Estruturas de Concreto Armado I e II, Notas de aula de Teoria das Estruturas

Baixe Estruturas de Concreto Armado I e II e outras Notas de aula em PDF para Teoria das Estruturas, somente na Docsity! 6-1 2016 tc037 6 Flexão Simples Armadura Transversal de viga 6.1 Tensões principais Sejam os elementos 1 e 2, próximos ao apoio de uma viga, dos quais se quer determinar as tensões principais (Figura 6.1). Nesta Figura, o elemento 1 situa-se sobre a linha neutra (máxima tensão tangencial) e o elemento 2 está situado próximo à fibra mais tracionada (máxima tensão normal de tração). Figura 6.1 - Tensões normais e tangenciais em peças fletidas Da Resistência dos Materiais é sabido que as tensões principais de tração I formam, no elemento 1, um ângulo de 45° com a horizontal (plano diagonal de ruptura), sendo no elemento 2 este ângulo igual a 90° (plano vertical de ruptura), como mostrado na Figura 6.2. Figura 6.2 - Tensões principais nos elementos 1 e 2 V M xy x 1 2 linha neutra fibra mais tracionada xy xy xy xy 1 x 2 x I = xy II = xy II (compressão) I (tração) 1 plano diagonal de ruptura 45º I (tração) I = x 2 plano vertical de ruptura 90º 6-2 2016 tc037 Ensaios de laboratório têm demonstrado uma boa aproximação com a teoria, já que em vigas de concreto armado o aspecto das fissuras, na região próxima a apoio simples, é como indicado na Figura 6.3 (fissuras perpendiculares às tensões principais de tração, pois o concreto não resiste às mesmas). Figura 6.3 - Fissura em viga de concreto armado Já foi visto, quando se estudou a armadura longitudinal de vigas (Capítulo 4), que próximo ao elemento 2, onde a fissura é provocada somente pelo momento fletor (xy = 0), a armadura horizontal de tração é colocada perpendicularmente à fissura, isto é na direção da tensão principal I do elemento 2 (Figura 6.4). No elemento 1, onde a fissura é provocada pela força cortante (x = 0), a armadura deveria ser também colocada perpendicularmente à fissura, na direção da tensão principal I do elemento 1 (Figura 6.4). Figura 6.4 - Armaduras nas direções das tensões principais de tração A idéia de se colocar armadura sempre na direção da tensão principal de tração (perpendicular à fissura) vigorou por muitos anos como princípio básico do concreto armado. Mudanças ocorreram e as teorias atuais, tanto para momento fletor como para força cortante, baseiam-se no principio de se "costurar" as fissuras, respeitando sempre o equilíbrio de forças e a compatibilidade das deformações. É por este motivo que as vigas de concreto armado, em sua grande maioria, são, atualmente, detalhada só com armadura horizontal e vertical (Figura 6.5). As armaduras horizontais "costuram" as fissuras provocadas pelo momento fletor e as armaduras verticais "costuram" as fissuras provocadas pela força cortante. Evidentemente esta é uma idéia simplista, já que as fissuras, na realidade, são provocadas por tensões de tração provenientes da combinação de momentos fletores e forças cortantes atuando conjuntamente. Figura 6.5 - Armadura de momento fletor e força cortante V M 1 2 fissura vertical (90°) na região do elemento 2 fissura inclinada (45°) na região do elemento 1 I I I I 1 2 I I I I 1 2  V M armadura de momento fletor armadura de força cortante 2 1 V M armadura de momento fletor armadura de força cortante 2 1 porta estribo 6-5 2016 tc037 z braço de alavanca correspondente à distância entre a resultante horizontal de compressão atuante no banzo superior da treliça de Morsh e a resultante atuante na armadura horizontal tracionada (banzo inferior da treliça), admitido como sendo igual 0,9 d (ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.b); cw tensões normais atuantes na diagonal de compressão da treliça de Morsh (tensões perpendiculares à reta BC); Rcw força atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh, resultante das tensões cw (perpendicular à reta BC); e VRd21 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto. Do triângulo ABD (Figura 6.9),  sen zBD___ Do triângulo BCD (Figura 6.9),  cosBDBC ______ ou ainda, zsen cosBC___   Tendo em vista que    90- tem-se:   90    90coscos     90sensen90coscoscos  cossensencoscos    sen cossensencos sen cos   cossengcotsen cos   gcotgcotsensencos que levado para a expressão da reta BC, tem-se:   gcotgcotsenzBC___ Do equilíbrio das forças verticais mostradas na Figura 6.9,  senRV cwRd2 ou ainda,    senbBCV w___cwRd2      senbgcotgcotsenzV wcw2Rd    2wcw2Rd sengcotgcotzbV Tendo em vista que (Figura 6.9) d9,0z  1 Notação da ABNT NBR 6118, onde o índice 2 (VRd2) representa vigas e o índice 1 (VRd1) corresponde a lajes. 