Estruturas de Concreto Armado I e II, Notas de aula de Teoria das Estruturas

Baixe Estruturas de Concreto Armado I e II e outras Notas de aula em PDF para Teoria das Estruturas, somente na Docsity! 4-1 2016 tc037 4 FLEXÃO SIMPLES ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA 4.1 Introdução Uma viga reta, desde que não possua carregamentos horizontais ou inclinados, será solicitada por momentos fletores e forças cortantes, como mostrado na Figura 4.1. Figura 4.1 - Solicitações em viga Nas vigas de concreto armado, os momentos fletores e as forças cortantes são responsáveis pela existência de dois tipos de armadura (Figura 4.2): - longitudinal, para resistir aos momentos fletores; e - transversal, para resistir às forças cortantes. Figura 4.2 - Armaduras de viga de concreto armado Neste capítulo só serão estudadas as armaduras longitudinais, ou seja, as armaduras necessárias para resistir aos momentos fletores. Segundo a ABNT NBR 6118 - 18.3.1, as vigas ficam caracterizadas quando: - /h  2 para vigas isostáticas; e - /h  3 para vigas contínuas. onde:  é o comprimento do vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso de balanço); e h é a altura total da viga. Vigas com relações /h menores devem ser tratadas como vigas-parede. força cortante momento fletor A A corte AA armadura para momento fletor armadura para momento fletor armadura para força cortante 4-2 2016 tc037 4.2 Vãos efetivos de vigas Segundo a ABNT NBR 6118 - 14.6.2.4, o vão efetivo de vigas (Figura 4.3) pode ser calculado pela seguinte expressão: 210ef aa   Equação 4.1 com:       h3,0 t5,0mina h3,0 t5,0mina 22 11 onde: ef vão efetivo da viga; 0 distância entre faces de dois apoios consecutivos; t largura do apoio paralelo ao vão da viga analisada; e h altura da viga. Figura 4.3 - Vão efetivo de viga 4.3 Estado-limite último1 O dimensionamento das armaduras longitudinais deve conduzir a um esforço resistente (MRd) igual ou superior ao esforço solicitante (MSd) determinado na análise estrutural. 4.3.1 Hipóteses básicas Na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas: a. as seções transversais se mantém planas após a deformação; b. a deformação das barras passivas aderentes, em tração ou compressão, deve ser a mesma do concreto em seu contorno; c. as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas; d. a distribuição de tensões no concreto é feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com definido em 1.5.8 (página 1-5), com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em 3.3.2.3 (página 3-27), podendo este diagrama ser substituído pelo retângulo (Figura 4.4) de profundidade y = x, onde o valor do parâmetro pode ser tomado igual a: 1 Como apresentadas na ABNT NBR 6118 - 17.2.2. h t2 t1 0 ef viga pilar 4-5 2016 tc037 Da Figura 4.7, tem-se: - no domínio 2 [0,000 ≤ x ≤ x,23] (seção subarmada),  o concreto não chegou ao seu encurtamento limite (cu), possuindo, ainda, certa reserva de capacidade resistente;  o aço chegou ao seu alongamento máximo (10‰), tendo esgotado sua capacidade resistente; e  a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar um quadro de fissuração intenso devido ao excessivo alongamento da armadura (e do concreto adjacente). - no domínio 3 [x,23 ≤ x ≤ x,34] (seção subarmada),  o concreto chegou ao seu encurtamento limite (cu), tendo esgotado sua capacidade resistente;  o aço tem seu alongamento compreendido entre yd e 10‰, possuindo, ainda, uma boa reserva de capacidade resistente; e  a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar um quadro de fissuração expressivo devido ao fato da armadura (e o concreto adjacente) apresentar alongamento considerável. - no domínio 4 [x,34 ≤ x ≤ 1,000] (seção superarmada),  o concreto pode estar próximo de ultrapassar seu encurtamento limite (cu), tendo esgotado, por inteiro, sua capacidade resistente;  o aço tem seu alongamento compreendido entre 0‰ e yd, possuindo uma grande reserva de capacidade resistente; e  a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, não deve apresentar um quadro de fissuração tão perceptível quanto aos dos domínios 2 e 3 devido ao pequeno alongamento da armadura (e do concreto adjacente). As vigas, quando dimensionadas no domínio 4 (superarmadas), podem, em caso de uma eventual sobrecarga imprevista, ser conduzidas a uma ruptura frágil, sem aviso prévio, pois o concreto rompe bruscamente antes da armadura esgotar sua capacidade resistente. As vigas dimensionadas nos domínios 2 e 3 (subarmadas) têm, devido a condições mais adequadas da posição da linha neutra, garantida boas condições de dutilidade, sendo conduzidas, para uma condição adversa de carregamento, a rupturas com aviso prévio, pois a armadura escoa antes do rompimento do concreto mostrando um quadro visível de deterioração da viga. O