LISTA 1 DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR I, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe LISTA 1 DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR I e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSORA: AURINEIDE FONSECA 1a LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Mostre que as operações usuais de adição e multiplicação por escalar (constante) de- finidas para os conjuntos Rn,M(m×n) e F(X,R) satisfazem as condições necessárias que os tornam espaços vetoriais. 2. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R. (a) V = {(x, y) ∈ R2; 3x− 2y = 0}, com as operações usuais de R2. (d) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1, y1 − x1), α(x, y) = (3αx,−αy) (c) V = { ( a −b b a ) ; a, b ∈ R}, operações usuais de M2(R). 3. Verifique que S = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y + z = 0} é um subespaço vetorial de R3. 4. Verifique que S = {(x, y) ∈ R2; x = 2y} é um subespaço vetorial de R2. 5. Verifique quais subconjuntos, abaixo, são subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais dos espaços vetoriais que os contém: (a) S = {(x, y, z)/x = 2y e z = 0} (b) S = {(x, x2)/x ∈ R} (c) S = { ( a a+ b a− b b ) /a, b ∈ R} (d) S = { ( a b b c ) /a, b, c ∈ R} 6. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3. (a) Escreva o vetor w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v. (b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é combinação linear de u e v? 7. Seja o espaço vetorial M(2, 2) e os vetores v1 = ( 1 0 1 1 ) v2 = ( −1 2 0 1 ) e v3 = ( 0 −1 2 1 ) . Escreva o vetor v = ( 1 8 0 5 ) com combinação linear dos vetores v1, v2 e v3. 8. Seja o conjunto A = {v1, v2}, sendo v1 = (−1, 3,−1) e v2 = (1,−2, 4). Determine: (a) O subespaço G(A). (b) O valor de k para que o vetor v = (5, k, 11) pertença a G(A). 9. Classifique os seguintes subconjuntos de vetores em L.I. ou L.D.: (a) {(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)} (b) {2 + x− x2, −4− x+ 4x2, x+ 2x2} (c) { A = ( −1 2 1 3 −2 4 ) , B = ( 0 −1 2 −2 1 0 ) , C = ( −1 0 5 −1 0 3 )} (d) {(3,−6), (−4, 8)} 10. Sejam os vetores v1 = (1, 0,−1), v2 = (1, 2, 1) e v3 = (0,−1, 0) do R3. (a) Mostrar que B = {v1, v2, v3} é base de R3. (b) Escrever e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) como combinação linear dos vetores da base B. 11. O conjunto A = {t3, 2t2 − t, t3 − 3t2 + 4t− 1} é base de P3 = {a3t3 + a2t2 + a1t+ a0/ a0, a1, a2, a3 ∈ R}. Justifique. 12. Determine o subespaço G(A) de R2 para A = {(1,−2), (−2, 4)}. O que representa geometricamente esse subespaço? 13. Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v1 = (0, 1, 1) e v1 = (0, 0, 1) geram R3. 14. Sejam u = (x1, x2) e v = (x2, y2). Verificar quais das funções f : R×R→ R definidas abaixo, são produtos internos em R2: (a)f(u, v) = x1x2 − y1y2 (b)f(u, v) = x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2 (c)f(u, v) = x1x2 + y1y2 + 1 15. Consideremos o seguinte produto interno em 〈p, q〉 = a2b2 + a1b1 + a0b0, sendo p = a2x 2 + a1x + a0 e q = b2x 2 + b1x + b0. Dados os vetores p1 = x 2 − 2x + 3, p2 = 3x− 4 e p3 = −x2 + 1, calcule: (a)〈p1, p2〉 (b)〈p2, p3〉 (c)||p1 + p2|| e p2 ||p2|| 16. Se A = ( a1 b1 c1 d1 ) e B = ( a2 b2 c2 d2 ) são matrizes quaisquer de M(2, 2), mostre que 〈A,B〉 = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d2 define um produto interno em M(2, 2) e encontre ||A+B||. 17. O conjunto B = {(2,−1), (k, 1)} é uma base ortogonal do R2 em relação ao produto interno 〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2. Determine o valor de k tal que B seja uma base ortonormal. 2