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I. Sucessão Numérica. Limite de uma Sucessão
1. Sucessão numérica
1.1. Noção de sucessão
Uma sucessão de números reais pode ser entendida como uma lista de números reais escritos numa
ordem definida:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... , an , ...
O número a 1 é chamado primeiro termo ou termo de ordem 1, a 2 é o segundo termo ou termo de
ordem 2 e, em geral, an é o n - ésimo termo, termo de ordem n ou termo geral da sucessão.
Note que, para cada inteiro positivo n , existe um número correspondente an e, dessa forma, uma
sucessão pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos.
Mas geralmente escrevemos an em vez da notação de função f ( ) n para o valor da função do
número n.
Definição (1) : Chama-se sucessão de números reais a qualquer aplicação de
Z em R , onde
Z
={Números inteiros positivos}= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...e R ={números reais}.
Notação: A sucessão ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,..., an , ...)é denotada por ( a n ).
Uma sucessão pode ser descrita indicando-se o termo geral ou escrevendo-se alguns dos seus
termos. Tenha-se em atenção que o primeiro termo nem sempre correnponde a n igual a 1.
Definição (2) : Chama-se subsucessão de uma sucessão ( a n )a qualquer sucessão que dela se pode
obter por supressão de termos.
Seja ( a n )a sucessão dos números inteiros positivos, isto é, ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...).
A sucessão ( 1 , 3 , 5 , 7 , ...)dos números ímpares é uma subsucessão de ( a n ).
A sucessão ( 2 , 4 , 6 , 8 , ...)dos números pares é uma subsucessão de ( a n ).
Problemas resolvidos
- Considere a sucessão de termo geral
n
n an
1.2. bn = n − 3
cos
n
un = 1.4.
1
1
−
− +
n
n
n
n v
a) Calcule os primeiros quatro termos da sucessão.
Resolução
a = 2
a =
a = 4
a =
an 2 ,
1.2. Observe-se que bn R n − 3 0 n 3. Então:
b 3 = 3 − 3 = 0 = 0 b 4 = 4 − 3 = 1 = 1
b 5 = 5 − 3 = 2 b 6 = 6 − 3 = 3
( )= ( 0 , 1 , 2 , 3 , ...) bn
cos 6
1 cos = =
u 2
cos 6
2 cos = =
u
cos 6
cos 6
3 cos = =
n
u 2
cos 6
4 cos = =−
u
u n
0
2
11
11
−
v
3
21
21
−
v
2
4
31
31
−
v
3
5
41
41
−
v
n an
A imagem gráfica de uma sucessão é um conjunto de pontos discretos (soltos)!
1.2. Sucessões monótonas
Definição ( 3 ) : Uma sucessão de números reais ( a n )diz-se crescente se an + 1 − an 0 e decrescente
se an + 1 − an 0.
Se an + 1 − an 0 , a sucessão diz-se estritamente crescente e se an + 1 − an 0 , a sucessão diz-se
estritamente decrescente.
Definição ( 4 ) : Uma sucessão diz-se monótona se é estritamente crescente ou estritamente
decrescente.
Problemas resolvidos
- Estude a monotonia das sucessões:
a)
n un e
−
Resolução
( ) ( ) 1 0
1 1 1 1
− + − −− − − − −
e
u u e e e e e e e
n n n n n n n n^ ,^ a^ sucessão^ é^ monótona
decrescente.
b) 2 3
n
n vn
Resolução
1
n n
n n n n
n
n
n
n
n
n
n
n v (^) n vn
( )( ) ( )( )
0 2 5 2 3
13
2 5 2 3
6 11 3 6 11 10
2 2
=
n n n n , a sucessão é monótona crescente.
- Prove que a sucessão de termo geral
1
2
n
n an é monótona decrescente.
Resolução
Devemos provar que an + 1 − an 0 , para todo o número inteiro positivo.
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
(^1 )
n n n
n n nn n
n
n
n
n a (^) n an
( )( )
− − + + +
n n n n nn , n Z n n n
n n 0 1 0 1 1 1 2 2 1
2 2
2
É óbvio que para todo n 1 , n ( n + 1 ) 1 é uma proposição verdadeira. Portanto, an + 1 − an 0 ,
para todo
n Z e assim ( a n )é monótona decrescente.
Definição ( 5 ) : Uma sucessão real ( a n )diz-se limitada se existe um número real positivo M tal
que, para todo
n Z , an M.
