Hidráulica I Resolução de Exercícios, Exercícios de Hidráulica

Baixe Hidráulica I Resolução de Exercícios e outras Exercícios em PDF para Hidráulica, somente na Docsity! HIDRÁULICA I – 1 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS HIDRÁULICA I Resoluções dos problemas HIDRÁULICA I – 2 7 – LEIS DE RESISTÊNCIA E ESCOAMENTO EM PRESSÃO PROBLEMA 7.1 Pretende-se elevar o caudal de 14 ls− de um reservatório A para um reservatório B, por uma conduta elevatória com 250 m de comprimento e 150 mm de diâmetro. O líquido a elevar é um óleo com uma densidade relativa de 0,9 e com a viscosidade cinemática 4 2 13 10v m s− −= × . A potência da bomba é de ,2 2 kW e o rendimento é de 0,70. O reservatório B, de grandes dimensões, é fechado e contém ar sob pressão, situando-se a superfície do óleo à cota 8 m . Calcular a pressão do ar no reservatório B. RESOLUÇÃO
A t BH H J H+ − =

, 3 10 004Q m s−= ( ) , Re , ,2 4 4 4 4 0 004 113 2 0 15 3 10 U D Q D Q DD − × × × = = = = = ν Π νΠ × ×ν Π × × × Re ,113 2= ⇒ escoamento laminar
( ) ( ) , , , , , 4 2 2 2 3 10 4 0 004 32 32 0 0098 9 8 0 15 0 15 U J J m m g D −ν × × = ⇒ = × × = Π × ×
, 30 9 9800 8820t Q H P Nm −γ= γ = × = η , , , 8820 0 004 2200 43 65 0 7 t t H H m × × = ⇒ = HIDRÁULICA I – 5 PROBLEMA 7.3 Numa conduta circular com a rugosidade absoluta ,1 5K mm= , escoa-se o caudal de 3 12 m s− . Sendo a viscosidade cinemática do líquido 5 2 110v m s− −= e a perda de carga unitária ,0 008J = , determine o diâmetro da conduta. RESOLUÇÃO , ? , 3 1 6 2 1 0 0015 2 10 0 008 k m Q m s D m s J − − − =   =  = ν =  = 
resolução por tentativas recorrendo ao Ábaco de Moody ( )D m ( )U m s 2 2J D g f U × = Re U D = ν k D f (ábaco) 0,90 3,144 0,0143 , 62 83 10× 0,00167 0,00220 1,00 2,546 0,0242 , 62 55 10× 0,00150 0,00218 0,98 2,651 ,0 0219 , 62 60 10× 0,00153 ,0 00219 ,0 98D m
resolução recorrendo à fórmula de Colebrook-White , log , 2 2 5 5 1 2 512 3 7 22 n n n Q k D D g JDg J − +     ν  = +   Π      Quintela, p. 151 Neste caso ,, log ,, , , , 22 55 1 6 2 514 0 0015 3 719 6 0 008 10 19 6 0 008 n n n n D D D D − +       = +      Π × ×     ,, , log 2 5 64 1 3 6 339 104 054 10 1 5955n n n D D D − −− +   ××  = +        HIDRÁULICA I – 6 nD 1nD + 0,9000 0,9850 0,9850 0,9804 0,9804 0,9806 0,9806 0,9806 ,0 98D m PROBLEMA 7.4 Considere o escoamento bidimensional com superfície livre e leito móvel num canal largo com fundo hidraulicamente rugoso com rugosidade absoluta ,6 5K mm= . Obteve-se o perfil de velocidades longitudinais médias temporais, u , exibido na figura 1 e resumido na tabela 1. Tabela 1 ( )y m ( )/Ln y k u ( 1ms− ) 0,0076 0,156346 0,3619 0,0096 0,389961 0,3917 0,0126 0,661895 0,4120 0,0156 0,875469 0,4364 0,0236 1,289445 0,4805 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 u (m/s) y ( m ) Figura 1 – Perfil da velocidade longitudinal média no tempo HIDRÁULICA I – 7 a) Determine o valor da velocidade de atrito, * 0u = τ ρ , e do coeficiente B da expressão do perfil de velocidades longitudinais médias válido para as regiões logarítmica e de transição * ( ) 1 ln  = + κ   u y y B u k (1) em que κ = 0,4 é a constante de Von Kármán. b) Assumindo que a lei logarítmica (equação 1) é válida para a totalidade do escoamento e sabendo que o factor de Darcy-Weisbach se define como 2 *8   =     u f U , determine a lei de resistência válida para este escoamento. Note que ( ) 0 lim ln 0 ε→ ε ε = . c) Calcule a