Gabarito da lista de introdução a derivadas, Exercícios de Cálculo

Baixe Gabarito da lista de introdução a derivadas e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! M Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA É Cálculo 1 — 2022-1 Gabarito da Lista 3 - Derivadas altamente recomendável que a solução de exerćıcios seja conferida somente após o aluno ter tentado resolvê-los; o aprendizado se consolida com a tentativa exaustiva da resolução dos exerćıcios. Exerćıcio 1: Lembrando a definição de derivada em x0: f ′(x0) = lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 ; = lim ∆x→0 f(x0 +∆x)− f(x0) ∆x e a equação da reta tangente em x0 é y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0) (a) f(x) = 4x− 3x2 e x0 = 2. Então f(2) = 8− 12 = −4 e f ′(2) = lim x→2 4x− 3x2 − (8− 12) x− 2 = lim x→2 4(x− 2)− 3(x2 − 4) x− 2 = lim x→2 ( 4− 3(x+ 2) ) = −8. A equação da reta tangente é y + 4 = −8(x− 2), isto é, y + 8x = 12. (b) f(x) = √ x2 + 4 e x0 = √ 5. Então f( √ 5) = √ 9 = 3 e f ′( √ 5) = lim x→ √ 5 √ x2 + 4− 3 x− √ 5 = lim x→ √ 5 x2 + 4− 9 (x− √ 5)( √ x2 + 4 + 3) = lim x→ √ 5 x+ √ 5 √ x2 + 4 + 3 = √ 5 3 . A equação da reta tangente é y − 3 = √ 5 3 (x− √ 5), isto é, 3y − √ 5x = 4. (c) f(x) = 1/x e x0 = 1/2. Então f(1/2) = 2 e f ′(1/2) = lim x→1/2 1 x − 2 x− 1 2 = lim x→1/2 (1− 2x)/x (2x− 1)/2 = lim x→1/2 −2 x = −4. A equação da reta tangente é y − 2 = −4 ( x− 1 2 ) , isto é, y + 4x = 4. (d) f(x) = (x+ 4)/(x+ 2) e x0 = 0. Então f(0) = 2 e f ′(0) = lim x→0 x+4 x+2 − 2 x = lim x→ x+ 4− 2(x+ 2) x(x + 2) = lim x→ −1 x+ 2 = − 1 2 . A equação da reta tangente é y − 2 = − 1 2 x, isto é, 2y + x = 4. Exerćıcio 2: A reta y = 6x + 1 tem coeficiente angular m = 6. Uma reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 + 3x em x0 tem coeficiente angular dado pela derivada f ′(x0) = 3x2 0 + 3. Portanto, essa reta tangente será paralela à reta dada pela equação y = 6x+ 1 se, e somente se, f ′(x0) = 6. Assim, 3x2 0 + 3 = 6 ⇐⇒ x2 0 = 1 ⇐⇒ x0 = 1 ou x0 = −1. 1 Como a equação da reta tangente em x0 é y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0), temos duas retas paralelas, a saber, f(1) = 4, f ′(1) = 6 ⇒ y − 4 = 6(x− 1), f(−1)− 4, f ′(−1) = 6 ⇒ y + 4 = 6(x+ 1). Exerćıcio 3: Para que f seja derivável, basta que seja derivável no ponto em que há mudança nas fórmulas que a definem, isto é, no ponto x = 1. Além disso, para que seja derivável em x = 1 é necessário que seja cont́ınua nesse ponto. Para garantir a continuidade: lim x→1− f(x) = lim x→1− x2 = 1, lim x→1+ f(x) = lim x→1+ ax+ b = a+ b, ⇒ a+ b = 1. Para garantir a diferenciabilidade: lim x→1− f ′(x) = lim x→1− 2x = 2, lim x→1+ f ′(x) = lim x→1+ a = a, ⇒ a = 2. Portando, a = 2 e b = −1. Exerćıcio 4: Desprezando-se o atrito do ar, a altura da bola em relação a um dado referencial é dada pela função y = S(t) = 10t − 4, 9t2. Como a velocidade instantânea é dada pela derivada da função posição, temos v(t) = S′(t) = 10 − 9, 8t. Assim para t = 2, a velocidade instantânea é v(2) = 10 − 2 × 9, 8 = −9, 6 (neste caso, em metros por segundo, visto que estamos considerando g = 9, 8). Exerćıcio 5: A equação da reta tangente em x0 = 4 é y−f(4) = f ′(4)(x−4). Como o ponto (4, 3) pertence ao gráfico de f , temos f(4) = 3. Logo a equação da reta tangente é y − 3 = f ′(4)(x− 4). Por hipótese, essa reta passa pelo ponto (0, 2). Logo, satisfaz a equação, isto é, 2− 3 = f ′(4)(0− 4) → f ′(4) = 1 4 . Portanto, f(4) = 3 e f ′(4) = 1/4. Exerćıcio 6: Temos lim x→1− f(x) = lim x→1− 3− x 2 = 1, lim x→1+ f(x) = lim x→1+ 1 √ x = 1. Portanto, a função é cont́ınua em x0 = 1. lim x→1− f ′(x) = lim x→1− −1 2 = −1 2 , lim x→1+ f ′(x) = lim x→1+ ( − 1 2 x−3/2 ) = − 1 2 . Logo, a função é derivável em x0 = 1. 2