6-6 2016 tc037 e tomando para cw um valor em torno de 70% da máxima tensão de compressão de cálculo do concreto 0,85 fcd, necessário pelas incertezas decorrentes da simplificação da analogia de Morsh, tem-se:  cdcw f85,0 7,04,1 1      2wcd2Rd sengcotgcotd9,0b4,1 f85,0V ou ainda,    gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2Rd Equação 6.1 6.3.2 Modelos da ABNT NBR 6118 6.3.2.1 Modelo I O Modelo I da ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2 admite diagonais de compressão inclinadas de  = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural. Desta forma a Equação 6.1 resulta:    45gcotgcot45sendbf54,0V 2wcd2Rd    1gcot5,0dbf54,0V wcd2Rd    1gcotdbf27,0V wcd2Rd  Se o ângulo  (inclinação das barras de cisalhamento) for tomado igual a 90°, VRd2 assumirá seu valor mínimo, correspondente a: dbf27,0V wcd2Rd  Equação 6.2 A ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.a, apresenta a Equação 6.2 corrigida do fator v2, função da resistência característica do concreto. Desta forma, a expressão de VRd2, para o Modelo I, resulta: dbf27,0V wcd2v2Rd  MPaemf250 f1 ckck2v  Equação 6.3 6.3.2.2 Modelo II O Modelo II da ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3 admite diagonais de compressão inclinadas de  em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com  variável livremente entre 30° e 45°. Assim como para o Modelo I, a Equação 6.1 é corrigida pelo fator v2. Desta forma, e como apresentado na ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3.a, resulta para VRd2:   gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd MPaemf250 f1 ckck2v  4530   9045 Equação 6.4 6.3.3 Resistência de elemento estrutural - diagonal de compressão A resistência do elemento estrutural, em uma determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando for verificada a seguinte condição: 2RdSd VV  Equação 6.5 onde: VSd força cortante solicitante de cálculo, na seção; e VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, de acordo com os modelos descritos em 6.3.2. 6-7 2016 tc037 Nas regiões dos apoios, os cálculos devem considerar as forças cortantes atuantes nas respectivas faces (Figura 6.10). Figura 6.10 - Verificação de força cortante Exemplo 6.1: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar, definida pela diagonal de compressão (VRd2). Fazer a verificação para o Modelo I e para o Modelo II admitindo  = 30° e  = 90°. Considerar: - concreto: C25; - d = h - 5 cm; e - estado limite último, combinações normais (c = 1,4). Solução: Na determinação de VRd2, usar a Equação 6.3 para o Modelo I e a Equação 6.4 para o Modelo II. VSd é definida pela Equação 6.5. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2ck cm/kN5,2MPa25f  4,1c  2 c ckcd cm/kN79,14,1 5,2ff  MPaemf250 f1 ckckv2  9,0250 251v2  cm20bw  cm35540d  b) Modelo I kN48,304352079,19,027,0dbf27,0V wcd2v2Rd  kN304VV 2RdSd  ◄ 20 cm 40 cm diagrama VSd VSd,face  VRd2 6-10 2016 tc037 - estribos; ou - barras dobradas. Os estribos devem ser fechados e, preferencialmente, posicionados verticalmente ( = 90°), como mostrado na Figura 6.12. O valor de Asw, a ser usado na Equação 6.8, depende do número de ramos que compõe o estribo. Figura 6.12 - Estribos de viga As barras dobradas, de modo geral, são posicionadas nas vigas como continuidade das barras horizontais, formando ângulo de 45° com a horizontal (Figura 6.13). Figura 6.13 - Barras dobradas de viga 6.4.3 Modelos da ABNT NBR 6118 6.4.3.1 Modelo I O Modelo I da ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2 admite  = 45°. Desta forma a Equação 6.8 resulta:   cossenfd9,0sAV ywdswsw        dobradasbarrasMPa435f7,0 estribosMPa435f f s yk s yk ywd  9045 Equação 6.9 A ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.b apresenta o cálculo da armadura transversal de elemento estrutural, para o Modelo I, separado por tipo de solicitação. A força cortante resistente de cálculo VRd3 será dada pela Equação 6.6, Vsw pela Equação 6.9 e Vc definido para cada tipo de solicitação. As estribo de 2 ramos Asw = 2 As As estribo de 4 ramos Asw = 4 As 6-11 2016 tc037 6.4.3.1.1 Flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção swc3Rd VVV  dbf6,0V wctdc                MPa50ff11,01ln484,1 MPa50ff21,0 ff ck c ck ck c 3 2ck c inf,ctk ctd   cossenfd9,0sAV ywdswsw        dobradasbarrasMPa435f7,0 estribosMPa435f f s yk s yk ywd  9045 Equação 6.10 6.4.3.1.2 Flexo-compressão swc3Rd VVV  0c max,Sd 00cc V2M M1VV      dbf6,0V wctd0c                MPa50ff11,01ln484,1 MPa50ff21,0 ff ck c ck ck c 3 2ck c inf,ctk ctd   cossenfd9,0sAV ywdswsw        dobradasbarrasMPa435f7,0 estribosMPa435f f s yk s yk ywd  9045 Equação 6.11 Na Equação 6.11, M0 valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por MSd,Max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com VSd, sendo essa tensão calculada com valor de f igual a 1,0; e MSd,max momento fletor de cálculo máximo no trecho, em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semitramo considerado. 6-12 2016 tc037 6.4.3.1.3 Elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção swc3Rd VVV  0Vc    cossenfd9,0sAV ywdswsw        dobradasbarrasMPa435f7,0 estribosMPa435f f s yk s yk ywd  9045 Equação 6.12 6.4.3.2 Modelo II O Modelo II da ABNT NBR 6118 -17.4.2.3 admite para  uma variação livre entre 30° e 45°, de tal forma não ser possível simplificações na Equação 6.8 (página 6-9). A ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3.b apresenta o cálculo da armadura transversal de elemento estrutural, para o Modelo II, separado por tipo de solicitação. A força cortante resistente de cálculo VRd3 será dada pela Equação 6.6 (página 6-9), Vsw pela Equação 6.8 (página 6-9) e Vc definido para cada tipo de solicitação. 