Exame unificado de Física (EUF) prova 2016-1, Provas de Física

Baixe Exame unificado de Física (EUF) prova 2016-1 e outras Provas em PDF para Física, somente na Docsity! EUF Exame Unificado das Pós-graduações em F́ısica Para o primeiro semestre de 2016 14 de outubro de 2015 Parte 1 Instruções ˆ Não escreva seu nome na prova. Ela deverá ser identificada apenas através do código (EUFxxx). ˆ Esta prova contém problemas de: eletromagnetismo, f́ısica moderna e termodinâmica. Todas as questões têm o mesmo peso. ˆ O tempo de duração desta prova é de 4 horas. O tempo mı́nimo de permanência na sala é de 90 minutos. ˆ Não é permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrônicos. ˆ Resolva cada questão na página correspondente do caderno de respostas. As folhas serão reorganizadas para a correção. Se precisar de mais espaço, utilize as folhas extras do caderno de respostas. Não esqueça de escrever nas folhas extras o número da questão (Qx) e o seu código de identificação (EUFxxx). Folhas extras sem essas informações não serão corrigidas. Use uma folha extra diferente para cada questão. Não destaque a folha extra. ˆ Se precisar de rascunho, use as folhas identificadas como rascunho, que se encontram no fim do caderno de respostas. Não as destaque. As folhas de rascunho serão descartadas e questões nelas resolvidas não serão consideradas. ˆ Não escreva nada no formulário. Devolva-o ao fim da prova, pois será utilizado na prova de amanhã. Boa prova! Q1. Definindo-se o vetor de Hertz ~Z pelas expressões: ~∇ · ~Z = −φ; ~A = µ00 ∂ ~Z ∂t , (1) onde φ e ~A são, respectivamente, os potenciais escalar e vetor. a) Mostre que os potenciais satisfazem o calibre de Lorentz: ~∇ · ~A+ µ00 ∂φ ∂t = 0; (2) b) Demonstre que para um meio sem fontes (ρ = 0, ~J = 0) e de µ = µ0 o vetor ~Z satisfaz às seguintes expressões: ∇2 ~Z − 1 c2 ∂2 ~Z ∂t2 = − ~P 0 ; ~B = 1 c2 ~∇× ∂ ~Z ∂t ; ~E = ~∇× ~∇× ~Z − ~P 0 , (3) onde ~P é o vetor de polarização. Q2. Considere um disco vazado muito fino, com raio interno r1 e raio externo r2, deitado sobre o plano xy e com o eixo centrado em z = 0 (conforme ilustrado na figura 1). Figura 1: Disco vazado. O anel tem densidade superficial de carga dada por: σ(r) = σ0 r , (4) onde r = √ x2 + y2. a) Encontre o campo elétrico ~E(x = y = 0,z) sobre o eixo z; b) Suponha agora que o anel comece a girar com velocidade angular ω0. Encontre a densidade de corrente ~Js = σ~v, onde ~v é a velocidade linear; c) Encontre o campo magnético ~H(x = y = 0,z) sobre o eixo z, gerado pela densidade de corrente ~Js. 1 Q6. Um disco de raio R é composto por duas metades cada uma com densidades superficiais de massa respectivas de 1ρ e de 2ρ. a) Qual é o momento de inércia em relação ao eixo (perpendicular ao plano do disco) que passa pelo seu centro geométrico G? b) Encontre as coordenadas x1 e x2 do centro de massa do disco. c) Qual é o momento de inércia em relação ao eixo (perpendicular ao plano do disco) que passa pelo seu centro de massa? d) Considere o movimento em linha reta do disco sobre um plano horizontal perpendicular ao plano do disco, sem deslizar. Encontre λ(θ), implicitamente definido por v(t) = λ(θ)R dθ dt , onde θ é o ângulo entre o eixo vertical e a reta que passa pelo centro geométrico e o centro de massa (veja a figura), v(t) é o módulo da velocidade do centro de massa, e dθ dt é o módulo da velocidade de rotação do disco. Q7. Considere um objeto de massa M que se desloca sob ação de uma força central do tipo cou- lombiana modificada por uma força proporcional ao inverso de r3, F (r) = − k r2 − q r3 , onde r é a coordenada radial, e k e q são constantes positivas. Considere que a energia total do sistema é descrita por E = M 2 ṙ2 + M 2 r2θ̇2 − k r − q 2r2 , e que o momento angular, do sistema é dado por L = M r2 θ̇. 