Exame Unificado de Física (EUF) 2017-1, Provas de Física

Baixe Exame Unificado de Física (EUF) 2017-1 e outras Provas em PDF para Física, somente na Docsity! EUF Exame Unificado das Pós-graduações em F́ısica Para o primeiro semestre de 2017 04 de outubro de 2016 Parte 1 Instruções • Não escreva seu nome na prova. Ela deverá ser identificada apenas através do código. • Esta prova contém problemas de: mecânica clássica, mecânica quântica, f́ısica moderna e termodinâmica. Todas as questões têm o mesmo peso. • O tempo de duração desta prova é de 4 horas. O tempo mı́nimo de permanência na sala é de 90 minutos. • Não é permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrônicos. • Resolva cada questão na folha correspondente do caderno de respostas. As folhas serão reorganizadas para a correção. Se precisar de mais espaço, utilize as folhas extras do caderno de respostas. Não esqueça de escrever nas folhas extras o número da questão (Qx) e o seu código de identificação. Folhas extras sem essas informações não serão corrigidas. Use uma folha extra diferente para cada questão. Não destaque a folha extra. • Se precisar de rascunho, use as folhas identificadas como rascunho, que se encontram no fim do caderno de respostas. Não as destaque. As folhas de rascunho serão descartadas e questões nelas resolvidas não serão consideradas. • Não escreva nada no formulário. Devolva tanto o caderno de questões quanto o formulário ao fim da prova. O formulário será utilizado novamente na prova de amanhã. Boa prova! Q1. Um corpo de massa m cai em linha reta a partir do repouso em um fluido. A aceleração da gravidade ~g pode considerada constante. O corpo é sujeito também a uma força de resistência proporcional à velocidade: ~Fr = km~v, onde k é uma constante. A força de empuxo do fluido é despreźıvel. (a) Obtenha o módulo da velocidade do corpo como função do tempo. (b) Qual é a velocidade terminal do corpo (módulo da velocidade no limite t ! 1)? (c) Encontre z(t), a posição do corpo como função do tempo (considere z(0) = 0). (d) Encontre z(v), a posição do corpo como função do módulo da velocidade. t Q2. O pêndulo duplo plano consiste de duas part́ıculas de massas m 1 e m 2 e duas hastes ŕıgidas de massas despreźıveis e comprimentos l 1 e l 2 , que oscilam, sob a ação da gravidade ~g, em um mesmo plano vertical fixo, como representado na figura abaixo. Considerando ~g constante e adotando como coordenadas generalizadas os ângulos ✓ 1 e ✓ 2 da figura, obtenha: m1 m2 l1 l2 θ1 θ2 (a) A energia cinética do sistema. (b) A energia potencial do sistema. (c) A Lagrangiana do sistema. (d) As equações de movimento relativas a ✓ 1 e ✓ 2 . Q3. Considere a dinâmica quântica não relativ́ıstica de uma part́ıcula de massa m num potencial harmônico tridimensional isotrópico de frequência angular ! dado por V (x,y,z) = m!2 2 (x2 + y2 + z2). (a) Escreva os auto-estados |n 1 ,n 2 ,n 3 i da Hamiltoniana total Ĥ em termos dos auto-estados de osciladores harmônicos unidimensionais |nii (i = 1,2,3) e também as auto-energias de Ĥ. (b) Uma das auto-energias do sistema é 7 2 ~!. Qual é a sua degenerescência? (c) O observável Ĥ é medido quando o sistema se encontra no seguinte estado (considere os auto-estados |n 1 ,n 2 ,n 3 i normalizados) | i = 1p 2 |0,0,1i+ 1 2 |0,1,0i+ 1 2 |0,1,1i. Que resultados podem ser obtidos e com que probabilidades? (d) Suponha que a medida do item (c) resultou no valor 5 2 ~!. Considere t = 0 o instante imediatamente posterior a essa medida. Determine o estado do sistema | (t)i para t > 0. 1 Q6. Um anel fino de raio R e carga total Q > 0 uniformemente distribúıda ao longo de sua circunferência está fixo no plano xy de um sistema de coordenadas e tem seu centro na origem O. Seja P um ponto com coordenadas (0,0,z) (ver figura abaixo). z R r dQ θ dE P z O y x (a) Somando as contribuições de todos os elementos de carga do anel, encontre módulo, direção e sentido do campo elétrico ~E(z) no ponto P . (b) Proceda analogamente ao item (a) e calcule o potencial elétrico V (z) no ponto P . (c) Uma part́ıcula pontual de carga q < 0 e massa m parte do repouso de um ponto com coordenadas (0,0,z 0 ), muito distante da origem (ou seja, z 0 R) e viaja ao longo do eixo z. Qual é a sua velocidade quando ela passa pelo centro do anel? Considere despreźıveis os efeitos da radiação eletromagnética emitida pela part́ıcula no seu trajeto em direção ao centro do anel. Q7. Um aro quadrado ŕıgido de arame com lado L tem resistência elétrica total R. O aro está no plano xy de um sistema de coordenadas e move-se com velocidade ~v para fora da região onde há um campo magnético uniforme ~B (area sombreada na figura abaixo) apontando para fora da página (sentido de z positivo). Considere o instante em que o vértice da esquerda do aro está a uma distância s dentro da area sombreada (0 < s < p 2L/2). R L s y x v B (a) Calcule o fluxo do campo magnético através do aro como função de s. (b) Determine o valor e o sentido de circulação da corrente elétrica induzida no aro. (c) Calcule a força magnética total (módulo, direção e sentido) sobre o aro quando a corrente induzida circula nele. Que força adicional à força magnética deve ser aplicada no aro para que ele se mova com velocidade constante sob a ação exclusiva dessas duas forças? 1 Q8. Considere a dinâmica quântica não relativ́ıstica de um elétron (massa m e carga e) movendo- se ao longo do eixo x num potencial de oscilador harmônico unidimensional com frequência angular !. O elétron também está sujeito a um campo elétrico ~E = Ex̂ ao longo do mesmo eixo. (a) Escreva a Hamiltoniana total do sistema. (b) Sejam |ni (n = 0,1,2, . . . ) os auto-estados do oscilador harmônico. Vamos considerar agora o efeito do campo elétrico como uma pequena perturbação que modifica muito pouco as auto-energias e os auto-estados do oscilador harmônico. Seja V̂E o termo da Hamiltoniana devido ao campo elétrico. Nesse caso, a correção da energia do primeiro estado excitado em ordem linear em E é dada pelo valor médio de V̂E em |1i. Calcule essa correção. (c) A correção do primeiro auto-estado excitado em ordem linear em E é dada por | (1) 1 i = r ~ 2m! eE ~! ⇣ |0i p 2 |2i ⌘ . (2) A correção da energia do primeiro estado excitado em ordem quadrática em E é dada pelo elemento de matriz de V̂E entre |1i o estado da Eq. (2). Calcule essa correção. (d) Calcule as auto-energias exatas do sistema (oscilador harmônico mais campo elétrico) através de uma transformação de coordenadas. Compare o resultado exato com o cálculo per- turbativo dos itens (b) e (c). Eles concordam? Por quê? Q9. Suponha que um planeta extra-solar esteja a uma distância de c T anos-luz da Terra (c é a velocidade da luz e T é o tempo em anos que esta leva para viajar da Terra até lá). Uma expedição é planejada para enviar astronautas ao planeta de tal forma que eles envelheçam 3T/4 anos durante a viagem de ida. A viagem é quase toda feita a uma velocidade constante. Por isso, desconsidere os pequenos trechos com movimento acelerado. (a) Qual deverá ser o módulo da velocidade constante dos astronautas, em relação à Terra, na ida? (b) De acordo com os astronautas, qual será a distância a ser percorrida na ida? (c) A cada ano (de acordo com o relógio da nave) os astronautas enviam um pulso de luz para a Terra. Qual é a periodicidade dos pulsos recebidos na Terra? (d) Na metade da jornada de ida um casal de astronautas decide retornar à Terra em um módulo espacial. De acordo com os astronautas que permanecem na nave, o módulo retorna em direção à Terra com velocidade 5c/6. Calcule o tempo total (medido na Terra) que o casal de astronautas terá ficado fora do nosso planeta. Q10. Um sistema de N osciladores quânticos unidimensionais, localizados e independentes está em equiĺıbrio com um reservatório térmico à temperatura T . As energias de cada oscilador são dadas por En = ~!0 ✓ n+ 1 2 ◆ n = 1,3,5,7, . . . Note que os valores assumidos por n são apenas os naturais ı́mpares. (a) Obtenha uma expressão para a energia interna por oscilador u como função da temperatura T . Qual é a expressão para u no limite clássico (~! 0 ⌧ kBT )? Esboce um gráfico de u por T . (b) Obtenha uma expressão para a entropia por oscilador s como função da temperatura T . Qual é a expressão para s no limite clássico? Esboce um gráfico de s por T . 2