comportamento de viga, se subarmada ou superarmada3, fica definido pela passagem do domínio 3 para o domínio 4 (Figura 4.7), que corresponde à reta cu - yd. Considerando um estado de deformação qualquer, dentro dos domínios 2, 3 ou 4 (Figura 4.8), tem-se: Figura 4.8 - Deformações em seção longitudinal de vigas 3 As vigas superarmadas possuem, em geral, pouca altura e excessiva armadura (daí o super, no sentido de excessiva quantidade de armadura), ao passo que as vigas subarmadas têm uma distribuição mais equilibrada de materiais (daí o sub, no sentido de menos quantidade de armadura). sc cx d x   Equação 4.4 s x c d h 4-6 2016 tc037 Para c igual a cu e s igual a 10‰, que representa a passagem do domínio 2 para o 3 (Figura 4.7), tem-se: ‰10cu cux,23   Equação 4.5 Tendo em vista que a ABNT NBR 6118 estabelece valores de cu em função da classe do concreto, como mostrado em 1.5.8 (página 1-5), o valor de x,23, para diferentes tipos de concreto, pode ser dado por:                       MPa50f ‰10100 f-9035‰‰6,2 100 f-9035‰‰6,2 MPa50f‰10‰5,3 ‰5,3 ck4 ck 4 ck ck x,23 Equação 4.6 Para diferentes tipos de concreto, a Tabela 4.1 mostra os valores de x,23 calculados pela Equação 4.6. x,23 ≤ C50 C55 C60 C70 C80 C90 0,259 0,238 0,224 0,210 0,207 0,206 Tabela 4.1 - Valores de x,23 para diferentes concretos Para c igual a cu e s igual a yd, que representa a passagem do domínio 3 para o 4 (Figura 4.7), tem-se: ydcu cux,34   Equação 4.7 Tendo em vista que a ABNT NBR 6118 estabelece valores de cu em função da classe do concreto, como mostrado em 1.5.8 (página 1-5), e yd é dependente da categoria do aço, como apresentado na Figura 4.5 (página 4-3), o valor de x,34, para diferentes tipos de concreto e aço, pode ser dado por:                              MPa50f ‰210 f 100 f-9035‰‰6,2 100 f-9035‰‰6,2 MPa50f ‰210 f‰5,3 ‰5,3 ck s yk 4 ck 4 ck ck s yk x,34 Equação 4.8 Para diferentes tipos de concreto e aço, a Tabela 4.2 mostra os valores de x,34 calculados pela Equação 4.8, onde s foi considerado como sendo igual a 1,15. 4-7 2016 tc037 x,34 ≤ C50 C55 C60 C70 C80 C90 CA-25 0,772 0,751 0,736 0,720 0,716 0,715 CA-50 0,628 0,602 0,582 0,562 0,557 0,557 CA-60 0,585 0,557 0,537 0,517 0,512 0,511 Tabela 4.2 - Valores de x,34 para diferentes concretos e aços - s = 1,15 4.3.3 Recomendações da ABNT NBR 6118 ABNT NBR 6118 - 16.2.3: “Em relação aos ELU, além de se garantir a segurança adequada, isto é, uma probabilidade suficientemente pequena de ruína, é necessário garantir uma boa dutilidade, de forma que uma eventual ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usuários.” ABNT NBR 6118 - 17.2.3: “Nas vigas é necessário garantir boas condições de dutilidade respeitando os limites da posição da linha neutra (x/d) dados em 14.6.4.3, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão. A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.” ABNT NBR 6118 - 14.6.4.3: “A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. Para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: x/d  0,45 para concretos com fck  50 MPa; e x/d  0,35 para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa. Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões.” Desta forma, de modo a garantir as condições de dutilidade de elementos estruturais solicitados por momento fletor, a linha neutra deve ser posicionada nos domínios 2 ou 3, respeitados os limites estabelecidos na ABNT NBR 6118 - 14.6.4.3, como mostrado na Figura 4.9. Da mesma forma que a linha neutra pode ser representada de modo adimensional, através do parâmetro x, as tensões de tração na armadura também podem ser representadas de modo adimensional, através de: yd ss f  Equação 4.9 Desta forma, na Figura 4.9, o eixo das tensões está representado de forma adimensional, através do parâmetro s. 4-10 2016 tc037 - concreto classe igual ou inferior a C50 (fck ≤ 50 MPa) zxzxcc xz ck xy sc cx 68,0 4,01d z MPa50f 8,0d y d x       Equação 4.12 - concreto classe superior a C50 (fck > 50 MPa) zxckckzxcc xckz ck xcky sc cx 200 50f1085400 50f8,0 400 50f8,05,01d z MPa50f 400 50f8,0d y d x                         Equação 4.13 Desta forma, uma vez conhecida a posição da linha neutra (x), todos os demais elementos geométricos (y, z e c) ficam igualmente definidos, para cada classe de concreto. A Equação 4.12 e a Equação 4.13 permitem agrupar os valores de  como mostrado na Tabela 4.3. ≤ C50 C90 x y z c x y z c 0,100 0,080 0,960 0,065 0,100 0,070 0,965 0,046 0,200 0,160 0,920 0,125 0,200 0,140 0,930 0,089 0,250 0,200 0,900 0,153 0,250 0,175 0,913 0,109 0,300 0,240 0,880 0,180 0,300 0,210 0,895 0,128 0,350 0,280 0,860 0,205 0,350 0,245 0,878 0,146 0,450 0,360 0,820 0,251 0,450 0,315 0,843 0,180 Tabela 4.3 - Valores de y, z, e c como função da classe do concreto e x 4.4.2 Diagrama adimensional