Baixe Lista de exercícios cálculo 1 com gabarito e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Lista 1 de Cálculo I - IC241 Prof. Wilian Turma: T06 “A ideia principal de limite é que as quantidades se aproximam mais do que por qualquer diferença dada” Sir Isaac Newton. 1. Uma flecha é lançada para cima com uma velocidade de 10m/s, sua altura em metros após t segundos é dada por y = 10t − 1,86t2. (a) Encontre a velocidade média nos seguintes intervalos de tempo: [1,2], [1;1,5], [1;1,1], [1; 1,01], [1; 1,001]. (b) Encontre a velocidade média nos seguintes intervalos de tempo: [0,5; 1], [0,9; 1], [0,99;1], [0,999;1]. (c) Estime a velocidade instantânea quando t = 1. Solução: (c) A estimativa da velocidade instantânea quando t = 1 é de 6,28m/s. 2. Explique com suas palavras o significado da equação lim x→2 f (x) = 5. É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que f(2)=3? Explique. Pág. 1 de 11 Continua . . . Lista 1 de Cálculo I - IC241 Lista 1 Solução: Exemplo de resposta: Os valores de f (x) ficam tão próximos de 5 quanto nós quisermos, tornando x suficiente- mente próximo de 2 (mas x 6= 2). Sim, o gráfico da função f poderia ter um buraco no ponto (2,5) e ser definida como f (2) = 3. 3. Explique o que significa dizer que lim x→1− f (x) = 3 e lim x→1+ f (x) = 7. Nesta situação, é possível que lim x→1 f (x) exista? Explique. Solução: Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f (x) se aproxima de 3; quando x se aproxima de 1 pela direita, f (x) se aproxima de 7. Não, o lim x→1 f (x) não existe pois os limites laterais são distintos. 4. Explique o significado de cada uma das notações a seguir. (a) lim x→−3 f (x) =∞ (b) lim x→4+ f (x) = −∞ Solução: (a) O valor de f (x) pode ficar arbitrariamente grande (tão grande quanto se queira), tomando x suficientemente próximo de −3 (mas diferente de −3). (b) O valor de f (x) pode ficar arbitrariamente grande negativo (grande em valor absoluto), tomando x suficientemente próximo de 4 pela direita, ou seja, considerando x > 4. 5. Determine os limites infinitos (a) lim x→5+ 6 x − 5 (b) lim x→5− 6 x − 5 (c) lim x→1 2− x (x − 1)2 (d) lim x→0 x − 1 x2(x + 2) Solução: (a) Como (x − 5) → 0+(> 0) quando x → 5+ e 6 → 6(> 0) quando x → 5+, então lim x→5+ 6 x − 5 =∞. Pág. 2 de 11 Continua . . . Lista 1 de Cálculo I - IC241 Lista 1 9. Se 1≤ f (x)≤ x2 + 2x + 2 para todo x , encontre lim x→−1 f (x). Solução: Como 1 ≤ f (x) ≤ x2 + 2x + 2 para todo x, lim x→−1 1 = 1 e lim x→−1 x2 + 2x + 2 = (−1)2 + 2(−1) + 2= 1, pelo teorema do confronto temos que lim x→−1 f (x) = 1. 10. Prove que lim x→0 x4 cos 2 x = 0. Solução: Temos que−1≤ cos 2x ≤ 1, então−x 4 ≤ x4cos 2x ≤ x 4. Além disso, lim x→0 −x4 = lim x→0 x4 = 0. Portanto, pelo teorema do confronto, temos que lim x→0 x4 cos 2 x = 0. 