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Agrupamento de Escolas de Santa Maria dos Olivais
Escola Secundária António Damásio 11.º Ano – Matemática A 2024/
Ficha de trabalho Nº5 EQUAÇÕES DE PLANOS E RETAS NO ESPAÇO
1. O plano que contém o ponto 𝑃
e é perpendicular ao vetor 𝑣⃗
pode ser definido
pela equação:
(A) 𝑥 − 2 𝑦 + 3 𝑧 − 7 = 0
(B) 𝑥 + 2 𝑦 + 3 𝑧 − 7 = 0 ∗
(C) 𝑥 − 2 𝑦 − 3 𝑧 − 7 = 0
(D) 𝑥 + 2 𝑦 + 3 𝑧 + 7 = 0
2. Considera o plano α ∶ 2 𝑥 − 𝑦 + 3 𝑧 − 10 = 0.
Seleciona a opção que corresponde a um vetor normal ao plano α.
(A) 𝑛⃗⃗
α
(B) 𝑛⃗⃗
α
(C) 𝑛⃗⃗
α
(D) 𝑛⃗⃗
α
3. Seleciona a opção que corresponde à equação de um plano paralelo ao
plano γ: 𝑥 + 4 𝑦 − 2 𝑧 + 8 = 0.
(A) − 3 𝑥 + 10 𝑦 + 6 𝑧 = 26
(B) − 3 𝑥 − 12 𝑦 + 6 𝑧 + 18 = 0 ∗
(C) − 2 𝑥 + 5 𝑦 + 6 𝑧 − 16 = 0
(D) − 2 𝑥 + 8 𝑦 + 𝑧 = 17
4. Considera a reta 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 2 , 2 , 3 ) + 𝑘( 0 , 4 , 1 ), 𝑘 ∈ ℝ e o plano α: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 10.
Seleciona a opção que corresponde à interseção da reta 𝑟 com o plano α.
(A) A interseção é o ponto
(B) A interseção é o ponto
(C) A reta não se interseta com o plano.
(D) A reta está contida no plano.
5. Considera, num referencial o.n. Oxyz , o plano de equação 2 x 4 z 1 0 e o ponto
A (1,0,2)
Qual das equações seguintes define um plano a que pertence o ponto A e é perpendicular ao plano
(A) 4 x 2 z 0 (B) 4 x 2 z 0 (C) 2 x y z 0 (D) 2 x y z 4 0
6. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um paralelepípedo
retângulo
[
]
Sabe-se que:
o vértice 𝐴 pertence ao eixo 𝑂𝑥 e o vértice 𝐵 pertence ao eixo 𝑂𝑦;
o plano 𝐴𝐵𝐺 é definido pela equação −
3
2
as coordenadas do vértice 𝐻 são ( 3 , 8 , 15 ).
6.1. Qual das equações seguintes define o plano 𝐷𝐶𝐻?
(A) −
3
2
5
2
(B) −
3
2
5
2
(C) − 2 𝑥 + 3 𝑦 − 15 = 0
(D) − 2 𝑥 + 3 𝑦 + 15 = 0
6.2. Determine a amplitude do ângulo 𝐵𝐴𝐻. Apresente o resultado, em graus, arredondado às
unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três
casas decimais.
6.3. Determine uma equação vetorial da reta perpendicular ao plano 𝑥𝑂𝑦 e que contém o ponto 𝐺.
6.4. Acerca de um determinado ponto 𝑃, sabe-se que tem ordenada igual à ordenada do ponto 𝐵 e
que a sua abcissa é o cubo da sua cota. Sabendo que os vetores 𝐵𝐻
e 𝐻𝑃
são perpendiculares,
determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a abcissa do ponto 𝑃.
Na sua resposta:equacione o problema;reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s)
função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação;se, em cálculos
intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais;apresente a
abcissa do ponto 𝑃 com aproximação às centésimas. 59,78.
7. Na figura está representado, em referencial ortonormado Oxyz , o triângulo
[ ABC ].
Os vértices A , B e C são a interseção do plano definido pela equação
x y z , respetivamente, com os eixos Ox , Oy e Oz.
7 .1. Escreve uma equação do plano
que passa no ponto
T 1, 0, 3 e é paralelo ao plano
x y z .
7 .2. Determina a amplitude do ângulo formado pelos vetores CA e CB. Apresenta o resultado em graus
arredondado às décimas. 80, 4.
8. Em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera:
▪ o plano definido pela equação 2 x y z 2 ;
▪ o ponto A de coordenadas
▪ o ponto B a interseção do plano com Oz.
12. Na figura, em referencial o.n. Oxyz , está representada uma pirâmide [ OABC ]. Sabe-se
que:
o vértice A pertence a Ox ;
o vértice B pertence a Oy ;
o vértice C pertence a Oz ;
o plano ABC é definido pela equação 2 x y z 4
12. 1. Determina o valor do produto escalar AC BA . AC BA 4
12. 2. O ponto médio de [ BC ] é centro de uma superfície esférica à qual pertence o ponto O. Determina,
na forma reduzida, uma equação dessa superfície esférica.
2 2
2
x y 2 z 2 8
13. Na figura está representada uma caixa, num referencial o.n.
Oxyz , com a forma de um prisma, em que as bases são trapézios.