Problemas resolvidos
- Considere a sucessão
n
n un
a) Mostre que é verdadeira a proposição
2 un 3 , n Z.
b) O que se pode concluir com a veracidade da proposição anterior?
Resolução
a)
n n
n n
n n
n n
n
n
n
n
un
n verdadeiro
verdadeiro
n 1
Portanto a proposição é verdadeira.
b) Como
2 u n 3 − 3 un 3 un 3 , n Z , pode-se concluir que a sucessão ( u^ n )é
limitada.
1. 3. Progressão Aritmética
Definição ( 6 ) : Chama-se progressão aritmética a toda a sucessão de números reais em que cada
termo, a partir do segundo, obtem-se adicionando ao precedente uma constante, isto é,
n Z ,
Se generalizarmos para uma progressão aritmética de n termos, com razão d , tem-se:
a 1 + an = a 2 + an − 1 = a 3 + an − 2 = a 4 + an − 3 =... = am + an −( m − 1 ) , onde 1 m n.
Sendo am e an − ( m − 1 )dois termos quaisquer, equidistantes dos extremos, vem:
( ) a a a^ (^ m ) d^ a n (^ m ) d m +^ n − m − 1 = 1 + −^1 + 1 + − −^1 −^1
( ) ( ) ( ) n
a
a m d a n d m d a a
n
, donde resulta o
Teorema (1): Numa progressão aritmética a soma de dois termos equidistantes dos extremos é
igual à soma dos extremos.
Seja an o termo geral de uma progressão aritmética e d a razão da progressão. Então, a soma dos
primeiros n termos consecutivos da progressão é:
S (^) n = a 1 + a 2 + a 3 +...+ an , donde:
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
S a a a a a a a a a a a a
S a a a a a a
S a a a a a a
n n n n n n n
n n n n
n n n n
− − − −
− −
− −
Como do Teorema (1) , am + an − ( m − 1 )= a 1 + a n , vem:
( ) ( ) ( ) n ( n ) n ( n )
nvezes
n n n n a a
n S = a 1 + a + a 1 + a + + a 1 + a S = na 1 + a S = 1 + 2
( ) ( ) a ( n ) d
n a a n d
n a a
n S (^) n n 2 1 2
= 1 + = 1 + 1 + − = 1 + − ; expressão da soma dos n primeiros
termos consecutivos de uma progressão aritmética.
Teorema (2): Numa progressão aritmética, cada termo é a média aritmética dos seus termos
adjacentes, isto é
2
k k k
a a a.
Seja ( a 1 , a 2 ,..., ak − 1 , ak , ak + 1 ,..., an − 1 , an , an + 1 , ...), uma progressão aritmética.
ak − 1 e ak + 1 , dizem-se termos adjacentes ao termo ak.
a a ( k^ ) d^ a a (^ k ) d
k − 1 =^1 + −^1 −^1 k − 1 = 1 + −^2 (1)
a a (^ k ) d a a kd
k + 1 =^1 + +^1 −^1 k + 1 = 1 +^ (2)
Adicionando (1) e (2) membro a membro, tem-se:
a (^) k − 1 + ak + 1 = a 1 +( k − 2 ) d + a 1 + kd ak − 1 + ak + 1 = 2 a 1 +( 2 k − 2 ) d ak − 1 + ak + 1 = 2 a 1 +( k − 1 ) d
1 1 1 1 1
k k k
k k a a a
a a a k d
Problemas resolvidos
- O preço de uma alfaia agrícola nova é 150 mil meticais.
Com o uso, o seu valor sofre uma depreciação de 2 500 meticais por ano.
Assumindo que a vida útil da alfaia é de 30 anos, determine o seu valor residual.
Resolução
A sucessão ( 150 000 , 147500 , 145000 , ...)é uma progressão aritmética de razão d =− 2500
Usando a fórmula do termo geral da progressão aritmética, an = a 1 +( n − 1 ) d , podemos encontrar
o valor pedido.
Substituindo os valores, temos:
150000 ( 30 1 )(^2500 ) 27500
a 10 = + − − =
Resposta: O valor residual da alfaia agrícola é de 27500 meticais.
- Determine o valor de b tal que ( ) ( , 2 , , , ...)
2 un = a a a b , nessa ordem, seja uma progressão
aritmética monótona crescente.
