Gabarito P1 Cálculo II Mauricio Vilches, Provas de Cálculo Diferencial e Integral

Baixe Gabarito P1 Cálculo II Mauricio Vilches e outras Provas em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity! Gabarito P1 -T01/T02 1. Como 4− x2 ≥ x2 − 14 se −3 ≤ x ≤ 3 (1pto), temos: A = ∫ 3 −3 [4− x2 − x2 + 14] dx = 2 ∫ 3 0 [18− 2x2] dx = 72u.a (1pto). 2. As curvas de nı́veis são √ 16− x2 − y2 = c ≥ 0, equivalentemente x2 + y2 = 16− c2 tal que 0 ≤ c ≤ 4. Se c = 4, temos (0, 0), se c = 0, x2 + y2 = 16 e para 0 < c < 4, temos cı́rculos concêntricos. (1pto). Os traços são semi cı́rculos. (0.5 pto) Figure 1: Gráfico da questão [2]: (0.5pto) 3. Seja f(x, y, z) = x √ y − z2, achamos a aproximação linear ao redor do ponto (9, 10, 1): (0.5pto) l(x, y, z) = 3x+ 3 y 2 − 3 z + 9 2 (1pto) =⇒ 8.99× √ 9.99− 1.012 ≃ l(8.99, 9.99, 1.01) = 26.925 (0.5pto) 4. Os pontos crı́ticos de f , são:(0, 0), (1, 2), (1,−2), (−1, 2) e (−1,−2). (1pto) Por otro lado A(x, y) = 2 y2−8 e H(x, y) = [ 2 y2 − 8 ] [ 2x2 − 2 ] − 16x2 y2 (0.5pto) Ptos. Crı́ticos A H Tipo (0, 0) < 0 > 0 máx (1, 2) < 0 sela (−1, 2) < 0 sela (1,−2) < 0 sela (−1, 2) < 0 sela (−1,−2) < 0 sela (0.5pto) 5. Seja f(x, y, z) = x y z e g(x, y, z) = 2x y + x z + 3 y z. Logo, ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) (0.5pto), temos: y z = λ (2 y + z) (×x) x z = λ (2x+ 3 z) (×y) x y = λ (x+ 3 y) (×z) 2x y + x z + 3 y z = 72 (0.5pto) ⇐⇒  (a) x y z = λ (2x y + x z) (b) x y z = λ (2x y + 3 y z) (c) x y z = λ (x z + 3 y z) (d) 2x y + x z + 3 y z = 72 Comparando (a) = (b), (a) = (c) e (b) = (c), lembrando que x, y, z > 0 e λ ̸= 0 x− 3 y = 0 2x− 3 z = 0 2 y − z = 0 =⇒ y = 2, x = 6, z = 4. (1pto)