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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciˆencias F´ısicas e Matem´aticas
Departamento de Matem´atica
C´alculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.1 - Limites: no¸c˜ao intuitiva, defini¸c˜ao e interpreta¸c˜ao geom´etrica.
Ultima atualiza¸^ ´ c˜ao: 17 de abril de 2022.
Exerc´ıcios Principais
P1. Estime algebricamente o valor do limite lim x→ 2
x^2 − 2 x x^2 − x − 2
usando os valores de x fornecidos. Use uma calculadora.
x 1 1 , 5 1 , 9 1 , 9999 f (x) x 2 , 5 2 , 1 2 , 01 2 , 0001 f (x)
P2. Considere a fun¸c˜ao f cujo gr´afico est´a representado abaixo. Fa¸ca o que se pede.
x
y
(a) Determine o dom´ınio de f. (b) Estime f (4), determine se o limite lim x→ 4
f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(c) Estime f (2), determine se o limite lim x→ 2 f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(d) Determine f (0), se o limite lim x→ 0 f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(e) Estime f (−2), determine se o limite lim x→− 2
f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(f ) Estime f (−4), determine se e o limite lim x→− 4 f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(g) O que se pode dizer sobre a existˆencia do limite nos pontos −5, −1, 3,95 e 7/3?
P3. Considere a fun¸c˜ao
f (x) =
x + 5, se x < − 2 −x^2 − 2 x + 3, se − 2 ⩽ x < 1 −x + 2, se x ⩾ 1 e x ̸= 3 2 , se x = 3.
(a) Fa¸ca o gr´afico de f. (b) Utilize o gr´afico do item (a) para determinar se o lim x→ 1 f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(c) Utilize o gr´afico do item (a) para determinar se o lim x→− 2 f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(d) Utilize o gr´afico do item (a) para determinar se o lim x→ 3 f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(e) Utilize o gr´afico do item (a) para determinar se o lim x→− 1
f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(f ) Utilize o gr´afico do item (a) para determinar se o lim x→ 2 , 99 f (x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
Exerc´ıcios Complementares
C1. Estime algebricamente o valor do limite lim x→ 0
ex^ − 1 − x x^2
usando os valores de x fornecidos. Use uma calculadora.
x − 0 , 5 − 0 , 1 − 0 , 0001 − 0 , 00001 f (x) x 0 , 5 0 , 1 0 , 0001 0 , 00001 f (x)
C2. Utilize a defini¸c˜ao de limite para mostrar que lim x→ 1 (2x + 1) = 3.
C3. Utilize a defini¸c˜ao de limite para mostrar que lim x→ 1 − 4 x + 3 = −1.
C4. Utilize a defini¸c˜ao de limite para mostrar que lim x→ 2
2 x ̸= 5.
C5. Utilize a defini¸c˜ao de limite para mostrar que lim x→ 4 3 x + 1 ̸= 12.
(d) lim x→ 3 f (x) = −1 existe e, caso ele exista, calcule-o. (e) lim x→− 1
f (x) = 4.
(f ) lim x→ 2 , 99 f (x) = − 0 ,99.
Exerc´ıcios Complementares
C1. lim x→ 0
ex^ − 1 − x x^2
C2. Rascunho da solu¸c˜ao. O gr´afico abaixo ilustra a situa¸c˜ao que temos e nos dar´a ideias de como resolver.