0 Processo:
2 2 2
2 1 1 = + + − = − = − =
− + a a a a a a a a aa
a a a
u u u
k k k
a = 0 a − 3 = 0 a 1 = 0 a 2 = 3
Como a progressão aritmética deve ser monótona crescente, então, a = 3 (Tenha em atenção que
se a = 0 , resulta numa sucessão constante!)
u n = u 1 +( n − 1 ) d un = a +( n − 1 )( 2 a − a ) un = a +( n − 1 ) a un = a + an − a un = an
Como b é o termo de ordem 4 vem:
un = an b = u 4 = 3 4 b = 12
0 Processo:
A sucessão dada é uma progressão aritmética de razão d 2 a a a 2 a
2 = − = − e pretende-se calcular
o 4
0 termo b.
2 2 2 2 a − a = a − a a = a − a a − a − a = a − a = aa − = a = a − =
a 1 = 0 a 2 = 3
S =
Resposta: De Maio a dezembro de 2017 serão produzidas 1200 toneladas
c) a produção mínima que satura o mercado (anula os preços de venda) e em que altura ocorre.
Resolução
un = u 1 +( n − 1 ) d , u 1 = 45 , d =− 5
un = 0 45 + n − 1 − 5 = 0 n = + =
u 10 = 80 +( 10 − 1 ) 20 = 260
Resposta: A produção mínima que satura o mercado é de 260 toneladas. Ocorre em Fevereiro de
1. 4. Progressão Geométrica
Definição ( 7 ) : Chama-se progressão geométrica a toda a sucessão de números reais em que cada
termo, a partir do segundo obtem-se multiplicando o precedente por uma constante, isto é
n Z
n
n n n a
a a aq q
1 1
(^) + = = ; onde q é uma constante. Ao número q dá-se o nome de razão da
progressão geométrica.
1. 4 .1. Expressão do termo geral
Seja an o termo geral de uma progressão aritmétrica e q a razão da progressão. Então:
a (^) 2 = a 1 q
2 a 3 (^) = a 2 q = a 1 q q = a 1 q
3 1
2 a 4 (^) = a 3 q = a 1 q q = aq
4 1
3 a 5 (^) = a 4 q = a 1 q q = a q
Generalizando, vem:
1 1
−
n an aq. Expressão do termo geral de uma progressão geométrica.
1. 4 .2. Soma dos primeiros n termos consecutivos
Seja an o termo geral de uma progressão geométrica e q a razão da progressão. Então, a soma
dos primeiros n termos consecutivos da progressão é:
S (^) n = a 1 + a 2 + a 3 +...+ an (1)
Multiplicando a igualdade (1) por q , vem:
qS (^) n = qa 1 + qa 2 + qa 3 +... + qan qSn = a 2 + a 3 + a 4 +...+ an + qan (2)
Subtraido (1) e (2) membro a membro tem-se:
( ) ( ) ( )
( )
q
a q S qS a qa qS a q aq qS a q S
n
n
n n
n n n n n −
−
1
1 1
1 1 1 1
( )
q
a q S
n
n −
é a expressão da soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão
geométrica.
Teorema (3): Numa progressão geométrica de termos positivos, cada termo é a média geométrica
dos seus termos adjacentes, isto é ak = ak − 1 ak + 1.
Seja (^ a 1 , a 2 ,..., ak − 1 , ak , ak + 1 ,..., an − 1 , an , an + 1 , ...), uma progressão geométrica de termos
positivos, cujo termo geral é
1 1
−
n an aq.
ak − 1 e ak + 1 , dizem-se termos adjacentes ao termo ak.
2 1 1
11 1 1
− −
−− − =^ =
k k
k ak aq a aq (1)
k k
k ak aq a 1 a 1 q
11 1 =^1 + =
+− +^ (2)
Multiplicando (1) e (2) vem:
( ) ( )
2 12 1 1 1
2 2 1 1 1 1
2 2 2 1 1 1 1
2 1 1 1
− − +
− − +
− − +
− − ^ + = = = =
k k k
k k k
k k k
k k ak ak aq aq a a aq a a aq a a a q
( ) 1 1 1 1
1 1
12 1 1 1 − + − +
− − (^) − + = = k k k = k k
k k ak ak aq aq a a a a a
Problemas resolvidos
- Numa progressão geométrica de termos positivos o sétimo termo é o quádruplo do quinto termo
e o décimo termo é 96.
