Estruturas de Concreto Armado I e II, Notas de aula de Teoria das Estruturas

Baixe Estruturas de Concreto Armado I e II e outras Notas de aula em PDF para Teoria das Estruturas, somente na Docsity! 8 LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO9 INTRODUÇÃO 8.1 Na teoria das estruturas, consideram-se elementos de superfície aqueles em que uma dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente pequena em face das demais, podendo receber as seguintes denominações ( Figura 8.1): placas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano; cascas: elementos de superfície não plana; e chapas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações contidas em seu plano. Figura 8.1 Estruturas laminares As lajes maciças de concreto armado constituem estruturas laminares, tipo placa. Em casos especiais, onde se requer lajes com maior rigidez (maior altura), pode-se fazer uso de lajes nervuradas ( Figura 8.2). 9 Este capítulo é uma cópia adaptada da publicação LAJES USUAIS DE CONCRETO ARMADO de Roberto Dalledone Machado. Figura 8.2 Lajes maciças e nervuradas Quando for desejado que a superfície inferior das lajes nervuradas se torne contínua e plana, fecham-se os vazios com elementos inertes (tijolos, blocos vazados de concreto, isopor, etc.), como mostrado na Figura 8.3. Esta laje é denominada mista. Figura 8.3 Lajes mistas As lajes que se apóiam diretamente sobre pilares são denominadas lajes lisas e as lajes que se apóiam sobre pilares com capitéis denominam-se lajes cogumelo. Neste Capítulo somente serão abordadas as lajes maciças apoiadas em vigas. VÃOS EFETIVOS DE LAJES 8.2 Segundo a ABNT NBR 6118, item 14.7.2.2, quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo ( Figura 8.4) deve ser calculado pela seguinte expressão: Equação 8.1 com onde: ef vão efetivo da laje; 0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos; t comprimento do apoio paralelo ao vão da laje analisada; h espessura da laje. Figura 8.4 Vão efetivo de laje Figura 8.6 Lajes armadas em uma ou duas direções LAJES CONTÍNUAS 8.4 Assim como as vigas, as lajes apresentam, também, condições de continuidade. Desta forma os apoios podem ser: apoio simples, onde a extremidade da laje é considerada rotulada, transmitindo à viga suporte somente cargas verticais (reação de apoio); apoio contínuo, onde duas lajes contíguas transmitem somente cargas verticais (reação de apoio) para a viga suporte; e borda livre, onde a extremidade da laje é considerada em balanço. A consideração de apoios simples em lajes de extremidade evita que sejam transmitidos momentos torçores para as vigas suportes. Na determinação dos esforços de um painel de laje, é prática comum considerar as lajes isoladamente. Como em regiões de continuidade de lajes existe momento negativo, este pode ser representado, nas lajes isoladas, por P2 vi Pi P4 v3 vi PIPLLLIILPILISSSPPSPASPEP PELO ESTEPE vi o > va v2 4 v2 Vs J > vA um engaste ( Figura 8.7).  Nesta Figura 8.7, o apoio simples é representado por uma linha contínua; o engaste é representado pela hachura; e a borda livre é representada por uma linha tracejada. Figura 8.8 Lajes contínuas de diferentes dimensões ESPESSURA DE LAJES 8.5 A fixação da espessura das lajes deve atender às exigências dos esforços solicitantes (momento fletor e força cortante) para o estado limite último, bem como às verificações do estado limite de serviço (flechas, vibrações, fissuração, etc). Segundo a ABNT NBR 6118, item 13.2.4.1, nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para as espessuras: 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; e 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN. CARGAS ATUANTES NAS LAJES 8.6 As cargas atuantes nas lajes podem ser: permanentes, devidas ao peso próprio, contra-piso, revestimento, paredes, etc.; e acidentais, decorrentes das condições de uso da laje (residência, escritório, escola, biblioteca, etc.). CARGAS PERMANENTES8.6.1 Segundo a ABNT NBR 6120, os pesos específicos dos materiais de construção que eventualmente possam constituir carregamento em lajes podem ser tomados como sendo: argamassa de cal, cimento e areia ...................................................................................... 19,0 kN/m3 argamassa de cimento e areia ............................................................................................. 21,0 kN/m3 argamassa de gesso .............................................................................................................. 12,5 kN/m3 reboco .................................................................................................................................... 20,0 kN/m3 concreto simples ................................................................................................................... 24,0 kN/m3 concreto armado ................................................................................................................... 25,0 kN/m3 O carregamento atuante na laje (peso por unidade de área) é dado pela expressão: Equação 8.2 onde: g carga permanente uniformemente distribuída, geralmente em kN/m2; mat peso específico do material, geralmente em kN/m3; e h espessura do material, geralmente em m. Para materiais de acabamento ou coberturas, podem ser adotados os seguintes valores, considerando pesos por unidade de área: cerâmica ................................................................................................................................ 0,70 kN/m2 tacos ...................................................................................................................................... 0,65 kN/m2 cobertura de telhas francesas (com vigamento) ................................................................. 0,90 kN/m2 cobertura de telhas coloniais (com vigamento) .................................................................. 1,20 kN/m2 cobertura de fibro-cimento (com vigamento) ...................................................................... 0,30 kN/m2 cobertura de alumínio (com vigamento) ............................................................................. 