tensão-deformação do aço Considerando o diagrama tensão-deformação do aço como apresentado na Figura 4.5 (página 4-3), e, agora, considerando também as deformações de encurtamento (compressão), chega-se a Figura 4.11. Nesta Figura, assim como na Figura 4.9 (página 4-8), optou-se por apresentar o diagrama de forma adimensional, com a introdução dos valores de s e ’s. 4-11 2016 tc037 Figura 4.11 - Diagrama adimensional tensão-deformação do aço Os valores de s e ’s, no trecho inclinado, são dados por: 0,1f E f E f 0,1f E f E f yk ss's yd s's yd 's's yk sss yd ss yd ss           Equação 4.14 Seja a Figura 4.12 onde são mostrados, dentre outros: - a posição da linha neutra (x); - a altura útil da viga (d); - a posição da armadura comprimida (d’); - o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (c); - o encurtamento da armadura comprimida (’s); e - o alongamento da armadura tracionada (s). Figura 4.12 - Alongamento e encurtamento da armadura Os valores de s e ’s, necessários para a determinação de s e ’s pela Equação 4.14, só são possíveis se forem conhecidos os valores de x, d, d’ e c, como mostrados na Figura 4.12. Sendo c dependente dos domínios da ABNT NBR 6118, a determinação de s e ’s fica, também, dependente destes domínios. yd sss f E yd yd 's's f  yd ss f  's s 1,0 1,0 10‰ yd Es = 210 000 MPa cu d' c Rcd y  s MSd esforços resistentes de cálculo solicitação de cálculo x c Rsd MRd d As R’sd A’s ’s 4-12 2016 tc037 4.4.2.1 Armadura tracionada 4.4.2.1.1 Domínios 2 e 3 Considerando a Figura 4.7 (página 4-4) e a Figura 4.9 (página 4-8), observa-se, para os domínios 2 e 3 (0,000 ≤ x ≤ x,34), que o valor de s é sempre igual a 1,0, como apresentado na Figura 4.13. Observa-se, também, na referida Figura que uma viga subarmada pode ser caracterizada com a imposição de s igual a 1,0. Figura 4.13 - Domínios 2 e 3 - (s = 1,0) Desta forma, para os domínios 2 e 3, o valor de s, dado pela Equação 4.14, corresponde a: 34,xxs 000,0000,1  Equação 4.15 4.4.2.1.2 Domínio 4 Da Figura 4.13, pode ser observado que o valor de s é menor que 1,0 somente no domínio 4 (x,34 ≤ x ≤ 1,000). Por outro lado, no domínio 4, o encurtamento do concreto corresponde ao valor último, ou seja, cu (Figura 4.14). Figura 4.14 - Domínio 4 - (s < 1,0) cu s fyd s = yd yd sub- armada super-armada 10‰ s d As 1,0 0,000 x,34 s 4 s < 1,0 10‰ s fyd s = yd 10‰ yd cu sub- armada super-armada 10‰ s c 2 d As 1,0 0,000 x,34 s s = 1,0 x 3 4 4-15 2016 tc037 0,1f Ed d cu yk ss x ' x's                              MPa50f100 f-9035‰‰6,2 MPa50f3,5‰ ck 4 ck ck cu (1.5.8, página 1-5) - concreto classe igual ou inferior a C50 (fck ≤ 50 MPa) MPa50f 1,0‰5,3f Ed d 000,1 ck yk ss x ' x's xx,23                  Equação 4.19 - concreto classe superior a C50 (fck > 50 MPa)   MPa50f 0,1100 f-9035‰‰6,2f Ed d 000,1 ck 4 ck yk ss x ' x's xx,23                       Equação 4.20 4.4.2.3 Valores tabelados Considerando da Equação 4.15 a Equação 4.20, consta-se que os valores de s e ’s são funções de x, da relação d/d’, da classe do concreto (fck), da categoria do aço (fyk) e do coeficiente de segurança do aço (s). Assim como feito para as variáveis y, z, e c (Tabela 4.3, página 4-10), é possível associar os valores s e ’s a valores pré-fixados de x, e outros, como mostrado na Tabela 4.3, feita para o aço CA-25 (s = 1,15) e concreto C704. Concreto C70 Aço CA-25 s = 1,15 ’s para (d'/d) = x y z c s 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,100 0,075 0,963 0,055 1,000 0,805 0,537 0,268 0,220 0,165 0,918 0,116 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,816 0,525 0,233 0,320 0,240 0,880 0,162 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,962 0,762 0,561 x,dtl 0,263 0,869 0,174 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,916 0,733 0,450 0,338 0,831 0,215 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Tabela 4.4 - Flexão simples - C70 e CA-25 (s = 1,15) 4 As tabelas completas estão apresentadas em 4.13 (página 4-53 em diante). 4-16 2016 tc037 4.5 Indexação de áreas comprimidas Para a caracterização de áreas comprimidas e correspondentes esforços resistentes de cálculo (forças e momentos), será usada a seguinte indexação (Figura 4.17): - índice 1  área de concreto comprimido de largura bw e altura y;  força resistente de cálculo (Rcd1) definida pelo produto (bw y) c; e  momento resistente de cálculo (MRd1) definido pelo produto Rcd1 z. - índice 2 ou plica (‘)  área de armadura comprimida (A’s);  força resistente de cálculo (R’sd) definida pelo produto A’s ’s; e  momento resistente de cálculo (MRd2) definido pelo produto R’sd (d - d’). - índice 3  área de concreto comprimido de largura (bf - bw) e altura hf;  força resistente de cálculo (Rcd3) definida pelo produto [(bf - bw) hf] c; e  momento resistente de cálculo (MRd3) definido pelo produto Rcd3 (d - hf/2). Figura 4.17 - Indexação de áreas comprimidas 4.6 Armaduras longitudinais máximas e mínimas 4.6.1 Armadura mínima de tração A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples, supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctk,sup. A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15%. sup,ctk0,mind fW8,0M  Equação 4.21 onde: W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta do concreto, relativo à fibra mais tracionada; e s esforços resistentes de cálculo Rsd MRd  bw bf d' As c c y x Rcd1 Rcd3 R’sd2 A’s z d hf solicitação de cálculo MSd h 1 3 3 2 MRd = MRd1 + MRd2 + MRd3 ’s 4-17 2016 tc037 fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (1.5.5, página 1-4).   MPa50ff11,01ln756,2f MPa50ff0,39f ckcksupctk, ck3 2cksupctk,   Equação 4.22 A taxa de armadura longitudinal mínima (min) é definida como sendo: %15,0A A c min,s min  Equação 4.23 onde: As,min corresponde a área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada determinada pelo dimensionamento da seção transversal do elemento de concreto estrutural, necessária para resistir ao momento fletor Md,min, como estabelecido pela Equação 4.21; e Ac corresponde a área da seção transversal bruta do elemento de concreto que incorpora a armadura As,min. 4.6.2 Armadura máxima A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto. A soma das armaduras de tração e compressão (As + A’s) não devem ter valor maior que 4% Ac, calculada na região fora da zona de emendas. A taxa de armadura longitudinal máxima (max) será dada por: %4A AA c 'ssmax  Equação 4.24 onde: As corresponde a área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada; A’s corresponde a área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida; e Ac corresponde a área da seção transversal bruta do elemento de concreto que incorpora as armaduras As e A’s. A aplicação direta da Equação 4.24, para seções T, pode conduzir a vigas de difícil concretagem (excesso de armadura). A Figura 4.18 mostra uma seção retangular e uma seção T, de mesma altura (h) e mesma armadura tracionada (As). Admitindo-se que a armadura comprimida (A’s) seja de pequena monta a seguinte situação pode vir a ocorrer:     %4hb AAA AA w 'ssc 'ssret       %4hbbhb AAA AA fwfw 'ssc 'ssT   Figura 4.18 - Comparativo entre seções retangulares e T Como pode ser observado na Figura 4.18, no retângulo bw h as quantidades de armadura são iguais tanto para seção retangular como para a seção T. Isto nos leva a concluir que a verificação da taxa máxima de armadura em seções T deve ser feita tanto para a seção total como para a seção bw h, de tal forma que: hf bw bf As h bw As A’s A’s 4-20 2016 tc037 - condições limites  momento resistente (Equação 4.21, página 4-16)                   Sd inf,ctk0 Sd min,d Rd M fW8,0 max M M maxM  dutilidade (Equação 4.10, página 4-8)       MPa50f350,0 MPa50f450,0 ck ck dtlx,x  armadura (Equação 4.23 e Equação 4.24, página 4-17)      max,s min,s s A A A - equações de cálculo com uso de tabelas x yds cdwcs cmax,s cmin,s ydsz Rds ck ck dtlx,x s z x cd2w Rdc Sd sup,ctk0 Sd min,d Rd fA fdb A%4A A%15,0A fd MA MPa50f350,0 MPa50f450,0 tabfdb M M fW8,0 max M M maxM                                           Equação 4.26 Exemplo 4.1: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 125 kNm. Dados: - concreto: C35; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações normais (momentos fletores); e - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). x ≤ x,dtl  não é necessária armadura de compressão 4-21 2016 tc037 Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 4.26, com o uso da tabela para concreto C35 e aço CA-50 (página 4-61). a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm5,3MPa35f  MPa50f80,0 ck  MPa50f85,0 ckc  MPa50f45,0 ckdtlx,  MPa50ff0,39f ck3 2cksupctk,  23 2supctk, cm/kN417,0MPa17,4350,39f  normal) combinação - (ELU 1,40 c 2 c ckcd kN/cm 50,21,40 3,5ff  2yk kN/cm 50MPa 500f  normal) combinação - (ELU 1,15 s 2 s yk yd kN/cm 43,51,15 50ff  cm 20bw  cm 45d  cm 50h  2wc cm00015020hbA  322w0 cm33,33386 5020 6 hbW  cmkN00,7802417,033,33388,0fW8,0M sup,ctk0min,d  kNcm50012kNm125MSd  kNcm50012 50012 7802 max M M maxM Sd min,d Rd                   2cmin,s cm50,10001100 15,0A%15,0A  2cmax,s cm00,400001100 4A%4A  20 cm 5 cm 45 cm MSd = 125 kNm As 4-22 2016 tc037 b) Determinação de c        000,1 921,0 197,0 tab123,050,24520 50012 fdb M s z x 2cd2w Rdc   450,0 dtl,x 197,0 x  c) Cálculo da armadura As       max,s min,s ydsz Rds A A fd MA       2 2 2s cm0,40 cm50,1 cm93,65,43000,145921,0 50012A 2s cm 93,6A  ◄ d) Verificação x yds cdwcs fA fdb      000,1197,05,4393,6 50,2452085,08,0 s      e) Determinação de As sem o uso de tabelas 1234568,050,24520 50012 fdb M 2cd2w Rdc   xxcc 5,01    xx 8,05,0185,08,01234568,0  04538853,05,2 x2x    