Lista de exercícios sobre espaços vetoriais e dependência e independência linear - álgebra linear, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Lista de exercícios sobre espaços vetoriais e dependência e independência linear - álgebra linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Álgebra Linear Terceira Lista de Exerćıcios Espaços e Subespaços Vetoriais Profa Érica Regina Filletti Nascimento (1) Verifique quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais, com as operações de adição e multiplicação por escalar neles definidas. Para aqueles que não são espaços vetoriais, cite os axiomas que não são satisfeitos. (a) R3, (x, y, z) + (a, b, c) = (x+ a, y + b, z + c), e k (x, y, z) = (0, 0, 0). resp: Não é espaço vetorial. Falha o axioma M4. (b) V = {(x, 2x, 3x) : x ∈ R}, com as operações usuais do R3. resp: É um espaço vetorial. (c) R2, (a, b) ◦ (c, d) = (a, b) e α(a, b) = (αa, αb). resp: Não é um espaço vetorial. Falham A2, A3 e A4. (d) A = {( 0 a b 0 ) ∈M2×2(R) : a, b ∈ R } , com as operações usuais de M2×2(R). resp: É um espaço vetorial. (2) Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R2 com relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (a) A = {(x, y) : y = −x}. resp: É subespaço. (b) B = {(x, y) : x+ 3y = 0}. resp: É subespaço. (c) W = {(y, y) : y ∈ R}. resp: É subespaço. (d) S = {(x, y) : y = 1 + x}. resp: Não é subespaço. (3) Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R3 com relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. (a) S = {(x, y, z) : x = z2}. resp: Não é subespaço. (b) T = {(x, y, z) : y = x+ 2, z = 0}. resp: Não é subespaço. (c) A = {(x, x, 0) : x ∈ R}. resp: É subespaço. (d) B = {(4t, 2t,−t) : t ∈ R}. resp: É subespaço. (e) U = {(x, y, z) : x+ y + z = 0}. resp: É subespaço.