11. Prove que lim x→0+ p xesen π x = 0. Solução: Temos que −1 ≤ senπx ≤ 1 ⇒ e −1 ≤ esen π x ≤ e1 ⇒ p xe−1 ≤ p xesen π x ≤ p xe. Como lim x→0+ p xe−1 = lim x→0+ p xe = 0, então, pelo teorema do confronto, temos que lim x→0+ p xesen π x = 0. 12. Encontre, caso exista, o limite. Caso não exista, explique o por quê. lim x→2 |x − 2| x − 2 . Solução: Se x > 2, então |x − 2| = x − 2 e lim x→2+ |x − 2| x − 2 = lim x→2+ x − 2 x − 2 = lim x→2+ 1 = 1. Se x < 2, então |x − 2| = −(x − 2) e lim x→2− |x − 2| x − 2 = lim x→2− −(x − 2) x − 2 = lim x→2− −1 = −1. Como lim x→2+ |x − 2| x − 2 6= lim x→2− |x − 2| x − 2 ⇒ lim x→2 |x − 2| x − 2 não existe. 13. Calcule lim x→2 p 6− x − 2 p 3− x − 1 . Pág. 5 de 11 Continua . . . Lista 1 de Cálculo I - IC241 Lista 1 Solução: lim x→2 p 6− x − 2 p 3− x − 1 = lim x→2 p 6− x − 2 p 3− x − 1 · p 6− x + 2 p 6− x + 2 · p 3− x + 1 p 3− x + 1 = lim x→2 ( p 6− x)2 − 22 ( p 3− x)2 − 12 · p 3− x + 1 p 6− x + 2 = lim x→2 (2− x)( p 3− x + 1) (2− x)( p 6− x + 2) = lim x→2 ( p 3− x + 1) ( p 6− x + 2) = 1 2 . 14. Mostre por meio de um exemplo que lim x→a [ f (x) + g(x)] pode existir mesmo que nem lim x→a f (x) nem lim x→a g(x) existam. Solução: Sejam f (x) = 1x e g(x) = − 1 x . Temos que limx→0 1 x e lim x→0 − 1 x não existem, mas lim x→0 1 x + − 1 x = lim x→0 0= 0 15. Mostre por meio de um exemplo que lim x→a [ f (x)g(x)] pode existir mesmo que nem lim x→a f (x) nem lim x→a g(x) existam. Solução: Sejam f (x) = H(x) e g(x) = 1−H(x), onde H(x) é a função Heaviside (ou função degrau unitário). Esta função foi definida em sala de aula, mas, para quem não lembra, lá vai ela. A função Heaviside é uma função definida por partes da seguinte maneira: H(x) = 0, se x < 0 1, se x ≥ 0. Assim, a função g(x) = 1−H(x) fica definida como g(x) = 1, se x < 0 0, se x ≥ 0. Note que lim x→0 f (x) e lim x→0 g(x) não existem (limites laterais distintos), mas lim x→0 [ f (x)g(x)] = lim x→0 0= 0 (existe:) 16. Use a definição da continuidade e as propriedades de limites para mostrar que a função f (x) = (x + 2x3)4 é contínua em x = −1. Pág. 6 de 11 Continua . . . Lista 1 de Cálculo I - IC241 Lista 1 Solução: lim x→−1 (x + 2x3)4 = lim x→−1 x + 2 lim x→−1 x3 4 = −1+ 2(−1)3 4 = (−3)4 = 81 = f (−1). Segue, pela definição de continuidade, que f (x) é contínua em x = −1. 17. Use a definição da continuidade e as propriedades de limites para mostrar que a função f (x) = 2x+3x−2 é contínua no intervalo (2,∞). Solução: Resolver de forma semelhante da apresentada no exercício anterior, calculando lim x→a 2x + 3 x − 2 com a > 2, usando as devidas propriedades de limites. 18. Explique por que a função abaixo é descontínua em x = 1. f (x) = x2−x x2−1 , se x 6= 1 1, se x = 1. Solução: Temos que lim x→1 f (x) = lim x→1 x2 − x x2 − 1 = lim x→1 x(x − 1) (x + 1)(x − 1) = lim x→1 x x + 1 = 1 2 . Como f (1) = 1 6= 12 = limx→1 f (x), temos que f é descontínua em x = 1. 