perda de carga unitária quando ,0 0745h m= , ,13 2l/sQ = e ,0 4B m= . RESOLUÇÃO Procura-se uma lei de resistência, ou uma relação entre o factor de Darcy-Weisbach, f , as propriedades do fluido ( ρ e µ ) as características do escoamento ( h e U ) e as características do leito (a rugosidade da fronteira sólida ( k ). A dimensional é ( , , , , )= ρ µf f h U k Aplicando o teorema de Vaschy-Buckingham escolhendo como variáveis de base h , U e µ obtém-se ,  ρ =  µ  k Uh f f h Como se admite que a fronteira é hidraulicamente rugosa, a resistência ao escoamento não depende do número de Reynolds ρ µ Uh . Assim, procurar-se-á uma expressão na forma  =     k f f h Sendo 2 *8   =     u f U HIDRÁULICA I – 10 2 48= hDgJ f U 2 2 = h JD f U g Como 1 2log 2,72   ≈ −    h k f D fica 2 2 1 log 4 2,722 −  =     h h JD k DU g 2 2log 8 2,72h h U k J gD D −  =     Sendo ,0 0745h m= , ,13 2l/sQ = , ,0 4B m= e ,0 0065k = , obtém-se 2 2 0,0132 0, 4 0,0745 0,0065 log 8 9,8 4 0,0745 2,72 4 0,0745 J −    ×   =  × × × × ×  0,0019=J PROBLEMA 7.5 A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em regime turbulento, no interior de uma tubagem circular, pode ser expressa pela fórmula de Manning: / /, 2 3 1 21 486 U R J n = em que, U – velocidade média do escoamento; n – coeficiente que depende do material da tubagem; R – raio hidráulico (quociente da secção líquida pelo perímetro molhado); J – perda de carga unitária. HIDRÁULICA I – 11 Os valores de n , dependentes da rugosidade da tubagem, encontram-se numa tabela, devendo, para a sua aplicação, as grandezas da fórmula de Manning ser expressas em unidades inglesas. Apresentar esta fórmula de forma a manter-se válida para um sistema genérico, em que as unidades de comprimento e de tempo sejam respectivamente l e t , continuando a utilizar os valores de n da tabela referida. Particularizar para o caso de aquelas unidades serem o metro e o segundo. RESOLUÇÃO [ ] 1U L T −= [ ] 2 A L R R L P L = ⇒ = = [ ] 0 0J L T= • [ ] [ ], 2 2 113 3 32 1 1 486 1 n R J n L n L T U LT − − = ⇒ = ⇒ = • em unidades inglesas tem-se [ ] 13n ft s−= • num sistema genérico, continuando a utilizar a mesma tabela: ( ) ( )− −=
n ft n t1 13 3 1 1 ft x seg y t →  →
( ) ( ) ( )1 1 1 1 13 3 3 3 3n ft s n x yt x y n t− − − − −= =

• equação de Manning num sistema genérico
, t , 2 1 3 2 1 3 1 486 U R J x y n − = • sendo m=
; t s= ⇒ ,1 0 3048 1 1 ft m seg seg =  = ,0 3048 1 x y =  = ( ) , , ,, 2 21 1 3 32 2 1 3 1 486 1 486 1 4860 3048 1 U R J U R J nn − = ⇒ = × × HIDRÁULICA I – 12 2 1 3 2 1 U R J n = ∴ 2 1 3 2 1 U R J K = 1 K n = n – coeficiente de Manning K – coeficiente de Strickler PROBLEMA 7.6 Dois reservatórios estão ligados por uma tubagem com os acidentes e a disposição indicados na figura. Proceda ao traçado qualitativo das linhas de energia e piezométrica atendendo a todas as irregularidades. RESOLUÇÃO HIDRÁULICA I – 15 • , ,, , , , 1 12 43 5 0 4587 43 5 79 804 1 1 0 03 0 45 2 2 R DDR C m s R D −= ⇒ = = = = γ + γ + + • ( ), , , , 2 0 451 79 86 0 45 0 003 2 8 Q C A R J C A D J Π × = = = × × = , 3 10 233 m s−= 233Q l s= PROBLEMA 7.8 Dois reservatórios A e C com as respectivas superfícies livres apresentando uma diferença de cotas de 20 m estão ligados ente si por uma tubagem de fibrocimento constituída por dois trechos: trecho AB, com um comprimento 1 1000l m= e diâmetro 1D , e trecho BC, com um comprimento 2 1000l m= e diâmetro 2D tal que ,2 11 1D D= . Determinar os diâmetros 1D e 2D de modo que o caudal escoado seja −ls 1200 . Usar a fórmula de Manning-Strickler ( 1 3 195K m s−= ). RESOLUÇÃO a) • Resolução pela fórmula de Manning-Strickler 2 1 3 2Q K A R J= • Desprezando perdas de carga em singularidades vem: ( ) ,1 1 2 2 1 2 1 220 0 02H J J J J m J J m m∆ = + = + = ⇒ + =