0,16 kN/m2 CARGAS ACIDENTAIS 8.6.2 A ABNT NBR 6120 apresenta uma série de valores que podem ser assumidos para as cargas acidentais que venham a constituir carregamento em lajes. Alguns valores são reproduzidos a seguir: arquibancadas ........................................................................................................................... 4,0 kN/m2 bibliotecas sala de leitura ........................................................................................................................... 2,5 kN/m2 sala para depósito de livros ...................................................................................................... 4,0 kN/m2 sala com estantes ...................................................................................................................... 6,0 kN/m2 cinemas platéia com assentos fixos ........................................................................................................ 3,0 kN/m2 estúdio e platéia com assentos móveis .................................................................................... 4,0 kN/m2 banheiro ..................................................................................................................................... 2,0 kN/m2 corredores com acesso ao público ............................................................................................................... 3,0 kN/m2 sem acesso ao público ............................................................................................................... 2,0 kN/m2 edifícios residenciais dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro .............................................................................. 1,5 kN/m2 dispensa, área de serviço e lavanderia .................................................................................... 2,0 kN/m2 escadas com acesso ao público ............................................................................................................... 3,0 kN/m2 sem acesso ao público ............................................................................................................... 2,5 kN/m2 escolas anfiteatro, corredor e sala de aula ........................................................................................... 3,0 kN/m2 outras salas ............................................................................................................................... 2,0 kN/m2 escritórios .................................................................................................................................. 2,0 kN/m2 forros sem acesso de pessoas .................................................................................................... 0,5 kN/m2 ginásio de esportes .................................................................................................................... 5,0 kN/m2 hospitais dormitório, enfermarias, sala de recuperação ou cirurgia, banheiro .................................... 2,0 kN/m2 corredor ..................................................................................................................................... 3,0 kN/m2 lojas ............................................................................................................................................ 4,0 kN/m2 restaurantes .............................................................................................................................. 3,0 kN/m2 teatros palco ........................................................................................................................................... 5,0 kN/m2 platéia com assentos fixos ........................................................................................................ 3,0 kN/m2 estúdio e platéia com assentos móveis .................................................................................... 4,0 kN/m2 banheiro ..................................................................................................................................... 2,0 kN/m2 EXEMPLO 8.1 Determinar o carregamento em uma laje de edifício comercial. A laje terá de 10 cm de espessura, contra-piso (argamassa de cimento e areia) de 1 cm, acabamento superior com tacos e acabamento inferior com forro de gesso com 1 cm de espessura. Solução: As cargas permanentes (Equação 8.2) e acidentais deverão ser determinadas por unidade de área (kN/m2). Os pesos do concreto armado, conta-piso e gesso correspondem a 25 kN/m3, 21 kN/m3 e 12,5 kN/m3, respectivamente. Os tacos pesam 0,65 kN/m2. A carga acidental de um edifício comercial deve ser considerada como sendo 2 kN/m2. Figura 8.10) podem ser consideradas como equivalentes a uma carga uniformemente distribuída em toda esta laje. Para este caso, considera-se o peso total da parede e divide-se este valor pela área total da laje, como apresentado a seguir: Equação 8.4 onde: gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando em toda laje, geralmente em kN/m2; ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; par largura da parede, geralmente em metro; hpar altura da parede, geralmente em metro; x menor dimensão da laje, geralmente em metro; e y maior dimensão da laje, geralmente em metro Figura 8.10 Parede sobre laje de dupla curvatura EXEMPLO 8.2 Determinar a carga das paredes atuantes na laje abaixo representada. A altura das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 10 cm, reboco de 1,5 cm em cada face. Solução: O peso por metro quadrado de parede é determinado pela Equação 8.3 e a carga uniformemente distribuída sobre a laje é determinada pele Equação 8.4. a) Dados uniformização de unidades (kN e m) b) Curvatura da laje c) Peso por metro quadrado de parede d) Carga uniformemente distribuída na laje CARGAS DE PAREDES EM LAJES DE UMA SÓ CURVATURA 8.6.3.2 As cargas de paredes apoiadas em lajes de uma só curvatura se situam em duas condições: paredes paralelas ao lado maior da laje;e paredes paralelas ao lado menor da laje. A carga de parede paralela ao lado maior é considerada como uma carga linear uniformemente distribuída ao longo de sua largura ( Figura 8.11), cujo valor é dado por: Equação 8.5 onde: gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de comprimento (linear), atuando ao longo da largura da parede, geralmente em kN/m; ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; e hpar altura da parede, geralmente em metro. Figura 8.11 Parede paralela ao lado maior da laje