6.4.3.2.1 Flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção swc3Rd VVV  1cc VV  0c 0c2Rd Sd2Rd0c1c VVV VVVV   dbf6,0V wctd0c                MPa50ff11,01ln484,1 MPa50ff21,0 ff ck c ck ck c 3 2ck c inf,ctk ctd    sengcotgcotfd9,0sAV ywdswsw        dobradasbarrasMPa435f7,0 estribosMPa435f f s yk s yk ywd º4530   9045 Equação 6.13 6-15 2016 tc037 b) Modelo I  90 (estribos verticais) kN76,533520128,06,0dbf6,0V wctdc    cossenfd9,0sAV ywdswsw   kN37,8590cos90sen5,43359,010623,0Vsw  kN13,13937,8576,53VVV swcRd3  kN139VV 3RdSd  ◄ c) Modelo II )4530(30  )9045(90  (estribos verticais) kN76,533520128,06,0dbf6,0V wctd0c    gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd   30gcot90gcot30sen352079,19,054,0V 22Rd     kN68,263732,10,05,0352079,19,054,0V 22Rd     sengcotgcotfd9,0sAV ywdswsw    90sen30gcot90gcot5,43359,010623,0Vsw   kN85,14700,1732,100,05,43359,010623,0Vsw  0c 0c2Rd Sd2Rd0c1c VVV VVVV   kN76,5376,5368,263 V68,26376,53VV Sd1cc   (Vc1 função de VSd)  adimitindo VSd = VRd3, tem-se: swcRd3Sd VVVV  sw 0c2Rd Sd2Rd0cSd VVV VVVV                         0c2Rd0c 0c sw 0c2Rd 2Rd Sd VV 1 V 1 V V VV V V kN47,171 76,5368,263 1 76,53 1 76,53 85,147 76,5368,263 68,263 VSd                      verificando: kN76,53kN61,2376,5368,263 47,17168,26376,53VV 1cc   kN46,17185,14761,23VVV swcRd3  6-16 2016 tc037 kN171VV 3RdSd  ◄ d) Observação No Modelo I, a força cortante solicitante de cálculo VSd (139 kN) resultou 19% menor que a correspondente no Modelo II (171 kN). Portanto, neste caso, no que se refere à diagonal tracionada (armadura), flexão simples, o Modelo II tem melhor comportamento (mais folgado) que o Modelo I. 6.5 Armadura mínima A ABNT NBR 6118 - 17.4.1.1.1 estabelcele, para elementos lineares submetidos a força cortante, uma armadura transversal mínima constituída por estribos, com taxa geométrica dada por: ywk m,ct w swsw f f2,0sensb A         MPa50ff11,01ln12,2 MPa50ff3,0 f ckck ck3 2ck m,ct MPa500ff ykywk  Equação 6.17 onde: sw taxa geométrica de armadura transversal; Asw área da seção transversal dos estribos; s espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural;  inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural; bw largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção, fywk resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal; e fct,m resistência média à tração do concreto. Exemplo 6.3: Determinar a taxa geométrica mínima para a armadura transversal de viga com: - aço: CA-50; e - concreto: C25. Solução: Usar a Equação 6.17 para a determinação de sw. a) Dados MPa25fck  MPa50ff3,0f ck3 2ckm,ct  MPa56,2253,0f 3 2m,ct  MPa500fyk  MPa500ff ykywk  MPa500fywk  b) Taxa geométrica %10,0500 56,22,0f f2,0 ywk m,ct sw  ◄ 6.6 Flexão simples - Vigas com estribos verticais ABNT NBR 6118 - 17.4.1.1.3: “A armadura transversal (Asw) pode ser constituída por estribos (fechados na região de apoio das diagonais, envolvendo a armadura longitudinal) ou pela 6-17 2016 tc037 composição de estribos e barras dobradas; entretanto, quando forem utilizadas barras dobradas, estas não podem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura.” O detalhamento de vigas de concreto armado com estribos verticais, permitido pela ABNT NBR 6118 - 17.4.1.1.3, tem sido o mais usado pela engenharia de estruturas de concreto armado (Figura 6.14). Figura 6.14 - Vigas com estribos verticais 6.6.1 Modelo I A adoção do Modelo I, que pode exigir mais da diagonal comprimida da treliça de Morsh (ver Exemplo 6.1, página 6-7), tem-se mostrado bastante útil no detalhamento de vigas de concreto armado. Levando em consideração apenas as equações estabelecidas em 6.3.2.1 (Equação 6.3, página 6-6), 6.3.3 (Equação 6.5, página 6-6), 6.4.3.1.1 (Equação 6.10, página 6-11), 6.4.4 (Equação 6.16, página 6-13) e 6.5 (Equação 6.17, página 6-16), para flexão simples, tem-se:     3Rd 2Rd Sd V V V dbf27,0V wcd2v2Rd  MPaemf250 f1 ckck2v  swc3Rd VVV  dbf6,0V wctdc                MPa50ff11,01ln484,1 MPa50ff21,0 ff ck c ck ck c 3 2ck c inf,ctk ctd ywdswsw fd9,0s AV    MPa435ff s yk ywd  ywk m,ct w swsw f f2,0sb A         MPa50ff11,01ln12,2 MPa50ff3,0 f ckck ck3 2ck m,ct MPa500ff ykywk  Equação 6.18 s s 2 s 6-20 2016 tc037               MPa50ff11,01ln484,1 MPa50ff21,0 ff ck c ck ck c 3 2ck c inf,ctk ctd    cotfd9,0s AV ywdswsw MPa435ff s yk ywd  ywk m,ct w swsw f f2,0sb A         MPa50ff11,01ln12,2 MPa50ff3,0 f ckck ck3 2ck m,ct MPa500ff ykywk  Eq. 6.19 (cont.) Exemplo 6.5: Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo (VSd) que a mesma pode suportar. Considerar: - aço: CA-50; - concreto: C25; - d = h - 5 cm; - estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, constituídos por barras de 6,3 mm; - flexão simples, Modelo II,  = 30°; e - estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). Solução: Na determinação de VSd, usar a Equação 6.19. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2ck cm/kN5,2MPa25f  4,1c  MPaemf250 f1 ckckv2  9,0250 251v2  2 c ckcd cm/kN79,14,1 5,2ff  20 cm 40 cm 6-21 2016 tc037 MPa50ff3,0f ck3 2ckm,ct  23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f  MPa50ff21,0f ck c 3 2ck ctd   23 2ctd cm/kN128,0MPa28,14,1 2521,0f  MPa500fyk  MPa500ff ykywk  MPa500fywk  = 50 kN/cm2 15,1s  MPa435ff s yk ywd  2ywd cm/kN5,43MPa43515,1 500f  22ssw cm623,04 63,02A2A  cm10s  cm20bw  cm35540d  %10,050 256,02,0f f2,0 ywk m,ct sw  %10,0%31,01020 623,0 sb A w swsw  )4530(30  b) VRd2  30cos30sen352079,19,054,0cossendbf54,0V wcd2v2Rd kN68,263866,050,0352079,19,054,0V 2Rd  kN264V 2Rd  ◄ (ver Exemplo 6.1, página 6-7) c) VRd3 kN76,533520128,06,0dbf6,0V wctd0c  kN68,263V 2Rd     cotfd9,0s AV ywdswsw kN85,147732,15,43359,010 623,030cot5,43359,010 623,0V osw      0c 0c2Rd Sd2Rd0c1c VVV VVVV   kN76,5376,5368,263 V68,26376,53VV Sd1cc   (Vc1 função de VSd) 6-22 2016 tc037  adimitindo VSd = VRd3, tem-se: swcRd3Sd VVVV  sw 0c2Rd Sd2Rd0cSd VVV VVVV                         0c2Rd0c 0c sw 0c2Rd 2Rd Sd VV 1 V 1 V V VV V V kN47,171 76,5368,263 1 76,53 1 76,53 85,147 76,5368,263 68,263 VSd                      verificando: kN76,53kN61,2376,5368,263 47,17168,26376,53VV 1cc   kN46,17185,14761,23VVV swcRd3  kN171V 3Rd  ◄ (ver Exemplo 6.1, página 6-14) d) VSd       kN171V kN264V V 3Rd 2Rd Sd kN171VSd  ◄ e) Comparações de Modelos Valores do Modelo I retirados do Exemplo 6.4, página 6-18. Como pode ser observado na tabela, o Modelo I apresenta melhores condições (maior folga) para o concreto (maior VRd2), ao passo que o Modelo II se apresenta melhor (mais folgado) para armadura (maior VRd3). Em outras palavras, Modelo II, neste caso, poderia resistir a uma força cortante de 171 kN com estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, constituídos por barras de 6,3 mm. Para esta mesma disposição de armadura (estribos), o Modelo I suportaria, no máximo, 139 kN. 6.7 Condições para uso de estribos em elementos estruturais ABNT NBR 6118 - 18.3.3.2: “O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5 mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga. O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, Modelo I II  90° 90°  45° 30° Vc 54 kN 24 kN Vsw 85 kN 148 kN VRd2 304 kN 264 kN VRd3 139 kN 171 kN 6-25 2016 tc037 10 bmm5 wt  10 200mm5 t  mm20mm5 t      mm20 mm5 mm7 t 22ssw cm77,04 7,02A2A  %12,050 290,02,0f f2,0 ywk m,ct sw  cm20bw  cm44650d  )4530(30  (Modelo II) )Itrecho(kN240V Imax,Sd,  (para verificação de VRd2) )IItrecho(kN170V IImax,Sd,  (para verificação de VRd3) b) Modelo I b.1. VRd2 kN45,447442014,288,027,0dbf27,0V wcd2v2Rd   45,447 2Rd 240 Imax,,Sd VV  b.2. VRd3 kN56,764420145,06,0dbf6,0V wctdc  s 40,32615,43449,0s 77,0fd9,0s AV ywdswsw      swcRd3 VVV  s 40,326156,76VRd3  kN170VV IImax,,SdRd3  170s 40,326156,76  cm14,20s  cm14s  ◄ b.2.1 Verificação de VRd3 kN30,17114 40,326156,76VRd3   30,171 3Rd 170 IImax,,Sd VV  b.2.2 Verificação de s 67,038,045,447 170 V V 2Rd Sd  6-26 2016 tc037           cm30 cm4,26446,0d6,0 minscm7 cm4,26scm7      cm4,26 cm7s cm14 b.2.3 Verificação de sw %12,0%28,01420 77,0 sb A w swsw  c) Modelo II c.1. VRd2  30cos30sen442014,288,054,0cossendbf54,0V wcd2v2Rd kN49,387866,050,0442014,288,054,0V 2Rd   49,387 2Rd 240 Imax,,Sd VV  c.2. VRd3 kN56,764420145,06,0dbf6,0V wctd0c  kN49,387V 2Rd  kN170V IImax,Sd,  0c 0c2Rd Sd2Rd0c1c VVV VVVV   kN55,5356,7649,387 17049,38756,76VV 1cc       56,76 0c 55,53 1c VV     cotfd9,0s AV ywdswsw s 33,2972732,15,43449,0s 77,030cot5,43449,0s 77,0V osw      swcRd3 VVV  s 33,297255,53VRd3  kN170VV IImax,,SdRd3  170s 33,297255,53  cm19,73s  cm19s  ◄ c.2.1 Verificação de VRd3 kN46,17419 33,297255,53VRd3   46,174 3Rd 170 IImax,,Sd VV  6-27 2016 tc037 c.2.2 Verificação de s 67,044,049,387 170 V V 2Rd Sd            cm30 cm4,26446,0d6,0 minscm7 cm4,26scm7      cm4,26 cm7s cm19 c.2.3 Verificação de sw %12,0%20,01920 77,0 sb A w swsw  d) Comparação de estribos Modelo I: 1 de 7 mm @ 14 cm para resistir força cortante de 170 kN. Modelo II: 1 de 7 mm @ 19 cm para resistir força cortante de 170 kN. Neste exemplo, o Modelo II se mostrou mais econômico. A taxa de armadura sw para o Modelo I resultou em 0,28%, maior que a do Modelo II que ficou em 0,20%. Muito cuidado deve ser tomado para afirmar que sempre o Modelo II exigirá menos armadura que o Modelo I. No Modelo II, a diminuição do valor de Vc com o aumento de VSd pode levar este Modelo a uma taxa de armadura maior que a do Modelo I. 6.8 Cargas próximas aos apoios A existência de cargas próximas aos apoios pode influenciar na determinação da armadura de cisalhamento em elementos estruturais de concreto armado. Figura 6.16 - Cargas próximas aos apoios Da Figura 6.16 pode ser observado que: - as cargas uniformemente distribuídas, à esquerda do plano , não interferem no nó B (onde existe Vsw), são direcionadas diretamente ao apoio (nó) A e, no equilíbrio vertical de forças, influenciam na determinação da força VRd2 (reação de apoio), relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto; e - as cargas uniformemente distribuídas, compreendidas entre os planos  e , interferem no nó B e, no equilíbrio vertical de forças, influenciam na determinação da força Vsw, resistida pela armadura transversal Asw. Desta forma, pode-se afirmar: - as cargas uniformemente distribuídas, à esquerda do plano , não interferem na determinação de Asw; e   V M B Rsw   VRd2 A 6-30 2016 tc037 2ywd cm/kN5,43MPa435f  cm14bw  cm55d  cm30pil  10 bmm5 wt  10 140mm5 t  mm14mm5 t  %10,050 256,02,0f f2,0 ywk m,ct sw  %10,0sb A w swsw   m/cm40,1cm cm0140,014100 10,0 s A 22 b sw w  kN93,334551479,190,027,0dbf27,0V wcd2v2Rd  kN14,595514128,06,0dbf6,0V wctdc  b) Força cortante atuando nas faces dos pilares carga uniformemente distribuída: kN28,1615 42724,1V Aeixo,Sd,       kN16,1462 30,0724,128,161V face,ASd,       kN32,405 12724,1VV B,face,SdBeixo,Sd,       carga concentrada: kN32,405 11444,1VV A,face,SdAeixo,Sd,       kN28,1615 41444,1VV B,face,SdBeixo,Sd,       conjunto de cargas: conc,A,face,Sddist,A,face,SdA,face,Sd VVV  kN48,18632,4016,146V A,face,Sd  conc,B,face,Sddist,B,face,SdB,face,Sd VVV  kN60,20128,16132,40V B,face,Sd   máxima força cortante na face do pilar 2 pil 6-31 2016 tc037 c) Verificação de VRd2 kN60,201V max,face,Sd  (valor absoluto) kN93,334V 2Rd  2RdSd VV   93,334 2Rd 60,201 