1970922,02 4538853,045,25,2 2 x    9211631,01970922,08,05,015,01 xz  34,xxs 000,0000,1  2 ydsz Rds cm9322100,65,43000,1459211631,0 50012 fd MA  ◄ 0000000,11970922,05,439322100,6 50,2452085,08,0 fA fdb x yds cdwcs          ◄ 4-25 2016 tc037 2cmin,s cm35,1900100 15,0A%15,0A  2cmax,s cm00,36900100 4A%4A        2 2 22ef,s cm00,36 cm35,1 cm05,104 6,15A cmkN40,2183596,075068,0fW8,0M sup,ctk0min,d  b) Verificação de ah e av  1n n2c2ba tnomwh    bw largura da viga (20 cm) cnom cobrimento nominal da armadura (3 cm) t diâmetro da armadura transversal (0,63 cm)  diâmetro da armadura longitudinal (1,6 cm) n número de barras na camada (3 barras)   cm97,313 6,1363,020,3220ah   cm28,2 cm28,29,12,1d2,1 cm6,1 cm2 max d2,1 cm2 maxa maxmax h                       cm28,2 min,h cm97,3 cal,h aa  cm0,2 cm95,09,15,0d5,0 cm6,1 cm2 max d5,0 cm2 maxa maxmax v                     (adotado av = 2,00 cm) c) Determinação da altura útil (d)5 cm5,410 45 10 hycg    si isicg A yAy   cm4,5cm 44,1 4 6,124 6,13 2 6,10,22 6,1 4 6,120,04 6,13 y 22 22 cg                                    5 ABNT NBR 6118 - 17.2.4.1: “Os esforços nas armaduras podem ser considerados no centro de gravidade correspondente, se a distância deste cento de gravidade ao centro da armadura mais afastada, medida normalmente à linha neutra, for menor que 10% de h.” (ver Figura 4.28, página 4-51) t cnom  av ah cg d t cnom  ycg h d = h - (ycg + 0,5  + t + cnom) 2 cm (av) (ycg + 0,5  + t + cnom) 4-26 2016 tc037     nomtcg c2yhd  cm13,390,363,02 6,144,145d     d) Equação de verificação x yds cdwcs fA fdb      xxs 135,55,4305,10 00,513,3920765,075,0      sx 195,0  1ª tentativa 195,0x  (admitindo s = 1,000)        000,1 104,0 927,0 tab195,0 s c z x 000,1001,1195,0135,5135,5 xs    350,0 dtl,x 195,0 x  e) Momento resistente de cálculo(MRd) cd2wcRd fdbM  mkN24,159cmkN9241500,513,3920104,0M 2Rd  verificação 22 ydsz Rds cm05,10cm09,105,43000,113,39927,0 92415 fd MA  f) Momento solicitante de cálculo(MSd) mkN24,159MM RdSd  ◄ 4.9 Vigas de seção retangular com armadura de compressão Conforme mostrado na Equação 4.26 (página 4-20), vigas com dimensões adequadas e sem armadura de compressão, tem comportamento dútil desde que sejam projetadas com a posição da linha neutra satisfazendo a condição de x ≤ x,dtl. A tentativa de sempre dimensionar vigas sem armadura de compressão nem sempre é possível. Momentos fletores solicitantes de maior porte podem necessitar que a posição de linha neutra se aproxime do domínio 4, ou mesmo que se situe neste domínio, de tal forma que a viga passe a ter um comportamento frágil (x > x,dtl). A dutilidade das vigas pode ser sempre garantida com o uso de armadura de compressão, como mostrado na Figura 4.21. Para tal, basta forçar que a linha neutra fique posicionada no domínio 2 ou no domínio 3, impondo que x ≤ x,dtl. Embora possa ser atribuído para x qualquer valor compreendido entre 0,000 e x,dtl, é prática comum adotar para x o valor de x,dtl. Para adoção de valores de x inferiores a x,dtl é conveniente verificar qual deles conduzirá ao dimensionamento mais econômico, ou seja, aquele que levar a menor quantidade total de armadura (menor As + A’s). 4-27 2016 tc037 Figura 4.21 - Vigas de seção retangular com armadura de compressão Como mostrado na Figura 4.21, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd  MSd) é composto por dois momentos MRd1 e MRd2. No que se refere a MRd1 (parte superior da Figura) valem todas as considerações apresentadas em 4.7 (página 4-18), em especial, o contido na Equação 4.26 (página 4-20). Desta forma: - binário MRd1/Rcd1 cd2w 1Rdc fdb M - binário MRd1/Rsd1 ydsz 1Rd1s fd MA  - equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo Rcd1 e Rsd1 x yds cdwc1s f fdbA       No que ser refere a MRd2 (parte inferior da Figura 4.21), tem-se: - esforço resistente de cálculo atuante na armadura tracionada s2s2sd AR  yds2s2sd fAR  yd2ss2sd fAR  Rsd2 As2  s MSd2 esforços resistentes de cálculo solicitações de cálculo x c MRd2 d' R'sd2 (d - d’) A's 2 's c = c fcd y =  x Rsd1As1 s MSd1 x c MRd1 d bw Rcd1 z h 1 4-30 2016 tc037 's s 'sx yds cdwcs c'ss yd's' 2Rd's A A fA fdb A%4)AA( f)dd( MA          Exemplo 4.3: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 270 kNm. Dados: - concreto: C35; - aço: CA-50; - armadura transversal: 6,3 mm; - cobrimento: 3 cm; e - dimensão máxima do agregado: 19 mm. Considerar: - somente solicitações normais (momentos fletores); e - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 4.26 ou Equação 4.28, com o uso da tabela para concreto C35 e aço CA-50 (página 4-61). a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm5,3MPa35f  MPa50f80,0 ck  MPa50f85,0 ckc  MPa50f45,0 ckdtlx,  MPa50ff0,39f ck3 2cksupctk,  23 2supctk, cm/kN417,0MPa17,4350,39f  normal) combinação - (ELU 1,40 c 2 c ckcd kN/cm 