Calcule a razão e o primeiro termo da progressão.
Resolução
Seja
1 1
−
n vn vq o termo geral da referida progressão.
(^1929)
1 2
(^19)
2
9 1
4
6
9 1
4 1
6 1
10
7 5
v v
q q
q
v
q
vq
q
q
vq
vq vq
v
v v
2 .1. Conceito de limite de uma sucessão
Seja a sucessão de termo geral
n
n an cujo gráfico é
Observando o gráfico é possível notar que os termos da sucessão de termo geral
n
n an estão
se aproximando de 1 quando n se torna grande. De facto,
n
a n n
n a n
n a n
n a (^) n n n n
pode ser tão perto de 1 quanto se desejar tomando-se n suficientemente grande. Indicamos isso
escrevendo:
lim = → (^) n +
n
n
Em geral, a notação an L n
→
lim , significa que os termos da sucessão ( a n ) aproximam-se de L
quando n torna-se grande.
Definição ( 8 ) : Uma sucessão ( a n )tem o limite L e escrevemos an L
n
→
lim , se podemos fazer os
termos da sucessão ( a n )tão perto de L quanto se queira ao se fazer n suficientemente grande.
Uma versão mais precisa da definição (8) é a seguinte:
Definição ( 9 ) : Diz-se que a sucessão real ( a n )converge para o número real L ou que L é o limite
da sucessão ao tender n para o infinito, e escreve-se an L n
→
lim , quando a todo o 0
corresponde um natural n 0 = n 0 ( ) tal que, para todos os termos de ordem n n 0 se tenha
an − L .
Consideremos, por exemplo, a sucessão real ( a n )representada graficamente:
Todos os pontos do gráfico de sucessão real ( a n )estão entre as rectas horizontais y = L + e
y = L − se n n 0 , isto é, existe uma ordem n n 0 a partir da qual todos os termos da sucessão
são valores aproximados de L a menos de . Não importa quão pequeno seja escolhido, mas
geralmente quanto mais pequeno é maior é o valor de n.
Simbolicamente escreve-se: ( )( n n ( )) n n a L an L
n
= n − = →
0 0 0 : 0 lim
Problemas resolvidos
- Considere a sucessão de termo geral
2 3
n
n an.
a) Prove, a partir da definição de limite de uma sucessão, que
2
lim = → n n
a.
Resolução
n n n n
n n
n
n an
n − n + n .
Dado 0 arbitrário, escolhe-se para n 0 = n 0 ( ) o primeiro número natural maior do que
b) A partir de que ordem todos os termos da sucessão são valores aproximados de
2
a menos de
Resolução
1
n n
n
n n
n
n n
n n^ n n
( )( )^
1
1
n n
n Para n par v v
n n
n Para n impar v v
n n
n n
então ( v n )não é nem crescente nem decrescente.
c) Prove, a partir da definição de uma sucessão, quelim = 1 → n n
v.
Resolução
− − n n n n n
v
n n
n ^
n 1 n n
Dado 0 arbitrário, escolhe-se para n 0 = n 0 ( ) o primeiro número natural maior do que
d) A partir de que ordem todos os termos da sucessão são valores aproximados de 1 a menos de
Resolução
= n . A partir 300
0 termo, todos os termos da sucessão são valores
aproximados de 1 a menos de 0 , 01.
2 .2. Classificação das sucessões
Quanto à natureza e existência do limite, as sucessões classificam-se:
Definição ( 10 ) : Uma sucessão ( u n )diz-se convergente se possui limite finito, isto é, un L
n
→
lim ,
L R
Definição ( 11 ) : Uma sucessão ( u^ n )diz-se divergente infinita se un L
n
→
lim com L = ,−,+
Definição ( 12 ) : Uma sucessão (^ u n ) diz-se divergente oscilante se possui pelo menos duas
subsucessoões com limites diferentes.
2. 3. Operações com sucessões convergentes
Se ( a n )e ( b n )são sucessões reais convergentes e p , b R , então:
a) ( ) n
n n n n n n
a b a b → → →
lim =lim lim b) ( ) n
n n n n n n
a b a b → → →
lim =lim lim
c) n n n
n (^) a a →
→
lim
lim , comlim 0 → n n
a d)
n n
n n
n
n n (^) b
a
b
a
→
→ →
lim
lim lim , comlim 0 → n n
b
e) ( )
p
n n
p n n
a a
→ →
lim lim
f) p^ n n
p n n
a a → →
lim = lim
g) ( )
n n n
b
n n
b n n
a a
→
→ →
lim
lim lim h) (^ )^
→ → n n b n b n
limlog a log lim a.
