Exercícios Resolvidos de Hidraúlica, Exercícios de Hidráulica

Baixe Exercícios Resolvidos de Hidraúlica e outras Exercícios em PDF para Hidráulica, somente na Docsity! UNIVERSIDADE DE ÉVORA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL HIDRÁULICA GERAL PROBLEMAS RESOLVIDOS E EXPLICADOS ENGENHARIA AGRÍCOLA ENGENHARIA BIOFÍSICA ENGENHARIA DOS RECURSOS GEOLÓGICOS Luís Leopoldo Silva Maria Madalena V. Moreira Évora, 2003 1 ÍNDICE Pág. 1. Propriedades dos fluidos ……………………………………………………….…….. 3 2. Hidrostática …………………………………………………………………….…….. 7 3. Equação da Continuidade e Teorema de Bernoulli ……….…………………….…….. 23 4. Teorema da Quantidade de Movimento …………………………………………..…… 27 5. Leis de Resistência e Escoamentos Permanentes sob Pressão …………………..……. 39 6. Escoamentos em Superfície Livre …………………………………………………….. 55 7. Orifícios e Descarregadores ………………………………………………………….. 65 Bibliografia ………………………………………………………………………………. 73 4 Resolução: A velocidade do óleo que se desloca entre as duas placas varia, segundo a direcção zz, linearmente, ver figura seguinte. Para determinar a equação da recta (v = a z + b) que representa a variação da velocidade segundo a direcção zz são necessários dois pontos:    = =    = = 1-1- s m 0,1v m 0,02z e s m 0v m 0z as constantes a e b, da equação da recta, podem ser determinadas através da resolução do sistema de equações:    = =    +⋅= +⋅= 5a 0b b0,02 a0,1 b0 a0 A equação da variação da velocidade na direcção zz é: v = 5 z . A velocidade do óleo junto à placa móvel, para z = 0,02 m, é igual à velocidade da placa, ou seja 0,1 ms-1 e para um valor de z igual a 0,01 m a velocidade é 1ms05,001,05v −=⋅= . A tensão tangencial, no caso de Fluidos Newtonianos, é directamente proporcional à variação da velocidade segundo a direcção normal ao escoamento, ou seja a direcção z: dz dv µ=τ Neste caso, a variação da velocidade segundo a direcção zz é constante. 1s5 dz dv e 5zv −== Os valores da massa volúmica e da viscosidade dinâmica do óleo são: 1-1-4 óleoóleoóleo -3 OHóleo s m kg 0,09900 10 m kg 9001000 9,0d 2 =⋅=ρ⋅ν=µ =⋅=ρ=ρ − Para qualquer valor da coordenada z a tensão tangencial toma o valor de: 2Nm45,0509,0 −=⋅=τ 5 Problema 1.3 Sabendo que o módulo de elasticidade volumétrico da água é 19,6E8 Nm-2, determine a redução de volume de 1 litro de água para um aumento de pressão no valor de 196 Ncm-2. Resolução: Tendo em conta a definição de módulo de elasticidade volumétrico e que ∆p =196 Ncm-2 =196 E4 Nm-2, obtém-se: l -0,0011 8E6,19 4E196V pV V V p =⋅−= ε ∆−=∆⇒∆ ∆−=ε A diminuição de volume de 1 litro de água sujeito a um aumento de pressão de 196 Ncm-2 é igual a 1 lm . Este resultado permite verificar a pequena compressibilidade da água. Problema 1.4 A que pressão pode esperar a ocorrência de cavitação (fenómeno associado à presença de bolsas de vapor do liquido) numa bomba que eleva água à temperatura de 20ºC ? Resolução: Consultando o quadro abaixo, conclui-se que a água, à temperatura de 20ºC, passa ao estado de vapor para a pressão absoluta de 2330 Nm-2. Quadro 1. Tensão de saturação do vapor da água a diferentes temperaturas (extraído de Quintela, 1981) Temperatura (ºC) 4 10 20 30 50 80 100 Tensão de saturação do vapor da água (N/m2) 813 1225 2330 4240 12300 47300 101200 6 9 sendo, 1Gp a pressão do líquido no centro de gravidade da superfície premida; A1 a área da superfície premida e 1Gh a profundidade do respectivo centro de gravidade. Como a área da comporta em contacto com a água, A1 tem a forma rectangular, o seu centro de gravidade estará a meia altura da superfície premida. N 1076722 55º sen 33 2 198001 =      ⋅⋅      ⋅⋅=Π Sabendo que a linha de acção da impulsão passa pelo centro de gravidade do diagrama de pressões: m22,1 55º sen 3 3 1b 1 =⋅=Π Nota: em alternativa, o braço da impulsão pode ser determinado com base na definição de abcissa do centro de impulsão, considerando o eixo dos xx coincidente com o corte do plano da comporta na folha de papel. 11 ciX-55º sen 3b =Π m 44,261,083,1 2 55º sen 3 55º sen 3 2 1 12 2 55º sen 3 55º sen 3 2 1 AX IXX 3 1G GG' Gci 1 11 =+=       ⋅⋅      ⋅ ⋅      +⋅=+= m 1,222,44- 55º sen 3b 2 ==Π Determinação da impulsão sobre a face direita da comporta e respectivo braço , 2Π r e 2 bΠ : 2GOH22G2 AhAp 22 ⋅⋅γ==Π sendo, 2Gp a pressão do líquido no centro de gravidade da superfície premida; A2 a área da superfície premida e 2Gh a profundidade do respectivo centro de gravidade. Como a área da comporta em 10 contacto com a água, A2 tem a forma rectangular, o seu centro de gravidade estará a meia altura da superfície premida. N 478542 55º sen 22 2 198002 =      ⋅⋅      ⋅⋅=Π . Sabendo que a linha de acção da impulsão passa pelo centro de gravidade do diagrama de pressões: m81,0 55º sen 2 3 1b 2 =⋅=Π Nota: em alternativa, o braço da impulsão pode ser determinado com base na definição de abcissa do centro de impulsão: 22 ciX-55º sen 2b =Π m 63,141,022,1 2 55º sen 2 55º sen 2 2 1 12 2 55º sen 2 55º sen 2 2 1 AX I XX 3 2G GG' Gci 2 22 =+=       ⋅⋅      ⋅ ⋅      +⋅=+= m 0,811,63- 55º sen 2b 2 ==Π Determinação da força no êmbolo e respectivo braço, F e Fb : Se o líquido com d = 11 sobe no tubo 4,2 m, a pressão em B é: pB = pA+ γ hAB pA = 0 N/m2 ( ) 2 B 3 11d Nm4527602,4107800p Nm107800980011 − − = =⋅= =⋅=γ 11 A pressão no centro de gravidade do êmbolo (ponto E) é igual à pressão no ponto B: 2 E Nm452760p −= A força na haste DE é igual à impulsão hidrostática sobre o êmbolo e o diagrama de pressões no êmbolo é o representado na figura ao lado. Qualquer que seja a forma geométrica do êmbolo, a impulsão sobre o êmbolo é igual ao produto entre a pressão no centro de gravidade (em E) e a área do êmbolo: êmboloEêmbolo Ap ⋅=Π N 2263805,0452760êmbolo =⋅=Π N 22638F êmbolo =Π= O braço da força F r é igual a: m 5,4bF = Determinação do braço do peso próprio Gb : O braço do peso próprio da comporta é determinado por: m 1,2955º cos 2 5,4bG == A substituição dos valores calculados, na equação de equilíbrio dos momentos permite obter: 0b Fb Gbb FG21 21 =−+Π−Π ΠΠ 05,4226381,29 G81,0478541,22 076721 =⋅−⋅+⋅−⋅ N 7188G = O peso da comporta é 7188 N. c) Mantendo o sistema em equilíbrio, e não tendo ocorrido variação da altura da água à esquerda e à direita da comporta, a força na haste DE mantém-se. Como esta força é igual ao produto da pressão no centro de gravidade do êmbolo pela área do êmbolo, para uma área dupla é necessário que a pressão no centro de gravidade do êmbolo (em E) seja igual a metade da pressão calculada anteriormente. Como a pressão em E é igual ao produto do peso volúmico pela altura do líquido dentro