tubos e canais curvos A curvatura do tubo estabelece um gradiente de pressão de (2) para (1). No fundo do canal a viscosidade impede que o fluido ganhe velocidade tangencial (não deslizamento) mas o gradiente de pressão impõe o escoamento de (2) para (1) Seçã - I Formação de curvas e lagos em rios O escoamento secundário é um dos mecanismos físicos que atua nos fenômenos de: • Assoreamento das margens de rios, • Formação de curvas em rios, • E, eventualmente, formação de lagoas. Seção - I IM250 Prof. Eugênio Rosa SUCÇÃO X INJEÇÃO (filme) Diferenças Área de baixa pressão Área de pressão atmosf Área Baixa Pressão: linhas de corrente com curvatura, a menor pressão está na sucção. Manifestação de Bernoulli na direção normal. Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas. A curvatura , não há gradiente de pressão normal às L.C. portanto a pressão é constante. Conteúdo visto na aula #4 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler para escoamento irrotacional, =0 Se o escoamento for irrotacional, então sempre é  = 0:  Pode-se definir um novo potencial ’ tal que: ’=  + ∫h(t)dt.  Substituindo na expressão encontra-se h(t) = f(t) , para que sempre seja verdadeira h(t) = f(t) = Constante, portanto ela não depende de ‘t’: 2dP V ou gz 0 t 2             2dP V gz C t 2         O termo destacado entre ( ) pode depender do tempo, por ex: f(t), mas f(t) é desconhecido e não possui significado físico. Seçã - II C válido para qualquer ponto no escoamento 2 2 * *V V V P gz 0 P gz 0 t 2 t 2                         V   Forma integral de Euler válido para quaisquer dois pontos do domínio. IM250 Prof. Eugênio Rosa G e r a ç ã o v o r t i c i d a d e p e l a v i s c o s i d a d e Vorticidade gerada pelo cisalhamento entre camadas de fluidos. Bernoulli é aplicável fora desta região. Vorticidade gerada nas paredes. Bernoulli aplica-se somente no núcleo que está acelerando. Vorticidade gerada nas paredes e transportada para a esteira. Bernoulli é aplicável fora da região de esteira. Seçã - II Veja geração de vorticidade por aquecimento nos ‘Slides Complementares’ IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação de Euler regime permanente A equação de Euler para regime permanente é: Se o campo de velocidades for dado por uma função potencial, V =  o sistema de equações pode ser integrado entre quaisquer 2 pontos e o sistema de EDP reduz a uma relação direta entre pressão, velocidade e força gravitacional: 2 Incompressível P V gz C 2     2 Compressível P V gz C 1 2            Bernoulli incompressível sem viscosidadeatrito e irrotacional. Bernoulli compressível, isoentrópico (sem troca calor e reversível – sem viscosidadeatrito) e irrotacional. Os campos de velocidade e pressão de Bernoulli satisfazem o sistema de EDP! IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli & 1a Lei  q = weixo = 0  d P Igualando Bernoulli com a 1ª lei e fazendo os estados (1) e (2) se aproximarem encontra-se: Considerando que: dh =VdP+Tds, logo para ser verdadeira a igualdade é necessário que o escoamento seja isoentrópico. ds=0 valida a hipótese de escoamento barotrópico (seção I)! é o volume específico (m3/kg)  Bernoulli ↔ 1a Lei 2 2 2 1 1 Termo Térmico Termos Mecânicos VP gz u 0 2          22 2 2 1 1 1 dp V gz 0 2     dP  identidade du dh  = IM250 Prof. Eugênio Rosa Informações extraídas da 1ª e 2ª lei termodinâmica para Bernoulli A 1ª e 2ª lei definem se Bernoulli é válido ou não. A vorticidade define se a constante C é para cada linha de corrente ou para qualquer ponto do escoamento. S e es co am en to f o r: com troca calor e irrevesibilidade não há Bernoulli sem troca de calor e irreversível, Bernoulli válido ao longo de uma linha de corrente. Cada linha de corrente terá uma constante! sem troca de calor, reversível e irrotacional Bernoulli é válido p/ quaisquer