Exercícios de matemática financeira, Exercícios de Matemática Financeira

Baixe Exercícios de matemática financeira e outras Exercícios em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity! ENGENHARIA ECONÔMICA Matematica Financeira ASSUNTOS ▪Juros compostos. ▪ Conversões de taxas de juros. ▪Series simples e uniformes. ▪ Series equivalentes. ▪Fluxo de caixa ▪Valor Presente Líquido ▪Taxa interna de Retorno Exemplo: Quanto renderá em 6 meses, um capital de $ 2000,00, aplicado a uma taxa de juros de 5% a.m. Aplicando a equação (4): S = 2000 (1 + 0,05)6 = 2000 x 1,3400 => $ 2.680,00 2.5.2 Cálculo do valor presente P, conhecido o valor futuro F A partir da equação (4) podemos deduzir que: (equação 5) O fator é denominado Fator de Atualização de Capital (FAC) e é igualmente tabelado para uma determinada taxa de juros i e um determinado número de períodos n. Passemos a adotar a seguinte notação para este fator: dada uma taxa de juros de 4% a.p.e 5 períodos o fator FAC (4%, 5) será de 0,82193. Note que os fatores FCC e FAC são números inversos, isto é, se multiplicarmos FAC (4%, 5) por FCC (4%, 5) obteremos 1 ou, no nosso exemplo, 0,8121 x 1,21665 = 1. Exercício: verificar os FACs para: i = 10% a.a. e 8 anos; e i = 8% a.s. e 2 semestres ni FP )1( 1 + = ni)1( 1 + Assim, dada a equação (5) podemos resolver problemas do seguinte tipo: (...) conhecido o valor F, ou valor futuro, a taxa de juros i e o número de períodos de capitalização n, podemos calcular o valor P, ou valor presente, como mostrado no fluxo de caixa abaixo: F P = 1 32 n Fig. 2.3: Fluxo de caixa da situação: Dados S, i e n calcular P. Exemplo: Quanto deverei aplicar hoje, num regime de capitalização composta, para obter, a uma taxa de 2% a.m., em 18 meses, a quantia de $ 5.000,00. Solução: aplicando a fórmula (5), P = 5.000/(1+0,02)18 = 5.000/1,42825 = $ 3500,78, ou, resolvendo de uma outra forma P = S FAC(2%, 18) = 5.000 x 0,70016 = $ 3.500,78. ni FP )1( 1 + = 1. Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m. em um regime de juros compostos, a partir de um principal de $ 1.000.000,00. R: $ 1.428.250,00 2. Qual é o principal que deve ser investido nesta data para se obter um montante de $ 500.000,00, daqui a 2 anos, a uma taxa de 15% a.s. em um regime de juros compostos. R: $ 285.877,64 3. Um cidadão investiu $ 10.000 nesta data, para receber $ 14.257,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento, em um regime de juros compostos. R: $ 3,0% a.m. Exercicios 1 2 Fórmulas para conversão de taxas de juros equivalentes Existem duas situações básicas para a conversão de taxas de juros: a) Conversão de uma taxa de período de tempo menor para uma taxa de período de tempo maior: Taxa semestral em taxa anual, taxa mensal em taxa anual, etc. Neste caso vamos aplicar a seguinte fórmula: ie= (1 + iq )n - 1 (equação 9) onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor. Exemplo: converter uma taxa de 4% a.t. em taxa anual. Ie = (1 + 0,04)4 = 1,16985 => ie = 16,98% a.a. Neste caso n = 4, uma vez que um ano contém 4 trimestres. b) Conversão de uma taxa de período de tempo maior para uma taxa de período de tempo menor: taxa anual em taxa trimestral, taxa semestral em taxa mensal, etc. Conversões de taxas de juros: Vamos, neste caso aplicar a seguinte fórmula: onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor. Exemplo: Converter uma taxa de 40% a.a. em taxa quadrimestral. => 11,87% a.q. 1)1( −+= n qe ii 1)4,01(3 −+=ei 1)4,1(3 −=ei Conversões de taxas de juros: Exercício Calcular a taxa equivalente mensal de uma taxa de: 1. 