do manómetro simples, para um valor da pressão reduzido a metade vem uma altura da coluna líquida no manómetro igual a metade de 4,2 m, ou seja, 2,1 m. 14 Utilizando a equação geral para determinação da abcissa do centro de impulsão: AX I XX G ´GG Gci ⋅ += em que, o momento de inércia da área da comporta relativamente ao eixo GG’ que passa no centro de gravidade (IGG’), será o de uma superfície rectangular com largura 2 m e altura 2 m, obter-se-à: ( ) m82,247,2 12 22 7,2 abX 12 ab XX 3 G 3 Gci =⋅ ⋅ += ⋅⋅ ⋅ += . O braço da impulsão relativamente ao eixo de rotação, representado por A, é: 7,1Xb ci −=Π m12,17,182,2b =−=Π Determinação do braço da força, F r : m0,2bF = A substituição dos valores calculados, na equação de equilíbrio dos momentos permite obter o módulo da força F r , necessária para manter a comporta fechada: 0b Fb F =⋅+⋅Π− Π 02F12,1105840 =⋅+⋅− N59270F = É necessário aplicar uma força F r , com um módulo de 59,3 kN, direcção horizontal, sentido da direita para a esquerda e ponto de aplicação em B, de modo a manter a comporta fechada. Problema 2.3 Um orifício rectangular, com uma largura de 2 m, existente na parede inclinada de um reservatório cheio de água, é obturado por uma comporta cilíndrica com um raio de 0,8 m, conforme a figura. Calcule a força (módulo, direcção, sentido e linha de acção) exercida pela água sobre a comporta. Nota: despreze o peso próprio da comporta. 15 Resolução: A comporta sofre forças de pressão, por parte da água, em toda a sua superfície. Pretende-se determinar a impulsão hidrostática ou seja a resultante das forças exercida pela água sobre a comporta. O modo mais fácil de calcular a impulsão da água sobre a superfície curva da comporta é através das suas componentes horizontal e vertical. Com base no diagrama de pressões sobre a comporta verifica-se que: - existem componentes verticais das forças de pressão com o sentido de cima para baixo, 1vΠ e componentes verticais das forças de pressão com o sentido de baixo para cima, 2vΠ ; - existem componentes horizontais das forças de pressão com o sentido da esquerda para a direita, 1hΠ e componentes horizontais das forças de pressão com o sentido da direita para a esquerda, 2hΠ . Determinação da componente horizontal da impulsão, hΠ : A impulsão horizontal sobre a superfície curva é dada por: 21 hhh Π+Π=Π rrr ou 21 hhh Π−Π=Π e igual à impulsão hidrostática sobre a superfície plana, projecção da superfície curva sobre um plano vertical: 1Gh Ap 11 ⋅=Π e 2Gh Ap 22 ⋅=Π As áreas A1 e A2 correspondem às áreas das projecções ortogonais de cada um dos lados da comporta em contacto com a água, que têm uma forma rectangular: 2,326,1A1 =⋅= m 2 16 6,128,0A 2 =⋅= m 2 As pressões 1Gp e 2Gp correspondem aos valores da pressão no centro de gravidade de cada uma das áreas projectadas. N940802,339800Ap 1Gh 11 =⋅⋅=⋅=Π N407686,1)4,03(9800Ap 2Gh 22 =⋅−⋅=⋅=Π N533124076894080 21 hhh =−=Π−Π=Π Determinação da componente vertical da impulsão, vΠ : A impulsão vertical sobre a superfície curva é dada por: 21 vvv Π+Π=Π rrr ou 21 vvv Π−Π=Π e é igual ao peso do volume do líquido limitado pela superfície premida, a superfície livre e as projectantes verticais que passam pelo contorno da superfície premida, conforme desenho seguinte. N743762 2 8,0236,19800Vol 2 v1 =      ⋅⋅π−⋅⋅⋅=⋅γ=Π N568922 4 8,0238,09800Vol 2 v2 =      ⋅⋅π+⋅⋅⋅=⋅γ=Π O sentido será da esquerda para a direita, de baixo para cima. A linha de acção da impulsão passa pelo eixo do cilindro. Problema 2.5 Um cilindro homogéneo com 1 metro de raio obtura um orifício rectangular com 3,2 m2 de área (2 m . 1,6 m) impedindo a saída da água do depósito da figura. Sabendo que a carga sobre o orifício é de 2 mc.a., determine o peso volúmico do cilindro. Resolução: Nas condições do problema, verifica-se que o cilindro pode sofrer um deslo vertical, provocado pela altura de água no reservatório. A condição de representa-se pois, pelo equilíbrio de forças segundo o eixo dos zz. ∑ = 0F rr As forças aplicadas no cilindro são: - impulsão sobre a superfície inferior do cilindro, Π r - peso próprio do cilindro, G r 0 G rrr =Π+ A equação de equilíbrio de forças resolve-se através das suas componente positivos os sentidos, segundo as direcções ox e oz, representados na figura segu Componente segundo ox: O peso próprio não tem componente segundo ox e as impulsões hidrostáticas horizontais sobre as duas superfícies cilíndricas representadas na figura anulam-se: 2.0 R = 1.0 H2O19 camento de translação equilíbrio do cilindro s, considerando como inte. 20 0 h =Π Componente segundo oz: O peso próprio do cilindro e a impulsão do líquido sobre o cilindro têm direcção vertical, pelo que se obtém: 0 G- v =Π+ O peso próprio do cilindro é determinado pelo produto do peso volúmico pelo seu volume: N220,1lRVolG cilindro 2 cilindro 2 cilindrocilindrocilindro πγ=⋅⋅πγ=⋅⋅πγ=γ= A impulsão hidrostática, coincidindo com a componente vertical, é igual ao peso do volume do líquido limitado pela superfície premida, a superfície livre à pressão atmosférica local e as projectantes verticais que passam no contorno da superfície premida. A superfície do líquido no lado esquerdo do reservatório não está à pressão atmosférica local, mas sim à pressão de 2 mc.a., pelo que é necessário determinar a posição fictícia da superfície livre em que a pressão é nula. Deste modo a impulsão hidrostática obtém-se por: OHOH 22 Vol γ=Π em que, o volume pode ser determinado com o apoio da figura ao lado: )2'A226,1(Vol OH2 ⋅+⋅⋅= Pode-se definir um sector do círculo, com um ângulo α, e uma área Aα, que contém a área A’, conforme a figura seguinte. O ângulo 2 α pode-se determinar por 1 8,0 .hip oposto.cat 2 sen ==α , sendo º26,106 1 8,0arcsen2 =⋅=α . 21 A área do sector circular com um ângulo interno de 106,6 º, Aα, corresponde a uma parte da área do círculo, que tem um ângulo interno de 360º, podendo ser determinada por: 22 m927,0R 360 A =πα=α . De acordo com a figura anterior, a área A’ corresponde à diferença entre a área Aα e a área do triângulo com uma altura de 0,6 m: 2m447,0 2 6,06,1927,0'A =⋅−= . Pelo que, o volume de água será igual a: 3 OH m294,7)2447,0226,1(Vol 2 =⋅+⋅⋅= . Substituindo estes valores na componente vertical da equação vectorial do equilíbrio de forças, 0 G- v =Π+ , obtém-se: 0Vol Vol- OHOHcilindrocilindro 22 =γ+γ cilindro OHOH cilindro Vol Vol 22 γ =γ ( ) 3 2cilindro Nm1137721 294,79800 −= ⋅⋅π ⋅=γ Para o cilindro estar em equilíbrio terá de ter um peso volúmico igual ou superior a 11377 Nm-3 . 