Sabe-se que:
. a base [ AOEF ] está contida no plano xOz ; . a face [ OABC ] está contida no plano xOy ; . a face [ OCDE ] está contida no plano yOz ; . o ponto F tem coordenadas (8, 0, 2); . o plano EFG é definido pela equação:
x 4 z 16 0
13. 1. Determina as coordenadas do ponto A.
A 8, 0, 0.
13. 2. A superfície esférica de equação
2 2 2
x 8 y z 100 interseta o semieixo positivo Oy no ponto
C. Determina a amplitude do ângulo CFE. Apresenta o resultado, em graus, arredondado às
décimas. Resposta: 44,
- Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz , o prisma quadrangular
reto [ ABCDEFGH ].
Sabe-se que:
. a face [ ABCD ] é um retângulo contido no plano xOy ;
. o plano BCH é definido pela equação 3 x 6 y 5 6 0 ;
. os vértices A e C pertencem ao eixo Oy e são simétricos em relação à origem;
. o vértice B tem coordenadas
14. 1 Representa a reta BG através de uma equação vetorial
x y z , , 2 6, 1,0 k 0,0,1, k
14. 2. Determina a medida do volume do prisma, sabendo que o plano EFG é definido pela equação
z 12.
Apresenta o resultado arredondado às décimas. 587,9 u.v..
- Na figura está representada, num referencial o.n. Oxyz ,
a pirâmide quadrangular regular de base
OABC e
vértice
V
Sabe-se que:
o ponto
E
é o centro da base da pirâmide;
a reta
VE
pode ser definida pela equação vetorial:
x y z , , 2, 5, 5 k 1, 2, 2 , k
o volume da pirâmide é 108.
15.1. Justifique que o plano da base da pirâmide pode ser definido pela equação x 2 y 2 z 0
VE
15.2. Mostre que o ponto
E
tem coordenadas
15.3. Mostre que a área da base da pirâmide é igual a 36.
15.4. Determine as coordenadas do vértice
V
sabendo que tem cota positiva.
V 1, 7, 7
15 .5. Qual é o valor do produto escalar AV AC
*(A) 36 (B) 18 (C)
2 18
(D)
18
16. Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano
definido pela equação x y 0 e o ponto
P
de
coordenadas
Seja o plano paralelo a
e que passa no ponto
P
Qual das seguintes condições é uma equação do plano
(A) 2 x 2 y 1 (B) x y 3
(C) y x 1 (D) x y 1
z
B
A
x
O
y
C
V
E
[C]
2
[D]
2
4
5 − 5
5
20. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, o cubo
[ ABCDEFGH ] (o ponto C não está representado na figura).
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (11, – 1, 2);
- o ponto B tem coordenadas (8, 5, 0);
- o ponto D tem coordenadas (5, – 3, 5);
- o ponto E tem coordenadas (13, 2, 8).
20 .1. Prove que o plano ABE pode ser definido pela equação cartesiana 6𝑥 + 2𝑦 – 3 𝑧 = 58.
20 .2. Escreva equações paramétricas da reta AC.
21. Sejam a e b números reais. Considere, num referencial o.n. xOy , a reta r e o plano a
definidos,
respetivamente, por:
x = 1 + ak
y = 2 – 3 k , k Î
z = bk
ì
í
ï
î
ï
e ( x , y , z ) = ( 1 , 2 , 3 ) + s ( 2 , 1 , 1 ) + t ( 1 , 1 , – 1 ), s , t Î °
Sabe-se que a reta r é perpendicular ao plano
a
. Qual é o valor de a e de b?
(A) a = 1 e b = 1 (B) a = – 1 e b = – 1
(C)
a = 2
e
b = – 1
(D)
a = 2
e
b = 1
22. Num referencial o.n. Oxyz , considere o plano a
definido pela equação:
( x , y , z ) = ( 1 , – 1 , 1 ) + s ( 1 , 2 , – 1 ) + t ( – 1 , 1 , 2 ), s , t Î
No mesmo referencial, considere ainda a reta r definida por:
( x , y , z ) = ( 1 , 2 , 2 ) + k ( – 1 , 0 , 1 ), k Î °
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) O ponto (1, 0, 1) pertence à reta r. (B) O ponto (1, 2, 2) pertence ao plano a.
(C) O vetor (1, 2, – 1) é normal ao plano a. (D) A reta r é perpendicular ao plano a.
23. Considere, num referencial o.n. Oxyz :
o plano a
definido pela equação x + 2 y – z + 1 = 0 ;
a reta r definida por
( x , y , z ) = ( 1 , – 1 , 1 ) + k ( – 1 , 1 , 2 ), k Î
o ponto A (1, 3, −2).
23.1. Escreva uma equação cartesiana do plano b
que contém o ponto A e que é paralelo ao plano a
x + 2 y – z – 9 = 0
23.2. Defina através de uma equação vetorial e de uma equação cartesiana o plano g definido pela reta r
e pelo ponto A. 11 x + 3 y + 4 z – 12 = 0
23.3. Determine, em graus, com aproximação às décimas, a amplitude do ângulo que o vetor
r ( – 1 , 1 , 2 )
faz com o vetor
v ( 1 , 0 , 0 ).