• ( ) ( ) , , ,, , 2 22 2 2 16422 43 332 3 0 2 0 04 1 2304 095 0 1575 0 6169 4 4 Q Q J K A R DD DD D K    = = = =     × ×  Π         HIDRÁULICA I – 16 ( ) , 1 16 3 1 0 04 2304 J D = ( ) , , 2 16 3 1 0 04 2304 1 1 J D = ( ) ( ) , , , 1 2 16 16 3 3 1 1 0 04 1 1 0 02 2304 1 1 J J D D    + = + =      ( ) ( ) ( ) , , , , , , 16 3 16 16 3 3 1 1 1 1 1 0 02 2304 2 6625 1152 0 041 1 1 1D D + × = ⇒ = ( ) , , 16 3 1 10 0014 0 291D D m= ⇒ = • 1 291D mm= e ,2 11 1 320D D mm= = b) • Resolução pelo ábaco de Scimemi ( )1D mm ( )2D mm 1J 2J 1 2J J+ 350 385 0,0085 0,0050 0,0135 325 358 0,0120 0,0075 0,0195 ≅ 0,020 PROBLEMA 7.9 Dois reservatórios, A e C, estão ligados por uma tubagem de ferro fundido ABCD que apresenta um ponto alto B cuja cota é 105 m . Em D está instalada uma turbina que absorve o caudal de , 3 10 1m s− (rendimento, ,0 85η = ). HIDRÁULICA I – 17 Determine o diâmetro mínimo da conduta para a altura piezométrica não ser, em B, inferior a 1m . Qual é a potência da turbina. RESOLUÇÃO a) Determinação do diâmetro mínimo da conduta • desprezando perdas de carga em singularidades 110A AH z m= = 2 105 1 2B U H g = + + α = , , 2 22 0 1 106 19 6 4 BH D + =  Π ×     ( )1α = 1000A BH J H− = • tubagem em ferro fundido ⇒ , ,2 625 0 53535Q D J= (QUINTELA 1981, p. 154) , , 1 0 535 2 62535 Q J D   =      • , , , , 1 0 535 2 2 625 22 0 1 110 1000 106 35 19 6 4 Q D D   − = +      Π ×     , , , 4 907 4 0 01757 0 000827 110 106 D D − = + , , , 4 907 4 0 01757 0 000827 4 D D = − ⇒ , , , 1 4 907 1 4 0 01757 0 000827 4 n n D D +       =      −        nD 1nD + 0,5 0,331 0,331 0,332 0,332 0,332 ⇒ min ,0 332D m= HIDRÁULICA I – 20 A potência da bomba é dada por u Q H P γ = η , em que uH satisfaz a equação A u AC AC CH H J H+ − =
. Importa, por isso, calcular ACJ . Sabe-se que ( ) ( ) ,,, , 0 5352 6250 417 35 0 6 CDJ= × , ou seja, ,0 0031CDJ m m= . Então, , ,10 0 0031 1800 35 84uH+ − × = , isto é, ,31 43uH m= . A potência da bomba vem ( ), , , , 9800 0 417 31 43 171269 171 3 0 75 x P W kW × = = ≅ bomba ,171 3P kW= PROBLEMA 7.11 Os reservatórios A e B estão ligados à conduta CD, a qual tem um orifício em contacto com a atmosfera na extremidade D. A secção 0S em D tem o valor de , 20 02 m . Determine o caudal proveniente dos reservatórios A e B, considerando que o material das condutas é fibrocimento e desprezando as perdas de carga em singularidades e a contracção no orifício de saída RESOLUÇÃO • Sistema de equações , , 2 0 02 15 19 6 CD D Q H      = + D A AC AC CD CDH H J J= − −

D B BC BC CD CDH H J J= − −

CD AC BCQ Q Q= + HIDRÁULICA I – 21 Fibrocimento ⇒ , , , 1 0 56 2 6848 3 Q J D   =      , , , , , , , , , , 2 1 1 0 56 0 56 2 68 2 68 0 02 15 40 800 1250 19 6 48 3 0 35 48 3 0 40 CD AC CD Q Q Q         + = − × − ×      × ×    (1) , , , , , , , , , , 2 1 1 0 56 0 56 2 68 2 68 0 02 15 50 900 1250 19 6 48 3 0 40 48 3 0 40 CD CD AC CD Q Q Q Q        − + = − × − ×      × ×    (2) • Resolução por tentativas 1) arbitra-se CDQ 2) calcula-se ACQ pela equação (1) 3) substitui-se ACQ na equação (2) e calcula-se ' CDQ 4) se 'CD CDQ Q≅ a solução foi encontrada e pode calcular-se BCQ ; se ' CD CDQ Q≠ CDQ ACQ 'CDQ 0,300 0,102 0,472 0,320 − 0,067 0,248 0,3142 − 0,016 0,3155 Solução ⇒ ,0 332BCQ = HIDRÁULICA I – 22 • Procedimento alternativo PROBLEMA 7.12 Uma conduta eleva água de um reservatório A para um reservatório B, através de uma conduta de betão liso e novo, com 1000 m de comprimento e com ,0 60 m de diâmetro. A relação entre a altura de elevação ( )tH e o caudal ( )Q da bomba, acoplada a um motor de velocidade de rotação constante (relação denominada curva característica da bomba), exprime- se por: 228 20tH Q= − HIDRÁULICA I – 25 ( ), , 2 bombas 256 40 0 820 29 1tH m= − × = , , , ,1bomba 1bomba 9800 0 32 14 55 14 55 167 0 7t H m P kW × × = ⇒ = = 1bomba 167P kW= PROBLEMA 7.13 A um reservatório A, de grandes dimensões, está ligada uma conduta ABC com um ponto B onde se colocou um tubo piezométrico. A conduta, de aço soldado, tem o diâmetro de ,0 50 m e a sua extremidade C está equipa da com um órgão obturador cujo eixo está à cota 20 m . Supondo nulas a contracção no obturador e as perdas de carga em singularidades. a) Determine o caudal escoado quando a abertura do obturador for de , 20 01m . b) O caudal crescerá com a abertura do obturador até um certo limite desta. Qual é a abertura e o caudal escoado nestas condições, desprezando a altura cinética no interior das condutas? c) Represente as linhas de energia e piezométrica nos dois casos de funcionamento indicados. RESOLUÇÃO O sistema de equações resolventes é o seguinte C AH H J= −
( ) ; , 22 2 20 1 0 2 2 0 01 C p Q pU H z m g g = + + α = + α = = γ γ com 2 11 13 32 85Q K A R J K m s−= = HIDRÁULICA I – 26 a) A determinação do caudal escoado nas condições da alínea a) implica a resolução do sistema de equações anterior. Tendo presente que ( ), , 22 3 120 5 0 585 4 4 Q J  Π   = × ⋅      , vem , 2 4 172 Q J   =     ou seja , 2 60 2000 4 172C Q H   = − ×    ( ), , 2 2 20 19 6 0 01 C Q H = + × Donde ( ), , , 2 2 2 60 2000 20 4 172 19 6 0 01 Q Q  − × = +    , , , ,2 2 2 3 160 114 88 20 510 2 0 40 625 08 0 253Q Q Q Q m s−− − − = ⇒ = ⇒ = • Se a cota piezométrica em B for superior a 55 m , o caudal escoado será , 3 10 253Q m s−= . Importa verificar se assim é. Então , , 2 60 1000 56 32 4 172B Q H m   = − × =    como ( ) , 2 2 56 32 2 B p Q H p z m g A = + + = γ e ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , 2 2 2 2 0 5 0 253 0 196 56 32 56 23 55 0 4 19 6 0 196B p A m z m m Π ×   = = ⇒ + = − = > γ  × A hipótese está verificada e , 3 10 253Q m s−= b) Desprezando a altura cinética nas condutas, o caudal máximo que se pode escoar implica que, em B , se tenha uma carga igual a 55 m . Para menores valores de H em B , o escoamento seria interrompido pela entrada de ar pelo piezómetro. Assim, ( ) , 60 55 0 005 1000AB J m m − = = e ( ) ( )max , , , , 22 3 1 3 12 0 5 0 5 85 0 005 0 295 4 4 Q Q m s −Π ×  = = × × × =    . HIDRÁULICA I – 27 Por outro lado ,60 2000 0 005 50CH m= − × = e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,, 2 22 2 2 2 2 0 295 0 295 20 20 50 0 012 19 6 302 19 6 C C C C C Q H A A m g A A = + + = ⇒ = ⇒ = ×× • Nas condições da alínea b) tem-se , 3 10 295Q m s−= e , 20 012A m= . PROBLEMA 7.14 O reservatório A alimenta os reservatórios B e C através do sistema de tubagens em aço soldado representado na figura; a água é bombada pela bomba D e os comprimentos e diâmetros das tubagens são os