24 Comparando a carga no reservatório R1 com a carga na bifurcação B é possível definir o sentido de escoamento no troço AB: como HH 1RB ⇒< sentido de escoamento é de R1 para B. A aplicação do Teorema de Bernoulli entre o reservatório R1 e a bifurcação B permite determinar o comprimento entre A e B: ABABBR LJHH 1 ⋅=− ⇒⋅=− L006,05,77100 AB m 3750006,0 5,77100LAB = −= O comprimento da conduta AB é de 3750 m. b) Conhecidos os sentidos de escoamentos e o valor dos caudais nos troços AB e BD, é possível determinar o sentido de escoamento, e o caudal, no troço CB, através da aplicação da equação da continuidade na bifurcação em B: 0QQQ 0Q CBBDAB 3 1i i =+−⇒∑ = = (admitiu-se positivo o caudal que entra na bifurcação em B) 13 CBCB sm 02,0Q 0Q05,003,0 −=⇒=+− O caudal na conduta CB é 0,02 m3s-1 com o sentido de C para B. Neste caso os reservatórios R1 e R2 abastecem o reservatório R3. c) Como R2 é um reservatório de grandes dimensões, considera-se que x é igual à carga no reservatório R2 e pode ser determinada aplicando o Teorema de Bernoulli entre o reservatório R2 e a bifurcação em B: CBCBBR LJHH 2 ⋅=− m 80,2x 6000045,05,77x =⇒⋅=− A cota da superfície livre no reservatório R2 é 80,2 m. Problema 3.2 Considere o circuito hidráulico da figura, constituído por três reservatórios ligados entre si por condutas de ferro fundido novo. Os reservatórios R1 e R3 são de grandes dimensões e o reservatório R2 é de pequenas dimensões. É garantido o nível constante no reservatório R2 e admite-se a velocidade nula dentro do reservatório. O escoamento é permanente e, o caudal de 100 l/s. A água é bombada do reservatório R1 para o reservatório R2 (rendimento do grupo electro- bomba igual 75 %). Por sua vez o reservatório R2 alimenta uma conduta onde está instalada uma turbina com 52 kW de potência e um rendimento de 90 %. 25 Desprezando as perdas de carga localizadas nos acessórios e considerando os dados fornecidos na figura determine: a) A cota da superfície livre do reservatório R2; b) A potência da bomba instalada à saída do reservatório R1; c) O traçado da linha de energia e da linha piezométrica ao longo do circuito hidráulico. Resolução: O escoamento é permanente pelo que o caudal é constante no tempo e igual a 100 l/s = 0,1m3/s. No reservatório R2, o caudal que entra é igual ao caudal que sai, sendo constante ao longo do tempo o nível da superfície livre. Se a velocidade no reservatório R2 é nula a carga no reservatório é constante e igual à cota topográfica da superfície livre. a) A determinação da cota topográfica da superfície livre no reservatório R2, faz-se através da aplicação do Teorema de Bernoulli entre os reservatórios R2 e R3: HuHHH 2R3R −∆−= em que, ∆H são as perdas de carga contínuas ao longo da conduta entre os reservatórios R2 e R3 e Hu é a queda útil na turbina. A queda útil da turbina pode determinar-se através do valor da sua potência: HuQPot TT ⋅⋅γ⋅η= .a.mc96,58 1,0980090,0 52000Hu = ⋅⋅ = Substituindo na expressão do T. Bernoulli: 96,581046,6)199010(H0 32R −⋅⋅+−= − HR2 = 71,88 mc.a. Como HR2 = z , a cota da superfície livre do reservatório R2 é de 71,88 m. 26 b) A potência da bomba pode-se determinar pela expressão: η ⋅⋅γ= HtQPot B O valor da altura total de elevação da bomba, Ht calcula-se aplicando o Teorema de Bernoulli entre R1 e R2: HtHHH 1R2R +∆−= 71,88 = 50 – (5 + 995) . 1,57 . 10-3 + Ht Ht = 23,45 mc.a. kW6,30W30641 75,0 45,231,09800HtQPot B == ⋅⋅= η ⋅⋅γ= c) A linha de energia (LE) representa os valores da carga (H) ou energia mecânica total por unidade de peso do fluido ao longo do circuito hidráulico. A linha piezométrica (LP) representa os valores da cota piezométrica       + γ zp ao longo do circuito hidráulico. As cotas apresentadas na figura correspondem à linha de energia. As cotas da linha piezométrica podem ser calculadas subtraindo à cota da linha de energia o valor da respectiva altura cinética: g2 HzP 2Uα−=      + γ . Como não são conhecidos os diâmetros dos troços da conduta não é possível calcular o valor da altura cinética. 29 Problema 4.2 Determine a força resultante que a água exerce sobre uma curva com redução, localizada num plano vertical, em escoamento permanente. Considere a secção de montante designada por secção 1 e a secção de jusante por secção 2 e tenha em conta os seguintes dados: - grandezas geométricas: m 0,3Z Zm; 2,1D m; 8,1D 1221 =−== - o caudal é 8,5 m3s-1; - o peso do volume de água localizada dentro da curva é igual a 82 N; - a pressão no centro de gravidade da secção 1 é: -21 cmN 28p = ; - a perda de carga localizada na curva é : 2g U 0,5H 2 2=∆ Resolução: A resultante das forças que a água exerce sobre a curva com redução é determinada através da aplicação do Teorema da Quantidade de Movimento a um determinado volume de controlo. A delimitação do volume de controlo deve ser feita considerando: 1 – a superfície do fluido que está em contacto com a fronteira sólida (a cinzento claro); 2 - as secções transversais do escoamento, coincidentes com a secção de entrada na curva e a secção de saída da mesma. Nestas secções considera- se as linhas de corrente rectilíneas e paralelas entre si sendo por isso a distribuição de pressões hidrostática. Conhecida a superfície de controlo é possível definir automaticamente o volume de controlo (figura ao lado). O sistema de eixos, tomado como referência, é representado de seguida. Apenas serão consideradas as direcções segundo o eixo dos xx e zz por as componentes de todas as forças envolvidas não terem componente segundo o eixo dos yy. Tratando-se de um escoamento permanente o Teorema da Quantidade de Movimento toma a seguinte forma: 0MMG se rrrrr =−+Π+ 30 para este caso particular, a equação reduz-se a: 0MMG 21L21 rrrrrrr =−+Π+Π+Π+ As forças da equação anterior estão representadas na figura ao lado. A incógnita é a resultante das forças da água sobre a parede da curva que é simétrica à força de contacto exercida pelas paredes da curva sobre o líquido, ou seja as forças de impulsão e forças tangenciais das paredes laterais da curva, L-R Π= rr Na superfície de controlo lateral não existe quantidade de movimento por unidade de tempo por não haver transporte de massa fluida através das paredes da curva. Na equação que representa o Teorema de Euler pode optar-se por substituir a força de contacto da parede da curva sobre o volume de fluido pela força simétrica relativa à incógnita (força da água sobre as paredes da curva): MMGR 0MMRG 21212121 rrrrrrrrrrrrr −+Π+Π+=⇒=−+−Π+Π+ Determinação das grandezas necessárias ao cálculo das forças envolvidas: - as velocidades médias nas duas secções podem ser determinadas aplicando a equação da continuidade: 