dois pontos O Apêndice III traz a demonstração do Teorema de Crocco que está relacionado com este tópico. IM250 Prof. Eugênio Rosa Conclusões (I) Bernoulli requer escoamento isoentrópico, =(P), mas uniformidade de C depende se o esc. for rotacional ou não! Válido ao longo de uma L.C. Regime permanente Válido p quaisquer 2 pontos Regime trans. ou perm. 2dP V gz C 2     2dP V gz C t 2        Escoamento Rotacional Escoamento Irrotacional, 55 Veja demonstração de que Bernoulli irrotacional é coincidente com a 1ª lei transiente nos ‘Slides Complementares’ IM250 Prof. Eugênio Rosa Fim da parte I IM250 Prof. Eugênio Rosa PARTE II Modelando fenômenos com Bernoulli: i. Escoamento incompressível ii. Equações linearizadas (acústica) iii. Escoamento compressível 3D e regime permanente iv. Escoamento compressível 1D (invariantes de Reimann) v. Referencial não inercial (escoamento geotrópico) IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação de Massa e Q. Movimento Os campos de V e P de Euler são determinados, de forma geral, resolvendo-se simultaneamente as eqs. da massa e de Bernoulli : O sistema traz uma grande simplificação se o escoamento for irrotacional. A eq. q. mov. foi reduzida para uma eq. escalar e a solução de P e V depende agora de suas equações escalares!   2 * * V V 0 e t V P gz C t 2 onde P P dP                 IM250 Prof. Eugênio Rosa Revisitando eq. massa e q. movimento mas, P/ |s = c2 , V=, expressando /t e  com P*:   * * propriedades definições e = * *                                  P t P t P P ts sdP P PdP s s t t P dP P P P                  2* * 2 * 2 2 Eq. massa Eq. Bernoulli 1 P P 0 e P gz C c t c t 2                As eqs. definem  e P* para um escoamento irrotacional e isoentrópico. Para resolvê-lo é necessário definir as condições de contorno.  O sistema de eqs. é não linear e não possui uma solução geral entretanto, podem ser extraídas soluções aproximadas. * 21 2 Eq. massa Eq. Bernoulli t V V 0 e t P V gz C               Substituindo as expressões acima nas eqs. massa e Bernoulli: IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli A constante ‘C’ passa a ser válida para qualquer região do domínio: dP . gz C t 2          Esta equação pode ser simplificada para dois casos: O 1º caso é para regime permanente onde o potencial não varia com o tempo e há um balanço entre pressão, velocidade: O 2º caso ocorre ligado a grandes pressões presentes no início do escoamento incompressível gerado pelo movimento impulsivo de uma fronteira (Batchelor, sec 6.10, pg 473): Impacto de esferas em água e cavitação (https://www.youtube.com/watch?v=mXaltOAVWL8) dP . gz C 2       dP é o impulso onde Pdt t             IM250 Prof. Eugênio Rosa Casos aproximados a) Fluidos incompressíveis ( = constante) b) Velocidade V/c << 1, equação acústica c) Regime permanente 3D e compressível d) Unidimensional, compressível e transiente A seguir será analisado cada um dos casos particulares.   2* * 2 * 2 2 Equação da massa Equação de Bernoulli 1 P P 0 e P gz C c t c t 2               IM250 Prof. Eugênio Rosa (b) Acústica (1D) 2 2 2 2 2 ' ' c 0 t x         2 2 0 0 Eq. flutuação massa Eq. flutuação Bernoulli 1 p ' ' p ' ' 0 e C c t t             Inserindo p’ de Bernoulli na na eq. massa encontra-se: Aplicando /t na massa e substituindo /t Bernoulli: 2 2 2 2 2 p ' p ' c 0 t x       p pp ' f (x ct) g (x ct) e ' f (x ct) g (x ct)           Um caso 1D, e a vel. do som ‘c’ = constante e apresenta a solução geral de D’Alembert Propagação som IM250 Prof. Eugênio Rosa (b) Acústica 1D        i t kx i t kx iq p p p ' Ae Be ; e Cos q iSen q           A pressão acústica p/ uma onda plana é: A e B são as amplitudes das ondas que deslocam ao longo das direções x+ e x-, respectivamente;  e k são a frequência e o número de onda tais que ( /c) = k  O potencial vem de Bernoulli: 