50,21,40 3,5ff  2yk kN/cm 50MPa 500f  normal) combinação - (ELU 1,15 s 20 cm 50 cm MSd = 270 kNm As 4-31 2016 tc037 2 s yk yd kN/cm 43,51,15 50ff  cm 20bw  cm 45d  (assumido) cm 5d'  (assumido) 0,11145 5 d d'  cm 50h  2wc cm00015020hbA  322w0 cm33,33386 5020 6 hbW  cm 3cnom  cm0,63mm 3,6t  cm 1,9mm 19dmax  cmkN00,7802417,033,33388,0fW8,0M sup,ctk0min,d  kNcm00027kNm270MSd  kNcm00027 00027 7802 max M M maxM Sd min,d Rd                   2cmin,s cm50,10001100 15,0A%15,0A  2cmax,s cm00,400001100 4A%4A  b) Determinação de c        000,1 805,0 487,0 tab267,050,24520 00027 fdb M s z x 2cd2w Rdc   450,0 dtl,x 487,0 x  c) Condição de dutilidade 450,0dtl,xx                 000,1 000,1 251,0 820,0 tab 111,0d d 450,0 's s c z ' x kNcm75,4132550,24520251,0fdbM 2cd2wc1Rd  kNcm25,586175,4132500,00027MMM 1RdRd2Rd  22 yds' 2Rd z 1Rds cm50,1cm74,165,43000,1 1 )545( 25,5861 45820,0 75,41325 f 1 )dd( M d MA        x > x,dtl  necessária armadura de compressão 4-32 2016 tc037 2 yd's' 2Rd's cm91,05,43000,1)545( 25,5861 f)dd( MA               000,174,16 91,0450,05,4374,16 50,2452085,080,0 A A fA fdb 's s 'sx yds cdwcs 000,1            22 2 22 ef,s cm28,64 0,22mm20 2 cm69,17 cm40,114 2,23mm22 3 A (2 camadas) 22' ef,s cm57,14 00,12mm102 A  22ef'ss cm00,40cm26,1957,169,17)AA(  2ef,s2cal,s cm69,17Acm74,16A  2' ef,s2' cal,s cm57,1Acm91,0A  d) Verificação de ah e av  1n n2c2ba tnomwh    bw largura da viga (20 cm) cnom cobrimento nominal da armadura (3 cm) t diâmetro da armadura transversal (estribo) (0,63 cm)  diâmetro da armadura longitudinal (2,2 cm - 1ª camada) n número de barras na camada (3 barras)   cm07,313 2,2363,020,3220ah   cm28,2 cm28,29,12,1d2,1 cm2,2 cm2 max d2,1 cm2 maxa maxmax h                       cm28,2 min,h cm07,3 cal,h aa  cm20,2 cm95,09,15,0d5,0 cm2,2 cm2 max d5,0 cm2 maxa maxmax v                     cm2,2av  (valor adotado) t  ah cnom av 4-35 2016 tc037 's s 'sx yds cdwcs A A fA fdb        000,1002,167,16 02,3400,05,4367,16 50,274,432085,080,0 s                   22 2 22 ef,s cm28,64 0,22mm20 2 cm69,17 cm40,114 2,23mm22 3 A (2 camadas) 22' ef,s cm68,34 25,13mm12,53 A  cm26,40,363,02 25,1c2d nomt '   22ef'ss cm00,40cm37,2168,369,17)AA(  2ef,s2cal,s cm69,17Acm67,16A  ◄ 2' ef,s2' cal,s cm68,3Acm02,3A  ◄ i) Comparação de resultados (valores de cálculo) 4.10 Vigas de seção T sem armadura de compressão 4.10.1 Região de concreto comprimido A região de concreto comprimido, em uma viga de seção T, pode ocorrer de três modos distintos, como apresentado na Figura 4.22. Figura 4.22 - Regiões de concreto comprimido em vigas de seção T y bw bf As hf y < hf y bw bf As y = hf y bw bf As y > hf x As cm2 A’s cm2 As + A’s cm2  0,450 17,12 1,74 18,86 4,40% 0,400 16,67 3,02 19,69 d' 3 12,5 mm 4-36 2016 tc037 A situação em que toda a mesa está comprimida, corresponde a: fhy  Considerando a Equação 4.11 (página 4-9), tem-se: d h d y fy  d hfyx                2 hdd h d h5,01d h5,01 f2fcffcxxcc Levando-se em conta as condições estabelecidas na Figura 4.19 (página 4-18), cuja região comprimida é definida pelo retângulo de dimensões bw y, tem-se, pela Equação 4.26 (página 4-20): cd2wc1Rd fdbM    cdffwccd2wf2fc1Rd f2hdhbfdb2hddhM    No caso particular em que bw (da Figura 4.19) for igual a bf (da Figura 4.22), e definindo, para este caso, MRd1 como sendo o momento resistente de cálculo suportado pela mesa comprimida da seção T, tem-se:   cdfffcmesa,Rd1Rd f2hdhbMM     cdfffcmesa,Rd f2hdhbM   Equação 4.29 Desta forma, para as regiões de concreto comprimido em vigas de seções T, têm-se: mesa,RdRdf mesa,RdRdf mesa,RdRdf MMhy MMhy MMhy    Equação 4.30 4.10.2 Seções T sem armadura de compressão: y  hf Seja Figura 4.23 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de cálculo MSd é resistida pelo momento resistente de cálculo MRd, composto somente pelo binário de forças Rcd e Rsd, sem a necessidade de armadura de compressão. Figura 4.23 - Vigas de seção T sem armadura de compressão - y  hf x s esforços resistentes de cálculo Rsd MRd  bf As c Rcd z d solicitação de cálculo MSd h c = c fcd y =  x bw hf 4-37 2016 tc037 Comparando a Figura 4.19 (página 4-18) com a Figura 4.23 pode-se concluir que a viga de seção T sem armadura de compressão, com y  hf, é equivalente a uma viga de seção retangular de base bf. Desta forma, introduzindo valores de bf nos lugares de bw apresentados na Equação 4.26 (página 4-20), e considerando: - a relação entre y e hf (Equação 4.30); - armadura mínima (Equação 4.23 - página 4-17); e - armadura máxima (Equação 4.25 - página 4-18), as vigas de seção T, sem armadura de compressão, com y  hf, podem ser representadas por:   x yds cdfcs wmax,s cmin,s ydsz Rds fy ck ck dtlx,x s z y x cd2f Rdc mesa,RdRd cdfffcmesa,Rd Sd sup,ctk0 Sd min,d Rd fA fdb hb%4A A%15,0A fd MA hdy MPa50f350,0 MPa50f450,0 tabfdb M MM f2 hdhbM M