100% a.a.; 2. 82% a.a.; 3. 28% a.s. e 28% a.a.; 4. 28% a.a. ; 5. 32% a.t. Conversões de taxas de juros: 4. Séries uniformes: 5.1 Cálculo de uma série uniforme postecipada Podemos entender uma série uniforme de pagamentos como uma série de pagamentos que possui as seguintes características: (i) os valores dos pagamentos são todos iguais; e (ii) consecutivos, como ilustrado abaixo: 1 3 4 52 300 300 300300 300 0 (a) Fig. 2.3: Série uniforme postecipada (a) e antecipada (b). (b) 1 3 4 52 500 500 500500 500 0 500 5.1 Série postecipada e antecipada Numa série postecipada (a) o primeiro pagamento ocorre a partir do primeiro período, enquanto uma série antecipada (b) é caracterizada pelo fato do primeiro pagamento ocorrer no início do período. 5.1 Cálculo do montante S de uma série uniforme postecipada Consideremos uma série uniforme postecipada, descontada mensalmente a uma taxa de 4%, como mostrado abaixo: 4. Séries uniformes: 1 3 4 52 100 100 100100 100 0 S = É possível calcular o valor futuro da série com o uso de fórmulas já conhecidas: S1 = 100 x (1,04)4 = 100 x 1,16986 = 116,98 S2 = 100 x (1,04)3 = 100 x 1,12486 = 112,49 S3 = 100 x (1,04)2 = 100 x 1,08160 = 108,16 S4 = 100 x (1,04)1 = 100 x 1,04000 = 104,00 S5 = 100 x (1,04)0 = 100 x 1,10000 = 100,00 St = .................................................. = 541,63 Assim, podemos concluir que, o montante de 5 aplicações, mensais e consecutivas aplicadas a um taxa de 4% a.m. acumula um montante de $ 541,63. 4. Séries uniformes: Sabemos que St = S1 + S2 + S3 + S4 + S5, substituindo S1, S2 , S3..., por seus respectivos valores temos: St = 100 x (1,04)4 + 100 x (1,04)3 + 100 x (1,04)2 + 100 x (1,04)1 + 100 x (1,04)0. Como o fator 100 é comum a todos os termos, podemos agrupar a expressão acima: St = 100 { (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 } (equação 10) Como a série entre chaves, acima, representa a soma de uma progressão geométrica de razão 1,04, podemos aplicar a seguinte fórmula, que nos fornece a soma dos termos de uma PG, com a1= (1,04)0 =1, q = 1,04 e n = 5. Transformando a equação 10 com a inclusão da fórmula da soma de uma PG, como mostrado acima, obtemos: (equação 11) 1 11 − − q aqa n 104,1 1)04,1(1 100 5 − −  Séries uniformes: Exercício : Qual a prestação para um valor de R$15000,00 em N meses a taxa de 2% am? p=axdtD) cl (+ i)"xi Exercício Calcular o valor atual de uma série de 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de $150, capitalizadas a uma taxa mensal de $ 5% ao mes. P = A x FVA(5%,12)= 150 x 8,86325 = $ 1.329,48 5.3 Cálculo do montante S de uma série uniforme antecipada Consideremos uma série uniforme antecipada do tipo: O montante S pode ser calculado através da fórmula: (equação 15) onde: S = montante acumulado no final do período; A = valor das prestações; i = taxa de juros. 1 3 42 A A AAA 0 F = n A 4. Séries uniformes:       −+ += i i iAS n 1)1( )1( 4. Séries uniformes: Note, que a expressão entre parentesis, indicada na equação 15, nada mais é que o fator de acumulação de capital, FAC, para séries uniformes postecipadas, mostrado na equação 12, na p. 35 do nosso texto.E, portanto, a equação 15 pode ser escrita da seguinte maneira: (equação 16) Exemplo: Quanto terei de aplicar mensamente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses, um montante de $ 100.000,00, sabendo-se que a taxa de juros contratada é de 34,489% ao ano, que as prestações são iguais e consecutivas e a primeira prestação é depositada no período 0. Vamos, inicialmente, transformar a taxa anual em taxa mensal: )%,()1( niFACiAF += ..