Baixe Estruturas de Concreto Armado I e II e outras Notas de aula em PDF para Teoria das Estruturas, somente na Docsity! 9 PILARES DEFINIÇÃO 9.1 ABNT NBR 6118, item 14.4.1.2: EFEITOS DE 2ª ORDEM14 9.2 Efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração deformada (Figura 9.1). Figura 9.1 Efeitos de 1ª e 2ª ordem Os efeitos de 2ª ordem, em cuja determinação deve ser considerado o comportamento não-linear dos materiais, podem ser desprezados sempre que não representem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura. Na Figura 9.1, o efeito de 2ª ordem (Nd x ) poderá ser desconsiderado se M2d 0,10 M1d. A análise estrutural com efeitos de 2ª ordem deve assegurar que, para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo, não ocorra perda de estabilidade, nem esgotamento da capacidade resistente de cálculo. A não-linearidade física, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser obrigatoriamente considerada. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS15 9.3 EFEITOS GLOBAIS, LOCAIS E LOCALIZADOS DE 2ª ORDEM 9.3.1 Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços de 2ª ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem 14 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia dos itens 15.2 e 15.3 da ABNT NBR 6118. 15 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 15.4 da ABNT NBR 6118. que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas. ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS 9.3.2 As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem (Figura 9.2). Figura 9.2 Estruturas de nós fixos As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados ( Figura 9.3). Figura 9.3 - Estruturas de nós móveis CONTRAVENTAMENTO 9.3.3 Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que não participam da subestrutura de a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) b) Determinação de Nk Deve ser observado que as equações de cálculo para as ações, conforme estabelecido em [3.6], não se aplicam na determinação do parâmetro . Especificamente para este caso, Fd não existe, resultando: , constituindo-se na combinação de ações para da determinação de . Com o auxílio do programa FTOOL17, chega-se: 17 FTOOL programa destinado ao ensino do comportamento estrutural de pórticos planos, desenvolvido por Luiz Fernando Martha do Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) [www.tecgraf.puc-rio.br/ftool]. c) Rigidez do pilar equivalente Com o auxílio do programa FTOOL, chega-se: COEFICIENTE Z 9.4.2 O coeficiente z de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem global é válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada caso de carregamento, adotando-se os seguintes valores de rigidez: ccisec s ' s s ' s ccisec ccisec ccisec IE8,0EIpilares AApara AApara IE5,0EI IE4,0EIvigas IE3,0EIlajes Equação 9.2 onde: Eci é módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial dado em [1.4.6]; e Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes. O valor de z para cada combinação de carregamento é dado pela expressão: d,tot,1 d,totz M M1 1 Equação 9.3 onde: M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; e Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem. Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: z 1,1. EXEMPLO 9.2 Classificar a estrutura abaixo representada de acordo com seu parâmetro de instabilidade z. A estrutura corresponde a um pórtico constituído por vigas e pilares de seção retangular. Considerar : estado limite último - combinação normal Dados: concreto: C25; seção transversal dos pilares: 20 cm x 40 cm (na direção das solicitações horizontais); seção transversal das vigas: 20 cm x 50 cm (na direção das solicitações horizontais); vão entre pilares: 5 m; diferença de cota entre pisos: 3 m; carga acidental da cobertura: qk,cob = 3 kN/m ( 0 = 0,5); carga permanente da cobertura: gk,cob = 12 kN/m; carga acidental do pavimento tipo: qk,tipo = 5 kN/m ( 0 = 0,5); carga permanente do pavimento tipo: gk,tipo = 15 kN/m; e carga do vento: qk,vento = 5 kN/m ( 0 = 0,6). Solução: O parâmetro de instabilidade z fica definido pela Equação 9.3, com as rigidez de vigas e pilares definidas pela Equação 9.2. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) b) Rigidez equivalente das vigas e pilares (Equação 9.2) apresentando, antes do carregamento, deformações decorrentes do processo construtivo. No caso das estruturas reticuladas, por exemplo, existem imperfeições na posição e forma dos eixos das peças, na forma e dimensões da seção transversal, na distribuição da armadura, etc. Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação, mas as imperfeições dos eixos das peças, não. Elas devem ser explicitamente consideradas, porque têm efeitos significativos sobre a estabilidade da construção. Esses efeitos decorrem não só das solicitações diretamente atuantes, mas também da fluência e da sensibilidade a imperfeições das estruturas de concreto. Esses efeitos são considerados, também, como de 1ª ordem. Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais; e imperfeições locais. IMPERFEIÇÕES GLOBAIS DESAPRUMO DA ESTRUTURA 9.5.1 Na análise global das estruturas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostrado na Figura 9.6. Considerando 1 como sendo o desaprumo de um elemento vertical contínuo e a o desaprumo global da estrutura, seus valores são determinados pela Equação 9.4 e Equação 9.5, respectivamente. Figura 9.6 Imperfeições geométricas global móveis nós de estruturas300 1 fixos nós de estruturas400 1 200 1 H100 1 1 1 Equação 9.4 Equação 9.5 onde: H é a altura total da edificação, em metros; e n é o número total de elementos verticais contínuos. ABNT NBR 6118, item 11.3.3.4-b: EXEMPLO 9.3 Determinar o desaprumo da estrutura abaixo representada. Considerar estrutura de nós fixos e móveis. Solução: O desaprumo fica definido pela Equação 9.4 e Equação 9.5. a) Dados H = 12 m (altura total da estrutura) N = 3 (número de elementos verticais contínuos) b) 1 para estrutura de nós fixos OK c) a para estrutura de nós fixos d) 1 para estrutura de nós móveis e) a para estrutura de nós móveis 367 1 2 3 11 300 1 a IMPERFEIÇÕES LOCAIS DESAPRUMO DE UM LANCE DE PILAR 9.5.2 No caso de elementos que ligam pilares contraventados19 a pilares de contraventamento20, usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado, conforme mostrado na Figura 9.7. 19 Pilares de pouca rigidez a ações horizontais. 20 Pilares de grande rigidez a ações horizontais que resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. Figura 9.9 Excentricidade por falta de retilinidade de pilar Da Figura 9.9 tem-se: i a i a1 H e2 2 H e Considerando a Equação 9.6,com Hi/2 definindo a falta de retilinidade do pilar, chega-se: 600 1 400 1 2 H200 1 H e 300 1 200 1 2 H100 1 H e2 ii a ii a1 Desta forma, a Equação 9.8 pode ser estendida para: metros em H 600 1 400 1 2 H200 1 H e i ii a Equação 9.9 EXEMPLO 9.4 Determinar o valor de excentricidade de 1ª ordem ea para um pilar cuja seção transversal tem altura (h) igual a 40 cm. Este pilar poderá ter altura (Hi variando entre 7 e 14 m. Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 9.9. a) Excentricidade mínima e1 b) Pilar com 7 m da altura 400 1 H e 600 1 400 1 374 1 2 7200 1 2 H200 1 H e i a ii a c) Pilar com 14 m da altura Para alturas superiores a 15 m, a equação de 1 (ea) passa a prevalecer sobre a equação de e1,min. O modo simplificado de representar o momento total M1d,min de primeira ordem está mostrado na Figura 9.10. 24 25 xdireção na giração de raio12 h hh 12 hh A Ii x yx 3 xy c xx ydireção na giração de raio12 h hh 12 hh A Ii y yx 3 yx c y y xdireção na esbeltez de índiceh46,3h12 12 hi x e x e x e x ex ydireção na esbeltez de índiceh46,3h12 12 hi y e y e y e y ey Caso os comprimentos equivalentes sejam diferentes nas direções x e y ( ex ey), os valores de resultam: 24 Observar que o momento de inércia Ix é referido a direção x. Corresponde ao momento de inércia Iyy da Resistência dos Materiais (momento de inércia em torno do eixo yy). 25 Observar que o momento de inércia Iy é referido a direção y. Corresponde ao momento de inércia Ixx da Resistência dos Materiais (momento de inércia em torno do eixo xx). A deformada pilar se dará no plano xz (flambagem na direção x) se x > y. Caso contrário ( y > x), a deformada pilar se dará no plano yz (flambagem na direção y). b) Seção circular direção qualquer em rigidez64 dI 4 pilar do ltransversa seção da área4 dA 2c direção qualquer em giração de raio4 d 4 d64 d A Ii 2 4 c direção qualquer em esbeltez de índiced0,4 4 di eee DISPENSA DA ANÁLISE DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM26 9.7.1 Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor limite 1 estabelecido a seguir. O valor de 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; a vinculação dos extremos da coluna isolada; e a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. O valor de 1 poder