fW8,0 max M M maxM                                                  Equação 4.31 Exemplo 4.4: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 270 kNm. Dados: - concreto: C35; - aço: CA-50; - armadura transversal: 6,3 mm; - cobrimento: 3 cm; e - dimensão máxima do agregado: 19 mm. MRd ≤ MRd,mesa  vale seção retangular de base bf 4-40 2016 tc037    OKcm5,0cm 60,15 2 0,20,22 0,220,03 ycg          cm77,430,363,02 0,260,150c2yhd nomtcg           cm77,43 cal cm00,43 adot dd  e) Verificação para valores de cálculo x yds cdfcs fA fdb      000,1997,0152,05,4337,15 50,2436085,08,0 s      f) Comparação com o Exemplo 4.3 MSd = 270 kNm Seção Retang. Seção T  Ac 1000,0 cm2 1400,0 cm2 40,0% Acc 315,0 cm2 315,0 cm2 0,0% A’s 2,36 cm2 # # As 17,69 cm2 15,37 cm2 -13,1% As + A’s 20,05 cm2 15,37 cm2 -23,3% armadura mais afastada do centro de gravidade da seção geométrica  não é necessário refazer os cálculos com d = 43,77 cm 7 cm 10 cm 33 cm 20 cm As 60 cm 5,25 cm As = 15,37 cm2 15,75 cm 20 cm As A’s As = 17,37 cm2 A’s = 2,23 cm2 av= ℓ = 2,0 cm ah= 1,2 dmax = 2,28 cm bnec = 2 x 3,00 (cnom) 2 x 0,63 (t) 2 x 2,28 (ah) 3 x 2,00 (ℓ) 17,82 cm cg d cnom (3,0 cm) 2,0 cm) (ycg + 0,5  + t + cnom) h d = h - (ycg + 0,5  + t + cnom) av (2,0 cm) ycg t (0,63 cm) 4-41 2016 tc037 4.10.3 Seções T sem armadura de compressão: y > hf Seja Figura 4.24 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de cálculo MSd (MSd = MSd1 + MSd3) é resistida pelo momento resistente de cálculo MRd (MRd = MRd1 + MRd3), composto pelos binários das forças Rcd1 / Rsd1 e Rcd3 / Rsd3, sem a necessidade de armadura de compressão. Figura 4.24 - Vigas de seção T sem armadura de compressão - y > hf Como mostrado na Figura 4.24, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd  MSd) é composto por dois momentos MRd1 e MRd3. No que se refere a MRd1 (parte superior da Figura) valem todas as considerações apresentadas em 4.7 (página 4-18), em especial, o contido na Equação 4.26 (página 4-20). Desta forma: - binário MRd1/Rcd1 cd2w 1Rdc fdb M - binário MRd1/Rsd1 ydsz 1Rd1s fd MA  - equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo Rcd1 e Rsd1 x yds cdwc1s f fdbA       No que ser refere a MRd3 (parte inferior da Figura), tem-se: - esforço resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de largura bf - bw    cfwf3cd hbbR  c =c fcd s Rsd1 MRd1 bw As1 c x Rcd1 z d MSd1 h 1 y = x c =c fcd hf s esforços resistentes de cálculo Rsd3 MRd3  bf As3 c x Rcd3 (d - 0,5 hf) d hf solicitações de cálculo MSd3 h 3 3 4-42 2016 tc037    cdcfwf3cd fhbbR  - binário MRd3/Rcd3     2 hdRM f3cd3Rd   cdffwfc3Rd f2hdhbbM    - esforço resistente de cálculo atuante na armadura tracionada s3s3sd AR  yds3s3sd fAR  yd3ss3sd fAR  - binário MRd3/Rsd3     2 hdRM f3sd3Rd     2 hdfAM fyd3ss3Rd ydsf 3Rd3s f2 hd MA      - equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo Rcd3 e Rsd3    cdcfwf3cd fhbbR  yd3ss3sd fAR     cdfwfcyd3ss fhbbfA     yds cdfwfc3s f fhbbA   Considerando a somatória dos esforços solicitantes e resistentes, tem-se: - momento solicitante 3Sd1SdSd MMM  - momento resistente 3Rd1RdRd MMM  - armadura tracionada - 1ª consideração 3s1ss AAA  ydsf 3Rd ydsz 1Rds f2 hd M fd MA      ydsf 3Rd z 1Rds f 1 2 hd M d MA              - armadura tracionada - 2ª consideração 3s1ss AAA     yds cdfwfcx yds cdwcs f fhbb f fdbA        4-45 2016 tc037 normal) combinação - (ELU 1,15 s 2 s yk yd kN/cm 43,51,15 50ff  cm 20bw  cm 06b f  cm 40d  (assumido) cm 50h  cm 10h f      2fwfwc cm 00411020-605020hbbhbA    cm71,30)]1050()2060[()5060[(2 ])1050()2060[()5060()]}hh()bb[()hb{[(2 ])hh()bb[()hb(y 22 fwff 2fwf2fw    cm29,1971,3050yhy wf  2wc 3fwf3f yA3 ])hh()bb[(hbI      4233 cm32132671,3040013 ])1050()2060[(5060I      (w) tracionada mais fibray IWW w w,00  30 cm6261071,30 321326W  kNcm83,5443417,0626108,0fW8,0M sup,ctk0min,Sd  kNcm00046kNm460MSd  kNcm00046 00046 83,5443 max M M maxM Sd min,d Rd                   2cmin,s cm10,24001100 15,0A%15,0A  2wmax,s cm00,405020100 4hb%4A      kNcm6254450,221040106085,0f2hdhbM cdfffcmesa,Rd      62544 mesa,Rd 00046 Rd MM  b) Momentos resistentes   cdffwfc3Rd f2hdhbbM      kNcm7502950,22104010206085,0M 3Rd    kNcm250167502900046MMM 3RdRd1Rd  hf cg bw h bf yf yw cálculo como seção T 4-46 2016 tc037 c) Determinação de c         000,1 861,0 277,0 347,0 tab203,050,24020 25016 fdb M s z y x 2cd2w 1Rdc   450,0 dtl,x 347,0 x  cm08,1140277,0dy y   cm00,10 f cm08,11 hy  d) Cálculo da armadura As                   max,s min,s ydsf 3Rd z 1Rds A A f 1 2 hd M d MA                   2 2 2s cm00,40 cm10,2 cm39,305,43000,1 1 2 1040 75029 40861,0 25016A 2cals, cm 39,30A  ◄ 22ef,s cm36,344 5,27mm25 7A  e) Determinação da altura útil (d) cm0,510 50 10 hycg    si isicg A yAy       cm20cm19,76 5,2563,020,32bnec     cm5,0cm 29,47 2 5,25,72 5,222 5,25,22 5,220,03 ycg                