A carga de parede paralela ao lado menor é considerada como uma carga uniformemente distribuída na área de dimensões x por 0,5 x ( f) Carregamentos PARAPEITOS E BALCÕES 8.6.4 Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas, uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m (ABNT NBR 6120, item 2.2.15), como mostrado na Figura 8.13. Figura 8.13 Parapeitos e balcões REDUÇÃO DE CARGAS ACIDENTAIS EM PILARES E FUNDAÇÕES 8.6.5 No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não destinadas a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 8.2 (ABNT NBR 6120, item 2.2.1.8). Nº de pisos que atuam sobre o elemento Redução percentual das cargas acidentais 1, 2 e 3 0% 4 20% 5 40% 6 ou mais 60% Tabela 8.2 Redução de cargas acidentais Na aplicação da Tabela 8.2, o forro deve ser considerado como piso ( Figura 8.14). Figura 8.14 - Redução de cargas acidentais DETERMINAÇÃO DE ESFORÇOS EM LAJES 8.7 Para a determinação dos esforços em lajes maciças de concreto armado, duas simplificações são admitidas: existe uma separação virtual entre as lajes e as vigas que suportam o painel de lajes; e a reação de apoio das vigas suporte do painel de lajes se faz de forma uniformemente distribuída. Embora concretadas de forma monolítica, admite-se que as lajes e vigas sejam separadas virtualmente, de tal forma que possam ser projetadas individualmente ( Figura 8.15). As vigas suporte das lajes são consideradas como apoios indeslocáveis. Figura 8.15 Separação virtual entre lajes e vigas Uma vez que as vigas suportes das lajes são consideradas como indeslocáveis, pode-se admitir que as reações de apoio existentes nas interfaces lajes/vigas sejam consideradas como uniformemente distribuídas ( Figura 8.16). Rigorosamente isto não ocorre pois existe uma tendência de levantamento nos cantos das lajes. Equação 8.9 Como pode ser observado na Equação 8.9, a correção de momentos positivos só é feita para o momento mj (momento que sofre acréscimo). Caso mbi seja maior que mbj, os índices i e j devem ser invertidos na Equação 8.8 e na Equação 8.9. Deve ser observado também que na Figura 8.18 e na Figura 8.19, bem como na Equação 8.8 e na Equação 8.9, os índices x e y correspondentes as direções das lajes Li e Lj não foram considerados (aprecem na Figura 8.17). A relação entre os valores apresentados sem os índices x e y (direções) corresponde a: mi myi momento fletor positivo na direção y da laje Li; mj mxj momento fletor positivo na direção x da laje Lj; mbi mbyi momento fletor negativo na direção y da laje Li; e mbj mbxj momento fletor negativo na direção x da laje Lj. EXEMPLO 8.4 Determinar os momentos fletores de cálculo atuantes no painel de lajes abaixo indicado. Considerar: estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4 e q = 1,4); carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m2: e carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m2. Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos nas regiões de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. a) Carregamento das lajes (valores de cálculo) b) Laje L1 c) Laje L2 50,17 00,13 83,47 87,27 tab33,10,3 0,4 2y 2x 2y 2x x2 y 2 d) Laje L3 90,12 10,11 40,34 90,24 tab25,10,4 0,5 3y 3x 3y 3x x3 y 3 e) Laje L4 (laje isostática laje em balanço) f) Uniformização de momentos fletores Lajes L1/L2 g) Uniformização de momentos fletores Lajes L2/L3 d,2bd,3b d,3b d,3bd,2b d,23b mmm8,0 2 mm maxm h) Uniformização de momentos fletores Lajes L1/L4 k) Momentos fletores (kNm/m) na direção L1/L2/L3 l) Momentos fletores (kNm/m) nas direções L1/L4, L2/L4 e L3/L4 m) Observação Embora a relação entre o vão maior (4 m) e o vão menor (1,8 m) da laje L1 supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada. Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje armada em uma só direção), o resultado final praticamente não se alteraria pois o momento fletor positivo na direção do balanço resultou bem próximo de zero (0,68 kNm/m) e o momento fletor negativo (6,05 kNm/m) foi definido pela laje em balanço. ARMADURA DE FLEXÃO 8.8 ARMADURA PRINCIPAL E ARMADURA SECUNDÁRIA 8.8.1.1 Para as lajes armadas em duas direções (curvatura em duas direções ortogonais), todas as armaduras de flexão (armaduras longitudinais) são consideradas como principal. Para as lajes armadas em uma só direção (uma só curvatura na direção do vão menor), a armadura considerada como principal é aquela posicionada na direção do vão menor. Na direção do vão maior deve-se, obrigatoriamente, colocar uma armadura de distribuição denominada armadura secundária (Figura 8.20). Figura 8.20 Armadura principal e secundária de lajes EQUAÇÕES GERAIS 8.8.2 Na determinação da armadura de flexão (momentos fletores) de lajes devem ser seguidos os mesmos princípios estabelecidos no Capítulo [5]. A armadura será determinada para cada metro de laje (bw = 1 m). Para a determinação da altura útil é conveniente adotar-se a altura útil da armadura mais afastada da borda tracionada (Figura 8.21). Figura 8.21 Seção transversal de laje Equação 8.10 Para as lajes de pouca altura, as armaduras de compressão devem ser evitadas. Desta forma as equações para determinação ou verificação da armadura longitudinal de lajes correspondem a: x y ds cdws min,s y dsz 1Rds x x x y d s x s xz ck ck cd2w 1Rdx s z ck ck cd2w 1Rdc 1RdRdSd lim,1RdSd w ckcd2w ckcd2wlim,1Rd fA fdb68,0 Afd mA 259,00,15,31f E 259,00,1 4,01 MPa35f400,0 MPa35f500,0 fdb272,0 m5625,125,1 ou tabMPa35f228,0 MPa35f272,0 fdb m mmm compressão de armadura de enecessidad há nãomm cm100b MPa35ffdb228,0 MPa35ffdb272,0m Equação 8.11 ARMADURA MÍNIMA 8.8.3 Os valores das armaduras mínimas para lajes maciças de concreto armado estão estabelecidos no item 19.3.3.3 da ABNT NBR 6118 e correspondem a: armadura negativa (por metro de laje) Equação 8.12 armadura positiva de lajes armadas em duas direções (por metro de laje) Equação 8.13 armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção (por metro de laje) Equação 8.14 armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção c y d cd 2 princ,s min,s Af f018,0 cm9,0 A20,0 maxA (por metro de laje) Equação 8.15 Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos na região de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. As armaduras devem ser determinadas com a aplicação da Equação 8.10, Equação 8.11, Equação 8.12, Equação 8.13, Equação 8.14, Equação 8.15, Equação 8.16, Equação 8.17 e Equação 8.18. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) (assumido = 10 mm) armadura negativa armadura positiva de lajes armadas em duas direções armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção (armadura principal) (armadura secundária) máximo momento permitido na laje para que não haja armadura de compressão b) Carregamento das lajes (valores de cálculo) c) Laje L1 00,8 50,42 20,14 tab50,20,2 0,5 1x 1y 1x x1 y 1 d) Laje L2 e) Laje L3 f) Uniformização de momentos fletores Lajes L1/L2 d,1bd,2b d,2b d,2bd,1b d,12b mmm8,0 2 mm maxm 46,118,0 2 46,1155,4maxm d,12b mSd = -18,02 kNm/m mSd = 11,81 kNm/m k) Armadura para os momentos fletores na direção das lajes sem continuidades (L1, L2 e L3) mSd = 0,86 kNm/m (mm) As,bar (cm2) s (cm) As,ef (cm2/m) 5 0,196 11 1,78 6 0,283 17 1,66 (mm) As,bar (cm2) s (cm) As,ef (cm2/m) 8 0,503 10 5,03 10 0,785 16 4,91 (mm) As,bar (cm2) s (cm) As,ef (cm2/m) 6 0,283 9 3,14 8 0,503 16 3,14 mSd = 3,02 kNm/m mSd = 10,34 kNm/m (mm) As,bar (cm2) s (cm) As,ef (cm2/m) 5 0,196 20 0,98 (mm) As,bar (cm2) s (cm) As,ef (cm2/m) 5 0,196 20 0,98 (mm) As,bar (cm2) s (cm) As,ef (cm2/m) 5 0,196 7 2,80 6 0,283 10 2,83 7 0,385 14 2,75 l) Armadura positiva m) Armadura negativa n) Consideração da laje L1 com curvatura em uma só direção Embora a relação entre o vão maior (5 m) e o vão menor (2 m) da laje L1 supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada, resultando na armadura mostrada no item m (todas armaduras consideradas como principais). Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje armada em uma só direção), os momentos fletores da laje L1 resultariam: Como não houve modificações nos momentos fletores na direção L1/L2, a distribuição de momentos e armadura nesta direção permanecerá inalterada para todo o painel de laje. Figura 8.24 Comprimento de barras não alternadas armadura positiva Observar na Figura 8.24 que as barras que constituem a armadura positiva das lajes maciças de concreto devem terminar em gancho. Isto deve ser feito para melhorar as condições de ancoragem. O gancho de 90°, como mostrado na Figura 8.24, é o mais conveniente, embora nem sempre possa ser usado. A ponta superior deste gancho deve, também, respeitar o cobrimento nominal, o que nem sempre é possível. Quando o gancho de 90º não puder ser utilizado, pode-se fazer uso dos ganchos de 135° ou 180º, como mostrado na Figura [7.7] e na Figura 8.25. Figura 8.25 Ganchos da armadura positiva O diâmetro interno da curvatura (D) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela [7.4] e na Tabela 7.4. Bitola (mm) Tipo de Aço CA-25 CA-50 CA-60 <20 4 5 6 20 5 8 - Tabela 8.3 Diâmetro dos pinos de dobramento BARRAS ALTERNADAS 8.8.6.1.2 Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para lajes contínuas, devem seguir o indicado na Figura 8.26. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da extremidade que chega ao apoio. Figura 8.26 Comprimento de barras alternadas armadura positiva para lajes contínuas Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para lajes sem continuidade, devem seguir o indicado na Figura 8.27. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da extremidade que chega ao apoio. Figura 8.27 Comprimento de barras alternadas armadura positiva para lajes sem continuidade Para as lajes que apresentam continuidade em uma só direção, os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, devem ser determinados de tal forma que: na direção da continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.26; e na direção onde não existe continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.27. É importante observar que a ABNT NBR 6118, item 20.1, não faz referência aos espaçamentos máximo e mínimo da armadura de flexão de lajes maciças de concreto constituídas por barras alternadas. Como o mínimo de três barras por metro de laje deve ser mantido, o espaçamento máximo das barras alternadas deve seguir o indicado na Figura 8.28 {[3 bar x (2 x 17 cm )]= 102 cm 1 m}. LAJES EM BALANÇO BARRAS ALTERNADAS 8.8.6.2.4 Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb,maior e cb,menor) de barras alternadas de lajes em balanço devem seguir o indicado na Figura 8.32. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades. Figura 8.32 Comprimento de barras alternadas de lajes em balanço armadura negativa ARMADURA DE FISSURAÇÃO VIGAS DE CONTORNO 8.8.6.3 Nas vigas de contorno, embora consideradas como apoio simples (sem momento negativo), é sempre conveniente colocar uma armadura de fissuração como indicado na Figura 8.33 Figura 8.33 Vigas de contorno armadura de fissuração A armadura de fissuração, como mostrada na Figura 8.33, deverá corresponder a: c y d cd 2 pos,sx f iss,sx Af f018,0 cm9,0 A25,0 maxA (por metro de laje) (por metro de laje) Equação 8.20 REAÇÕES DE APOIO 8.9 Segundo a ABNT NBR 6118, item 14.7.6.1, as reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniformemente distribuída, em cada apoio, são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos: 45° entre dois apoios do mesmo tipo; 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; e 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. A Figura 8.34 mostra o esquema para cálculo de reações de apoio de lajes. Figura 8.34 Reações de apoio de lajes Para a viga Vn, sobre a qual as lajes mostradas na Figura 8.34 estão apoiadas, a reação de apoio será dada por: Equação 8.21 onde: rVn reação de apoio na viga Vn; pk valor característico da carga uniformemente distribuída na laje; An área n definida pelo trapézio de base i da Figura 8.34; i vão da laje e da viga Vn, correspondente a base do trapézio da Figura 8.34. A Equação 8.21 é válida para qualquer trapézio ou triângulo mostrado na Figura 8.34. A reação de apoio em qualquer viga suporte das lajes mostradas na Figura será sempre dada pelo produto da carga uniformemente distribuída pela área do triângulo ou trapézio onde atua esta carga, dividido pela base do trapézio ou triângulo (vão da viga suporte). EXEMPLO 8.6 Determinar os esquemas de carregamento das vigas do painel abaixo representado. Determinar, também, os carregamentos nos pilares. Dados: carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2; carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2; paredes atuantes sobre as vigas de contorno (tijolo furado de 10 cm, reboco de 1,5 cm e 2,5 m de altura): 4,5 kN/m; e peso próprio das vigas (20 cm x 50 cm): 2,5 kN/m. Solução: A solução do problema consiste na determinação, para as lajes, dos triângulos e trapézios conforme o item 14.7.6.1 da ABNT NBR 6118. Os carregamentos sobre as vigas são determinados pela aplicação da Equação 8.21. Os carregamentos nos pilares são determinados pelo cálculo das reações de apoio das vigas. a) Laje L1 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) AL1 = 4 m x 5 m = 20 m2 PL1 = 20 m2 x 3,5 kN/m2 = 70 kN d) Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2) Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens a, b e c). Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como não há variação de cargas de uma laje para a outra, o painel mostrado neste item foi obtido do painel mostrado no item c, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga permanente). e) V3 carregamento e reações de apoio carga acidental: qk = 1,553 kN/m carga permanente: reação da laje: 3,624 kN/m parede: 4,500 kN/m peso próprio da viga: 2,500 kN/m gk = 10,624 kN/m f) V4 carregamento e reações de apoio carga acidental: qk = 5,938 kN/m carga permanente: reação da laje: 13,855 kN/m peso próprio da viga: 2,500 kN/m gk = 16,355 kN/m g) V1 = V2 carregamento e reações de apoio V1A carga acidental: qk = 1,098 kN/m carga permanente: reação da laje: 02,562 kN/m parede: 04,500 kN/m peso próprio da viga: 02,500 kN/m gk = 9,562 kN/m V1B carga acidental: qk = 2,590 kN/m carga permanente: reação da laje: 06,044 kN/m parede: 04,500 kN/m peso próprio da viga: 02,500 kN/m gk = 13,044 kN/m h) Verificação carga permanente: lajes: (20 m2 + 35 m2) x 3,5 kN/m2 ........................................... 192,5 kN pp das vigas: [2 x (4 m + 7 m + 5 m)] x 2,5 kN/m ..................... 80,0 kN paredes: {[2 x (4 m + 7 m)] + 5 m} x 4,5 kN/m ........................ 121,5 kN total: .......................................................................................... 394,0 kN carga acidental: lajes: (20 m2 + 35 m2) x 1,5 kN/m2 ............................................. 82,5 kN carga permanente (V1 + V2): 2 x (Gk,P1 + Gk,P2) = 2 x (112,926 + 84,078) .............................. 394,0 kN carga acidental (V1 + V2): 2 x (Qk,P1 + Qk,P2) = 2 x (22,692 + 18,558) .................................. 82,5 kN i) Observação Neste exemplo foram usados números com três casas decimais, o que não é necessário para cálculos normais de estruturas de concreto. Este número exagerado de casas decimais foi usado para demonstrar a precisão da verificação apresentada no item h. FORÇA CORTANTE EM LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO 8.10 OK OK com a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. As armaduras devem ser determinadas com a aplicação da Equação 8.10 a Equação 8.19. A determinação das reações de apoio das lajes (força cortante) deve ser feita conforme o item 14.7.6.1 da ABNT NBR 6118, com a aplicação da Equação 8.21. A verificação da força cortante é feita com o uso da Equação 8.22 a Equação 8.27. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) (assumido = 8 mm) armadura negativa armadura positiva de lajes armadas em duas direções armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção (barras alternadas) (armadura principal, barras alternadas) (armadura secundária) máximo momento permitido na laje para que não haja armadura de compressão b) Carregamento das lajes (valores de cálculo) c) Laje L1 9,9 2,35 4,21 tab25,10,4 0,5 1x 1y 1x x1 y 1 d) Momentos fletores das lajes com continuidade (L1/L2) A uniformização de momentos é feita pela própria simetria do painel de lajes. e) Momentos fletores das lajes sem continuidades (L1 e L2) f) Armadura para os momentos fletores mSd = 5,23 kNm/m OKm/cm79,0m/cm67,12,52000,13,6954,0 523A 22s i) Painel de lajes - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) - valores característicos j) Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2) valores característicos Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens h e i). Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como não há variação de cargas de uma laje para a outra, o painel mostrado neste item foi obtido do painel mostrado no item i, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga permanente). k) Apoio V1A verificação da força cortante (igual para V1B, V2A e V2B) (barras alternadas) (barras alternadas) (1 5 mm @ 17 cm) armadura positiva que chega na V1A %091,0 %2 %091,0 min %2 3,6100 2 15,1 min1 l) Apoio V3 verificação da força cortante (igual para V5) (barras alternadas) (1 5 mm @ 11 cm) armadura positiva que chega na V3 (V5) %141,0 %2 %141,0 min %2 3,6100 2 78,1 min1 m) Apoio V4 verificação da força cortante (barras alternadas) (1 8 mm @ 13 cm) armadura negativa sobre a V413 TABELAS DE CZERNY 8.11 As tabelas as seguir apresentadas são válidas para lajes retangulares apoiadas em todas as suas bordas, com carregamento uniformemente distribuído. Estas tabelas apresentadas por CZERNY no volume I do Beton Kalender de 1976 foram adaptadas por BURKE para coeficiente de Poisson ( ) igual a 0,20. Nas tabelas que se seguem valem as seguintes notações: x menor vão da laje; y maior vão da laje; mx momento fletor positivo na direção x; my momento fletor positivo na direção na y; mbx momento fletor negativo (borda) na direção x; mby momento fletor negativo (borda) na direção y; a flecha máxima da laje; p carga uniformemente distribuída em toda laje; x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x; y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y; x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x; y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y; a coeficiente para definição da flecha; Ec módulo de elasticidade secante do concreto (Ecs); e h espessura da laje. 13 Alguns autores consideram as armaduras positivas que chegam ao apoio (1,78 cm2/m 1 de 5 mm @ 11 cm). TRÊS BORDAS COM APOIOS SIMPLES E UM ENGASTE EM Y 8.11.3 y/ x x y x y a 1,00 26,5 32,4 11,9 31,2 1,05 25,7 33,3 11,3 29,2 1,10 24,4 33,9 10,9 27,4 1,15 23,3 34,5 10,5 26,0 1,20 22,3 34,9 10,2 24,8 1,25 21,4 35,2 9,9 23,8 1,30 20,7 35,4 9,7 22,9 1,35 20,1 37,8 9,4 