1 a) Para o caso em que o objeto descreva uma órbita circular (de equiĺıbrio) encontre o raio da órbita em função dos parâmetros k, q, M e L, do sistema. b) Para as mesmas condições do item a), encontre a energia total, E, em função dos parâmetros k, q, M e L, do sistema. c) Ao identificar o potencial efetivo para o movimento radial como Vef (r) = L2 2mr2 − k r − q 2r2 , verifique sob quais condições sobre as constantes q, L e M , a coordenada radial da órbita circular obedece uma configuração de equiĺıbrio estável. d) No caso da coordenada radial da part́ıcula se deslocar da condição de equiĺıbrio (estável) e passar a oscilar de forma aproximadamente harmônica (em torno do raio da órbita circular), encontre a relação entre o peŕıodo de oscilação radial e o peŕıodo de revolução (movimento angular) em função das constantes q, M e L. Q8. Seja um sistema composto por um par A e B de spins 1/2 descrito pelo estado |ψ〉 = α|A+〉 ⊗ |B−〉+ β|A−〉 ⊗ |B+〉+ γ|A−〉 ⊗ |B−〉+ δ|A+〉 ⊗ |B+〉 (com α,β,γ,δ ∈ C) pertencente ao espaço de Hilbert HA ⊗ HB, onde o estado |A±〉 satisfaz 〈A±|A±〉 = 1, 〈A±|A∓〉 = 0 e ŜAz |A±〉 = ± ~ 2 |A±〉, ŜA∓ |A±〉 = ~|A∓〉, ŜA± |A±〉 = 0. E analogamente para |B±〉. Lembrando que Ŝz ≡ ŜAz ⊗ ÎB + ÎA ⊗ ŜBz assim como Ŝx ≡ ŜAx ⊗ ÎB + ÎA ⊗ ŜBx , Ŝy ≡ ŜAy ⊗ ÎB + ÎA ⊗ ŜBy com IA,IB sendo operadores identidade atuando nos respectivos espaços de Hilbert, responda: a) Qual é a dimensão do espaço de Hilbert HA ⊗HB do par de spins A e B? b) Seja o estado |ψ〉 com α = β = γ = 0. Qual é o valor de δ ∈ C mais geral que normaliza |ψ〉. c) Seja o estado |ψ〉 com α = −β = 1/ √ 2 e γ = δ = 0. Qual é o valor esperado do operador Ŝz nesse estado? d) Seja o estado |ψ〉 com α = β = 1/ √ 2 e γ = δ = 0. Determine se |ψ〉 é um auto-estado do operador de spin Ŝ2 ≡ Ŝ2x + Ŝ2y + Ŝ2z . Se for, qual é o auto-valor correspondente? (Sugestão: lembrar que Ŝ± = Ŝx ± iŜy e que [ Ŝx,Ŝy ] = i~Ŝz.) 2 Q9. Seja um oscilador harmônico com frequência ω, massa m e com hamiltoniana Ĥ = (1/2 + n̂)~ω, (5) onde n̂ ≡ â†â com n̂|n〉 = n|n〉 e lembramos que os operadores de abaixamento e levantamento satisfazem â|n〉 = √ n|n− 1〉 â†|n〉 = √ n+ 1|n+ 1〉 Supondo que o oscilador esteja em um estado coerente |z〉 definido por â|z〉 = z|z〉, responda a) Qual é o valor de 〈z|n̂|z〉 para z = 1 2 exp(iπ/4), supondo que |z〉 esteja normalizado? b) Supondo que em t = 0 o oscilador esteja no estado fundamental |0〉, calcule a forma do estado no instante t = 1/10 s para ω = 5π s−1. c) Quanto vale cn (como função de n e z) para que o estado coerente |z〉 = ∑+∞ n=0 cn|n〉 (expandido na base de auto-estados |n〉 do operador número n̂) esteja normalizado? (Lembre- se que ex = ∑+∞ n=0 x n/n!) d) Use o resultado do item anterior e calcule o valor numérico de |〈z′|z〉|2 para z = 1/2 exp(iπ/4) e z′ = 1/4 exp(iπ/4). Q10. Considere um sistema de N spins 1/2 não-interagentes, com momento de dipolo magnético de módulo µ, na presença de um campo magnético uniforme B. a) Escreva a hamiltoniana do sistema. b) Considerando o sistema em equiĺıbrio térmico a temperatura inversa β = 1/kBT , calcule a função de partição Z(β,B). c) Calcule a magnetização M como função de T e B. d) Obtenha a expressão para M no limite de altas temperaturas e campo magnético fraco. 3