0 0 ' p ' 1 0 ' p 'dt t            0 0 p p ' i i             O campo de velocidades vem do potencial 0 0 d ' p p u' = dx c c         IM250 Prof. Eugênio Rosa (c) Fluido compressível, 3D e regime permanente (i) Para regime permanente as eqs. Massa e Bernoulli reduzem para: Substituindo a definição de P* de Bernoulli na massa chega-se a um sistema que depende somente de  :   2 2 2 1 2c 0          Expandindo em termos de  a equação acima chega-se à equação do potencial de velocidade: 22 2 y x y y zx z x z xx yy zz xy xz yz2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 0 c c c c c c                                      ‘c’ também é variável e depende de !   2* 2 * 2 Equação da massa Equação de Bernoulli P 0 e P C c 2        IM250 Prof. Eugênio Rosa (d) Escoamento 1D compr. & trans. (i)  O sistema de equações não lineares definido pela massa e Bernoulli é:   2* * 2 * 2 2 MASSA BERNOULLI 1 P P 0 e P gz C c t c t 2                Mas  =  (x,t), u = /x, e multiplique Bernoulli c. ( )/x:   * 2 * 2 2 2 * 2 P P c 0 Massa t x x x P 0 Bernoulli t x c x x c c x x                                 1 2 3 4 5 6  Somando/subtraindo termo a termo eq. Bernoulli  massa:  * * * 2 2 D x DtDP Dx P P c c c 0 t x x t x x x                                            1 3 6 4 5 2 *1 DP Du dP 0 ou du 0 c Dt Dt c      IM250 Prof. Eugênio Rosa (d) Escoamento 1D compr. & trans. (ii)  A eq. deve ser integrada num caminho em (x,t). Entretanto, x e t possuem uma dependência, de tal forma que: du dP c 0       du = du dt u c du dx dt dx dt u c onde u = x de tal forma dp = dp dt u c dp dx dt                  Integrando nas linhas características c+ e c- definidas por : du dP c 0    dx dt u c c dP J u c        Ao longo de cada curva característica o valor J+/- é constante! IM250 Prof. Eugênio Rosa (d) Escoamento 1D compr. & trans. (iii) 2 ao longo de cada característica 1         c dP J u u c c   O valor de u ± ∫dp/c são os invariantes de Riemann ao longo das curvas características.  Pode-se mostrar, utilizando as identidades para gás perfeito : (p/p1)=(/1) ; (c/c1)=(p/p1) (-1)/2 e c2= P/, que os invariantes podem ser expressos pelas velocidades u e c para gases perfeitos. IM250 Prof. Eugênio Rosa Referencias não Inerciais (forças em sistemas rotativos) Assista ‘Rotating Flows’ e leie também ‘Film Notes’ PARTE III IM250 Prof. Eugênio Rosa Ref. não-inercial x não uniformidade de C Forças de campo não conservativas, p. exemplo força de Coriolis num referencial rotativo não inercial, fazem com que Bernoulli não seja válido para qualquer ponto: A força centrífuga é conservativa pq. pode ser expressa por um potencial (gradiente), semelhante à força de campo: Neste caso Crocco mostra que C não é uniforme apesar de  = 0 :   2 centrifuga coriolis V V gz P V R 2 V t 2                                   22 centrifuga R 2 1 R   R R’   2 2 2 coriolis C V 1 gz p R V 2 V 0 2 2                       0 IM250 Prof. Eugênio Rosa Escoamento geostrópico A razão entre força de inércia e Coriolis define o n. de Rosby Escoamento dominado pela força de Coriolis, típico na atmosfera, ocorre quando Ro << 1, portanto a eq. de Euler: reduz para: 1. O gradiente de pressão é normal as linhas de corrente! 2. A pressão é constante ao longo de uma linha de corrente! p 2 V    V LV Coriolis Inércia Ro 2   2 2 2 coriolis V 1 gz p R 2 V 0 2 2                    IM250 Prof. Eugênio Rosa Nomenclatura Variáveis C – constante de Bernoulli c – velocidade do som g – vetor acel. gravidade h – entalpia específica h – cota na direção normal à L.C. k – versor paralelo eixo z l – comprimento da L.C. L.C. – linha de corrente Ma – número de Mach n – versor normal a L.C. P – pressão Rc – raio de curvatura s – versor tangente a L.C. s - entropia t – tempo u – energia interna específica V – vetor velocidade v – volume específico z – cota