lista 5 de equações diferenciais ordinárias 1, Exercícios de Equações Diferenciais

Baixe lista 5 de equações diferenciais ordinárias 1 e outras Exercícios em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! Universidade Federal de Itajubá Departamento de Matemática e Computação Quinta Lista de Exerćıcios de Equações Diferenciais Ordinárias I Professor: Ricardo Medina 17 de Outubro de 2017 1. Para cada um dos seguintes problemas determine o maior intervalo no qual o problema de valor incial dado certamente tem uma única solução 2 vezes diferenciável: (a)  xy′′ + 3y = x y(1) = 1 y′(1) = 2 (b)  (t− 1)u′′ − 3tu′ + 4u = sen(t) u(−2) = 2 u′(−2) = 1 (c)  x(x− 4)y′′ + 3xy′ + 4y = 2 y(3) = 0 y′(3) = −1 (d)  v′′ + (cos s)v′ + 3(ln |s|)v = 0 v(2) = 3 v′(2) = 1 (e)  (x− 3)y′′ + xy′ + (ln |x|)y = 0 y(1) = 0 y′(1) = 1 2. Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais con- veniente: (a) y′′ + y′ − 2y = 0 (b) 3u′′ − 5u′ + 2u = 0 (c) 8 d2z du2 + 14 dz du − 15z = 0 (d) y′′ − 2y′ = 0 3. Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial: (a) 2y′′ − y′ − 3y = 0, y(0) = 2 y′(0) = −7 2 (b) u′′ + 2u = 0, u(0) = 2 u′(0) = 2 √ 2 (c) d2z du2 − 2 √ 5 dz du + 5z = 0, z(0) = 0 z′(0) = 3 (d) y′′ − √ 2y′ + y = 0, y(0) = √ 2 y′(0) = 0 4. (a) Mostre que a solução geral da EDO de segunda ordem: (D2 − 2aD + (a2 + b2))y = 0, onde a, b ∈ R, pode ser escrita na forma: y = c1eax cos(bx+ c2), sendo c1 e c2 constantes arbitrárias. Esta forma é frequentemente chamada de ”fase amplitude” (b) Escreva a solução geral de (D2−6D+25)y = 0 e (D2+4)y = 0, na forma fase-amplitude. 5. Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função: (a) y′′ − 2ay′ + a2y = 0 (sendo ”a” uma constante real dada), eax (b) 3xy′′ − y′ = 0, 1 (c) y′′ + tanx.y′ − 6cotg2x.y = 0, sen3x (d) (1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0, x (e) xy′′ − (2x+ 1)y′ + (x+ 1)y = 0, ex Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso. 6. Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO’s: (a) (D2 + 1)y(x) = secx, x ∈ (−π 2 , π 2 ); (b) d2y dx2 + 3 dy dx − 4y = x2ex x ∈ R; (c) d2z du2 + 4 dz du + 4z = ue2u u ∈ R; (d) u′′ − u′ − 2u = e−tsent t ∈ R; 7. Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO’s: (a) y′′ + y′ = 2x+ 3ex; (b) ( d2 dx2 + 1 ) y = 3 cos x− senx (c) (6D2 + 2D − 1) y = 7x(x+ 1)ex (d) ( d2 ds2 − 4 d ds + 5 ) T (s) = (s+ 1)3 8. Resolva a EDO y′′ + 4y = 3senx, de duas formas diferentes: (a) Pelo método da variação de Parâmetros (b) Pelo método dos coeficientes a determinar Algumas EDO’s de coeficientes variáveis 9. A EDO: x2 d2y dx2 + px dy dx + qy = 0 x > 0 Onde p e q são constantes reais, é conhecida como ”equação de Euler” (a) Prove que fazedno a substituição x = ez a EDO anterior se transforma na seguinte EDO de coeficientes constantes: d2y dz2 + (p− 1)dy dz + qy = 0 (b) Usando a informação de a) resolva as seguintes equações de Euler, para x > 0: i) x2y′′ + xy′ + y = 0 ii) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0 iii) x2y′′ + 3xy′ + 5 4 y = 0 iv) x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0 v) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0 Respostas 1) (a) x > 0 (b) t < 1 (c) 0 < x < 4 (d) s > 0 (e) 0 < x < 3 2) (a) y = c1e −2x + c2e x (b) u = c1e t + c2e 2 3 t (c) z = c1e 3 4 u + c2e − 5 2 u (d) y = c1 + c2e 2x. 3) (a) y = 13 5 e−x − 3 5 e 3 2 x (b) u = 2 cos( √ 2t) + 2sen( √ 2t) (c) z = 3ue √ 5u (d) y = √ 2e √ 2 2 x ( cos (√ 2 2 x ) − sen (√ 2 2 x )) 4) b) y = c1e 3x cos(4x+ c2) e y = c1 cos(2x+ c2) 5) (a) y = c1e ax + c2xe ax (b) y = c1 + c2x 4 3 (c) y = c1sen 3x+ c2 1 sen2x (d) y = c1x+ c2 ( x 2 ln ∣∣1−x 1+x ∣∣+ 1) (e) y = c1e x + c2x 2ex 6) (a) y = x.senx+ cosx. ln(cosx) + c1 cosx+ c2senx (b) y = ex ( 2 125 x− 1 25 x2 + 1 15 x3 ) + c1e x + c2e −4x (c) z = e2u ( − 1 32 + u 16 ) + c1e −2u + c2ue −2u (d) u = e−t ( 3 10 cos t− 1 10 sent ) + c1e −t + c2e 2t 7) (a) y(x) = −2x+ x2 + 3 2 ex + c1 + c2e −x (b) y(x) = 1 2 (x+ 3) cosx+ 3 2 xsenx+ c1 cosx+ c2senx (c) y(x) = ( 30 7 − 3x+ x2 ) ex + c1e r1x + c2e r2x onde r1 = 1 6 ( √ 7− 1) r2 = −16( √ 7 + 1) (d) y(x) = 899 625 + 261 125 x+ 27 25 x2 + 1 5 x3 + e2x(c1 cosx+ c2senx) 8) y(x) = senx+ c1 cos(2x) + c2sen(2x) 9) b) i) y(x) = c1 cos(lnx) + c2sen(lnx) ii) y(x) = c1 x + c2 x2 iii) y(x) = c1 x cos ( 1 2 lnx ) + c2 x sen ( 1 2 lnx ) iv) y(x) = c1x 2 + c2x 3 v) y(x) = c1x 2 + c2x 2 lnx vi) y(x) = c1√ x + c2√ x lnx 11) (a) Sim, y(x) = c1e −x 2 2 ∫ x e− t2 2 dt+ c2e −x 2 2 (b) Não (c) Sim y(x) = 1 µ(x) [ c1 ∫ x µ(t) t dt+ c2 ] , sendo µ(x) = e− ∫ ( 1+cos xx )dx (d) Sim y(x) = c1 x + c2x 12) (a) y = c1e x + c2e −x + c3e −3x (b) y = c1e −6x + c2e 2x + c3e −x (c) y = c1 + c2e − 3 2 x + c3xe − 3 2 x (d) T = c1 + c2s+ c3e s + c4e −s (e) y = c1e 2x + c2xe 2x + c3e −2x + c4xe −2x (f) y = e 1 2 √ 2x ( c1 cos ( 1 2 √ 2x ) + c2sen ( 1 2 √ 2x )) + e− 1 2 √ 2x ( c3 cos ( 1 2 √ 2x ) + c4sen ( 1 2 √ 2x )) (g) T = c1 + c2s+ c3s 2 + c4e s + c5se s + c6e −s + c7se −s (h) y = c1e 3x + e2x (c2 cos(5x) + c3sen(5x)) + xe 2x (c4 cos(5x) + c5sen(5x)) + + x2e2x (c6 cos(5x) + c7sen(5x)) + c8e −2x + c9xe −2x 13) (a) y = 1 2 cosx+ c1 + c2e x + c3e −x (b) y = −3 2 x2 − 1 3 x3 + c1 + c2x+ c3e 2x (c) y = 121− 96x+ 36x2 − 8x3 + x4 + c1e−x + c2xe−x + c3x2e−x (d) y = 5 4 x+ 1 4 x2 + 1 6 x3 − 1 2 ex + xex + c1 + c2e x + c3e −x + c4e 2x 14) b) ii) 1 r = GMm 2 l2 + c1 cos ( θ √ l m ) + c2sen ( θ √ l m ) Prof. Ricardo Medina [email protected] Figura exercício 14 a).