ser calculado pela expressão: 90 35 h e5,1225 b 1 1 Equação 9.12 onde o valor de b deve ser obtido conforme estabelecido a seguir: a) pilares biapoiados sem cargas transversais a.1) momentos de mesmo sinal (tracionam a mesma face) M1,A e M1,B são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, com M1,A M1,B (valores absolutos). Equação 9.13 26 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 15.8.2 da ABNT NBR 6118 O Pilar 1 pode ser enquadrado no item a.2, de tal forma que (Equação 9.14): Pela Equação 9.12, tem-se: Para o Pilar 2, sendo o valor de M1d,A inferior a M1d,min, ainda de acordo com o item a.2 (Equação 9.14), tem-se: Pela Equação 9.12, tem-se: Os valores calculados para 1 indicam que o pilar P1 ( 1 = 65,8) tem um valor limite para esbeltez 1,9 vezes maior que o valor limite para o pilar P2 ( 1 = 35,0), embora os mesmos tenham a mesma altura, as mesmas dimensões e o mesmo carregamento (a diferença de 1% nos valores de M1d,A não justifica a diferença nos valores de 1). Há, portanto, a necessidade de usar com cuidado os valores de b. Cargas transversais significativas O item pilares biapoiados com cargas transversais significativa. Talvez a referência seja feita à figura ao lado quando um momento intermediário resulte, em valor absoluto, maior que os momentos das extremidades ( M1,C M1,A M1,B ). Como pode ser observado, a interpretação do item 15.8.2 da ABNT NBR 6118/2003, referente à determinação de 1, requer alguns cuidados. A ABNT NBR 6118/1980 era bem mais simples neste assunto. ABNT NBR 6118/1980: Como pode ser visto houve uma grande mudança entre a edição da ABNT NBR 6118 de 1980 e a de 2003 no que se refere à consideração ou não dos efeitos de 2ª ordem em barras isoladas. Pela edição de 1980 o valor correspondente de 1 ficaria limitado a 40 enquanto que a edição de 2003 prevê um valor limite de 90 (Equação 9.12). Em caso de dúvida, considerar sempre b da ABNT NBR 6118/2003 igual a 1,00, o que levaria a valores de 1 mais próximos do recomendado pela ABNT NBR 6118/1980. EXEMPLO 9.6 Verificar, para o pilar abaixo indicado, se os efeitos de 2ª ordem devem ser considerados. O pilar tem dimensão igual a 20 cm na direção x (onde atuam os momentos fletores) e 40 cm na direção y. Solução: A solução do problema consiste na determinação do valor , dado pela Equação 9.11, e no valor 1, dado pela Equação 9.12, com b determinado pela Equação 9.14. A comparação entre estes valores define se os efeitos de 2ª ordem devem ou não ser considerados no dimensionamento do pilar. O valor de M1d,min é dado pela Equação 9.7. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) (direção x) (direção y) (direção x) (direção y) (plano xz) (plano xz) (plano yz) (plano yz) b) Determinação de x e y (ver Exemplo 9.5) fletores (direção x) e dimensão 25 cm na outra direção (direção y). Na direção y existe uma viga intermediaria (meia altura) entre os pontos A e B. O valor de Md,tot deverá ser calculado pelo Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada, considerando concreto classe C20 ( c = 1,4). Solução: A solução do problema consiste na determinação do valor dado pela Equação 9.11 e no valor 1 dado pela Equação 9.12 para verificar a necessidade, ou não, de serem considerados os efeitos de 2ª ordem. O valor de Md,tot fica definido pela Equação 9.17 combinada com a Equação 9.18. O valor de M1d,min é definido pela Equação 9.7. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) (direção x) (direção y) (direção x) (direção y) (plano xz) (plano xz) (plano yz) (plano yz) b) Determinação de x e y (ver Exemplo 9.5) (direção x) (direção y) c) Determinação de 1 na direção x (item 9.7.1-a.2) (direção x) 1,65 90 35 1,6540,0 0,40 33,35,1225 x1x1 (direção x) (direção x) d) Determinação de 1 na direção y (item 9.7.1-a) (direção y) e) Determinação do raio de curvatura na direção y f) Determinação do momento total máximo na direção y (direção y) g) Condições de dimensionamento MÉTODO APROXIMADO 2 - PILAR PADRÃO COM RIGIDEZ APROXIMADA 9.7.2.3 Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com 90, seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da c) Determinação de 1 na direção x (item 9-199-a.2) (direção x) 1,65 90 35 1,6540,0 0,40 33,35,1225 x1x1 (direção x) (direção x) d) Determinação de 1 na direção y (item 9.7.1-a) 0,35 90 35 0,250,1 0,25 0,05,1225 y1y1 (direção y) e) Determinação do momento total na direção y (direção y) f) Condições de dimensionamento Observar que, para