x
y
Para mostrar que o limite ´e 3, devemos iniciar com um valor de ε > 0 gen´erico e encontrar um δ associado a esse ε. A figura acima mostra que se ε = 1, podemos escolher δ = 0,5. Por´em, isso deve ser feito de forma gen´erica. Observe que ao fixar o valor de ε, a vizinhan¸ca de 3 considerada ´e (3 − ε, 3 + ε). Uma conta r´apida mostra que se x = 1 − ε/2, ent˜ao f (x) = 3 − ε (basta igualar 2 x + 1 = 3 − ε e isolar x). De forma similar, x = 1 + ε/2, ent˜ao f (x) = 3 + ε. Como a fun¸c˜ao f ´e crescente, se 1 − ε/ 2 < x < 1 + ε/2, ent˜ao 3 − ε < f (x) < 3 + ε. Em outras palavras, se x ∈ (1 − ε/ 2 , 1 + ε/2), ent˜ao f (x) ∈ (3 − ε, 3 + ε). Geometricamente, isso significar que se escolhermos como faixa verde o intervalo (1 − ε/ 2 , 1 + ε/2), os valores de f (x) ficam contidos na faixa azul. Como a faixa verde que procuramos ´e da forma (1 − δ, 1 + δ), ent˜ao uma boa escolha para δ ´e δ = ε/2. Observa¸c˜ao sobre esse rascunho: a rigor, quando escrevemos x ∈ (1 − ε/ 2 , 1 + ε/2), bastava considerar x ∈ (1 − ε/ 2 , 1 + ε/2) com x ̸= 1. Vamos `a escrita oficial da solu¸c˜ao.
Solu¸c˜ao. Seja ε > 0 e escolha δ = ε/2. Assim, para qualquer x ∈ (1 − δ, 1 + δ) com x ̸= 1, como f ´e crescente, tem-se 3 − ε = f (1 − δ) < f (x) < f (1 + δ) = 3 + ε e, com isso, |f (x) − 3 | < ε. Como a escolha inicial de ε foi arbitr´aria, ent˜ao lim x→ 1 (2x + 1) = 3.
C3. Seja ε > 0 e escolha δ = ε/4. Assim, para qualquer x que satisfaz 0 < |x − 1 | < δ (isto ´e, x ∈ (1 − δ, 1) ∪ (1, 1 + δ)), tem-se | − 4 x + 3 − (−1)| = | − 4 x + 4| = 4|x − 1 | < 4 δ = 4 4 ε = ε. Como a escolha inicial de ε foi arbitr´aria, ent˜ao lim x→ 1 − 4 x + 3 = −1.
Coment´ario. Nesta resolu¸c˜ao, omitimos o rascunho. Mas, em geral, fazemos o rascunho para saber qual ´e uma boa escolha para δ e depois escrevemos a solu¸c˜ao.
C4. Rascunho da solu¸c˜ao. O gr´afico abaixo ilustra a situa¸c˜ao que temos e nos dar´a ideias de como resolver.
x
y
Para mostrar que o limite n˜ao ´e 5, devemos encontrar um valor de ε > 0 que n˜ao possua nenhum δ > 0 de modo que a condi¸c˜ao da defini¸c˜ao de limite seja satisfeita. Escolhendo, por exemplo, ε = 0, 5 (esta n˜ao ´e a ´unica escolha poss´ıvel aqui), vemos pela figura que ´e imposs´ıvel encontrar uma faixa vertical (verde) ao redor de a = 2 (excluindo a = 2) de modo que o gr´afico de f nesta faixa verde fique contido na faixa em azul. Em outras palavras, para ε = 0,5, n˜ao existe δ > 0 de modo que a condi¸c˜ao aconte¸ca. Algumas contas ser˜ao feitas aqui no rascunho para serem usadas na solu¸c˜ao final. Qualquer que seja o δ escolhido, e qualquer que seja a escolha de x no conjunto (2 − δ, 2), tem-se f (x) = 2x < 4 e, portanto |f (x) − 5 | > 0 ,5 = ε. Para ver que f (x) = 2x < 4 se x ∈ (2 − δ, 2), basta observar que se x < 2 ent˜ao 2x < 4. Vamos `a escrita oficial da solu¸c˜ao.
Solu¸c˜ao. Escolha ε = 0,5, seja δ > 0 qualquer e escolha x ∈ (2 − δ, 2). Para esse valor de x, tem-se f (x) < 4 e, portanto, |f (x) − 5 | > 1 > 0 , 5 > ε. Logo, lim x→ 2 2 x ̸= 5.
C5. Escolha ε = 0,5, seja δ > 0 qualquer e escolha x ∈ (4, 4 + δ). Para esse valor de x, tem-se f (x) > 13 e, portanto, |f (x) − 12 | > 1 > 0 , 5 > ε. Logo, lim x→ 4
3 x + 1 ̸= 12.
