Baixe Equações Diferenciais Ordinárias I e outras Exercícios em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! Universidade Federal de Itajubá Departamento de Matemática e Computação Terceira Lista de Exerćıcios de Equações Diferenciais Ordinárias I Professor: Ricardo Medina 11 de setembro de 2017 1. (a) Deduza que a solução geral da EDO linear de primeira ordem dy dx + p(x)y = q(x) Vem dada por: y = 1 µ(x) ∫ q(x)µ(x)dx+ c µ(x) onde µ(x) = e ∫ p(x)dx (b) Deduza que o seguinte problema de valor inicial{ dy dx + p(x)y = q(x), x ∈ (a, b) y(x0) = y0 onde x0 ∈ (a, b)e p(x), q(x) ∈ C(a, b), possui como solução única: y = 1 µ(x) ∫ x x0 q(s)µ(s)ds+ y0 µ(x) onde µ(x) = e ∫ x x0 p(s) ds (c) Aplique seu resultado em a) para o exerćıcio 9) da lista 02 2. Em teoria de aprendizagem, a taxa a qual um assunto é memorizado é proporcional à quan- tidade ainda a ser memorizada. Se M denota a quantidade total a ser memorizada e A(t) a quantidade memorizada no instante t. Determine A(t) sabendo que em t = 0, A = 0 e sabendo que em t = 1 hora, A = M 4 . 3. Sua piscina, contendo 60.000 galões de água, foi contaminada por 5kg de uma tinta não tóxica. O sistema de filtragem da piscina pode retirar água, remover a tinta e devolver a água para a piscina a uma taxa de 200 gal min . Ache a quantidade de tinta presente no tanque no instante t. 4. Um tanque, com capacidade de 500 galões, contém, originalmente, 200 galões de uma solução de água com 100lb de sal. Uma solução de água contendo 1lb de sal por galão entra a uma taxa de 3 galões por minuto e permite-se que a solução bem misturada saia a uma taxa de 2 galões por minuto. (a) Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante anterior ao instante em que o tanque começa a transbordar. (b) Encontre a concentração (em libras por galão) de sal no tanque quando ele está a ponto de transbordar. (c) Compare a concentração encontrada em b) com o limite teórico teórico de concentração se o tanque tivesse capacidade infinita. 5. Deduza que as seguintes EDO’s possuem a solução indicada: (a) y′′ + k2y = o, x ∈ R (ondek ∈ R+) y = A. cos(kx) +B.sen(kx), sendo A e B constantes arbitrárias. (b) y′′ − k2y = 0, x ∈ R (ondek ∈ R+) y = A.ekx +B.e−kx sendo A e B constantes arbitrárias. Para responder b) revise, primeiro, como deduzir que: I1 = ∫ dy√ y2 + 1 = ln(y + √ y2 + 1) + c I2 = ∫ dy√ y2 − 1 = ln|y + √ y2 − 1|+ c 6. Ache todas as soluções das seguintes EDO’s: (a) x2 d2y dx2 + 2x dy dx − 1 = 0, x > 0; (b) x2y′′ = (y′)2, x > 0; (c) yy′′ + (y′)2 = 0 (d) yy′′ − (y′)3 = 0 7. A população de mosquito de uma determinada área cresce a uma taxa proporcional à po- pulação atual, e na ausência de outros fatores, a população dobra a cada semana. Existem, inicalmente, 200.000 mosquitos na área e os predadores, (passáros, morcegos, etc...), comem 20.000 mosquitos por dia. Determine a população de mosquitos na área em um instante t (medido em semanas) enquanto essa população não zera. 8. Na figura mostra-se um cabo( de ρ0 kg por metro de comprimento) que suporta uma ponte de comprimento L. Na plataforma da ponte há uma carga de W (x) kg por metro distribúıda ao longo dela. (a) Deduza que o perfil do cabo, y = y(x), satisfaz a seguinte EDO: y′′ = g T0 ( ρ0 √ 1 + (y′)2 +W (x) ) ; Onde T0 é a tensão do cabo no ponto de mı́nimo dele. (b) Resolva a equação anterior no caso em queW (x) = 0, usando como condições de contorno y (−1 2 ) = y ( 1 2 ) = h, onde h= altura máxima do cabo. (c) Resolva a EDO em a) no caso em que ρ0 é despreźıvel comparado com W (x), e assumindo que W (x) = W0 = constante. Use as mesmas condições de contorno de b). 9. Uma pessoa, P , partindo da origem, move-se na direção positiva do eixo x, puxando um peso Q ao longo de uma curva dada. O peso Q, inicialmente localizado no eixo y em (0, S), é puxado por uma corda de comprimento S, que é mantida esticada durante todo o movimento. Determine a equação da curva c, chamada ”tratriz”, que é tal que a corda sempre fica tangente à mesma. 10. Um corpo caindo no meio relativamente denso, por exemplo óleo, sofre a ação de três forças: uma força resistiva R, uma força de empuxo B e seu peso devido a gravidade. A força de empuxo é igual (em módulo) ao peso do flúıdo deslocado pelo objeto. A força resistiva, para um corpo esférico de raio ”a” vem dada (em módulo) por R = 6πµav, onde v é a velocidade do corpo e µ a viscosidade do flúıdo. Se x(t) representa a posição da esfera no instante t, medida positivamente para abaixo, determine x(t) sabendo que em t = 0 ela está localizada em x = 0, em repouso. A densidade do meio viscoso é ρ e a massa da esfera é M . 15) (a) y = 5 + (y0 − 5)e−x (b) y = 5 2 + (y0 − 5 2 )e−2x (c) y = 5 + (y0 − 5)e−2 16) (a) T = 2 ln 18 ' 5, 78 meses (b) T = 2 ln [ 900 900− p0 ] meses (c) P0 = 900(1− e−6) ' 897, 8 ratos. Prof. Ricardo Medina
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da pmfa
Figura exercício 8
Figura exercício 10