22,1 1,40 19,7 39,9 9,3 21,5 1,45 19,2 41,1 9,1 20,9 1,50 18,8 42,5 9,0 20,4 1,55 18,3 42,5 8,9 20,0 1,60 17,8 42,5 8,8 19,6 1,65 17,5 42,5 8,7 19,3 1,70 17,2 42,5 8,6 19,0 1,75 17,0 42,5 8,5 18,7 1,80 16,8 42,5 8,4 18,5 1,85 16,5 42,5 8,3 18,3 1,90 16,4 42,5 8,3 18,1 1,95 16,3 42,5 8,3 18,0 2,00 16,2 42,5 8,3 17,8 >2 14,2 42,5 8,0 16,7 DUAS BORDAS COM APOIOS SIMPLES E DOIS ENGASTES EM X 8.11.4 y/ x x y x y a 1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 29,8 13,4 39,2 1,10 36,0 28,8 12,7 34,4 1,15 31,9 27,9 12,0 30,4 1,20 29,0 26,9 11,5 27,2 1,25 26,2 26,1 11,1 24,5 1,30 24,1 25,6 10,7 22,3 1,35 22,1 25,1 10,3 20,4 1,40 20,6 24,8 10,0 18,8 1,45 19,3 24,6 9,75 17,5 1,50 18,1 24,4 9,5 16,3 1,55 17,0 24,3 9,3 15,3 1,60 16,2 24,3 9,2 14,4 1,65 15,4 24,3 9,05 13,7 1,70 14,7 24,3 8,9 13,0 1,75 14,0 24,3 8,8 12,4 1,80 13,5 24,3 8,7 11,9 1,85 13,0 24,3 8,6 11,4 1,90 12,6 24,3 8,5 11,0 1,95 12,1 24,3 8,4 10,6 2,00 11,8 24,3 8,4 10,3 >2 8,0 24,3 8,0 6,7 DUAS BORDAS COM APOIOS SIMPLES E DOIS ENGASTES EM Y 8.11.5 y/ x x y x y a 1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 29,9 46,4 13,8 43,2 1,10 29,0 47,2 13,5 41,5 1,15 28,0 47,7 13,2 40,1 1,20 27,2 48,1 13,0 39,0 1,25 26,4 48,2 12,7 37,9 1,30 25,8 48,1 12,6 37,2 1,35 25,3 47,9 12,4 36,5 1,40 24,8 47,8 12,3 36,0 1,45 24,4 47,7 12,2 35,6 1,50 24,2 47,6 12,2 35,1 1,55 24,0 47,6 12,1 34,7 1,60 24,0 47,6 12,0 34,5 1,65 24,0 47,6 12,0 34,2 1,70 24,0 47,4 12,0 33,9 1,75 24,0 47,3 12,0 33,8 1,80 24,0 47,2 12,0 33,7 1,85 24,0 47,1 12,0 33,6 1,90 24,0 47,1 12,0 33,5 1,95 24,0 47,1 12,0 33,4 2,00 24,0 47,0 12,0 33,3 >2 24,0 47,0 12,0 32,0 DUAS BORDAS COM APOIOS SIMPLES, UM ENGASTE EM X E OUTRO EM Y 8.11.6 y/ x x y x y a 1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5 1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7 1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9 1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2 1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8 1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5 1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5 1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5 1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7 1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1 1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5 1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0 1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5 1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1 1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7 1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4 1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0 1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8 2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5 >2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7 TRÊS BORDAS ENGASTADAS E UM APOIO SIMPLES EM X 8.11.7 y/ x x y x y a 1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1 1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5 1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2 1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9 1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9 1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0 1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2 1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5 1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0 1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4 1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0 1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6 1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4 1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2 1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9 1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8 2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7 >2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0 TRÊS BORDAS ENGASTADAS E UM APOIO SIMPLES EM Y 8.11.8 y/ x x y x y a 1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7 1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8 1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7 1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7 1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1 1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6 1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5 1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5 1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6 1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8 1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1 1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5 1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0 1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5 1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1 1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7 2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3 >2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7 0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos 0x distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção x 0y distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção y mbi momento fletor negativo (borda) da laje Li mbi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo da laje Li mbij momento fletor negativo (borda) na junção das lajes Li e Lj mbij,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na junção das lajes Li e Lj mbj momento fletor negativo (borda) da laje Lj mbj,d momento fletor negativo (borda) de cálculo da laje Lj mbx momento fletor negativo (borda) na direção x mbxi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na direção x da laje Li mby momento fletor negativo (borda) na direção y mbyi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na direção y da laje Li mi momento fletor positivo da laje Li mi,cor momento fletor positivo corrigido da laje Li mi,d,cor momento fletor positivo corrigido de cálculo da laje Li mj momento fletor positivo da laje Lj mj,cor momento fletor positivo corrigido da laje Lj mx momento fletor positivo na direção x mxi,d momento fletor positivo de cálculo na direção x da laje Li my momento fletor positivo na direção y myi,d momento fletor positivo de cálculo na direção y da laje Li mAB momento fletor positivo no vão AB mB momento