vertical Símbolos gregos  - função dissipação viscosa  - razão calores específicos  - função potencial  - viscosidade dinâmica  - densidade  - vetor vorticidade Símbolos matemáticos  - operador nabla xi x – produto vetorial ^ ^ ^    IM250 Prof. Eugênio Rosa FIM IM250 Prof. Eugênio Rosa Apêndices I. A contribuição de Bernoulli, Euler, Navier e Stokes para se chegar na equação de N-S II. Dedução de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente partindo da equação de Euler. III. Bernouille e o Teorema de Crocco IM250 Prof. Eugênio Rosa Contribuição de Navier (1823) A resistência ou atrito do fluido era então desconhecida. Navier, inspirado nos trabalhos sobre elasticidade em corpos sólidos, faz uma analogia para fluidos e propõe o tensor de tensões para corpos deformáveis. A contribuição de Stokes (1845/1850) Stokes decompôs o tensor de deformação em parte simétrica (dilatação e deformação) e antissimétrica (rotação) e associou a tensão a parte simétrica. Stokes resolve o problema do escoamento lento numa esfera desprezando os termos inerciais IM250 Prof. Eugênio Rosa Apêndice II Dedução da integração da Eq. de Euler ao longo de uma linha de corrente e também de sua componente normal à linha de corrente. DV P g Dt      Q Rc linha de corrente n s V  V Vs 0n ˆ, ˆ ^ ^ IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler em coordenadas ajustadas à linha de corrente A eq. de Euler para um sistema de coordenadas ortogonal local composto por dois versores: um tangente (s) e outro normal (n) à linha de corrente Como V é sempre tangente à linha de corrente, ela não possui componente normal, i.e. V=(Vs,0n) e V = |V|. A representação com s e n aplica-se a sistemas 2D. Caso contrário seria necessário introduzir um versor binormal para definir uma base ortogonal 3D. ^ ^ ^ ^ ^ ^ Q Rc linha de corrente n s V  V Vs 0n ˆ, ˆ ^ ^ Seçã - I IM250 Prof. Eugênio Rosa Componentes da eq. Euler: aceleração Escoamento transiente : • linhas de corrente paralelas → o módulo V pode variar com o tempo mas a direção do versor s não, portanto, s/t = 0. • linhas de corrente com curvatura → a direção do versor s pode mudar com o tempo, s/t  0 e seu valor não pode ser determinado à priori. 2 c DV V V V s V s n V Dt t R t                              ˆ ˆ ˆ ^ ^  A aceleração nas direções s e n:  Escoamento permanente, s/t = 0 ^ Seçã - I ^ ^ ^ ^ IM250 Prof. Eugênio Rosa Componentes da eq. Euler: acel. g As componentes da aceleração da gravidade nas direções s e n são: s ng g s + g n ; onde g gk    ˆˆ ˆ As componentes gs e gn passam a ser: dz dz g g s g n d d   ˆ ˆ n Produtos escalares expressos por meio da taxa de cota z em função de ‘s’ e de ‘n’:         k s cos 2 dz d k n cos dz d ˆ ˆ ˆ ˆ           n Rc linha de corrente n s V ^ ^ g k ^ z Q Seçã - I    s ng g k s , g g k n     ˆ ˆˆ ˆ  d zd dn z  z Q n̂ ŝ IM250 Prof. Eugênio Rosa Componentes da eq. Euler: pressão P* O termo P/ para ser expresso nas direções s e n é necessário que  seja uma função apenas da pressão; Isto é genericamente denominado por escoamento ‘Barotrópico’ onde  = f(P) a ser definida posteriormente; A transformação permite trabalhar com notação mais compacta! P P P P s n           * * * ˆ ˆ n       dP dP dP e P P P P * *       P P P      * ^  As componentes nas direções s e n são: ^ ^ Seçã - I IM250 Prof. Eugênio Rosa Hipótese de escoamento barotrópico:  = (P) Processo reversível (sgen = 0) Fluido Compressível: • processo politrópico reversível e gás ideal:  = f(P) → P/  n = P1/  1 n   22 1 1 dP P 1P                  Para fluidos com apenas um modo de trabalho (compressível), ρ=ρ(P,s) porém, s=cte → ρ=ρ(P) (+) hipótese será verificada contra 1ª e 2ª leis na seção III Seçã - I Fluido incompressível =const.   22 1 1 dP n P para 1 n n 1P                   1< n <  → Q ≠ 0 e  = Cp/Cv n =  → Q = 0  ‘n’ é determinado conhecendo Q trocado ao longo de cada L.C. mas, raramente esta informação é disponível.  