max,face,Sd VV  d) Trecho I B 3 m 2 m A + - VSd,eixo,A = +161,28 kN VSd,face,A = +146,16 kN VSd,eixo,B = VSd,face,B = -40,32 kN B 1 m 4 m VSd,eixo,A = VSd,face,A = 40,32 kN VSd,eixo,B = VSc,face,B = -161,28 kN A + - +40,32 kN A + 2 m VSd,d/2,face,A = +118,44 kN -40,32 kN A + I 6-32 2016 tc037 kN44,1182 55,0 2 30,0724,128,161V face,Ad/2,Sd,             (carga distribuída) kN32,40V A,face,Sd  (carga concentrada) kN76,15832,4044,118VV max,SdSd   máxima força cortante no trecho I kN14,59Vc  s A25,15325,43559,0s Afd9,0s AV swswywdswsw      s A25,153214,59VVV swswcRd3  3RdSd VV  s A25,153214,59158,76 sw m/cm40,1m/cm63,4cm cm0463,0s A 222sw  67,047,093,334 76,158 V V 2Rd Sd            cm30 cm33556,0d6,0 minscm7 cm30scm7  e) Trecho II kN32,40VSd  (carga distribuida) 2 pil 2 d VSd.eixo,A t (mm) Asw (cm2) s (cm) Asw/s (cm2/m) 5 0,393 8 4,91 5,5 0,475 10 4,75 6 0,565 12 4,71 6,4 0,643 13 4,95 7 0,770 16 4,81 8 1,005 21 4,79 m/cm91,4s A s Acm100 cm393,0cm8 cm49,8scm63,4cm100 cm393,0cms 2sw sw 2 2 2     +40,32 kN A + 2 m -40,32 kN A - II g gk 6-35 2016 tc037 6.9 Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado Seja a viga da Figura 6.18 submetida a um carregamento qualquer onde, internamente, está representada a treliça de Morsh. Figura 6.18 - Viga com representação da treliça de Morsh Seja agora, um trecho isolado da viga onde somente forças horizontais, oriundas de momentos fletores, são consideradas (Figura 6.19). Conforme mostrado na Figura 6.18, os banzos superiores e inferiores da treliça são admitidos paralelos. Desta forma, pode-se, também, admitir, na Figura 6.19, a igualdade dos braços de alavanca z, distância entre as forças Rcd e Rsd. Existindo no trecho x da Figura 6.19 variação dos momentos fletores (MRd,B > MRd,A), sendo z constante e MRd dado pelo produto Rsd z, conclui-se que a força atuante na armadura tracionada Rsd não é constante neste trecho (Rsd,B > Rsd,A da mesma forma que MRd,B > MRd,A). Figura 6.19 - Forças horizontais em um trecho de viga Seja agora o mesmo trecho x isolado da treliça da Figura 6.18, onde está mostrado as forças internas de tração Rsd atuantes no banzo inferior da treliça de Morsh. Por se tratar de um trecho de treliça, obrigatoriamente deve-se ter, na Figura 6.20, forças Rsd iguais entre dois nós consecutivos (nós A e B que definem o trecho x). Isto vale dizer que a força atuante na armadura tracionada (armadura horizontal inferior) é constante no trecho x. Figura 6.20 - Forças horizontais no banzo inferior da treliça Do exposto, fica caracterizado uma discrepância quanto ao comportamento da força Rsd, pois, para o mesmo trecho x, ora ela é variável (Figura 6.19) ora ela é constante (Figura 6.20). Isto se explica pela completa independência existente na determinação da armadura horizontal (armadura de momento fletor) com a determinação da armadura vertical (armadura de força cortante). Determina-se a armadura horizontal sem levar em conta a força cortante, ao mesmo x B A x z z Rcd,A Rsd,A Rcd,B Rsd,B MRd,B MRd,A z MR A,RdA,sd  A,sdB,RdB,sd Rz MR  Rsd,A Rsd,B B A x Rsd,A Rsd,B 6-36 2016 tc037 tempo em que se determina a armadura vertical sem levar em conta o momento fletor. Um critério de cálculo (momento fletor) considera a viga como um todo, o outro (força cortante) admite o comportamento de uma treliça interna. Para levar em conta a discrepância existente no comportamento da armadura horizontal tracionada, e agora já podemos considerá-la tanto na face inferior da viga (momento positivo) com na face superior (momento negativo), deve o dimensionamento desta armadura ser feito para o maior valor absoluto da força Rsd atuante no trecho x (ponto B da Figura 6.19 e da Figura 6.20). Isto vale dizer que o diagrama de forças Rsd deve ser deslocado na direção da menor destas forças (na direção de Rsd,A da Figura 6.19, ou de B para A) de tal modo que no trecho x a força horizontal tracionada fique constante com seu maior valor absoluto. A Figura 6.21 mostra um exemplo de diagrama de forças Rsd deslocado. Figura 6.21 - Diagrama Rsd deslocado ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.c - Modelo de cálculo I: “Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração obliqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão:     dgcotgcot1VV2 Vda cmax,Sd max,Sd      onde: a = d, para ƖVSd,maxƖ ≤ ƖVcƖ; a  0,5 d, no caso geral; e a  0,2 d, para estribos inclinados a 45°. Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem do diagrama de momentos fletores.” ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3.c - Modelo de cálculo II: “Se forem mantidas as condições estabelecidas 17.4.2.2-c, o deslocamento do diagrama de momentos fletores, aplicando o processo descrito nessa Seção, deve ser:   gcotgcotd5,0a onde: a  0,5 d, no caso geral; a  0,2 d, para estribos inclinados a 45°.” 