2211 AUAUQ == 1- 2 2 2 ms 52,7 4 2,1 5,8 A QU = ⋅π == e 1-2 1 1 ms 34,3 4 8,1 5,8 A QU = ⋅π == - a pressão na secção 2 é determinada através da aplicação do Teorema de Bernoulli entre as secções 1 e 2 (conhecida a pressão na secção 1), e considerando α = 1,15: -24-2 1 Nm1028Ncm 28p ⋅== HHH 21 ∆=− g2 U0,5 g2 Upz g2 Upz 2 2 2 22 2 2 11 1 =      α+ γ +−      α+ γ + ( ) 0 g2 U0,5 g2 U g2 Uppzz 2 2 2 2 2 121 21 =      −α−α+      γ − γ +− 31 0 8,92 7,5265,1 8,92 3,3415,1 9800 p 9800 10283 22 2 4 = ⋅ − ⋅ +−⋅+− -2 2 Nm 210360p = Decomposição da equação do Teorema da Quantidade de Movimento, segundo os eixos cartesianos, considerando α’ =1,05: - componente segundo o eixo dos zz: 30ºcosM30ºcosΠ-G- R- 22z −= N 264277º30cos 4 1,27,52100005,1º30cos 4 1,221036082 º30cosAU'º30cosApG R 2 2 2 2 2 222z =⋅π⋅⋅⋅+⋅π⋅+= =ρα++= - componente segundo o eixo dos xx: º60cosMMº60cosR 2121x −+Π−Π= N589787 60º cos 4 2,17,5210001,05- 4 8,134,3100005,160º cos 4 2,1210360 4 8,1280000 º60cosAU'AU'º60cosApAp R 2 2 2 2 22 2 2 21 2 12211x = =⋅π⋅⋅⋅⋅π⋅⋅⋅+⋅π⋅−⋅π⋅= =ρα−ρα+−= módulo: N 646290RRR 2z2x =+= A resultante da força exercida pela água sobre a curva é: direcção: kˆ264277jˆ0iˆ589787R −+= r sentido: representado na figura Problema 4.3 No estreitamento da figura seguinte, representado pelas secções S1 e S2 de diâmetros 1,2 m e 1,0 m respectivamente, escoa-se um caudal de 1 m3/s. Sabendo que a altura piezométrica no estreitamento é constante e igual a 50 m c.a. e que o volume delimitado pelo estreitamento é de 0,76 m3, determine a resultante das forças que actuam sobre a singularidade (estreitamento). º1,24) R R(arctg x z ==α 34 Problema 4.4 O jacto de água que sai de uma conduta com o caudal de 40 l/s incide sobre uma placa quadrada com 50 cm de lado, que faz 60º com o eixo do jacto, dividindo-se verticalmente em duas partes. Determine a força do jacto sobre a placa e a distribuição de caudais. Nota: Despreze o atrito água - ar e o atrito água - placa. Resolução: O primeiro passo é a definição do volume de controlo: 1 – o limite do volume de controlo em contacto com a fronteira sólida; 2 - as secções 1, 2 e 3 que delimitam o volume de água que está em contacto com a fronteira sólida; 3 - as superfícies em contacto com a atmosfera e que ficam entre as secções 1, 2 e 3. Na mesma figura é representado o sistema de eixos tomado como referência. Se é desprezado o atrito água-placa, então a força de contacto ou superfície da placa sobre o volume líquido só tem componente normal à placa (não existem tensões tangenciais, só pressão). Para facilitar os cálculos escolhe-se um sistema de eixos definido segundo a direcção da placa e a sua perpendicular. Tratando-se de um escoamento permanente o Teorema da Quantidade de Movimento toma a seguinte forma, para este caso particular: 0MMG se rrrrr =−+Π+ Dado o pequeno volume do jacto de água, despreza-se o seu peso, 0G ≈ r , pelo que a equação anterior se reduz a: 0MMM 321L321 rrrrrrrr =−−+Π+Π+Π+Π A incógnita é a resultante das forças da água sobre a placa que é simétrica à força de contacto normal exercida pela placa sobre o líquido, ou seja as forças de impulsão da placa, L-R Π= rr . 35 Pode, então, escrever-se a equação anterior como: 0MMMR 321321 rrrrrrrr =−−+−Π+Π+Π ⇒ 321321 MMMR rrrrrrr −−+Π+Π+Π= Decomposição da equação do Teorema da Quantidade de Movimento, segundo os eixos coordenados xx e zz, considerando o sistema de eixos arbitrado: - componente segundo o eixo dos zz: De acordo com o sistema de eixos escolhido, a força de contacto exercida pela placa sobre o líquido, LΠ r , apenas tem componente segundo o eixo xx. Como a resultante das forças da água sobre a placa é simétrica a esta última, isso significa que não existe componente de R r segundo o eixo zz, ou seja, 0R z = . - componente segundo o eixo dos xx, considerando α’ = 1,05: º60senMº60senR 11x +Π= º60senUQ'º60senApR 1111x ρα+= Sendo o diâmetro do jacto muito pequeno pode considerar-se que a variação de pressão da periferia da secção para o seu centro é desprezável e, como a pressão na periferia é a pressão atmosférica local, isso significa que p1 = 0 Nm-2. A velocidade U1 será: 122 13 1 1 1 sm09,5m05,0 sm04,0 A QU − − = ⋅π == N185º60sen09,504,0100005,1R x =⋅⋅⋅= módulo: N851R = A resultante das forças exercidas pela água sobre a placa é: direcção: segundo o eixo xx sentido: positivo Determinação da relação de caudais: A componente segundo o eixo dos zz da equação do Teorema de Euler ou Quantidade de Movimento permite determinar a relação entre caudais na secção 2 e 3. Componente segundo eixo dos zz da equação do Teorema de Euler: A pressão nas secções 2 e 3 é igual à pressão atmosférica local ( p2 = p3 = 0 Nm-2 ). kˆ0jˆ0iˆ185R ++= r 36 321z MMº60cosMR +−−= 332211z UQ'UQ'º60cosUQR ρα+ρα−ρ−= Como 0R z = , logo: 332211 UQ'UQ'º60cosUQ'0 ρα+ρα−ρα−= A determinação das velocidades nas secções 2 e 3 pode fazer-se pela aplicação do Teorema de Bernoulli. Aplicação do T. Bernoulli entre as secções 1 e 2: HHH 21 ∆=− Desprezando o atrito ar - água e água – placa (∆H1-2 = 0) e considerando α = 1,15: 0 g2 Upz g2 Upz 2 22 2 2 11 1 =      α+ γ +−      α+ γ + , e como, p1 = p2 = 0 Nm-2, g2 U g2 Uzz 2 1 2 2 21 α−α=− 8,92 09,515,1 8,92 U 15,1º60sen5,0º60sen25,0 22 2 ⋅ − ⋅ =− ⇒ 12 sm71,4U −= Aplicação do T. Bernoulli entre as secções 1 e 3: HHH 31 ∆=− Desprezando o atrito ar - água e água – placa : ∆H1-3 = 0 0 g2 Upz g2 Upz 2 33 3 2 11 1 =      α+ γ +−      α+ γ + e, como p1 = p3 = 0 Nm-2, g2 U g2 Uzz 2 1 2 3 31 α−α=− 8,92 09,515,1 8,92 U15,10º60sen25,0 22 3 ⋅ − ⋅ =− ⇒ 13 sm44,5U −= 39 Capítulo 5 LEIS DE RESISTÊNCIA E ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSÃO Problema 5.1 Uma bomba Grundfos LP 100 - 160 dotada de uma roda 168 mm, está instalada numa conduta que liga dois reservatórios com superfície livre às cotas 90 e 110, respectivamente a montante e jusante, como se pode observar na figura seguinte. Sabendo que os reservatórios são de grandes dimensões e o material das condutas é ferro fundido novo, determine: a) O caudal bombado e a potência da bomba (verifique as condições de funcionamento); b) A energia consumida anualmente, sabendo que o volume a elevar diariamente ao longo do ano é de 1300 m3 e que o rendimento do motor é 90%; c) O comprimento máximo do tubo de aspiração da bomba de modo a não existirem problemas de cavitação; d) Trace a linha de energia e a linha piezométrica do circuito hidráulico. Nota: Despreze as perdas de carga localizadas. Resolução: a) As características de funcionamento da bomba, designadas por ponto de funcionamento da bomba, são calculadas a partir