cm83,400,363,02 5,229,450c2yhd nomtcg         y bf As d h hf cobrimento estribo cinco barras (duas virtuais entre três reais) bw cg d cnom (3,0 cm) 2,5 cm) (ycg + 0,5  + t + cnom) h d = h - (ycg + 0,5  + t + cnom) av (2,5 cm) ycg t (0,63 cm) 4-47 2016 tc037   cm83,40 cal cm00,40 adot dd  f) Verificação             yds cdfwfcx yds cdwcs fA fhbb fA fdb    000,15,4339,30 50,210206085,0347,05,4339,30 50,2402085,08,0s      g) Observação %4hb AA w 'ssmax,T  %44,35020 36,34 max,T  Viga com armadura bastante expressiva, com a taxa de armadura (3,44%) muito próxima do limite (4%). Indica que a viga está com pouca altura em relação ao momento solicitante. Por outro lado, como a viga é bastante solicitada por momento fletor, o mesmo deverá acontecer com a força cortante. Dificilmente a viga poderá ser detalhada com estribo de 6,3 mm. O uso de estribo de 8 mm já tornaria impossível abrigar 3 barras de 25 mm em uma mesma camada (bnec resultaria em 20,10 cm superior aos 20 cm de bw). É conveniente aumentar a altura da viga para, pelo menos, 60 cm. 4.11 Composição de bf 4.11.1 Conjunto laje-viga Nas estruturas de concreto armado, as vigas de seção T aparecem naturalmente pois o conjunto laje-viga define este tipo de seção, como mostrado na Figura 4.25. Figura 4.25 - Conjunto laje-viga Deve ser notado que no dimensionamento da armadura longitudinal (armadura de flexão), a viga de concreto armado composta por nervura (alma) e abas (mesa), como mostrado na hf bw bf AA P4 20 x 20 P2 20 x 20 P3 20 x 20 P1 20 x 20 V4 - 2 0 x 50 V2 - 20 x 50 V3 - 2 0 x 50 V1 -20 x 50 L1 10 cm L2 10 cm Corte AA L1 L2 V3 V4 L3 10 cm L3 armadura mais afastada do centro de gravidade da seção geométrica  não é necessário refazer os cálculos com d = 40,83 cm 4-50 2016 tc037 As relações entre os valores de a mostrados na Figura 4.26 e os valores de bi apresentados na Figura 4.27 correspondem a:        4 3 2 1 b a1,0 b b5,0 a1,0 b Equação 4.34 Exemplo 4.6: Determinar o valor de bf para a viga V2. Considerar vigas simplesmente apoiadas nos pilares. Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 4.33 e da Equação 4.34. a) Definição de a (vista longitudinal de V2) 22 75,0aa  cm58578075,0a  b) Definição de bf (seção transversal de V2) cm400b2  cm120b4    2 1 b5,0 a1,0b     cm2004005,0b5,0 cm5,585851,0b 2 1   4 3 b a1,0b L1 L3 L2 V 3 V4 P1 P2 P3 P4 V2B V2A V1B V1A 40 40 400 40 740 40 180 120 P4 P3 1 = 2 m 2 = 7,8 m a2 = 0,75 2 V2 V1 bf b1 b3 bw 40 bw b2 b4 400 120 40 4-51 2016 tc037    cm120 cm5,585851,0b3 1w3f bbbb  cm1575,58405,58bf  cm157b f  ◄ 4.12 Disposições construtivas 4.12.1 Dimensões limites As vigas de concreto armado, de modo geral, não devem possuir largura inferior a 12 cm. ABNT NBR 6118, item 13.2.2: ”A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm e das vigas-parede, menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos, respeitado um mínimo absoluto de 10 cm em caso excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições: - alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos nesta Norma; - lançamento e vibração do concreto de acordo com a ABNT NBR 14931.” 4.12.2 Concentração de armaduras Os esforços nas armaduras, tracionadas ou comprimidas, podem ser considerados concentrados no centro de gravidade correspondente (Figura 4.28), se a distância deste centro de gravidade ao centro da armadura mais afastada, medida normalmente à linha neutra, for menor que 10% h (ABNT NBR 6118 - 17.2.4.1). Figura 4.28 - Centro de gravidade de armaduras 4.12.3 Armadura de tração nas seções de apoio Segundo o item 18.3.2.4 da ABNT NBR 6118, as armaduras longitudinais positivas de vigas devem ser prolongadas até os apoios (Figura 4.29), de tal forma que: - As,apoio  0,33 As,vão, se Mapoio for nulo ou negativo de valor absoluto Mapoio 0,5 Mvão; ou - As,apoio  0,25 As,vão, se Mapoio for negativo de valor absoluto Mapoio> 0,5 Mvão. No caso de apoios intermediários, onde não haja a possibilidade de ocorrência de momentos positivos, as armaduras provenientes do meio do vão deverão se estender, no mínimo, 10  além da face do apoio (item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118). ycg cg h ycg < 0,1 h 4-52 2016 tc037 Figura 4.29 - Prolongamento de armadura positiva 4.12.4 Armadura de pele A ABNT NBR 6118 - 17.3.5.2.3 indica que a mínima armadura lateral deve ser 0,10% Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de CA-50 ou CA-60, com espaçamentos não maior que 20 cm e devidamente ancorada nos apoios, não sendo necessária uma armadura superior a 5 cm2/m por face.(Figura 4.30). Figura 4.30 - Armadura de pele Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada utilização da armadura de pele. 4.13 Tabelas de Flexão Simples s  20 cm h  60 cm bw As,pele  0,1 bw h (por face) As,vão 0,33 As,vão 0,25 As,vão 10 