%5,21024999,11)34489,01(12 maiim ==−=−+= 1 2 63 4 50 35 F=$ 100.000 A = Exemplo: Um terreno é colocado a venda por $ 50.000,00 a vista ou em 24 prestações mensais sendo a primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o valor de cada parcela, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa de 3,5 % a.a. pelo financiamento. Aplicando a equação 18, obtemos: 4. Séries uniformes: 1 2 63 4 50 23 P =$ 50.000,00 A =$ 21,008.3$06227,0 )035,01( 1 000.50 )1( 1 )%,( = + = + = niFRC i PA Exercícios 1. Um investidor depositou, anualmente, $ 1000,00 numa conta de poupança, em nome de seu filho, a juros de 6% a.a. O primeiro depósito foi feito no dia em que seu filho completou 1 ano e o último quando este completou 18 anos. O dinheiro ficou depositado até o dia em que completou 21 anos, quando o montante foi sacado. Quanto recebeu seu filho. R: $ 36.809,24 2. Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um fundo de renda fixa, a taxa de 5% ao bimestre, durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final deste prazo, um montante de $ 175.000,00. R: $ 4.375,00 3. Qual é o montante obtido no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $ 500,00 por mes, a taxa de 42,5776% ao ano. R: $ 4.446,17 4. Quantas aplicações mensais de $ 500,00 são necessárias para se obter um montante de $ 32.514,00, sabendo-se que a taxa é de 3,00% a.m., e que a primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate daquele valor. R: 36 aplicações. 5. O Sr. Laerte resolveu fazer 12 aplicações mensais, como segue: a) 6 prestações iniciais de $ 1000 cada uma; b) 6 prestações restantes de $ 2000,00 cada uma. Sabendo-se que esta aplicação está sendo remunerada a 3,0% a.m., calcular o saldo acumulado de capital mais juros que estará a disposição do Sr. Laerte no final do prazo de aplicação. R:2.066,04 5. Fluxo de Caixa: Exemplo: Calcular o seguinte fluxo de caixa, FC(0), considerando-se uma taxa de juros de 5% a.p.: 1 3 4 52 1000 200 800 14001600 1400 Descontando todas as saídas e entradas e trazendo para o momento 0, temos: FC(0) = -1000 + 200/(1+0,05)1 + 800/(1+0,05)2 + 1600/(1+0,05)3 + 1400/(1+0,05)4 + 1400/(1+0,05)5 = -1000 + 190,47 + 725,62 + 1382,14 + 1151,78 + 1096,93 = $ 3546,94 5. Fluxo de Caixa: 1 3 4 52 500 300 400 600500 800 Exercício: Calcular o seguinte fluxo de caixa, FC(3), considerando-se uma taxa de juros de 10% a.p.: FC(3) = 6. Avaliação de investimentos 6.1 Métodos de retorno de investimento Existem 3 métodos, que são tradicionamente utilizados para a avaliação de investimentos: (a) o método do valor presente líquido (VPL), (b) o método da taxa interna de retorno (TIR) e (c) o método do pay back ou do tempo de retorno do investimento. 6.1 Método do valor presente líquido O método do valor presente líquido baseia-se no cálculo do valor presente de um fluxo de caixa que envolve saídas (investimento) e entradas (receitas geradas por este investimento). É a seguinte a fórmula que permite calcular o valor presente líquido (VPL) de um fluxo de investimento. Dado um fluxo de caixa do tipo, descontado a uma taxa i: O valor presente deste fluxo pode ser calculado como: (equação 19)03 1 2 11 )1( ... )1()1()1( FC i FC i FC i FC i FC VPL n n −      + + + + + + + = 1 3 42 FC1 FC2 FC4FC3 0 n FCn FC0 Exercício: Determinar a TIR do fluxo de caixa mostrado na figura 6.1. Calculemos o VPL deste fluxo de caixa para diferentes taxas de juros: VPL(10%) = $ 2703,19 VPL(20%) = $ 1750,64 VPL(30%) = $ 1115,43 VPL(40%) = $ 674,84 VPL(50%) = $ 358,85 VPL(60%) = $ 125,61 VPL(70%) = $ -50,89 Sabemos, portanto, que existe uma inversão de sinal no intervalo situado entre 60% e 70% e que a TIR está situada neste intevalo. Através de sucessivas aproximações obtemos uma TIR de 66,8% . 