da intercepção entre a curva característica da bomba (fornecida pelo fabricante) e a curva característica da instalação hidráulica. A curva característica da bomba representa a relação entre: - o caudal bombado; - a altura total de elevação na bomba, ou seja o ganho de carga possível na bomba quando eleva esse caudal. A curva característica da instalação representa a relação entre: - o caudal escoado no circuito hidráulico; 40 - a altura total de elevação, ou seja o ganho de carga na bomba necessário para transportar esse caudal através do circuito hidráulico. Cálculo da curva característica da instalação: Para determinar o ganho de carga na bomba para os diferentes caudais, aplica-se o T. de Bernoulli entre o reservatório de montante e o reservatório de jusante do circuito hidráulico. HtHHH CAAC +∆−= − Tratando-se de reservatórios de grandes dimensões e desprezando as perdas de carga localizadas em A e em C, a carga em A coincide com a cota topográfica da superfície livre no reservatório de montante e a carga em C coincidente com a cota topográfica da superfície livre no reservatório de jusante. HtH90110 CA +∆−= − CAH90110Ht −∆+−= ∆HA-C representa o valor total das perdas de carga contínuas ao longo do circuito hidráulico, tendo em conta que se desprezam as perdas de carga localizadas. A perda de carga unitária é igual nos troços AB e BC, já que o caudal, o diâmetro e a natureza do tubo se mantêm. ACACAC LJH ⋅=∆ LAC = 20 + 80 + 5000 = 5100 m A perda de carga unitária, JAC, é calculada utilizando a fórmula monómia específica do ferro fundido novo, apresentada por Scimemi. Tubos de ferro fundido novo: 535,0625,2 JD35Q ⋅⋅= , Q (m 3 /s), D (m), J (mc.a. /m) 535,01 625,2AC D35 QJ       ⋅ = 5100 2,035 Q90110Ht 535,01 625,2 ⋅      ⋅ +−= Q (m3/h) Ht (mc.a.) A equação anterior corresponde à curva característica da instalação, que pode ser traçada através dos pares de valores (Q, Ht), ou seja, arbitrando valores para o caudal e determinando a altura total de elevação correspondente. Nota: na equação anterior o caudal entra em m3/s. 0 20 40 60 80 100 120 20 21,09 23,96 28,46 34,48 41,98 50,90 41 Cálculo do ponto de funcionamento da bomba: A sobreposição da curva característica da instalação com a curva característica da bomba permite determinar o ponto de funcionamento da bomba. Neste ponto, o ganho de carga que o circuito hidráulico precisa para elevar o caudal é igual à altura total de elevação que a bomba consegue disponibilizar quando transporta o mesmo caudal. O ponto de funcionamento é caracterizado pelos seguintes parâmetros: Ht = 36,2 mc.a. Q = 86 m3/h ηB = 77,5% NPSHexigido = 1 mc.a. Determinação da potência da bomba: A potência da bomba é determinada pela expressão: B B HtQPot η ⋅⋅γ= Watts10940 775,0 2,360239,09800 Pot B = ⋅⋅ = = 10,94 kW Verificação das condições de funcionamento: Depois de determinado o ponto de funcionamento da bomba resta verificar as suas condições de funcionamento, ou seja, verificar que nestas condições de funcionamento não existe cavitação dentro da bomba. Para tal, comparam-se os valores do parâmetro NPSH exigido pela bomba e o NPSH disponível na instalação. Caso o segundo seja maior ou igual que o primeiro então o sistema estará a funcionar em boas condições, sem problemas de cavitação. curva característica da instalação 44 O valor da altura cinética é 0,03 mc.a., com velocidade de 0,76 m/s e coeficiente de Coriolis igual a 1, por se tratar de um regime turbulento (no caso do escoamento de água, líquido com viscosidade muito baixa, o regime é normalmente turbulento). Problema 5.2 Considere a instalação hidráulica da figura constituída por uma conduta elevatória com rugosidade absoluta equivalente de 0,2 mm, na qual circula o caudal correspondente ao número de Reynolds igual a 5102 ⋅ , e uma bomba DNP 65-200/210. Admitindo os reservatórios de grandes dimensões, determine: a) A altura total de elevação da bomba; b) A cota da superfície livre a montante ( x ); c) Verifique as condições de funcionamento da bomba relativamente à cavitação; NOTA: υ = 1,01 x 10-6 m2/s; Despreze as perdas de carga localizadas. Resolução: a) No circuito hidráulico o caudal transportado corresponde ao valor de Reynolds de Re = 2 E5. A aplicação da definição de nº de Reynolds permite calcular o caudal bombeado. Introduzindo esse valor na curva característica da bomba (fornecida pelo fabricante) é possível ler a altura total de elevação e o rendimento da bomba, correspondente. Determinação do caudal na bomba: UAQ ⋅= 222 m1,0rA ⋅π=⋅π= A velocidade pode ser determinada através do número de Reynolds, Re: υ ⋅= DURe ν = 1,01 . 10-6 m2/s (para Tª = 20 ºC). 45 6 5 1001,1 2,0U102 −⋅ ⋅=⋅ U = 1,01 m/s h/m114s/m0317,001,11,0UAQ 332 ==⋅⋅π=⋅= Determinação da altura total de elevação e do rendimento da bomba: Introduzindo o valor do caudal na curva característica da bomba, obtém-se a altura total de elevação, Ht e o rendimento da bomba ηB. Para um caudal de 114 m3/h a bomba DNP 65-200/210 permite uma altura total de elevação, Ht de 56,5 mc.a. com um rendimento de 79 %. b) Para determinar a cota da superfície livre a montante, em A, aplica-se o Teorema de Bernoulli entre o reservatório de montante e o reservatório de jusante: HtHHH CAAC +∆−= − . Como os dois reservatórios são de grandes dimensões a carga total é igual ao valor da cota topográfica à superfície livre, pelo que: 5,56LJz100 ACACA +⋅−= A perda de carga unitária (JAC) pode calcular-se através da aplicação da equação universal de perda de carga, que relaciona o coeficiente de resistência com a perda de carga unitária: g2 U D fJ 2 AC = o factor de resistência é determinado em função do número de Reynolds (Re), da rugosidade relativa (k/D) pela aplicação da equação de Colebrook-White ou do Ábaco de Moody. Cálculo de JAC aplicando a fórmula de Colebrook-White:       +−= fRe 51,2 D7,3 klog2 f 1 46 k = 0,2 mm =0,2 E-3 m D = 0,2 m Re = 2 . 105       +−= fRe 51,2 D7,3 klog2 f 1 ⇒ 2 fRe 51,2 D7,3 klog4 f 1               += ⇒ ⇒ 2 fRe 51,2 D7,3 klog 4 1f −               += ⇒       += − fRe 51,2 D7,3 klog 4 1f 2 A equação de Colebrook-White, implícita em f, é resolvida através da aplicação do Método de Substituições Sucessivas, com a seguinte equação de recorrência:         += −+ n 2 1n fRe 51,2 D7,3 klog 4 1f . Arbitra-se um valor para fn, e determina-se fn+1, substitui-se fn por fn+1 sucessivamente. O cálculo termina quando fn+1= fn para um dado número de algarismos significativos.         ⋅⋅ + ⋅ ⋅= − − + n 5 3 2 1n f102 51,2 2,07,3 102,0log 4 1f Substituindo na equação universal da perda de carga: m/.a.mc1047,5 8,92 01,1 2,0 021,0 g2 U D fJ 3 22 AC −⋅= ⋅ ⋅=⋅= Cálculo de JAC aplicando o ábaco de Moody: Em alternativa, o valor da perda de carga unitária pode ser calculado pela aplicação do Ábaco de Moody, que permite determinar graficamente o valor de f. Para tal são necessários os valores do nº de Reynolds, Re, e da rugosidade relativa, k/D. Re = 2 . 105 001,0 2,0 102,0 D k 3 =⋅= − Entrando com estes valores no Ábaco de Moody (figura seguinte) lê-se o valor de f correspondente. Neste caso, f = 0,0215; e, substituindo na equação universal da perda de carga: fn fn+1 0,010 0,022 0,021 0,022 0,021 0,021 49 A carga em C, HC , é igual à soma da cota topográfica (3 m) com a altura cinética, tendo em conta que, esta secção de saída, está sujeita à pressão atmosférica local (0 Nm-2). Pode calcular-se o seu valor aplicando o Teorema de Bernoulli entre a base (secção C) e o topo do jacto de água (secção D). No jacto de água dá-se a transferência da energia cinética na secção C em energia potencial de posição na secção D. DCDC HHH −∆=− As perdas de carga entre as secções C e D são provocadas pelo atrito água-ar pelo que, de acordo com o enunciado do problema, podem ser desprezadas, ∆HC-D = 0, logo: 0HH DC =− ⇒ DC HH = A carga em C é igual à carga em D. Na secção D, a pressão da água é nula, uma vez que está em contacto com a pressão atmosférica local; a velocidade da água também será nula, pois, sendo a cota mais elevada do jacto, corresponde à secção em que se anula a velocidade. .a.mc4,404,40 g2 U z P H 2 D D D D =++=⋅ α++ γ = .a.mc4,4H C = Conhecida a carga em C é possível determinar a velocidade na mesma secção. Foi considerado o coeficiente de Coriolis por se tratar de uma velocidade elevada: .a.mc4,4 8,92 U 15,10,30 g2 U z P H 2 C 2 C C C C =⋅ ++= ⋅ α++ γ = ⇒ s/m88,4U C = Determinação das perdas de carga singulares: As perdas de carga localizadas ou singulares calculam-se através da expressão: g2 UKH 2 ⋅ ⋅=∆ Pela equação da continuidade, o caudal mantém-se constante ao longo do circuito hidráulico, e é igual ao caudal na secção C: s/m0138,088,403,0UAQ 32CC =⋅⋅π=⋅= A perda de carga localizada na secção A é dada por: K = 0,50 - passagem, em aresta viva, de um reservatório para uma conduta s/m78,0 075,0 0138,0 A QU 2 A A =⋅π == .a.mc016,0 8,92 78,050,0H 2 A =⋅ ⋅=∆ 50 Perda de carga localizada no cotovelo existente a montante da secção C: s/m78,0 075,0 0138,0 A QU 2 cot cot =⋅π == K = 1,1 (cotovelo c/ um ângulo de 90º) .a.mc034,0 8,92 78,01,1H 2 cot =⋅ ⋅=∆ Perda de carga localizada na secção C: O valor de K no estreitamento tronco-cónico depen diâmetro menor e do ângulo que a parede lateral faz com um 5,2 60 150 D D 1 2 == 225,0 2,0 045,0tg ==α ⇒ α = 12,7º com 1,25,2 D D 1 2 ≈= e α = 12,7º , através da figura ao lado obtém-se o valor de K. Neste caso, K = 0,05. Substituindo na equação da perda de carga localizada: g2 U 05,0H 2 1 C ⋅ ⋅=∆ A velocidade U1 é a da secção menor: UC = 4,88 m/s, ) Fonte: Quintela (1981de da razão entre o diâmetro maior e o plano vertical, conforme a figura abaixo. Fonte: Quintela (1981) pelo que: 51 .a.mc061,0 8,92 88,405,0H 2 C =⋅ ⋅=∆ Determinação da perda de carga contínua: ACACAC LJH ⋅=∆ Tubos de fibrocimento: 56,068,2 JD3,48Q ⋅⋅= , Q (m 3 /s), D (m), J (mc.a./m) m/.a.mc0041,0 15,03,48 0138,0J 56,01 68,2AC =      ⋅ = .a.mc05,25000041,0H AC =⋅=∆ Voltando à equação do Teorema de Bernoulli aplicado entre o reservatório de abastecimento e a secção C, obtém-se: ACCcotAA HHHH4,4z ∆+∆+∆+∆=− 05,2061,0034,0016,04,4zA +++=− zA = 6,56 m ⇒ valor da cota da superfície livre no reservatório de abastecimento da fonte. b) E = Potm . t t = 10 h/dia Bm m . HtQPot ηη ⋅⋅γ= O valor da Ht pode ser lido na curva característica da bomba: Q = 13,8 l/s ⇒ Ht = 10 mc.a. ηb = 68 % = 0,68 ηmotor = 88 % = 0,88 W2260 68,088,0 100138,09800 Pot m =⋅ ⋅⋅ = = 2,26 kW 54 HtHHH CAAC +∆−= − .a.mc99,83120262,01,03120262,0HHH LocACCA =⋅⋅+⋅=∆+∆=∆ − Ht99,810035,136 +−= Ht = 45,34 mc.a. W7,615 70,0 34,45107,99800HtQPot 4 Bm m = ⋅⋅⋅ = ηη ⋅⋅γ= − tempo de funcionamento = 4 h/dia E = Potm . t = 615,7 . 4 = 2,46 kWh ⇒ valor da energia consumida diariamente. d) Para não existirem problemas de cavitação o valor do NPSHdisponível tem que ser no mínimo igual ao valor do NPSHexigido = 5 mc.a. γ −∆+− γ == vaspiração at disponível t )Hhs( P 5NPSH pat = 1,012 . 105 Nm-2 (pressão absoluta) tv a 20º C = 2330 Nm -2 (pressão absoluta) γ = 9800 Nm-3 [ ] 9800 2330)120262,01,0120262,0(hs 9800 10012,15 5 −⋅⋅+⋅+−⋅= ⇒ hs = 4,74 m O nível de água na charca pode estar 4,74 m abaixo da cota topográfica do eixo da bomba, antes do sistema começar a ter problemas de cavitação, o que corresponde a uma cota mínima da superfície livre na charca de: 102 – 4,74 = 97,26 m. 55 Capítulo 6 ESCOAMENTOS EM SUPERFÍCIE LIVRE Problema 6.1 Num canal revestido com reboco ordinário (Ks = 80 m1/3 s-1), secção rectangular com 2 m de largura, escoa-se o caudal de 2,5 m3/s de água. Determine: a) O declive do canal para uma altura uniforme de 0,50 m; b) A altura uniforme para um declive de 0,001 m/m; c) A variação de caudal se forem revestidas as paredes do canal com cimento alisado, no caso da alínea b) Resolução: a) No caso de um escoamento em superfície livre permanente e uniforme a linha de energia é paralela ao perfil longitudinal do leito do canal. Para declives muito pequenos, a perda de carga unitária pode ser considerada igual ao declive do canal. Substituindo na lei de resistência (Equação de Manning-Strickler) a perda de carga unitária pelo declive, vem: 2132 JRhAKsQ ⋅⋅⋅= ( ) 21 32 i 5,022 5,025,02805,2 ⋅      ⋅+ ⋅⋅⋅⋅= 0042,0i = m/m. b) A aplicação da equação de Manning-Strickler na determinação da altura uniforme conhecido o caudal, a geometria da secção e o declive transforma-se num problema de resolução de uma equação implícita: ( ) 21 32 u u u 001,0h22 h2h2805,2 ⋅      ⋅+ ⋅ ⋅⋅⋅= . Explicitando em ordem a hu, obtém-se a equação de recorrência seguinte, que se resolve através do Método de Substituições Sucessivas: ( ) 2 h22 001,080 5,2 h 52 u 53 21 u n 1n ⋅+      ⋅ = + nuh 0,600 0,791 0,827 0,834 0,835 1nuh + 0,791 0,827 0,834 0,835 0,835 ⇒ uh = 0,835 m 56 c) Se forem revestidas as paredes do canal com cimento alisado (Ks = 85 m1/3 s-1), mantendo o fundo do canal revestido com reboco ordinário, obtém-se uma secção mista. O coeficiente de Manning- Strickler da secção mista é determinado pela aplicação da Fórmula de Einstein: 131 32 2323 32 23 j j sm18,82 85 835,02 80 2 835,022 Ks P PKs −=             ⋅+ ⋅+=               ∑ = O caudal transportado no canal de secção mista em regime uniforme, altura