19. Para que valor a, f (x) = § x2 − 1, se x < 3 2ax , se x ≥ 3. é contínua em qualquer x? Solução: Temos que lim x→3− f (x) = lim x→3 x2−1= 8. Por outro lado, temos que lim x→3+ f (x) = lim x→3 2ax = 6a. Para que f seja contínua em x=3, temos que lim x→3 f (x) = f (3) = 6a. Portanto, preci- samos que 6a = 8, i.e., a = 43 . 20. Se f (x) = x3 − x2 + x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 10. Pág. 7 de 11 Continua . . . Lista 1 de Cálculo I - IC241 Lista 1 (b) lim x→−∞ 1− x − x2 2x2 − 7 = lim x→−∞ 1−x−x2 x2 2x2−7 x2 = lim x→−∞ 1 x2 − 1 x − 1 lim x→−∞ 2− 7 x2 = 0− 0− 1 2− 7(0) = − 1 2 . (c) lim t→−∞ t2 + 2 t3 + t2 − 1 = 0. (d) lim x→∞ x + 2 p 9x2 + 1 = lim x→∞ x+2 xp 9x2+1p x2 = lim x→∞ 1+ 2x q 9+ 1x2 = 1+ 0 p 9+ 0 = 1 3 . (e) lim x→−∞ p 9x6 − x x3 + 1 = −3. Lembre que x3 = − p x6 para x < 0. (f) lim x→∞ p 9x2 + x − 3x = lim x→∞ p 9x2 + x − 3x p 9x2 + x + 3x p 9x2 + x + 3x = lim x→∞ p 9x2 + x 2 − (3x)2 p 9x2 + x + 3x = lim x→∞ 9x2 + x − 9x2 p 9x2 + x + 3x = lim x→∞ x p 9x2 + x + 3x = lim x→∞ x x p 9x2+x+3x x = lim x→∞ 1 q 9+ 1x + 3 = 1 p 9+ 3 = 1 6 . (g) Considere t = t g(x). Quando x → π2 +, t →−∞. Assim, lim x→π2 + et g x = lim t→−∞ et = 0. 25. Encontre as assíntotas vertical e horizontal de cada curva. (a) y = xx+4 (b) y = x 3 x2+3x−10 (c) y = x−9p 4x2+3x+2 (d) y = x4p x4+1 Solução: (a) lim x→±∞ x x + 4 = lim x→±∞ 1 1+ 4x = 1 1+ 0 = 1, então a reta y = 1 é uma assíntota hori- zontal da função f (x) = xx+4 . Temos que limx→−4− x x + 4 =∞ e lim x→−4+ x x + 4 = −∞, logo a reta x = −4 é uma assíntota vertical de f . (b) lim x→∞(−∞) x3 x2 + 3x − 10 = lim x→∞(−∞) x 1+ 3x − 10 x2 =∞(−∞), logo a curva f (x) = Pág. 10 de 11 Continua . . . Lista 1 de Cálculo I - IC241 Lista 1 x3 x2+3x−10 não possui assíntota horizontal. limx→2+ x3 x2 + 3x − 10 = lim x→2+ x3 (x + 5)(x − 2) = ∞ e lim x→2− x3 (x + 5)(x − 2) = −∞; lim x→5− x3 (x + 5)(x − 2) = −∞ e lim x→5+ x3 (x + 5)(x − 2) = ∞. Portanto, as assíntotas verticais são as retas x = −5 e x = 2. (c) Temos que lim x→∞ x − 9 p 4x2 + 3x + 2 = 1 2 e lim x→−∞ x − 9 p 4x2 + 3x + 2 = − 1 2 . Portanto, as retas y = 12 e y = − 1 2 são assíntotas horizontais. Note que 4x 2 + 3x + 2 > 0 para todo x ∈ (−∞,∞), logo a função não possui assíntotas verticais. (d) Temos que lim x→∞ x 4p x4 + 1 = 1 e lim x→−∞ x 4p x4 + 1 = −1. As retas y = ±1 são as assín- totas horizontais. A função não possui assíntotas verticais, pois x4 + 1> 0. Questões selecionadas do livro de Cálculo, vol. 1, do autor James Stewart, do livro de Cálculo, vol. 1, do autor George B. Thomas e do livro de Cálculo - Um Curso Moderno e Suas Aplicações dos autores Hoffmann & Bradley. Pág. 11 de 11 Bons estudos

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