Teorema ( 4 ) (do limite da média aritmética):
Se an a n
→
lim , então =
→ (^) n
a a an
n
lim an a n
→
lim ( a finito ou infinito).
Teorema ( 5 ) (do limite da média geométrica):
Se an 0 e an a n
→
lim (finito ou infinito) então a a a an a n
n n n
→ →
lim 1 2 lim.
Teorema ( 6 ): Em cada um dos casos seguintes, sempre que o segundo limite existe o primeiro
também existe e tem o mesmo valor (o recíproco não é verdadeiro).
a)
n
n n
n n n (^) a
a a
1 lim lim
→ →
= b)lim^ lim( n 1 n ) n
n n
a a n
a = − → → +
c)
n n
n n n n
n n (^) b b
a a
b
a
→ → 1
1 lim lim
Problemas resolvidos
- Calcule os seguintes limites:
a)
9 4 1
lim 3
3 2
→ (^) n n
n n n
n
Resolução
lim 9 4 1
lim 9 4 1
lim
2 3
2 3
3
3
3
3 2
3
3 2
= =
→ → →
n n
n n n
n
n n
n
n n n
n n
n n n
n n n
Resolução
b)
n
n
n
lim
2
→
Resolução
Resolução
0 Processo
Tendo em conta que o numerador é composto por uma soma de termos sucessivos de uma
progressão aritmética, n ( u u n )
n S = 1 + 2
Seja
( ) ( ) ( )
2 2 1
2 v n v n n
n
n u n S
n n
n n
então
n n
n
n n
n
n n
n n (^) v v
n
S
n
v
n
u
v
u
−
→ → → 1
lim lim lim , donde:
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n n 2 5 10 ... 1
lim 2 5 10 ... 1
lim (^2) 2
→+ →
( )
2 5 10 ... ( 1 ) ( 1 ) 1 2 5 10 ... ( 1 )
3 2 1 2
lim 2 2 2
= → n n n
n
n
n
n
( ) ( ) ( )
=
=
= → → →
2 2
2
2 2
2
2
2
2 1 1 2
2 4
lim 2 1 1
2 4
lim 2 1 1
2 4 lim
n n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n n n
lim
2
2
2 = =
→
n n
n n n
0 Processo
Seja
( ) ( ) ( )
2 2 1
2
1
v n v n n
u n u n n
n n
n n então
n n
n n n n
n n (^) v v
u u
v
u
→ → 1
1 lim lim , donde:
( )
lim 2 n
n
n
( ) ( ) ( )
2 5 10 ... ( 1 ) ( 1 ) 1 2 5 0 ... ( 1 )
lim 2 2 2
→ (^) n n n
n n n
n
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2
2
2 1 1 1
1 1 1 2
lim 1 1
2 1 1
lim 1 1
2 1 1 lim
n n
n n n
n
n
n
n
n
n
n n n
^ +
+
=
=
= → → →
g)
n n n n
lim e
1 1 2
− + →
Resolução
De
n
n n
n n n (^) a
a lim a lim
= , tem-se:
( ) ( )
n
n n
n
n n
n n n
n n
n n n
n n
n
n n n
n
e
e
e
e
lim e
e lim e
e lim e lim 1 1
2
1 1
2
1 1
1 1 1 1 1 1
2
− +
− + →
− + →
+− ++
→
− +
→ (^) +
e e
e
e e
e e lim
e
e
e
e
e
e lim n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
−
− + →
→
2
1
2
1 1
2
h)
n n (^) n
n 3 !
lim →
Resolução
Seja
3 n!
3 n! an = , logo
( )
( )
1 3 n 1!
n an. Como n
n
n
n n n (^) a
a a
1 lim lim
→ →
= , então:
3
3
3 3 ( 1 )
lim ( 3 )!
lim
→ → n
n n n
n
n
n n
n n n n
n n
( )
[( 1 )!]
lim ( 3 )!
[( 1 )!]
[ 3 ( 1 )]!
lim
lim !
lim
3
3
3
3
3
3 n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n
n n (^) +
→ → → →