uniforme hu = 0,835 m e declive i = 0,001 m/m é: ( ) 21 32 001,0 835,022 835,02835,0219,82Q ⋅      ⋅+ ⋅⋅⋅⋅= 13sm57,2Q −= Tendo sido diminuída a rugosidade das paredes do canal, aumenta o coeficiente de Manning- Strickler e aumenta o caudal de 2,5 m3s-1 para 2,57 m3s-1. Problema 6.2 Um canal rectangular, com uma largura de 3 m, revestido com reboco ordinário (Ks = 80 m1/3 s-1), apresenta um escoamento em regime uniforme crítico com uma altura de água de 90 cm. Determine: a) o caudal no canal para as condições apresentadas; b) o declive do canal; c) o menor valor de energia específica com que se pode dar o escoamento desse caudal neste canal. Resolução: a) Para canais de secção rectangular o caudal, a largura do canal e a altura crítica estão relacionados pela equação: 3 2 2 c bg Qh = e o caudal vem: 132323 c sm02,838,99,0bghQ −=⋅⋅=⋅⋅= 59 Nota: os troços são suficientemente compridos para que neles se estabeleça o regime uniforme. Resolução: a) Os descarregadores são medidores de caudal. Assim, conhecida a geometria do descarregador e a carga é possível calcular o caudal (matéria tratada no capítulo seguinte) que passa pelo descarregador e que escoará pelo o canal em estudo. Aplicando a lei de vazão do descarregador triangular, vem: 25H 2 tgg2C 15 8Q ⋅θ⋅⋅⋅= , com, θ = 100º e H = 1,0 m 1325 sm745,10,1 2 º100tg8,9262,0 15 8Q −=⋅⋅⋅⋅⋅= . b) O declive crítico corresponde a um escoamento uniforme crítico, ou seja em que a altura uniforme corresponde à altura crítica. Pode ser determinado através da aplicação da equação de Manning- Strickler, com J = i e hu = hc. A altura crítica é, para canais de secção trapezoidal, determinada pela equação implícita a resolver pelo Método das Substituições Sucessivas: ( ) nc 3/1 nc 3/12 c hmB hm2B g Qh 1n ⋅+ ⋅⋅+ ⋅      = + sendo m = 2 ( ) nc 3/1 nc 3/12 1nc h20,2 h220,2 8,9 745,1h ⋅+ ⋅⋅+ ⋅      =+ nch 0,300 0,384 0,373 0,374 1nch + 0,384 0,373 0,374 0,374 1 2 A B C 60 A altura crítica no canal é hc = 0,374 m. Aplicando a Equação de Manning-Strickler, para J = i é possível determinar o valor do declive correspondente ao transporte do caudal Q = 1,745 m3s-1 naquele canal, em regime uniforme e com a altura da veia líquida igual a hu = 0,374 m. 2132 JRhAKsQ ⋅⋅⋅= ( )[ ] ( ) 21c 32 2 i 374,02120,2 374,0374,020,2374,0374,020,275745,1 ⋅         ⋅++ ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅= ic = 0,0028 m/m Para classificar o regime uniforme de escoamento em cada troço são comparados os valores do declive do troço e o declive crítico: Se i>ic , trata-se de um canal com declive forte e o regime uniforme é rápido. Se i<ic , trata-se de um canal com declive fraco e o regime uniforme é lento. Se i=ic , trata-se de um canal com declive crítico e o regime uniforme é crítico. No caso particular do canal em estudo verifica-se que: Troço i ic Regime uniforme de escoamento AB 0,001 0,0028 regime uniforme lento BC 0,02 0,0028 regime uniforme rápido c) Para traçar as curvas de regolfo é necessário conhecer as alturas uniformes nos dois troços, que são determinadas pela aplicação da Equação de Manning-Strickler com a perda de carga substituída pelo respectivo declive, resolvida pelo Método de Substituições Sucessivas: 1º troço ( ) ( ) n1 n1 1n1 u 52 u 2 53 21 u h20,2 h2120,2 001,075 745,1 h ⋅+ ⋅++      ⋅= + n1u h 0,600 0,482 0,496 0,494 0,495 1n1u h + 0,482 0,496 0,494 0,495 0,495 2º troço ( ) ( ) n2 n2 1n2 u 52 u 2 53 21 u h20,2 h2120,2 02,075 745,1 h ⋅+ ⋅++      ⋅= + m495,0hu = 61 n2u h 0,200 0,216 0,215 1n2u h + 0,216 0,215 0,215 Para apoio ao traçado do perfil da superfície livre no canal, identifica-se a linha relativa à altura crítica em todo o canal e as linhas relativas à altura uniforme em cada troço. Considera-se ainda que é estabelecido o regime uniforme na zona central de cada troço. No 1º troço o regime uniforme é lento, controlado por jusante; no 2º troço o regime uniforme é rápido, controlado por montante. Entre os dois troços tem que existir uma secção de controlo que só pode ser a secção B. A secção de controlo é uma secção em regime crítico, ou seja na secção B a altura do escoamento coincide com a altura em regime crítico. Para montante, num canal de declive fraco e altura crítica a jusante tem-se uma curva de regolfo f2. Esta curva desenvolve-se até atingir a altura uniforme que se manterá até ocorrerem condições diferentes. Para jusante, num canal de declive forte e altura crítica a montante tem-se uma curva de regolfo F2. Esta curva desenvolve-se até atingir a altura uniforme em regime rápido que se manterá até ocorrerem condições diferentes. Problema 6.5 Considere um canal rectangular com 2 metros de largura, revestido com reboco ordinário (Ks = 80 m1/3s-1), e composto por três troços suficientemente compridos para neles se estabelecer o regime uniforme. Sabendo que a altura uniforme no primeiro troço do canal é de 1,7 m, determine: a) A energia específica mínima com que se pode dar o escoamento; b) Classifique o regime uniforme de escoamento nos diferentes troços; c) Represente o perfil da superfície livre da água, identifique e classifique eventuais curvas de regolfo que se possam formar m215,0hu = 64 controlado por montante, a altura de água mantém-se até estar sujeita a diferentes condições, o que acontece na secção 3 em que há uma queda brusca. Na secção 3 a altura é igual à altura uniforme no troço. 65 Capítulo 7 ORIFÍCIOS E DESCARREGADORES Problema 7.1 O circuito hidráulico da figura é constituído por 2 reservatórios de grandes dimensões, o reservatório R1 tem um orifício circular na parede lateral direita e o reservatório R2 termina num descarregador de Bazin com uma largura de 2 m. O caudal que circula no circuito hidráulico, em regime permanente, é de 0,7 m3/s. a) Verifique se o orifício do reservatório R1 é livre ou afogado (submerso); b) Determine o diâmetro D que deverá ter o orifício do reservatório R1 quando sujeito a uma carga de 4 m c.a.; c) Determine o diâmetro que deverá ter o orifício da alínea anterior, para a mesma carga e o mesmo caudal, mas com a instalação de um tubo adicional. Resolução: a) Para classificar o orifício na parede do reservatório R1 é necessário conhecer a altura de água no reservatório R2. O orifício será livre se a altura de água no reservatório R2 for inferior a 1,5 m, será parcialmente submerso se a altura de água no reservatório R2 estiver entre 1,5 m e 1,5+D m e será submerso se a altura de água no reservatório R2 for superior a 1,5+D m. A altura de água no reservatório R2 pode ser calculada aplicando a lei de vazão do descarregador de Bazin: 23Hg2bQ ⋅⋅⋅⋅µ= , com µ = 0,40 Uma vez que o escoamento se dá em regime permanente as cotas topográficas da superfície livre nos dois reservatórios mantêm-se e o caudal é constante no circuito hidráulico ao longo do tempo. Substituindo na expressão anterior os valores conhecidos pode-se determinar a carga no descarregador, H, que, nestas condições, representa a altura de água acima da crista do descarregador. 