6. Avaliação de investimentos 6. Avaliação de investimentos 6.2 Método do ¨Pay-back¨ ou do tempo de retorno de um investimento A viabilidade economica de um projeto de investimento pode se determinada, comparando-se o tempo de retorno do projeto com a vida útil dos ativos que compõem este investimento. Para que um projeto possa ser considerado economicamente viável, o tempo de retorno do projeto (em anos, meses ou qualquer outra unidade de tempo) deve ser inferior a vida util de um equipamento, ferramental, etc., por exemplo, que faz parte do investimento. Na prática, o tempo de retorno de um investimento é calculado através do fluxo de caixa descontado de um projeto de investimento. Considere o fluxo de caixa da figura 6.1. Observe, que no fluxo de caixa acumulado (coluna 7) existe uma inversão de sinal entre o 2o. e o 3o. ano. Isto significa que o tempo de retorno do projeto é superior a dois porém inferior a 3 anos. Aplicando uma regra de tres, proporcionalmente ao valor – 66,12 do final do 2o. ano e 685,2 do final do 3o.ano, obtemos um tempo de retorno para este projeto de 2,1 anos. Período Saídas Entradas FCL Fatores FCD FCA 1 2 3 4 5 6 7 0 -1000 0 -1000 1 -1.000,00 -1.000,00 1 -500 800 300 0,9090909 272,73 -727,27 2 800 800 0,8264463 661,16 -66,12 3 1000 1000 0,7513148 751,31 685,20 4 1500 1500 0,6830135 1.024,52 1.709,72 5 -200 1800 1600 0,6209213 993,47 2.703,19 Quadro 6.2: Fluxo de caixa de um investimento: 6. Avaliação de investimentos Assim, se a vida útil do equipamento for de 10 anos (suponhamos que este investimento se refira, por exemplo a aquisição de um caminhão) o projeto pode ser considerando viável, uma vez que este projeto trouxe um retorno num prazo inferior a vida útil deste bem. 7.2 Desconto composto Desconto composto é aquele, no qual a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro S, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido em função de cálculos exponenciais, e praticamente não é utilizado em nenhum país do mundo. O valor líquido de um título calculado por este critério, por um prazo igual a n períodos unitários, é dado pela expressão: P = F (1 – d)n (equação 23) Exemplo: Uma duplicata de $ 10.000,00 com 90 dias para seu vencimento é descontada a uma taxa de 3,0% a.m. de acordo com o conceito de juros compostos. Calcular o valor líquido a ser creditado na conta e o valor do desconto concedido. A aplicação direta da equação 23 fornece o valor descontado (presente) do título: P = 10000 (1 – 0,03)3 = 10000 x 0,91267 = $ 9126,73 O desconto é a diferença entre o valor de face (futuro) e o valor descontado e portanto D = 10000,00 – 9126,73 = $ 873,27 7. Desconto Simples (Bancário ou comercial) Exercícios sobre Descontos 1. Qual o valor atual de um título de valor de resgate de $ 90.000,00 com 4 meses a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,25% ao mes, com a) desconto simples e desconto composto. R: a) $ 78.300,00 ; b) 78.852,12 2. Sabendo-se que o valor líquido creditado na conta de umcliente foi de $ 57.170,24, correspondente a um título de $ 66.000,00 a taxa de 5,0% a.m. Determinar o prazo a decorrer até o vencimento deste título com a) juros simples e juros compostos. R: a) 2,67 meses e b) 2,8 meses.