estas características de pilar, o método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada mostrou-se mais conservador que o método do Pilar Padrão com Rigidez Aproximada. O valor de Myd,tot resultou em 2 430 kNcm para a Curvatura Aproximada (Exemplo 9.7) e em 1 866 kNcm para a Rigidez Aproximada. MÉTODO DO PILAR PADRÃO PARA PILARES DE SEÇÃO RETANGULAR 9.7.2.4 SUBMETIDOS À FLEXÃO COMPOSTA OBLIQUA Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta oblíqua for menor que 90 ( < 90) nas duas direções principais, pode ser aplicado o processo aproximado descrito no item 9.7.2.3 (Pilar Padrão com Rigidez Aproximada) simultaneamente em cada uma das duas direções. A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez. Uma vez obtida a distribuição de momentos totais, de 1ª e 2ª ordem, em cada direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição desses momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida. Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e B e num ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os momentos Md,tot nas duas direções (x e y) EXEMPLO 9.9 Determinar os valores de Mxd,tot e Myd,tot para o pilar abaixo indicado. Esse pilar, de seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo, tem dimensão igual a 20 cm na direção x e dimensão 40 cm na direção y. Os valores de Md,tot, nas duas direções, deverão ser calculados pelo Método do Pilar Padrão para Pilares de Seção Retangular Submetidos à Flexão Composta Obliqua (Método da Rigidez Aproximada). Solução: A solução do problema consiste na aplicação separada (direção x e direção y) do Método do Pilar Padrão com Rigidez Aproximada. Os valores serão dados pela Equação 9.11 e os valores 1 dados pela Equação 9.12, necessários para verificar a necessidade, ou não, de serem considerados efeitos de 2ª ordem. Os valores de Md,tot ficarão definidos pela Equação 9.21. Os valores de M1d,min serão definidos pela Equação 9.7. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) (direção x) (direção y) (direção x) (direção y) (plano xz) (plano xz) d) Consideração dos momentos atuando no plano yz (direção y) (plano yz) (plano yz) d.1) Determinação de 1 na direção y (item 9.7.1-a.2) (direção y) 9,64 90 35 9,6440,0 0,40 13,35,1225 y1y1 (direção y) (direção y) a) Condições de dimensionamento Observar que os sinais dos momentos fletores (sinais das excentricidades) não foram considerados na tabela acima. Isto se deve ao fato da obrigatoriedade do pilar ter seção constante, ser simétrico na geometria e na distribuição de armadura. Desta forma o par de excentricidades pode atuar em qualquer quadrante que, devido às simetrias, o resultado do dimensionamento da armadura será sempre o mesmo. Por outro lado, a ABNT NBR 6118 solicita que o dimensionamento da armadura seja feito em três seções distintas: topo, intermediária e base. Neste caso o dimensionamento poderá ser feito somente para a seção intermediaria porque as excentricidades, simultaneamente, são maiores que nas demais seções. Na direção x, 7,08 da intermediaria > 2,10 do topo e da base. Na direção y, 3,13 da intermediaria = 3,13 da base > 2,70 do topo. Como as excentricidades maiores ocorrem simultaneamente na seção intermediaria, basta fazer o dimensionamento para esta seção. DIMENSIONAMENTO DE PILARES - ELU 9.8 HIPÓTESES BÁSICAS 9.8.1 Na análise dos esforços resistentes de uma seção de pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas (ABNT NBR 6118, item 17.2.2): as seções transversais se mantêm planas após deformação; a deformação das barras aderentes, em tração ou compressão, deve ser a mesma do concreto em seu contorno; as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas, obrigatoriamente no ELU; a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, definido em [4.1], com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em [3.8.2.2]. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão: 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida; Nd = 800 kN Mxd kNm Myd kNm ex,tot cm ey,tot cm Topo 16,80 21,60 2,10 2,70 Intermediaria 56,64 25,00 7,08 3,13 Base 16,80 25,00 2,10 3,13 0,80 fcd no caso contrário; a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com valores de cálculo, definidos em [3.8.2.3] e [4.2.2]; e o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 9.13. Deve ser observado que a reta a e o domínio 1 (tração uniforme e tração não uniforme) só é aplicável aos tirantes de concreto armado. No entanto, os ábacos usados para a resolução de pilares (Figura 9.16), normalmente englobam a solução para tirantes Figura 9.13 Domínios de estado limite último de uma seção transversal VALORES LIMITES PARA ARMADURAS LONGITUDINAIS DE PILARES27 9.8.2 VALORES MÍNIMOS 9.8.2.1 Conforme especifica a ABNT NBR 6118, item 17.3.5.3.1, a armadura longitudinal mínima deve ser: c y d d min,s A%4,0 f N15,0 maxA Equação 9.22 27 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 17.3.4.3 da ABNT NBR 6118. os desenvolvidos por M. F. F. de Oliveira e C. A. W. Zandona, CESEC UFPR, 2001, a saber28: Normal 1.3 Flexão Composta Reta; e Obliqua 1.0 Flexão Composta Obliqua. Os ábacos apresentados por Venturini, para flexão normal composta, tem o aspecto mostrado na Figura 9.16, onde: a posição 1 representa uma seção dimensionada com segurança, porém com excesso de material (concreto ou aço); a posição 2 corresponde à condição limite de segurança, sem excesso de material; e a posição 3 corresponde a uma seção fora dos limites de segurança, devendo ser alterada em suas dimensões ou na quantidade de armadura. Os ábacos e programas computacionais referidos preferem não fazer distinção entre valores correspondentes a solicitações e a valores de resistência. Os valores apresentados nos ábacos e programas usam, para força normal e momentos fletores, as expressões de cálculo Nd, Mxd e Myd, no lugar de NRd, MRd,x e MRd,y, respectivamente. Figura 9.16 Ábaco para flexão normal composta EXEMPLO 9.10 Determinar a armadura para a seção transversal de um pilar submetido ao carregamento abaixo indicado. Considerar: estado limite último combinação normal de carregamento; concreto: C25; e aço: CA-50. 28 Acesso aos programas pelo www.cesec.ufpr.br/concretoarmado. Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta do ábaco A-1 apresentado em Dimensionamento de Peças Retangulares de Concreto Armado Solicitadas à Flexão Reta, W. S. Venturini, EESC/USP. A armadura mínima deve ser verificada pela Equação 9.22 e a armadura máxima com a Equação 9.23. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 2 2 2 min,s cm80,4 cm80,42001100 4,0 cm44,45,43 128915,0 maxA b) Coeficientes e c) Coeficiente e determinação de As Utilizando o ábaco A-1, obtém-se = 0,32 d) Verificação da outra direção Obliqua, L. M. Pinheiro, L. T. Baraldi e M. E. Porem, EESC/USP. A armadura mínima deve ser verificada pela Equação 9.22 e a armadura máxima com a Equação 9.23. a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) c y d d min,s A%4,0 f N15,0 maxA 2 2 2 min,s cm20,3 cm20,3800100 4,0 cm98,15,43 57315,0 maxA b) Coeficientes e x e y c) Coeficiente e determinação de As Utilizando o ábaco A-51, obtém-se = 0,42 ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS29 9.9 Na análise estrutural de estruturas de nós móveis devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física e, portanto, no dimensionamento, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem. ANÁLISE NÃO-LINEAR COM 2ª ORDEM 9.9.1 Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95 z. Esse processo só é válido para z 1,3. CONSIDERAÇÃO APROXIMADA DA NÃO-LINEARIDADE FÍSICA 9.9.2 Para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, pode ser considerada a não-linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: 29 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 15.7 da ABNT NBR 6118. Equação 9.27 onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes. Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e pilares e z for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por: Equação 9.28 Os valores de rigidez adotados neste item são aproximados e não podem ser usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem. ANÁLISE DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM 9.9.3 A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de acordo com o prescrito em 9.7. Os elementos isolados, para fins de verificação local, devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento e, de acordo com o estabelecido em 9.6, porém aplicando-se às suas extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2ª ordem. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS30 9.10 As exigências que seguem referem-se a pilares cuja maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão, e não são válidas para as regiões especiais31. ARMADURAS LONGITUDINAIS 9.10.1 DIÂMETRO MÍNIMO E TAXA DE ARMADURA 9.10.1.1 O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimensão transversal. A taxa geométrica de armadura deve respeitar os valores máximos e mínimos especificados em 9.8.2. DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL 9.10.1.2 As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; 30 O texto relativo a esta seção é, basicamente, uma cópia do item 18.4 da ABNT NBR 6118 31 Seção 21 da ABNT NBR 6118. Asi área da seção transversal da armadura longitudinal de uma barra genérica Eci módulo de deformação tangente inicial do concreto Ecs módulo de deformação secante do concreto EI rigidez F força Fd valor de cálculo das ações Fgk valor característico das ações permanentes diretas F gk valor característico das ações permanentes indiretas Fk valor característico das ações Fqk valor característico das ações variáveis F qk valor característico das ações variáveis indiretas H altura total da edificação Hd força horizontal de cálculo Hi altura de um lance de pilar Htot altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo I momento de inércia Ic momento de inércia da seção bruta de concreto Ix momento de inércia referido à direção x (Iyy) Iy momento de inércia referido à direção y (Ixx) M momento fletor M1 momento de 1ª ordem M1,tot,d momento de tombamento - soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura M1d momento de 1ª ordem de cálculo M1d,min momento total de 1ª ordem de cálculo mínimo que possibilita o atendimento da verificação das imperfeições localizadas de um lance de pilar M1xd momento de 1ª ordem de cálculo na direção x M1xd,min momento total de 1ª ordem de cálculo mínimo na direção x M1yd momento de 1ª ordem de cálculo na direção y M1yd,min momento total de 1ª ordem de cálculo mínimo na direção y M2 momento de 2ª ordem M2d momento de 2ª ordem de cálculo MA momento de 1ª ordem no extremo do pilar MB momento de 1ª ordem no extremo do pilar MC momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço Md momento fletor de cálculo Md,tot momento total máximo no pilar MRd momento fletor resistente de cálculo MRd,x momento fletor resistente de cálculo na direção x MRd,y momento fletor resistente de cálculo na direção y MSd momento fletor solicitante de cálculo MSd,x momento fletor solicitante de cálculo na direção x MSd,y momento fletor solicitante de cálculo na direção y Mxd,tot momento total máximo no pilar na direção x Myd,tot momento total máximo no pilar na direção y N força normal Nd força normal de cálculo Nk somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico NRd força normal resistente de cálculo NSd força normal solicitante de cálculo R resistência S solicitação parâmetro de instabilidade b fator que define as condições de vínculo nos apoios bx fator que define as condições de vínculo nos apoios, na direção x by fator que define as condições de vínculo nos apoios, na direção y c deformação específica do concreto s deformação específica do aço à tração si deformação específica do aço de uma barra genérica 's deformação específica do aço à compressão yd deformação específica de escoamento do aço z coeficiente de majoração dos esforços globais finais de 1ª ordem para obtenção dos finais de 2ª ordem rigidez adimensional inicial valor inicial da rigidez adimensional x rigidez adimensional na direção x y rigidez adimensional na direção y índice de esbeltez x índice de esbeltez na direção x y índice de esbeltez na direção y 1 valor limite para índice de esbeltez momento fletor reduzido adimensional força normal adimensional a desaprumo global de uma estrutura 1 desaprumo de um elemento vertical contínuo desaprumo de um lance de pilar de altura Hi c tensão à compressão no concreto si tensão na armadura longitudinal de uma barra genérica taxa mecânica de armadura longitudinal deslocamento Mtot,d soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem EXERCÍCIOS 9.12 EX. 9.1 Dimensionar e detalhar as armaduras (longitudinal e transversal) para o pilar de seção transversal como abaixo indicado, de altura igual a 7 m (comprimento de flambagem), sujeito a uma carga axial centrada de cálculo (Nd) de 4000 kN. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C25; aço: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e diâmetro da armadura longitudinal: 16 mm. EX. 9.2 Determinar o diâmetro da armadura para a seção transversal do pilar abaixo representado, de altura igual a 3 m (comprimento de flambagem), sujeito a uma carga axial centrada de cálculo (Nd) de 1716 kN. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C20; aço: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e armadura longitudinal: 8 . EX. 9.3 Determinar a máxima carga axial (Nd) que o pilar, de seção transversal como abaixo representado, pode suportar. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C20; aço: CA-50; EX. 9.7 Os pilares P01 e P02 foram executados com o mesmo tipo de aço e o mesmo concreto e têm as características geométricas indicadas abaixo. Os dois pilares suportam forças normais centradas, sendo a carga do pilar P02 dez por cento maior que a carga do pilar P01. Nestas condições, determinar a armadura necessária para o pilar P02, considerando as distribuições de barras conforme indicadas na figura. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); aço: CA-50; cobrimento da armadura: 2,5 cm; diâmetro da armadura transversal: 0,53 mm; altura do pilar P01 (comprimento de flambagem): 3,0 m; altura do pilar P02 (comprimento de flambagem): 2,5 m; taxa de armadura longitudinal ( ) do pilar P01: 1,75%; e carga (NSd) atuante no pilar P01: 1400 kN (centrada). EX. 9.8 O pilar central P2 de um edifício recebe, em cada nível, as reações de apoio das vigas V1, V2, V3 (pavimento tipo) e V4 (cobertura). Sabendo-se que, em cada lance, o peso próprio do pilar pode ser avaliado como sendo igual a 1% da força normal acumulada atuante no seu topo, pede-se: a) o valor da força normal de cálculo, suposta centrada, atuante no primeiro lance do pilar P2 (carga atuante no pilar situado abaixo da V1); b) o dimensionamento da seção transversal do primeiro lance (definição de hx), prevendo-se uma taxa geométrica de armadura em torno de 2%; e c) o dimensionamento da armadura para a carga estabelecida no item a, com hx definido no item b. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C20; aço: CA-50; e reações das vigas: V4: 300 kN (valor característico); V1 = V2 = V3: 400 kN (valor característico). Obs: admitir dx x = y/hy = 0,20; edifício constituído por pavimento térreo, três pavimentos tipo (onde atuam as vigas V1, V2 e V3) e cobertura (onde atua a viga V4); largura do pilar hx como múltiplo de 5 cm; e armadura longitudinal do pilar colocada paralelamente ao lado hx (metade para cada lado). EX. 9.9 Determinar o diâmetro mínimo ( ) para as barras do pilar abaixo representado. O pilar deverá ser constituído por dez barras longitudinais dispostas, cinco a cinco, paralelamente ao lado maior. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C20 ( c = 1,40); aço: CA-50 ( s = 1,15); Nd: 2053 kN (compressão ao longo do eixo z); e Obs: o eixo z da figura corresponde à altura do pilar e o plano xy contém a seção transversal do mesmo; efetuar o cálculo da armadura (determinação obrigatória dos valores de As) considerando, isoladamente, as duas direções; e nas considerações envolvendo a posição J, os momentos fletores atuantes no pilar (plano yz) não deverão ser somados. EX. 9.10 Determinar o menor valor possível para hx (valor múltiplo de 5 cm) de tal forma que o pilar abaixo representado possa resistir a uma força normal suposta centrada de cálculo (Nd) igual 5105 kN. Este pilar, componente de uma estrutura de 5 pavimentos, será construído por etapas (por pisos) o que vale dizer que na sua região inferior as armaduras serão emendadas (emendas por traspasse). Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C20; aço: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e diâmetro da armadura longitudinal: 16 mm. Obs: obedecer rigorosamente às taxas limites de armadura estabelecidas pela ABNT NBR-6118. EX. 9.13 Determinar a armadura longitudinal do pilar indicado abaixo, sabendo que a força normal de cálculo (Nd), no lance em questão, é de 2250 kN e que o momento fletor de cálculo transferido pela viga V1 ao pilar (MSd - momento fletor atuante no plano y), tanto no piso superior quanto no piso inferior, é de 125 kNm. A armadura do pilar deverá ser distribuída uniformemente ao longo das faces paralelas ao eixo y (metade em cada face de 50 cm). Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C20; aço: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e diâmetro da armadura longitudinal: 16 mm. Obs: considerar o pórtico como indeslocável. EX. 9.14 As cargas Nd1, Nd2 e Nd3 atuam simultaneamente sobre o eixo x, tal como indicado na figura. Admitindo que a armadura longitudinal As seja distribuída igualmente em dois lados (paralelos ao eixo x), determine o máximo valor admissível para o conjugado Nd2 e Nd3. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C20; aço: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; diâmetro da armadura transversal: 5 mm; armadura longitudinal: 10 16 mm; altura do pilar (comprimento de flambagem): 3,2 m; e carregamento axial (Nd1): 1290 kN; Obs: admitir dx x = y/hy = 0,20. EX. 9.15 Determinar qual das duas seções transversais de pilar, S1 ou S2, é a mais adequada (mais econômica) para o carregamento abaixo indicado. Determinar, também, qual a bitola (diâmetro) necessária para compor as barras da seção S1 e da seção S2. As seções transversais S1 e S2 tem a mesma área de concreto (1500 cm2) e a mesma quantidade de armadura (20 barras). Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); aço: CA-50 ( s = 1,15); bitolas: 10 mm, 12,5 mm, 16 mm, 20 mm, 22 mm, 25 mm e 32 mm; concreto: C20 ( c = 1,4); força normal de cálculo: Nd = 2145 kN; excentricidade (eixo y): ey = 7,5 cm; pilar curto: < 35. Obs.: é necessário (obrigatório) efetuar as verificações em todas as direções, independentemente da existência, ou não, de excentricidades iniciais. Fig. 01 Esquema estrutural do pórtico sob ação do vento Fig. 02 Diagramas NSd e MSd para os pilares AB e DE. EX. 9.18 Um pilar curto ( < 1), de seção transversal 30 cm x 30 cm, suporta uma força normal de cálculo (Nd) igual a 965 kN com dupla excentricidade, sendo a excentricidade na direção y igual a 7,5 cm. Considerando que o pilar está armado com 4 barras de 20 mm, determine qual a máxima excentricidade na direção y permitida à força Nd. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C25; aço: CA-50; b = 1,0; cobrimento da armadura: 3 cm; diâmetro da armadura transversal: 5 mm; e armadura longitudinal: 4 20 mm. EX. 9.19 Determinar o diâmetro da armadura para a seção transversal do pilar abaixo representado. Considerar: estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 ( g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); concreto: C20; aço: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; diâmetro da armadura transversal: 6,3 mm; armadura longitudinal: 10 ; altura do pilar (comprimento de flambagem): 3 m; carregamento axial (Nd): 3004 kN; excentricidade na direção x: 3 cm; e excentricidade na direção y: 7 cm. EX. 9.20 O pilar abaixo esquematizado servirá, temporariamente, como suporte (engaste) para um guindaste cujo peso corresponde à 2284 kN (Ngk). Verificar se este pilar tem condições de suportar o içamento e transporte de uma carga de 100 kN (Nqk), distante 5,79 m ( lança) do centro de giração do guindaste (centro de gravidade do pilar). O içamento da carga, após a fixação do guindaste no topo do pilar, se dará na seguinte seqüência: a) inicialmente a carga será parcialmente levantada na posição A (ângulo de 45º com o eixo horizontal); e b) posteriormente o guindaste fará uma rotação de 135º até a carga atingir a posição C, quando será totalmente içada. 70 cm 30 cm A verificação das condições de segurança deverá ser feita apenas no topo do pilar (engaste do guindaste), para as posições de carga e descarga em A, B e C, não sendo necessário verificar situações intermediarias. Considerar: estado limite último combinação especial (construção) de carregamento ( g = 1,3; q = 1,2; c = 1,2; s = 1,15); concreto: C20; aço: CA-50; b = 1,0; cobrimento da armadura: 3 cm; diâmetro da armadura transversal: 8 mm; armadura longitudinal: 10 32 mm; e altura do pilar (comprimento de flambagem): 6 m. C B A y x Plano de giroda lança do guindaste Carga a 5,79 m do centro de giração Seção transversal do pilar 90 cm 60 cm m MSd = ( q Nqk) x lança NSd = ( g Ngk) + ( q Nqk) Carregamento do pilar EX. 9.21 Determinar os valores das excentricidades atuantes no topo (J), na base (K) e na seção intermediária do pilar abaixo representado. Esse pilar tem seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. Os valores de Md,tot, necessários para a determinação das excentricidades na seção intermediária deverão ser calculados pelo Método do Pilar Padrão para Pilares de Seção Retangular Submetidos à Flexão Composta Obliqua (Método da Rigidez Aproximada), considerando concreto classe C20. Nd = 1140 kN Mxd kNm Myd kNm ex cm ey cm Topo Intermediaria Base Obs: as solicitações (força normal e momentos fletores) correspondem a valores de cálculo; e considerar efeitos de 2ª ordem, independentemente de 1 (ignorar 1 e ir diretamente ao Método da Rigidez Aproximada).

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