6.9.1 Modelo I - estribos verticais A adoção do Modelo I,com estribos verticais ( = 90°), tem se constituído em prática comum da engenharia de estruturas de concreto armado. Desta forma, o estabelecido na ABNT NBR 6118 - 17.4.2.2.c resulta: B A x diagrama Rsd deslocado diagrama Rsd = MRd/z Rsd  0 no apoio 6-37 2016 tc037             d d5,0 VV V 2 da cmax,Sd max,Sd  cmax,Sd VVda  Equação 6.21 6.9.2 Modelo II - estribos verticais Caso seja utilizado o Modelo II,com estribos verticais ( = 90°), o estabelecido na ABNT NBR 6118 - 17.4.2.3.c resulta:  gcotd5,0a  4530 Equação 6.22 A Figura 6.22 mostra como ficaria um diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo para efeito de dimensionamento e detalhamento da armadura horizontal de tração. É interessante notar que no apoio rotulado B há um aparente aparecimento de momento fletor. Na realidade, neste apoio B, está representada a força horizontal de tração que aparece no equilíbrio do nó A da Figura 6.16 (página 6-27). Figura 6.22 - Diagrama MSd deslocado Exemplo 6.8: Efetuar o deslocamento do diagrama de momentos fletores solicitantes de cálculo para a viga abaixo representada. Considerar: - concreto: C30; - estribos verticais de dois ramos; - preso próprio desprezível; - flexão simples, Modelo I; e - estado limite último, combinações normais, (g = 1,4; c = 1,4 e s = 1,15). B A a a a a diagrama MSd diagrama MSd deslocado A 1 m Gk = 200 kN 4 m 6-40 2016 tc037 f) Diagrama deslocado 6.10 Simbologia Específica a distância de carga concentrada ao eixo teórico do apoio (pilar) a distância correspondente a decalagem do diagrama de força no banzo tracionado da treliça de Morsh, ou do diagrama de momentos fletores bw menor largura da seção, compreendida ao longo da altura úitl d largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção d altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração fcd resistência de cálculo à compressão do concreto fck resistência característica à compressão do concreto fctd resistência de cálculo à tração do concreto fctk,inf resistência característica inferior à tração do concreto fct,m resistência média à tração do concreto fyd resistência de cálculo ao escoamento do aço fyk resistência característica ao escoamento do aço fywd resistência de cálculo ao escoamento do aço da armadura transversal fywk resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal gk valor característico da ação permanente (carga uniformemente distribuída) h altura da elemento estrutural ℓpil largura de pilar n número da barras componentes da armadura transversal Asw qk valor característico da ação variável (carga uniformemente distribuída) s espaçamento entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural smax espaçamento máximo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural z braço de alavanca As área da seção transversal da barra (fio) que constitui o estribo 1 m Gk = 200 kN 4 m I II 50 cm 39 cm 6-41 2016 tc037 Asw área da seção transversal do conjunto de ramos que constitui o estribo área da seção transversal de uma barra que constitui a armadura transversal do elemento estrutural Gk valor característico da ação permanente (carga concentrada) M momento fletor MRd momento fletor resistente de cálculo MSd,max máximo momento fletor de cálculo M0 momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por MSd,Max) Qk valor característico da ação variável (carga concentrada) Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido Rcw força atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh, resultante das tensões cw Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada Rsw força atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh) V força cortante Vc parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça de Morsh, função da resistência do concreto e das dimensões da seção transversal do elemento estrutural Vc0 valor usado na determinação de Vc Vc1 valor usado na determinação de Vc VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto VRd3 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal VSd força cortante solicitante de cálculo VSd,a/2d,eixo força cortante solicitante de cálculo atuante a uma distância a/2d do eixo teórico do pilar VSd,d/2,face força cortante solicitante de cálculo atuante a uma distância d/2 da face interna do pilar VSd,eixo força cortante solicitante de cálculo correspondente ao eixo do pilar VSd,face força cortante solicitante de cálculo atuante na face interna do pilar VSd,max máxima força cortante solicitante de cálculo Vsw parcela de força cortante resistida pela armadura transversal Asw componente vertical da força Rsw  inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural v2 fator de correção da resistência de cálculo à compressão do concreto  diâmetro da barra t diâmetro da barra (fio) que constitui o estribo c coeficiente de ponderação da resistência do concreto g coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas q coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas s coeficiente de ponderação da resistência do aço  inclinação da fissura em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural inclinação das bielas de compressão consideradas no dimensionamento à força cortante sw taxa geométrica de armadura transversal cw tensão normal atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh 6-42 2016 tc037 sw tensão normal atuante na armadura transversal x tensão normal na direção x I tensão principal de tração II tensão principal de compressão xy tensão tangencial x trecho de viga  constante  ângulo auxiliar 6.11 Exercícios Ex. 6.1: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos necessários para os estribos dos trechos I, II e III. Dados: - concreto: C20; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de dois ramos; - d = h - 6 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Ex. 6.2: Determinar, para a viga abaixo representada, os valores das distâncias a, b e c. Sabe-se que a armadura transversal do trecho b é composta por estribos verticais de dois ramos, diâmetro 6 mm, espaçados de 25 cm. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Qk = 80 kN 1 m 2 m 2 m gk = 60 kN/m I II III 20 cm 20 cm 60 cm 20 cm 6-45 2016 tc037 Ex. 6.5: Determinar, para a viga abaixo representada, os valores de a, b e c de tal forma que no trecho b a armadura para resistir os esforços devidos à força cortante seja a mínima estabelecida pela NBR 6118. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de dois ramos; - altura útil (d) igual a 88% da altura total (h); - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (10 cm entre o eixo e a face); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga; I II I 20 cm 20 cm 1,9 m 2,0 m 1,9 m viga pilar pilar 20 cm 100 cm a b c 2 m A 6 m 2 m gk = 250 kN/m B 30 15 15 50 seção transversal - cm 60 90 100 20 6-46 2016 tc037 Ex. 6.6: Determinar, para a viga abaixo indicada, o valor máximo da carga Qk (valor característico) que a mesma pode suportar. Verificar a possibilidade de ruptura ao cisalhamento tanto por compressão no concreto como por tração na armadura transversal (estribos). Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de dois ramos, diâmetro 6 mm, espaçados de 10 cm; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (10 cm entre o eixo e a face); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. Ex. 6.7: Determinar, para a viga abaixo representada, os valores de x, y e z de tal forma que no trecho y a armadura para resistir os esforços devidos à força cortante seja a mínima estabelecida pela ABNT NBR 6118. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-60. 20 cm 60 cm seção transversal cm 20 60 t = 6,3 mm B A 1  6 mm @ 10 cm 3 m gk = 50 kN/m 3 m Qk 6-47 2016 tc037 Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - d = h - 8 cm; - modelo I, estribos verticais; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 30 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Ex. 6.8: Uma viga de seção retangular com 60 cm de base e 40 cm de altura, está armada transversalmente com estribos verticais de quatro ramos, diâmetro  = 7 mm. Para esta viga, pede-se: a. a área de armadura transversal por unidade de comprimento (cm2/m) para espaçamento de estribos igual a 12 cm; e b. o máximo esforço cortante de cálculo que a seção resiste para sw igual a 0,2%. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo II,  = 40°; - d = h - 6 cm; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. 30 cm 20 cm 70 cm 30 cm Gk = 120 kN 2 m 6 m gk = 60 kN/m x y z 6-50 2016 tc037 - pilares com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio das vigas e pilares. Ex. 6.12: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos dos estribos verticais necessários para os trechos I, II e III. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo II,  = 30°, estribos de dois ramos; - d = h - 8 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 30 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 100 20 V1 - 15 x 60 gk = 50 kN/m V2 - 15 x 60 P1 P2 P3 P4 500 480 20 dimensões em cm 6-51 2016 tc037 Ex. 6.13: Determinar, para a estrutura abaixo indicada, o máximo valor que a carga permanente uniformemente distribuída gk pode assumir, de tal forma que a viga, de seção retangular vazada, não atinja o estado limite último relativo à força cortante. A viga terá estribos verticais de quatro ramos constituídos por barras de 10 mm espaçadas de 12 cm. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações especiais (g = 1,3, q = 1,2, c = 1,2 e s = 1,15); - d = h - 10 cm; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk; e - verificações para o modelo I e para o modelo II,  = 30°. 30 15 15 50 seção transversal - cm 60 90 100 20 30 cm 100 cm 2 m 6 m 2 m 2 m A 7 m 1 m gk = 250 kN/m B Gk = 500 kN I II III 20 20 20 100 dimensões em cm 5 m face do pilar gk 6-52 2016 tc037 Ex. 6.14: Para a viga abaixo representada, pede-se: a. a menor altura possível (múltiplo de 5 cm) que a mesma deva ter, de tal modo que o estado limite último por ruptura do concreto não seja alcançado; e b. a armadura de cisalhamento (cm2/m) necessária para o trecho I, calculada em função da altura definida no item a. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais; - bw = 15 cm; - bf = 60 cm; - hf = 12 cm; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 30 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 90 650 30 30 30 Gk = 48 kN 680 120 gk = 20 kN/m dimensões em cm trecho I A A AA 6-55 2016 tc037 Ex. 6.18: Determinar a armadura de cisalhamento (cm2/m) do trecho I (a direita do apoio do balanço) da viga abaixo representada. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais; - h = 100 cm; - d = 90 cm; - bw = 25 cm; - todas as cargas (valores característicos) atuando simultaneamente; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 40 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - obrigatória a verificação da resistência do concreto aos esforços de cisalhamento. h 20 cm seção transversal B A posição 1 (limite do carrinho) 7,6 m viga 400 kN carrinho 8,0 m 0,7 m 1,0 m 1,2 m posição 2 eixo do pilar (apoio da viga) 6-56 2016 tc037 Ex. 6.19: Determinar o máximo valor da carga Gk (valor característico) que a viga abaixo representada pode suportar. No trecho I os estribos são de 8 mm espaçados de 30 cm, ao passo que no trecho II os estribos, de mesmo diâmetro, estão posicionados a cada 10 cm. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos; - h = 60 cm; - d = 53 cm; - bw = 20 cm; - todas as cargas (valores característicos) atuando simultaneamente; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. 1,5 m 7,0 m 2,0 m 100 kN 500 kN 500 kN 1,5 m 10 kN/m II I III 6-57 2016 tc037 Ex. 6.20: A viga da figura abaixo representada deve transferir a carga do pilar que nasce na ponta do balanço para as fundações (apoios A e B). Nestas condições, pede-se: a. a menor altura h possível para a viga (utilizar valor múltiplo de 5 cm); b. o diâmetro e os espaçamentos necessários para os estribos do trecho I e do trecho II, para a altura estabelecida no item a. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 2,0 m Gk Gk 2,0 m 2,0 m 2,0 m 0,3125 Gk 1,375 Gk 0,3125 Gk I II III Gk = 400 kN 1 m 4 m gk = 20 kN/m I II 20 cm 30 cm h 20 cm 6-60 2016 tc037 - viga simplesmente apoiada em A e C; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e C); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga. Ex. 6.24: Determinar o espaçamento da armadura de cisalhamento do trecho II (esquerda do apoio B) da viga abaixo indicada. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos, diâmetro 10 mm; - d = h - 10 cm; - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 40 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. 2,3 m 2,3 m 20 cm A C B 1,20 m 60 cm 40 cm gk = 60 kN/m Gk 20 cm Gk = 430 kN 8 m A 2 m 2 m B II gk = 30 kN/m seção transversal cm 75 25 15 85 6-61 2016 tc037 Ex. 6.25: Determinar, para a viga abaixo representada, qual o máximo valor que a carga acidental qk (valor característico) pode assumir. No trecho I os estribos são de 8 mm espaçados de 10 cm, ao passo que no trecho II os estribos, de mesmo diâmetro, estão posicionados a cada 25 cm. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos; - d = h - 8 cm; - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - peso próprio da viga incluído na carga gk. Ex. 6.26: Determinar, para a viga abaixo representada, o diâmetro e os espaçamentos necessários para a armadura de cisalhamento. Considerar os trechos em balanços mais três trechos iguais para o vão central. As reações (cargas permanentes) da laje L1 e das vigas V1 e V2 correspondem a (valores característicos): - laje L1: 22 kN/m; - viga V1: 120 kN; e - viga V2: 55kN. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. 12 20 40 30 48 10 seção transversal cm 20 cm 1,4 m 5,6 m I II qk gk = 15 kN/m Gk = 100 kN A B 6-62 2016 tc037 Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais de 2 ramos; - d = h - 7 cm; - viga simplesmente apoiada em A e B; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (eixos A e B); - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - avaliar o peso próprio da viga e considerar no carregamento; - somente a reação da laje consiste em carga aplicada na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio). Ex. 6.27: Determinar o máximo valor da carga Qk que a viga abaixo indicada pode suportar. Nos trechos próximos aos apoios os estribos são espaçados de 10 cm, enquanto que no trecho central o espaçamento é de 25 cm. Em todos os trechos da viga os estribos são verticais de quatro ramos, diâmetro 8 mm. Dados: - concreto: C25; e - aço: CA-60. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I; - d = h - 12 cm; - viga simplesmente apoiada em pilares; - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 20 cm de largura (10 cm entre o eixo e a face); - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - a carga distribuída corresponde ao peso próprio da viga (peso específico igual a 25 kN/m3). 20 60 20 380 20 20 100 A B 20 x 40 20 x 60 V1 L1 V2 dimensões em cm 6-65 2016 tc037 Ex. 6.30: A viga ABCD da estrutura abaixo representada receberá a carga de n pavimentos. Cada pavimento transmite uma carga Pd,i = 400 kN (valor de cálculo) a cada uma das colunas verticais. O carregamento total que chega aos pontos B e C da viga é a soma das cargas de todos os pavimentos. Pede-se: a. o número máximo de pavimentos (n) que a viga ABCD é capaz de suportar; e b. a armadura transversal (cm2/m) no trecho AB da referida viga. Dados: - concreto: C30; e - aço: CA-50. Considerar: - somente solicitações tangenciais (força cortante); - estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); - modelo I, estribos verticais; - altura útil (d) igual a altura total (h) menos 10 cm; - viga simplesmente apoiada nos pilares (apoios A e D); - vão de cálculo da viga igual à distância entre os eixos dos pilares; - pilares suportes da viga com 40 cm de largura; - cargas aplicadas na face superior da viga (face oposta a da reação de apoio); e - todas as recomendações da ABNT NBR-6118, inclusive aquelas referentes à redução no cálculo da armadura de cisalhamento. Obs: - desconsiderar o peso próprio da viga; e - Pd,i (valor de cálculo) leva em consideração os coeficientes de segurança relativos às combinações de ações (carga permanente e carga acidental). 20 cm 80 cm seção transversal cm 15 80 gk = 85 kN/m I II III 6 m 2 m 2 m A B 3,5 m 3 m 3,5 m 6-66 2016 tc037 A D B C 2 1 n-1 n 3 A B C D 40 cm 40 cm 80 cm 500 cm 180 cm 40 cm 120 cm Pd,total Pd,total Pd,3 Pd,2 Pd,1 Pd,n Pd,total = ∑Pd,i seção transversal ESQUEMA ESTRUTURAL Viga - ABCD 100 cm 10 cm