fletor negativo (engaste) no apoio B mRd momento fletor resistente de cálculo mRd1 momento fletor resistente de cálculo sem a consideração de armadura comprimida mRd1,lim momento fletor resistente de cálculo corresponde ao limite de dutilidade da seção mRd1,lim transversal ( x = x,lim) mSd momento fletor solicitante de cálculo p carga uniformemente distribuída correspondente à somatória da carga permanente mais a carga acidental carga uniformemente distribuída na laje carga uniformemente distribuída na viga pd valor de cálculo da somatória carga permanente mais carga acidental pk valor característico da carga uniformemente distribuída na laje valor característico da somatória carga permanente mais carga acidental ppar peso da parede por unidade de área peso da parede por unidade de área q carga acidental uniformemente distribuída qedif com carga acidental de edifícios comerciais qk valor característico da carga acidental rgk reação de apoio característica devida à carga permanente rgk,Vi reação de apoio característica devida à carga permanente na viga Vi rqk reação de apoio característica devida à carga acidental rqk,Vi reação de apoio característica devida à carga acidental na viga Vi rVn reação de apoio na viga s espaçamento entre as barras que constituem a armadura longitudinal t comprimento do apoio vRd1 força cortante resistente de cálculo vSd força cortante solicitante de cálculo As1 área da armadura de tração que se estende até não menos de d + b,nec além da seção considerada Ac área de concreto An área de triângulo ou trapézio As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada As,bar área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada de uma barra As,min área da seção transversal mínima da armadura longitudinal tracionada As,princ área da seção transversal principal da armadura longitudinal tracionada As,ef área da seção transversal efetiva da armadura longitudinal tracionada Asx,fiss armadura de fissuração na direção x Asx,pos armadura positiva na direção x Asy,fiss armadura de fissuração na direção y Asy,pos armadura positiva na direção y ALi área da laje Li D diâmetro interno da curvatura Es módulo de elasticidade do aço Ec módulo de elasticidade secante do concreto Gk,Pi Reação de apoio devida à carga permanente no pilar Pi Gk,Vi Reação de apoio devida à carga permanente na viga Vi PLi força resultante atuante na laje Li Qk,Pi Reação de apoio devida à carga acidental no pilar Pi Qk,Vi Reação de apoio devida à carga acidental na viga Vi a coeficiente para definição da flecha x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y c valor adimensional auxiliar s valor adimensional que define a tensão de tração referente à armadura As x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x x valor adimensional que define a posição da linha neutra y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y z valor adimensional que define o braço de alavanca do binário de forças Rcd1, Rsd1 diâmetro das barras da armadura diâmetro da barra longitudinal c coeficiente de ponderação da resistência do concreto conc arm peso específico do concreto armado cont piso peso específico do contra-piso g coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas gesso peso específico do gesso mat peso específico do material q coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas reb peso específico do reboco s coeficiente de ponderação da resistência do aço tij peso específico do tijolo 1 taxa de armadura existente na região próxima ao apoio Rd tensão resistente de cálculo ao cisalhamento SÍMBOLOS SUBSCRITOS 8.12.2 bal balanço bar barra conc arm concreto armado cont piso contra-piso cor corrigido edif com edifício comercial ef efetivo fiss fissuração gesso gesso lim limite maior maior mat material menor menor min mínimo nec necessário par parede pos positivo princ principal reb reboco taco taco tij tijolo 2,0 kN/m2, pede-se determinar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes. Dados: concreto: C25; e aço: CA-50. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 10 cm; altura útil da laje (d): 7 cm; e peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e as armaduras das lajes devem ser alternadas. EX. 8.5 A figura abaixo representa um painel de lajes de um pavimento de um edifício. Sabendo-se que as lajes estão carregadas, além do peso próprio, por uma carga de revestimentos de 1,50 kN/m2 e por uma carga acidental igual a 2,0 kN/m2, pede-se determinar as armaduras positivas e negativas da laje L3. Dados: concreto: C25; e aço: CA-60. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 11 cm; altura útil da laje (d): 8 cm; e peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e as armaduras das lajes devem ser alternadas. EX. 8.6 Apresenta-se, na figura abaixo, esquema estrutural de um pavimento constituído por três lajes maciças de concreto armado. Determinar as armaduras necessárias nas posições N1, N2 e N3 (cm2/m). Dados: concreto: C25; e aço: CA-60. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 10 cm; altura útil da laje (d): 7 cm; carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e carga acidental (qk): 2 kN/m2. Obs.: a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e as dimensões da figura correspondem a centímetros. EX. 8.7 Determinar a máxima carga acidental (qk) que o painel de laje abaixo representado pode suportar. Dados: concreto: C25; e aço: CA-60. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 11 cm; altura útil da laje (d): 8 cm; armadura positiva: 1 de 10 mm @ 15 cm nas duas direções; armadura negativa: 1 de 10 mm @ 10 cm; e carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído). Obs.: a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes. Ex. 8.8 Determinar, para o painel de lajes abaixo representado: a) o diagrama de momentos fletores (valores de cálculo) na direção x; b) a armadura negativa necessária na borda (encontro) das lajes L1/L2; e c) a armadura positiva, na direção x, da laje L3. Dados: concreto: C25; e aço: CA-60. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 ( g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 12 cm; altura útil da laje (d): 9 cm; revestimento: 1 kN/m2; carga acidental (qk): 6 kN/m2; e peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e as armaduras das lajes devem ser alternadas. Determinar o espaçamento necessário para as barras N1 e N2 do painel de laje abaixo representado. Dados: concreto: C20; e aço: CA-50. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 10 cm; altura útil da laje (d): 7 cm; carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); carga acidental (qk): 2 kN/m2; armadura positiva (N2): de 6,3 mm; e armadura negativa (N1): de 8 mm. Obs.: a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes. EX. 8.12 Para a laje abaixo indicada, determinar: a) o diagrama de momentos fletores de calculo das lajes L1, L2 e L3, na direção x; b) a armadura positiva (cm²/m) da laje L2, na direção y; e c) a armadura negativa (cm²/m) entre as lajes L2 e L3, na direção x. Dados: concreto: C25; e aço: CA-60. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 10 cm; altura útil da laje (d): 7 cm; carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e carga acidental (qk): 2 kN/m2. Obs.: a laje L1 é em balanço, apoiada apenas na sua borda direita (ligação com a laje L2); as demais lajes são suportadas por vigas; a região entre as lajes L2 e L4 não tem laje (vazio); a laje L3 tem uma parede com peso de 2,5 kN/m2 e altura 2,8 m (área hachureada); e as cargas acidentais atuam simultaneamente em todas as lajes. EX. 8.13 Determinar as armaduras positivas e negativas (cm2/m) na direção x do conjunto de lajes abaixo representado. Dados: concreto: C25; e aço: CA-50. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 12 cm; altura útil da laje (d): 9 cm; carga permanente (gk): 5 kN/m2 (peso próprio incluído); e carga acidental (qk): 3 kN/m2. Obs.: a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes; as armaduras das lajes devem ser alternadas; e apresentar, ao final dos cálculos, o esquema das armaduras, com as indicações das áreas (cm2/m). EX. 8.14 Determinar, para a laje abaixo representada, a altura h mínima (múltiplo de 5 cm), de tal modo que a resistência aos momentos fletores ocorra sem a necessidade de armadura de compressão. Dados: concreto: C25; e aço: CA-60. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 1 ( g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje: h = d + 4 cm; revestimento: 1 kN/m2; carga acidental (qk): 10 kN/m2; e peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. EX. 8.15 EX. 8.18 O condomínio de um certo edifício pretende aproveitar a laje de cobertura para construir um depósito e decidiu consultar um especialista para opinar sobre a viabilidade da proposta. O depósito a ser construído será em alvenaria de tijolos furados, 15 cm de espessura (tijolos de 10 cm + reboco de 2,5 cm por face) com 2,8 m de altura. Possuirá laje de cobertura (L2) impermeabilizada com carga total (valor característico) de 3,0 kN/m2. Levantando informações do projeto estrutural a época da construção, soube-se que: a laje de cobertura existente (L1) foi dimensionada para suportar um momento fletor solicitante de cálculo igual a 10 kNm/m na direção x e 20 kNm/m na direção y. A viga V1 foi dimensionada para suportar um momento fletor solicitante de cálculo igual a 120 kNm. Considerando as informações fornecidas, você autorizaria ou não a construção do depósito? Justifique sua resposta. Dados: concreto: C25; e aço: CA-60. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje L1: 10 cm; acabamento do piso da laje L1: regularização: 0,5 kN/m2; impermeabilização: 0,5 kN/m2; carga acidental da laje L1: 0,5 kN/m2; dimensões da viga V1: 20 cm x 50 cm; e peso específico do concreto armado: 25 kN/m3. Obs.: para o levantamento de cargas, desprezar as aberturas de portas e janelas; a viga V1 só recebe carga da laje (L1) existente (não existe parede sobre ela); a viga V1 pode ser considerada como simplesmente apoiada nos pilares; e ignorar as verificações de força cortante nas lajes e vigas. EX. 8.19 No projeto de lajes comuns de edifícios de concreto armado (lajes sem armadura de compressão), após o pré-dimensionamento (fixação da altura da laje), deve-se: a) verificar os esforços de cisalhamento; b) dimensionar a armadura de flexão; e c) verificar as deformações (flechas). Considerando apenas os itens a e b acima (ignorar as deformações), determine o máximo valor possível de x para a laje abaixo representada. Dados: concreto: C20; e aço: CA-50. Considerar: solicitações normais (momento fletor) e solicitações tangenciais (força cortante); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 12 cm; altura útil da laje (d): 9,5 cm; relação entre vãos ( y / x); 1,5; carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e carga acidental (qk): 1,5 kN/m2. Obs.: adotar para x um valor múltiplo de 5 cm. EX. 8.20 Para a estrutura abaixo representada, determinar: a) o esquema de carga atuante na viga V7; e b) as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais. Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,2 kN/m2 e altura 2,3 m. Dados: concreto: C25; e aço: CA-60. Considerar: somente solicitações tangenciais (força cortante); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 10 cm; altura útil da laje (d): 7 cm; carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e peso próprio das vigas: 3 kN/m. Obs.: as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares. EX. 8.21 EX. 8.24 Determinar o carregamento atuante nos pilares da estrutura abaixo representada. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e peso próprio das vigas: 3 kN/m. Obs.: as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares. EX. 8.25 Determinar a máxima carga acidental qk que as lajes L1 e L2 são capazes de suportar, sabendo-se que: as armaduras positivas (N1, N2, N3 e N4) são constituídas por barras de 5 mm espaçadas a cada 10 cm; a armadura negativa (N5) é constituída por barras de 8 mm espaçadas a cada 10 cm; e o carregamento máximo que a viga V4 é capaz de suportar, decorrente das reações das lajes e de seu peso próprio, é igual a 25 kN/m (valor característico). Dados: concreto: C20; e aço: CA-50. Considerar: somente solicitações normais (momento fletor); estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); espessura da laje (h): 10 cm; altura útil da laje (d): 7 cm; carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); peso próprio das vigas: 1,5 kN/m. Obs.: a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.