Gabarito P1 Cálculo II Vilches, Provas de Cálculo

Baixe Gabarito P1 Cálculo II Vilches e outras Provas em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Gabarito P1 -T03/T04 1. A = ∫ 2 −2 [6− y2 − y2 + 2] dx = 2 ∫ 2 0 [8− 2 y2] dx = 64 3 u.a (2ptos). Figure 1: Gráficos de [1] 2. Seja f(x, y, z) = x y cos(z), achamos a aproximação linear ao redor do ponto (3, 2, π) (0.5pto). Logo: l(x, y, z) = 72− 8x− 36 y (1pto), então: 3.001× (2.0023)3 × cos((1.002)π) ≃ l(3.01, 2.023, 1.02) = −24.09. (0.5pto) 3. Deve voar na direção de −∇T (x, y, z). (1pto) Como ∇T (x, y, z) = T (x, y, z) (−2x,−6 y,−4 z), a nave deve voar na direção de (2x, 6 y, 4 z) (1pto). 4. Os pontos crı́ticos de f , são:(0, 0), (1, 2), (1,−2), (−1, 2) e (−1,−2). (1pto) Por otro lado A(x, y) = 2 y2 − 8 e H(x, y) = [ 2 y2 − 8 ] [ 2x2 − 2 ] − 16x2 y2 (0.5pto) Ptos. Crı́ticos A H Tipo (0, 0) < 0 > 0 máx (1, 2), (−1, 2), (1,−2), (−1,−2) < 0 selas (0.5pto) 5. Utilizamos o quadrado da distância: f(x, y, z) = x2 + y2 + (z − 8)2. Consideramos g(x, y, z) = 4x2 + y2 − z (1pto); então,  (1) 2x = 8λx (2) 2 y = 2λ y (3) 2 (z − 8) = −λ (4) 4x2 + y2 = z, ⇐⇒  (1) x (1− 4λ) = 0 (2) y (1− λ) = 0 (3) 2 (z − 8) = −λ (4) 4x2 + y2 = z; (0.5pto) de (1) e (2) temos: x = 0 ou λ = 1 4 e y = 0 e λ = 1. Se x = 0 e y = 0, por (4): (0, 0, 0) e f(0, 0, 0) = 64. Se x = 0 e λ = 1, de (3) temos z = 15 2 ; de (4) temos y = ± √ 15 2 ; logo, obtemos os pontos ( 0,± √ 15 2 , 15 2 ) e f(0,± √ 15/2, 15/2) = 31 4 Se y = 0 e λ = 1 4 , de (3) temos z = 63 8 ; de (4) temos x = ±3 √ 14 8 ; logo, obtemos os pontos ( ± 3 √ 14 8 , 0, 63 8 ) e f(±3 √ 14/8, 0, 63/8) = 127 64 . A distância mı́nima é 1.4u.m. (u.m.=unidades de medida); os pontos: ( ± 3 √ 14 8 , 0, 63 8 ) são de mı́nimo. (0.5pto)