23H8,92240,07,0 ⋅⋅⋅⋅= H = 0,34 m A altura de água no reservatório R2 é igual a 1,34 m. Como o orifício do primeiro reservatório fica situado acima dos 1,5 m, significa que o orifício na parede do reservatório R1 é um orifício livre. b) A dimensão do orifício, neste caso o diâmetro, relaciona-se com o caudal e a carga a montante do orifício (H) através da equação de vazão dos orifícios livres. Admitindo a hipótese de se tratar de um orifício de pequenas dimensões, ou seja, em que a variação da carga no orifício é desprezável e por 66 isso se considera constante e igual à carga no centro de gravidade do orifício, aplica-se a equação simplificada: Hg2ACQ ⋅⋅⋅⋅= 48,92A6,07,0 ⋅⋅⋅⋅= A = 0,132 m2 sendo um orifício circular: 4 DA 2⋅π= ⇒ D = 0,41 m Verificação da hipótese considerada de orifício de pequenas dimensões: a carga no orifício varia entre 4,00 + 0,41/2 e 4,00 - 0,41/2, pelo que se poderá considerar uma pequena variação. c) A instalação de um tubo adicional no orifício aumenta o caudal, para a mesma carga a montante. Como se pretende manter o mesmo caudal, então o orifício com um tubo adicional poderá ter uma menor dimensão do que o orifício sem o referido tubo. O cálculo terá que ser feito através da equação de vazão aplicada ao caso de orifício com um tubo adicional:       +⋅⋅= H 4 3Hg2A60.0Q se γ − γ 〈 vat tpH 4 3       γ − γ +⋅⋅= vat tpHg2A60.0Q se γ − γ 〉 vat tpH 4 3 . A escolha da equação adequada depende da relação entre H 4 3 e γ − γ vat tp . Como H = 4 mc.a., então mc.a. 34 4 3 =⋅ pat = 1,012 . 10 5 N/m 2 , tv a 20º C = 2330 N/m 2 e γ = 9800 N/m3 ⇒ .a.mc09,10 9800 2330 9800 10012,1tp 5vat =−⋅= γ − γ Então, neste caso, γ − γ 〈 vat tp H 4 3 , e a fórmula a utilizar será :       +⋅⋅⋅= H 4 3Hg2A60.0Q       ⋅+⋅⋅⋅⋅= 4 4 348,92A60,07,0 ⇒ A = 0,100 m2 , tratando-se de um orifício circular: 4 DA 2⋅π= ⇒ D = 0,36 m. 69 calculando-se cada um deles em separado, como se fossem independentes. O orifício livre com uma altura de 0,23 m (1,5+0,5-1,77 m) e o orifício submerso com uma altura de 0,27 m (0,5-0,23 m) QR1 = Q1 + Q2 QR1 = QR2 = 1 m3/s então: Q1 + Q2 = 1 m3/s. O caudal Q1 determina-se aplicando a equação de vazão dos orifícios livres, colocando a hipótese de orifício de pequenas dimensões: Hg2ACQ1 ⋅⋅⋅⋅= A área do orifício é apenas a parte da área total que não está submersa, ou seja, 1 m de largura e 0,23 m de altura, a carga no centro de gravidade do orifício livre (H) é função da altura de água no reservatório R1: 885,1h 2 23,077,1hH −=      +−= ( )885,1h8,9223,0160,0Q1 −⋅⋅⋅⋅⋅= . O caudal que se escoa pelo orifício submerso (Q2) calcula-se através da lei de vazão dos orifícios submersos. A área do orifício é apenas a parte da área que está submersa, ou seja, 1 m de largura e 0,27 m de altura, a diferença de carga entre o reservatório de montante e o reservatório de jusante é h-1,77 m: ( )77,1h8,9227,0162,0Hg2ACQ C2 −⋅⋅⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅= Como Q1 + Q2 = 1 m3/s, então: ( ) 1)77,1h(8,9227,0162,0885,1h8,9223,0160,0 =−⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅ . Simplificando fica: 177,1h741,0885,1h611,0 =−⋅+−⋅ . Esta equação pode ser resolvida pelo Método das Substituições Sucessivas aplicando a equação de recorrência: 70 885,1 611,0 77,1h741,01 h 2 n 1n +         −⋅− =+ hn 2,00 3,00 1,97 hn+1 3,00 1,97 3,08 A equação de recorrência aplicada diverge, por isso foi substituído hn por hn+1 e hn+1 por hn, obtendo-se: 77,1 741,0 885,1h611,01 h 2 n 1n +         −⋅− =+ hn 2,00 2,91 2,03 2,84 ..... 2,36 2,37 2,37 hn+1 2,91 2,03 2,84 2,07 ..... 2,37 2,36 2,37 Esta função converge muito lentamente. O valor da altura de água no reservatório R1 é h = 2,37 m. Resta verificar se o orifício livre na parede do reservatório R1 é de pequenas dimensões. A carga no orifício varia entre H = 0,60 m e H = 0,37 m. Aparentemente, para uma variação de carga desta ordem o orifício deveria ter sido considerado como orifício de grandes dimensões. Deve, por isso refazer-se os cálculos para determinar Q1 aplicando a equação de vazão de um orifício de grandes dimensões rectangular. Aplicando a equação de vazão dos orifícios livres de grandes dimensões: ( )231232 HHg2bC3 2Q −⋅⋅⋅⋅= com: 77,1hH 2 −= 0,2h23,077,1hH1 −=−−= obtém-se: ( ) ( )[ ]23231 0,2h77,1h8,9216,03 2Q −−−⋅⋅⋅⋅⋅= Como Q1 + Q2 = 1 m3/s, então: ( ) ( )[ ] 1)77,1h(8,9227,0162,00,2h77,1h8,9216,0 3 2 2323 =−⋅⋅⋅⋅⋅+−−−⋅⋅⋅⋅⋅ , simplificando fica: ( ) ( )[ ] 1)77,1h(741,00,2h77,1h771,1 2323 =−⋅+−−−⋅ 71 A equação anterior resolve-se aplicando o Método das Substituições Sucessivas através da equação de recorrência: ( ) ( )[ ] 77,1 741,0 0,2h77,1h771,11h 223 n 23 n 1n +         −−−⋅−=+ hn 2,37 hn+1 2,37 O resultado obtido com a aplicação da lei de vazão para orifícios de grandes dimensões é igual ao valor calculado através da equação para orifícios de pequenas dimensões. Para as condições de funcionamento deste orifício é desprezável a variação da carga no orifício livre, comportando-se como um orifício de pequenas dimensões. O valor da altura de água no reservatório R1 é h = 2,37 m. Problema 7.4 O reservatório de grandes dimensões R1, da figura ao lado, alimenta um recipiente fechado, que contém um gás à pressão constante de 20kN/m2, através de um orifício com tubo adicional e diâmetro de 25 cm. O orifício na parede do reservatório R2 tem a forma rectangular, com 50 cm de largura e 25 cm de altura. Sabendo que o escoamento no sistema é permanente, determine: a) o caudal no circuito hidráulico; b) a altura de água no reservatório R1, relativamente à cota topográfica do centro do orifício, valor de h. Resolução: a) O orifício do reservatório R2 é um orifício livre, que devido às suas dimensões poderá comportar-se como orifício de grandes ou pequenas dimensões. Existindo dúvidas, determina-se o caudal utilizando a fórmula dos orifícios rectangulares de grandes dimensões: ( )231232 HHg2bC3 2Q −⋅⋅⋅⋅= em que, H1 é a carga no bordo superior do orifício e H2 é a carga no bordo inferior do orifício. A carga depende da altura de água e da pressão da água à superfície. Como a pressão do gás é constante no volume que ocupa, o valor da pressão à superfície da água é: psup = 20 kN/m2 = 2,04 mc.a.