Gabarito APX1 Cálculo 2 2021.2, Provas de Cálculo

Baixe Gabarito APX1 Cálculo 2 2021.2 e outras Provas em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro APX1 – Cálculo II – 2/2021 Gabarito Aluno   Observação: Neste gabarito as cinco questões foram escolhidas aleatoriamente, as demais questões são  resolvidas de forma análoga.  Questão 1.1 (2,0 pontos) Seja  R  a região do primeiro quadrante, limitada pelas curvas:    2 ( ) 23 x y  , ( 2 )3 xy  , 2 3 2 3 2 22 1 3 3 3 ( 3) 0 4 y x           . Sabendo que  0 3x  . Calcule a área da região R . (A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas, separado com vírgula)      Solução da questão 1.1   A região R pedida esta mostrada na Figura 1.    Figura 1  Observe na Figura 2 a regiãoR . A regiãoR dada é a união de duas regiões 1R e 2R .        Figura 2    Cálculo II                 APX1 – Gabarito Aluno    2/2021  2 Assim  A  (R )= A ( 1R ) + A  ( 2R ).     Logo, a área de  1R  neste caso é   A  ( 1R ) 1 2 22 0 (3 3 ) x x dx      Por outro lado, a área de  2R  é   A  ( 2R ) 3 2 3 2 3 2 2 22 1 1 3 3 3 ( 3) 3 4 xx dx                  Assim  A  (R ) 1 2 22 0 (3 3 ) x x dx  3 2 3 2 3 2 2 22 1 1 3 3 3 ( 3) 3 4 xx dx                 1 3 32 2 3 2 3 2 2 22 2 0 1 0 1 3 3 3 3 ( 3) 3 4 x xdx x dx dx                    1 2 3 3 2 3 22 3 2 3 22 01 0 3 1 ( 3) 3 2 3 3 3 ln 3 4 3 2 ln 3 x xx x                     2 2 3 3 22 3 3 2 3 22 (3 1) 1 (1 3) (3 1) 2 3(3 ) 0 3 3 3 ln 3 4 3 2 ln 3 b                    2 2 3 22 3 2 3 22 (3 1) 2 (3 1) 2 2(3 ) 3 3 ln 3 3 2 ln 3                A (R ) 2 2 3 22 3 22 (3 1) 2 (3 1) 2 3 2(3 ) 2 2,336787063 2,34 ln 3 3 2ln 3                    Questão 2 (2,0 pontos) Seja   2 2 2 5 3 ln(2 ) ( ) ( ) x t t x G x e e dt   , onde  1x  . Calcule  510 (2)G . (A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas após a vírgula).      Solução da questão 2    2 2 2 5 3 ln(2 ) ( ) ( ) x t t x G x e e dt   = 2 2 2 2 ln(2 ) 2 5 3 5 3( ) ( ) x x t t t t c c e e dt e e dt        2 2 2 2 ln(2 ) 2 5 3 5 3( ) ( ) ( ) x x t t t t c c G x e e dt e e dt                              Aplicando a 1ª parte do TFC no primeiro somando temos: 2 2 2 25( ln(2 ) ) 3( ln(2 ) ) 5( 2 ) 3( 2 )( ) ( ).( ln(2 )) ( ).( 2 )x x x xG x e e x e e x          5 ln(2 ) 3 ln(2 ) 10 61 2 ( ) ( ).( ) ( ).( ) 2 ln(2 ) 2 2 x x x xG x e e e e x x x            Cálculo II                 APX1 – Gabarito Aluno    2/2021  5 Assim  2 2 2 9 9 u v du dv u v     . De outro lado,  2 2 2 2 2 9 9 9 1 9 9 9 v v v v v         . Assim,  2 2 2 2 2 9 2 2 1 2 18 9 9 (3) v dv dv dv v v v v            1 4 2 18( arctg ) 2 6 arctg 2 6 arctg 2 4 6 arctg 3 3 3 3 3 x xv v u e v v u e C            Logo   1 2 18( arctg ) 2 6 arctg 2 6 arctg 3 3 3 3 v v u v v u      Primitiva geral da integral indefinida dada. 4 2 4 6 arctg 3 x x e e C       Como sabemos que a constante de integração neste caso é   8C  então     4 ( ) 2 4 6 arctg 8 3 x x e G x e      . Logo  ln(20) ln(20) 4 4 (ln(20)) 2 4 6 arctg 8 8 6 arctg( )+8 3 3 e G e        Usando a calculadora no modo radianos obtém‐se: 0,927295218 4 (ln(20)) 16 6 arctg( ) 10,436228692 10,44 3 G             Questão 5 (2,0 pontos) Seja   ( )J t  a primitiva geral   da integral indefinida    sen (3 ) sen (7 )sen (9 )t t t dt . Sabendo que a constante de integração é  6C  , encontre  ( )J t e  calcule (1000) (1)J . (A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas após a vírgula).  ***Obs.: Ao usar uma calculadora científica, use o modo radianos. ***      Solução da questão 5.     Lembre‐se que    Cálculo II                 APX1 – Gabarito Aluno    2/2021  6  1 sen ( )sen ( ) cos( ) cos( ) 2 A B A B A B     1 sen ( )cos ( ) sen ( ) sen ( ) 2 A B A B A B    , Logo      . par 1 1 1 sen (7 )sen (9 ) cos((7 9) ) cos((7 9) ) cos( 2 ) cos(16 ) cos(2 ) cos(16 ) 2 2 2 f t t t t t t t t                  1 sen (3 )sen (7 )sen (9 ) sen (3 )cos(2 ) sen (3 )cos(16 ) 2 t t t t t t t       1 1 1 sen (3 )cos (2 ) sen((3 2) ) sen((3 2) ) sen(5 ) sen( ) sen(5 ) sen( ) 2 2 2 t t t t t t t t        Analogamente e lembrando que a função seno é impar temos:   1 sen (3 )cos (16 ) sen(19 ) sen(13 ) 2 t t t t  Logo     1 1 1 sen (3 )sen (7 )sen (9 ) sen(5 ) sen( ) sen(19 ) sen(13 ) 2 2 2 t t t t t t t          1 1 sen (3 )sen (7 )sen (9 ) sen(5 ) sen( ) sen(19 ) sen(13 ) 4 4 t t t t t t t      Assim,    sen (3 ) sen (7 )sen (9 )t t t dt   1 1 1 1 sen(5 ) sen( ) sen(19 ) sen(13 ) 4 4 4 4 t dt t dt t dt t dt           = Primitiva geral da integral indefinida dada cos(5 ) cos( ) cos(19 ) cos(13 ) 20 4 4(19) 4(13) t t t t C      . Como sabemos que a constante de integração neste caso é   6C  então cos(5 ) cos( ) cos(19 ) cos(13 ) ( ) 6 20 4 76 52 t t t t J t       E    Cálculo II                 APX1 – Gabarito Aluno    2/2021  7 cos(5) cos(1) cos(19) cos(13) (1) 6 20 4 76 52 J       (Calculadora no modo radiano!!!)  0,1350755760,014183109 0,013009271 0,017450899 cos(5) cos(1) cos(19) cos(13) (1) 6 20 4 76 52 (1) 5,846299686 J J             Portanto, (1000) (1) 5846,299686 5846,30J  