Baixe Lista de Equações diferenciais ordinarias e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! Universidade Federal do Piaúı Departamento de Matemática Professora: Liane Mendes Feitosa Soares Lista 2-E.D.O - EE 2014.1 1. Seja y = φ(x) uma solução de y′ + p(x)y = 0. Mostre que y = cφ(x) também é solução desta equação, para qualquer valor da constante c. 2. Seja y1 uma solução de y ′ + p(x)y = 0 e seja y2 uma solução de y ′ + p(x)y = g(x). Mostre que y = y1 + y2 é solução de y ′ + p(x)y = g(x). 3. Achar a solução geral da equação diferencial a) y′ + ( 1 x )y = senx, x > 0; b) x2y′ + 3xy = senx x , x < 0; c) y′ + (tgx)y = xsen(2x), −π 2 < x < π 2 ; d) xy′ + 2y = ex, x > 0. 4. Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida. a) xy′ + 2y = x2 − x+ 1, y(1) = 1 2 ; b) xy′ + y = ex, y(1) = 1;; c) y′ + (cotgx)y = 2cossecx, y(π 2 ) = 1; d) xy′ + 2y = senx, y(π) = 1 π ; e) y′ + (cotgx)y = 4senx, y(−π 2 ) = 0; f) x(2 + x)y′ + 2(1 + x)y = 1 + 3x2, y(−1) = 1; g) y′ + y = 1 1+x2 , y(0) = 0; h) (1− x2)y′ − xy = x(1− x2), y(0) = 2. 5. Nos problemas abaixo determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual se tenha a certeza da existência da solução do P.V.I proposto. a) (x− 3)y′ + (lnx)y = 2x, y(1) = 2; b) y′ + (tgx)y = senx, y(π) = 0; c) (4− x2)y′ + 2xy = 3x2, y(−3) = 1; d) (lnx)y′ + y = ctgx, y(2) = 3. 6. No problema de valor inicial y′− y = 2, y(0) = y0, determinar como o valor limite de y, quando x→∞ depende de y0. 7. Mostrar que se a e λ forem constantes positivas e b um número real qualquer, então toda solução da equação y′ + ay = b.e−λx tem a propriedade y → 0 quando x→∞. 8. Coeficientes Descont́ınuos a) Resolver o P.V.I: y′ + 2y = g(x), y(0) = 0, onde g(x) = { 1, se 0 ≤ x ≤ 1, 0, se x > 1. 9. Resolver o P.V.I: y′ + p(x)y = 0, y(0) = 1, onde p(x) = { 2, se 0 ≤ x ≤ 1, 1, se x > 1. 10. (Equações de Bernuolli) São as equações do tipo y′ + p(x)y = q(x)yn. Vimos que a substi- tuição v = y1−n reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equações de Bernoulli abaixo: a) x2y′ + 2xy − y3 = 0; b) y′ = ry − ky2, r > 0, k > 0; c) y′ = ay − by3, a > 0, b > 0. 1