Para estender a aplicação de Bernoulli é feita uma hipótese(+): processo adiabático, Q = 0, ou isoentrópico: IM250 Prof. Eugênio Rosa Resumo:Bernoulli ao longo Linha de Corrente (processo reversível e adiabático) Escoamento Compressível: p1/ρ1  = p2/ρ2  22 2 22 1 11 1 Transiente P V V gz d 1 2 t              Escoamento Incompressível,  = cte dp = p|1,2 22 2 22 1 11 1 Transiente P V V gz d 2 t        Seçã - I O termo transiente pode variar instante a instante e aplica somente para linhas de correntes paralelas. 2 Permanente P V gz C 1 2           2 Permanente P V gz C 2     Compressibilidade ~ Ma2, veja nota nos ‘Slides Complementares’ Apêndice III Bernouille e Teorema de Crocco IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli & 1a Lei  q = weixo = 0  d P Igualando Bernoulli com a 1ª lei e fazendo os estados (1) e (2) se aproximarem encontra-se: Considerando que: dh =VdP+Tds, logo para ser verdadeira a igualdade é necessário que o escoamento seja isoentrópico. ds=0 valida a hipótese de escoamento barotrópico (seção I)! é o volume específico (m3/kg)  Bernoulli ↔ 1a Lei 2 2 2 1 1 Termo Térmico Termos Mecânicos VP gz u 0 2          22 2 2 1 1 1 dp V gz 0 2     dP  identidade du dh  = IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli: um caso particular da 1ª Lei Quando o processo for: 1. Reversível  sgen = 0 2. Sem trabalho eixo  w =0 3. Sem Transf. de Calor  sin = sout 1ª Lei e Bernoulli e são concidentes: Resta esclarecer dependência da vorticidade c/ 1ª lei. C está relacionada c/ a uniformidade das propriedades nas fronteiras. Seção - III 2 2VP dP V gz u gz C 2 2          ao longo L.C.→ ω ≠ 0 qualquer pto → ω = 0 Releitura Bernoulli: a energia total se conserva! Para fluidos com densidade constante calor e energia mecânica ficam desacoplados, veja discussão nos ‘Slides Complementares’. IM250 Prof. Eugênio Rosa Teorema de Crocco (1937) Escoamento em regime permanente e isoentrópico: C T s V     22 VdP V P gz = gz u C 2 2         Aplicando  no lado direito da expressão chega-se ao  C: 21 P V C P u gz 2                  2 * T s V V P gz 2             Luigi Crocco – Italiano (1908/ 1986) (+)  não é apenas função de P; (+)  C f s,    te s c & 0   s ≠ cte  Bernoulli não existe s = cte  C válido ao longo L.C.  C válido qualquer ponto C é um parâmetro que depende de s e :  IM250 Prof. Eugênio Rosa Seção I - D Estudo de casos particulares  Fluido com densidade constante Escoamento transiente IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli para fluido com densidade constante  Em um processo reversível com um fluido =cte a transf. de calor altera a energia interna mas a energia mecânica (P, V e g) permanece cte porque não há trabalho de compressão. Em primeira ordem(+) as relações entre calor e energia mecânica ficam desacopladas: Tds du pd cte. du Tds q         Neste cenário pode-se mostrar que a equação da energia mecânica coincide com a eq. Euler. Partindo da eq. energia mecânica: (+) a transf. calor pode alterar as prop. transporte e, indiretamente, alterar campo de escoamento 2V V P V gz 0 t 2               K V V V K V P V g 0, onde K= t 2                 Substituindo K = V.V/2 e considerando  cte. :     Mas V=  2P V gz C t 2         IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli para fluido com densidade constante, II  Para um fluido com densidade constante as restrições para aplicação de Bernoulli ficam mais relaxadas daquelas para o fluido compressível.  Quando o processo for: 1. Reversível  sgen = 0 (sem atrito,  = 0) 2. Sem trabalho eixo  w =0  Bernoulli e eq. Energia mecânica são concidentes mas a uniformidade de C depende se há ou não transferência de calor e vorticidade:  2P V gz C 2     ao longo L.C. qualquer pto → ω=0 → ω≠0