indicados. a) Supondo a tubagem CE obturada, determine o caudal fornecido ao reservatório B tendo a bomba a potência de 1700 kW e o rendimento de 0,70. b) Determine a cota X para que o caudal admitido no reservatório C seja nulo, sendo o caudal admitido em B igual a , 3 12 0 m s− . Calcule também a potência da bomba admitindo que tem o rendimento de 0,70. c) Para 100X m= e funcionando a bomba com a potência de 5000 kW e o rendimento de 0,70, determine os caudais admitidos nos reservatórios B e C. d) Trace qualitativa, mas cuidadosamente, as linhas de energia e piezométricas correspondentes às alíneas b) e c). NOTAS: As alíneas a), b) e c), em relação às quais se podem desprezar as perdas de carga em singularidades, são independentes. Na alínea d), considere as transições dos reservatórios em aresta viva. HIDRÁULICA I – 30 c) 100x m= 5000bP kW= ,0 70η = Sistema de equações: E A t AE AEH H H J= + −
① E B BE BEH H J= +
② E C CE CEH H J= +
③ , ,35000 10 0 7 357 143 9800t AE AE H Q Q × × = = × ④ AE BE CEQ Q Q= + ⑤ , 2 26 493 AE AE Q J   =     ⑥ , , 2 1 214 612 14 612 BE BE EB BE Q J Q J   = ⇒ =    ⑦ , , 2 1 26 785 6 785 CE CE EC EC Q J Q J   = ⇒ =    ⑧ Esquema resolvente • Resolução (por tentativas) AEQ (arbitrado) AEJ ⑥ tH ④ EH ① EBJ ② ECJ ③ EBQ ⑦ ECQ ⑧ AEQ ⑤ (calc.) 3,0 0,0128 119,05 119,85 0,0285 0,0199 2,465 0,956 3,421 3,1 0,0137 115,21 114,66 0,0248 0,0147 2,299 0,821 3,121 d) Resolve-se na aula. HIDRÁULICA I – 31 PROBLEMA 7.15 Um reservatório abastece uma conduta de 2000 m de comprimento e ,0 20 m de diâmetro, de fibrocimento, a qual, tendo exclusivamente serviço uniforme de percurso, consome o caudal de 38640 m por dia. A conduta é horizontal e o respectivo eixo está localizado a uma cota inferior em 30 m ao nível da água no reservatório. Numa dada altura, e no intuito de melhorar as condições de pressão, fez-se funcionar, na extremidade B da conduta uma bomba com 30 kW de potência e o rendimento de 0,75. A bomba absorve água do reservatório C, em que o nível se apresenta 30 m abaixo do de A. Supondo invariável o consumo, calcule a distância, ao reservatório A, do ponto em que se regista a cota piezométrica mínima. NOTAS: – Estabeleça primeiro o sistema resolvente; – Despreze as perdas de carga em singularidades e a altura cinética. RESOLUÇÃO • Procede-se, em primeiro lugar, à análise da situação inicial. Nesse caso: dia3 18640Q m −= só consumo de percurso sem bomba • dia ,3 1 3 18640 0 1Q m m s− −= = • O caudal de percurso é 0 1P Q Q= − . Como 1 0Q = , então 0P Q= , caudal na secção de entrada. O consumo uniforme de percurso é, por sua vez, HIDRÁULICA I – 32 , 5 3 1 10 1 5 10 2000 P p m s m L − − −= = = × . • A perda de carga contínua é ( ) ( ) ( ) 2 2 3 x Q x J x Q K A R    = = β     . Como a tubagem é de fibrocimento, 1 1390K m s−= e ( ) ( ) , , , 2 2 2 2 3 2 3 1 1 6 7908 0 2 90 0 05 4 K A R        β = = =   Π ×   × ×    • O caudal equivalente é , , 3 10 55 0 055eQ P m s −= = e a perda de carga unitária é ( ) ,2 22 054 10e eJ Q m m−= β = × . • A perda de carga total, nestas circunstâncias, seria , ,22000 2 054 10 41 08eH J m −∆ = = × × =
podendo concluir-se que esta solução é fisicamente impossível. • De facto, ter-se-ia, na extremidade de jusante, uma pressão dada por ( ) atm, ,30 41 08 11 08 p m− = − < − γ o que não pode acontecer. • Esquematicamente ter-se-ia: • Tendo a bomba instalada, a situação passa a ser a seguinte: